5 函数(递归部分)

17
很显然这是一种递归解法。 很显然这是一种递归解法。它将问题分解成若干 同样类型的小问题， 同样类型的小问题，移动一个盘子的简单操作 就是终止条件。 就是终止条件。
18
A
B
C
A
B
C
Байду номын сангаас
将n个圆盘从A柱移到C柱的递归解法： 个圆盘从A柱移到C柱的递归解法： 柱上面的从上往下数的（ 个圆盘移到B 柱上， 1 . 将 A 柱上面的从上往下数的 （ n－1） 个圆盘移到 B 柱上 ， 中 间通过C柱为辅助。这是一个（ 个圆盘的问题； 间通过C柱为辅助。这是一个（n－1）个圆盘的问题； 2. 将A柱上的最后一个圆盘，直接移到C柱上； 柱上的最后一个圆盘，直接移到C柱上； 3.再将B 柱上的 （n－1）个圆盘移到C柱上， 中间以A柱为辅助。 再将B 个圆盘移到C柱上，中间以A柱为辅助。 再将 柱上的（ 这又是一个（ 个圆盘的问题。 这又是一个（n－1）个圆盘的问题。 以上步骤将移动n个圆盘的问题转化为移动 b, int c) 以上步骤将移动 void move (int n, int a, int （n－1）个圆盘的 函数接口设计： 个圆盘的问题转化为移动 函数接口设计： 个圆盘的问题转化为移动（ － ） 问题。 个盘子从 柱移动到c柱 问题。同理，我们可以继续把（ － ） 功能： 同理，我们可以继续把（n－1）个圆盘的问题转化 个盘子从a柱移动到 功能：将n个盘子从 柱移动到 柱，中间借助于 b柱。 柱 为（n－ 要移动的盘子数； ……，直到最后变成1个圆盘的 参数： －2）个圆盘的问题，……，直到最后变成 个圆盘的 参数：n：要移动的盘子数；a：源柱， b：辅助的柱 子， ： ）个圆盘的问题， ：源柱， ： 问题， 问题 这时候，问题就很容易解决了（ c：目标柱 ： ，这时候，问题就很容易解决了（直接移动就可以 了）。
10
2.递归过程 递归过程
• 在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级 在回归阶段，当获得最简单情况的解后， 返回，依次得到稍复杂问题的解 。如在得到 返回， f(1)的解后，又依次得到 的解后， 的解后 又依次得到f(2)、f(3)…直到 、 …直到f(6)的 的 值。
11
3.递归程序设计 递归程序设计
12
3.递归程序设计 递归程序设计
一般来说，递归需要有边界条件、 一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和 递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进； 递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当 边界条件满足时，递归返回。 边界条件满足时，递归返回。 如何设计递归算法: 如何设计递归算法 1）对所求解的问题、要计算的函数书写出其递归 ）对所求解的问题、 定义；注意一定要有终止条件和操作。 定义；注意一定要有终止条件和操作。 2）正确地设计参数。 ）正确地设计参数。 注意：递归算法最外层肯定采用的是选择结构！ 注意：递归算法最外层肯定采用的是选择结构！为 什么？ 什么？
15
三、递归问题举例
一、汉诺塔问题 传说印度布拉马圣殿（ 传说印度布拉马圣殿（Temple of Brahma）的教 ） 士们有一黄铜烧铸的平台， 士们有一黄铜烧铸的平台，上立三根金刚石柱 柱上堆放了64个金盘子 子。A柱上堆放了 个金盘子，每个盘子都比 柱上堆放了 个金盘子， 其下面的盘子略小一些。 其下面的盘子略小一些。当教士们将盘子全部 柱移到C柱以后 从A柱移到 柱以后，世界就到了末日。当然， 柱移到 柱以后，世界就到了末日。当然， 这个问题还有一些特定的条件， 这个问题还有一些特定的条件，那就是在柱子 之间只能移动一个盘子并且任何时候大盘子都 只能移动一个盘子并且 之间只能移动一个盘子并且任何时候大盘子都 不能放到小盘子上。教士们当然还在忙碌着， 不能放到小盘子上。教士们当然还在忙碌着， 因为这需要2 次移动。 因为这需要 64-1次移动。如果一次移动需要一 次移动 秒钟，那么全部操作需要5000亿年以上时间。 亿年以上时间。 秒钟，那么全部操作需要 亿年以上时间
