5 函数(递归部分)

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同理，移动 个盘子的问题又可简化成移动 个盘子，移动4个盘 个盘子的问题又可简化成移动4个盘子 同理，移动5个盘子的问题又可简化成移动 个盘子，移动 个盘 这样，问题就简化成仅仅将5个盘子从 个盘子从A柱 这样，问题就简化成仅仅将 个盘子从 柱 子的问题又可简化成移动3个盘子 子的问题又可简化成移动 个盘子 ……这一过程反复进行下去 这一过程反复进行下去 移到B柱 再从B柱移到 柱移到C柱 移到 柱，再从 柱移到 柱。 直到只剩下一个盘子时将其移动 。
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求斐波那契数列的第n项 例3：用函数 求斐波那契数列的第 项。斐波那契数 ：用函数fib求斐波那契数列的第 列为： 、 、 、 、 、 函数fib定义如下 定义如下： 列为：0、1、1、2、3、…… 。函数 定义如下：
fib(n) ＝ 0 当n＝1 ＝ 1 当n＝2 ＝ fib(n-2)+fib(n-1)
请画出求fib(3)的递归调用过程图示 的递归调用过程图示 请画出求
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3.递归程序设计 递归程序设计
• 每求一项数，需要递归调用2次该函数；计算 每求一项数，需要递归调用 次该函数 次该函数； 斐波那契数列第30项的递归调用次数是 的30 斐波那契数列第 项的递归调用次数是2的 项的递归调用次数是 次方（大约10亿次 亿次！） 次方（大约 亿次！） • 可见递归的思想特别符合人们的思维习惯，便 可见递归的思想特别符合人们的思维习惯， 于问题解决和编程实现。 于问题解决和编程实现。但递归的程序设计方 法比较占用系统资源，效率也较低。 法比较占用系统资源，效率也较低。 • 课下请改写 函数，该用非递归方式实现 课下请改写fib函数 函数， long fib(long), 计算斐波那契数列第 项。 计算斐波那契数列第n项
• 什么样的问题可以用递归解决？ 什么样的问题可以用递归解决？ 如果解决问题的方法是把该问题分解成小的子 问题， 问题，并且这些小的子问题可以用同样的算法 解决， 解决，当分解到可以解决的比较简单的子问题 时分解过程即终止，那么就可以用递归。 时分解过程即终止，那么就可以用递归。 递归的思想就是将一个问题先转化为与原问题 性质相同、但规模小一级的新问题， 性质相同、但规模小一级的新问题，然后再重 复这样的转化， 复这样的转化，直到问题的规模减小到我们很 容易解决为止。 容易解决为止。
当n＞=3 ＞
long fib(long n) 请分析该问题是否可以用递归算法解决？ 请分析该问题是否可以用递归算法解决？ { 若可以，请写出该递归算法。 若可以，请写出该递归算法。 if(n==1 || n==2) return n; else return fib(n-2)+fib(n-1); }
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3.递归程序设计 递归程序设计
一般来说，递归需要有边界条件、 一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和 递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进； 递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当 边界条件满足时，递归返回。 边界条件满足时，递归返回。 如何设计递归算法: 如何设计递归算法 1）对所求解的问题、要计算的函数书写出其递归 ）对所求解的问题、 定义；注意一定要有终止条件和操作。 定义；注意一定要有终止条件和操作。 2）正确地设计参数。 ）正确地设计参数。 注意：递归算法最外层肯定采用的是选择结构！ 注意：递归算法最外层肯定采用的是选择结构！为 什么？ 什么？
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1.递归的概念 递归的概念
现在换一个角度考虑， ！不仅是1× × × 现在换一个角度考虑，n！不仅是 ×2×3×…×n, 还可以定义成： 还可以定义成： 设 f(n)=n! 1 当n＝0 ＝
n! ＝ 则 f(n) ＝ 1 当n＝0 ＝ n×(n－1)! 当n＞0 × － ＞ n×f (n－1) 当n＞0 ＞ × －
根据以上数学 定义，函数f能 定义，函数 能 否写成右边所 示？函数能否 调用自身？ 调用自身？
int f(int n) { if(n==0) return 1; else return n*f(n-1); }
答案是肯定 的。C系统 系统 会保证调用 过程的正确 性，这就是 递归！ 递归！
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int f(int n) { if(n==0) 递归的定义： 递归的定义： return 1; 从程序书写来看，在定义一个函数时， 从程序书写来看，在定义一个函数时，若在定 else return 义它的内部又出现对它本身的调用， n*f(n-1); 义它的内部又出现对它本身的调用，则称该函数 是递归的或递归定义的。 int 是递归的或递归定义的。 } f(int n) { 从函数动态运行来看，当调用一个函数A时 从函数动态运行来看，当调用一个函数 时， if(n==0) 在进入函数A且还没有退出（返回）之前，又再 在进入函数 且还没有退出（返回）之前， 且还没有退出 return 一次由于调用A本身而再一次进入函数 本身而再一次进入函数A， 一次由于调用 本身而再一次进入函数 1;，则称 else 之为函数A的递归调用 的递归调用。 之为函数 的递归调用。 return n*f(n-1); }
A(…) { … A(…); … } } A(…) { … B(…); … }
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B(…) { … A(…); …
2.递归过程 递归过程
• 求f（6）的 （ ） 递归调用过程？ 递归调用过程？
int f(int); main() { printf(“6!=%d”,f(6)); system(“pause”); } int f(int n) { if(n==0) return 1; else return n*f(n-1); }
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递归深度 0（主程序） 1 2 3 4 5 6
f（n） f（6） f（6）＝6×f（5） f（5）＝5×f（4） f（4）＝4×f（3） f（3）＝3×f（2） f（2）＝2×f（1） f（1）＝1×f（0） f（0）＝1 （返回） [递推阶段]
2.递归过程 递归过程
6×120＝720 5×24＝120 4×6＝24 3×2＝6 2×1＝2 1×1＝1
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很显然这是一种递归解法。 很显然这是一种递归解法。它将问题分解成若干 同样类型的小问题， 同样类型的小问题，移动一个盘子的简单操作 就是终止条件。 就是终止条件。
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A
B
C
A
B
C
将n个圆盘从A柱移到C柱的递归解法： 个圆盘从A柱移到C柱的递归解法： 柱上面的从上往下数的（ 个圆盘移到B 柱上， 1 . 将 A 柱上面的从上往下数的 （ n－1） 个圆盘移到 B 柱上 ， 中 间通过C柱为辅助。这是一个（ 个圆盘的问题； 间通过C柱为辅助。这是一个（n－1）个圆盘的问题； 2. 将A柱上的最后一个圆盘，直接移到C柱上； 柱上的最后一个圆盘，直接移到C柱上； 3.再将B 柱上的 （n－1）个圆盘移到C柱上， 中间以A柱为辅助。 再将B 个圆盘移到C柱上，中间以A柱为辅助。 再将 柱上的（ 这又是一个（ 个圆盘的问题。 这又是一个（n－1）个圆盘的问题。 以上步骤将移动n个圆盘的问题转化为移动 b, int c) 以上步骤将移动 void move (int n, int a, int （n－1）个圆盘的 函数接口设计： 个圆盘的问题转化为移动 函数接口设计： 个圆盘的问题转化为移动（ － ） 问题。 个盘子从 柱移动到c柱 问题。同理，我们可以继续把（ － ） 功能： 同理，我们可以继续把（n－1）个圆盘的问题转化 个盘子从a柱移动到 功能：将n个盘子从 柱移动到 柱，中间借助于 b柱。 柱 为（n－ 要移动的盘子数； ……，直到最后变成1个圆盘的 参数： －2）个圆盘的问题，……，直到最后变成 个圆盘的 参数：n：要移动的盘子数；a：源柱， b：辅助的柱 子， ： ）个圆盘的问题， ：源柱， ： 问题， 问题 这时候，问题就很容易解决了（ c：目标柱 ： ，这时候，问题就很容易解决了（直接移动就可以 了）。
函数--递归 第五章 函数 递归1 Nhomakorabea提纲
1. 递归的概念 2. 递归过程 3. 递归程序设计
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1.递归的概念 递归的概念
例：编写一个函数fac，计算阶乘 编写一个函数 ，计算阶乘n! 按过去的设计思想，该函数可以写成： 按过去的设计思想，该函数可以写成： int fac(int n) { int i,p; p=1; for(i=2;i<=n;i++) p=p*i; return p; }
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1.递归的概念 递归的概念
次幂。 例2：求x的n次幂。函数 ： 的 次幂
x
n
可定义如下： 可定义如下：
x
n
1 ＝ x *x
n −1
当n＝0 ＝ 当n＞0 ＞
float power(float x，int n) ， { if(n==0) return 1; else return x*power(x, n-1); }
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1.递归的概念 递归的概念
递归可以分为直接递归和间接递归两种。 递归可以分为直接递归和间接递归两种。 直接递归：函数体里面发生对自己的调用； 直接递归：函数体里面发生对自己的调用； 间接递归：函数A调用函数B 而函数B 间接递归：函数A调用函数B，而函数B又直接或 间接地调用函数A 间接地调用函数A。
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三、递归问题举例
一、汉诺塔问题 传说印度布拉马圣殿（ 传说印度布拉马圣殿（Temple of Brahma）的教 ） 士们有一黄铜烧铸的平台， 士们有一黄铜烧铸的平台，上立三根金刚石柱 柱上堆放了64个金盘子 子。A柱上堆放了 个金盘子，每个盘子都比 柱上堆放了 个金盘子， 其下面的盘子略小一些。 其下面的盘子略小一些。当教士们将盘子全部 柱移到C柱以后 从A柱移到 柱以后，世界就到了末日。当然， 柱移到 柱以后，世界就到了末日。当然， 这个问题还有一些特定的条件， 这个问题还有一些特定的条件，那就是在柱子 之间只能移动一个盘子并且任何时候大盘子都 只能移动一个盘子并且 之间只能移动一个盘子并且任何时候大盘子都 不能放到小盘子上。教士们当然还在忙碌着， 不能放到小盘子上。教士们当然还在忙碌着， 因为这需要2 次移动。 因为这需要 64-1次移动。如果一次移动需要一 次移动 秒钟，那么全部操作需要5000亿年以上时间。 亿年以上时间。 秒钟，那么全部操作需要 亿年以上时间