16
同理，移动 个盘子的问题又可简化成移动 个盘子，移动4个盘 个盘子的问题又可简化成移动4个盘子 同理，移动5个盘子的问题又可简化成移动 个盘子，移动 个盘 这样，问题就简化成仅仅将5个盘子从 个盘子从A柱 这样，问题就简化成仅仅将 个盘子从 柱 子的问题又可简化成移动3个盘子 子的问题又可简化成移动 个盘子 ……这一过程反复进行下去 这一过程反复进行下去 移到B柱 再从B柱移到 柱移到C柱 移到 柱，再从 柱移到 柱。 直到只剩下一个盘子时将其移动 。
当n＞=3 ＞
long fib(long n) 请分析该问题是否可以用递归算法解决？ 请分析该问题是否可以用递归算法解决？ { 若可以，请写出该递归算法。 若可以，请写出该递归算法。 if(n==1 || n==2) return n; else return fib(n-2)+fib(n-1); }
A(…) { … A(…); … } } A(…) { … B(…); … }
7
B(…) { … A(…); …
2.递归过程 递归过程
• 求f（6）的 （ ） 递归调用过程？ 递归调用过程？
int f(int); main() { printf(“6!=%d”,f(6)); system(“pause”); } int f(int n) { if(n==0) return 1; else return n*f(n-1); }
函数--递归 第五章 函数 递归
1
提纲
1. 递归的概念 2. 递归过程 3. 递归程序设计
2
1.递归的概念 递归的概念
例：编写一个函数fac，计算阶乘 编写一个函数 ，计算阶乘n! 按过去的设计思想，该函数可以写成： 按过去的设计思想，该函数可以写成： int fac(int n) { int i,p; p=1; for(i=2;i<=n;i++) p=p*i; return p; }
• 什么样的问题可以用递归解决？ 什么样的问题可以用递归解决？ 如果解决问题的方法是把该问题分解成小的子 问题， 问题，并且这些小的子问题可以用同样的算法 解决， 解决，当分解到可以解决的比较简单的子问题 时分解过程即终止，那么就可以用递归。 时分解过程即终止，那么就可以用递归。 递归的思想就是将一个问题先转化为与原问题 性质相同、但规模小一级的新问题， 性质相同、但规模小一级的新问题，然后再重 复这样的转化， 复这样的转化，直到问题的规模减小到我们很 容易解决为止。 容易解决为止。
13
求斐波那契数列的第n项 例3：用函数 求斐波那契数列的第 项。斐波那契数 ：用函数fib求斐波那契数列的第 列为： 、 、 、 、 、 函数fib定义如下 定义如下： 列为：0、1、1、2、3、…… 。函数 定义如下：
fib(n) ＝ 0 当n＝1 ＝ 1 当n＝2 ＝ fib(n-2)+fib(n-1)
8
递归深度 0（主程序） 1 2 3 4 5 6
f（n） f（6） f（6）＝6×f（5） f（5）＝5×f（4） f（4）＝4×f（3） f（3）＝3×f（2） f（2）＝2×f（1） f（1）＝1×f（0） f（0）＝1 （返回） [递推阶段]
2.递归过程 递归过程
6×120＝720 5×24＝120 4×6＝24 3×2＝6 2×1＝2 1×1＝1
1、问题分析（为简单起见，假设A柱上只有 个盘子） 、问题分析（为简单起见，假设 柱上只有 个盘子） 柱上只有6个盘子
A B C
欲将6个盘子从A柱移到 个盘子从A 欲将6个盘子从A柱移到C柱，只需先将上面5个盘子从A 个盘子从 柱移到C柱 只需先将上面5个盘子从 柱移到B柱 然后将最下面的盘子从A柱移到 柱移到C柱 柱移到 柱，然后将最下面的盘子从 柱移到 柱，最后 柱上的5个盘子从 柱移到C柱 将B柱上的 个盘子从 柱移到 柱。 柱上的 个盘子从B柱移到 A B C
根据以上数学 定义，函数f能 定义，函数 能 否写成右边所 示？函数能否 调用自身？ 调用自身？
int f(int n) { if(n==0) return 1; else return n*f(n-1); }
答案是肯定 的。C系统 系统 会保证调用 过程的正确 性，这就是 递归！ 递归！
4
int f(int n) { if(n==0) 递归的定义： 递归的定义： return 1; 从程序书写来看，在定义一个函数时， 从程序书写来看，在定义一个函数时，若在定 else return 义它的内部又出现对它本身的调用， n*f(n-1); 义它的内部又出现对它本身的调用，则称该函数 是递归的或递归定义的。 int 是递归的或递归定义的。 } f(int n) { 从函数动态运行来看，当调用一个函数A时 从函数动态运行来看，当调用一个函数 时， if(n==0) 在进入函数A且还没有退出（返回）之前，又再 在进入函数 且还没有退出（返回）之前， 且还没有退出 return 一次由于调用A本身而再一次进入函数 本身而再一次进入函数A， 一次由于调用 本身而再一次进入函数 1;，则称 else 之为函数A的递归调用 的递归调用。 之为函数 的递归调用。 return n*f(n-1); }
请画出求fib(3)的递归调用过程图示 的递归调用过程图示 请画出求
14
3.递归程序设计 递归程序设计
• 每求一项数，需要递归调用2次该函数；计算 每求一项数，需要递归调用 次该函数 次该函数； 斐波那契数列第30项的递归调用次数是 的30 斐波那契数列第 项的递归调用次数是2的 项的递归调用次数是 次方（大约10亿次 亿次！） 次方（大约 亿次！） • 可见递归的思想特别符合人们的思维习惯，便 可见递归的思想特别符合人们的思维习惯， 于问题解决和编程实现。 于问题解决和编程实现。但递归的程序设计方 法比较占用系统资源，效率也较低。 法比较占用系统资源，效率也较低。 • 课下请改写 函数，该用非递归方式实现 课下请改写fib函数 函数， long fib(long), 计算斐波那契数列第 项。 计算斐波那契数列第n项
6
1.递归的概念 递归的概念
递归可以分为直接递归和间接递归两种。 递归可以分为直接递归和间接递归两种。 直接递归：函数体里面发生对自己的调用； 直接递归：函数体里面发生对自己的调用； 间接递归：函数A调用函数B 而函数B 间接递归：函数A调用函数B，而函数B又直接或 间接地调用函数A 间接地调用函数A。
3
1.递归的概念 递归的概念
现在换一个角度考虑， ！不仅是1× × × 现在换一个角度考虑，n！不仅是 ×2×3×…×n, 还可以定义成： 还可以定义成： 设 f(n)=n! 1 当n＝0 ＝
n! ＝ 则 f(n) ＝ 1 当n＝0 ＝ n×(n－1)! 当n＞0 × － ＞ n×f (n－1) 当n＞0 ＞ × －
9
[回归阶段]
2.递归过程 递归过程
可见，递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。 可见，递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段 递推 两个阶段 当递推时，并没有求值的计算操作， 当递推时，并没有求值的计算操作，实际的计算操 作是在回归过程实现的。 作是在回归过程实现的。 递推阶段是个不断简化问题的阶段： 递推阶段是个不断简化问题的阶段：把对较复杂问 规模为n） 题（规模为 ）的求解转化为比原问题简单一些的问 规模小于n） 例如对fib(6)的求解转化 题（规模小于 ）的求解 。例如对 的求解转化 的求解， 的求解转化为fib(4)的求 为fib(5)的求解， 对fib(5)的求解转化为 的求解 的求解转化为 的求 直到转化为对fib(0)的求解。 的求解。 解…直到转化为对 的求解 当递推到最简单的不用再简化的问题时，递推终止。 当递推到最简单的不用再简化的问题时，递推终止。 函数中， ＝ 的情况 的情况。 如f函数中，n＝0的情况。 函数中
5
1.递归的概念 递归的概念
次幂。 例2：求x的n次幂。函数 ： 的 次幂
x
n
可定义如下： 可定义如下：
x
n
1 ＝ x *x
n −1
当n＝0 ＝ 当n＞0 ＞
float power(float x，int n) ， { if(n==0) return 1; else return x*power(x, n-1); }