函数与递归-程序结构和递归
递归函数的程序结构
递归函数的程序结构一、引言递归函数是一种非常重要的算法工具，它在许多编程问题中发挥着关键作用。
递归函数能够将复杂问题分解为更小的子问题，并逐个解决，最终完成整个问题的求解。
本文将详细介绍递归函数的程序结构，包括其基本概念、特点、实现方式以及在编程中的应用。
二、递归函数的基本概念递归函数是指一个函数直接或间接地调用自身来解决问题的方法。
在编程中，递归函数通常用于处理分治策略，即将一个大问题分解为若干个小问题，每个小问题又可能进一步分解，直到问题规模足够小或得以解决。
递归函数的输入参数可以是常数或变量，而输出则是解决问题的结果。
三、递归函数的特点1. 分治思想：递归函数利用分治策略将大问题分解为更小的子问题，通过逐个解决子问题来求解原问题。
2. 自我调用：递归函数的核心在于自我调用，即函数自身调用自身来处理更小的子问题。
3. 边界条件：递归函数的边界条件是指当问题规模足够小时停止递归，通常表示问题已得到完全解决。
4. 递归树：在递归过程中，函数调用顺序形成了一棵递归树，可以帮助我们理解问题的分解过程。
四、递归函数的实现方式1. 显式递归：在代码中明确写出递归调用的语句，适用于简单的问题。
2. 隐式递归：通过返回值或中间结果来实现递归，适用于复杂的问题。
3. 尾递归优化：在某些情况下，可以将递归转化为列表或其他数据结构的遍历，以减少内存占用和提高效率。
五、递归函数的应用递归函数在编程中应用广泛，例如排序算法（如快速排序、堆排序）、分治算法（如动态规划）、搜索算法（如二分搜索）等。
通过使用递归函数，我们可以将复杂问题分解为更小的子问题，逐个解决，最终得到问题的解。
此外，递归函数还可以用于处理树形结构、表达式求值、图遍历等问题。
六、程序示例以下是一个简单的递归函数示例，用于计算一个整数的阶乘：```pythondef factorial(n):if n == 0: # 边界条件return 1else:return n * factorial(n-1) # 自我调用```七、总结递归函数是一种非常重要的算法工具，它能够将复杂问题分解为更小的子问题，并通过逐个解决子问题来求解原问题。
计算机算法递归
计算机算法递归计算机算法是计算机科学和数学中的一种技巧，用来解决计算问题。
它是一种有序的步骤集合，每个步骤都受到严格的限制。
计算机算法是一种计算机程序，它能够解决某个具体问题或提供某种服务。
而递归则是计算机算法中的一种常见的技巧。
递归是什么？递归是指一个函数调用自身的行为。
在计算机领域中，递归常用于解决一些需要多层关联的问题，如树形结构和图形结构问题。
递归可以使得代码更加简单、易于理解，但它也可能会带来效率问题。
递归函数的基本结构递归函数通常有两个部分：一个递归部分和一个终止条件。
递归部分是指调用函数本身，而终止条件是指在某个条件下停止递归。
递归函数的基本结构如下：```def recursion_function(parameters):if exit from condition satisfied:return some valueelse:recursion_function(modified parameters)```递归函数的例子下面是一个简单的递归算法，用于计算一个数字的阶乘：```def factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```在这个例子中，递归函数计算 n 的阶乘，如果 n == 1，就返回1，否则就返回 n * 执行 factorial(n-1) 的结果。
这里递归部分就是调用 factorial 函数本身，而终止条件就是 n == 1 时返回 1。
递归的优点和缺点递归的优点是可以使代码更加简单易懂。
某些情况下，使用递归可以大大降低代码量，从而避免编写大量的循环语句。
递归还可以简化一些问题的处理，如图形结构和树形结构问题。
然而，递归也有其缺点。
首先，在不断地调用函数时，系统需要维护大量的调用栈，这样会消耗大量的系统资源，可能会导致程序崩溃。
其次，在某些情况下，使用递归会带来效率问题，因为同一个问题可能会被重复计算多次，从而导致程序运行缓慢。
python课件第五章Python的函数：函数的递归及应用
教学内容
5.5 函数的递归
5.7 内置函数
教学要求
掌握：函数的嵌套与递归。 熟悉：函数的概念、函数化编程的思想。 了解：内置函数的使用。
5.5 函数的递归
函数定义中调用函数自身的方式形成递归。
例5-4 求第n项的阶乘
阶乘一般定义：n！=n(n-1)(n-2)……(1)
2022/2/3
17
5.7 Python内置函数
2022/2/3
18
5.7 Python内置函数
2022/2/3
19
5.7 Python内置函数
2022/2/3
20
小结
掌握：函数的定义和使用；函数的参数和 函数的返回值；函数的嵌套。
熟悉：函数的递归。 了解：内置函数的使用。
课堂小测
单选题 1分
n！=
n(n-1)! (n>0)
2022/2/3
5
5.5 函数的递归
例5-4 求第n项的阶乘
2022/2/3
6
ห้องสมุดไป่ตู้
5.5 函数的递归
执 行 过 程
2022/2/3
7
多选题 1分
下列是递归程序特点的是()。
A 书写简单 B 一定要有基例 C 执行效率高 D 思路简单,但不宜理解
提交
5.5 函数的递归
例5-5 科赫曲线的绘制
2022/2/3
9
5.5 函数的递归
例5-5 科赫曲线的绘制——实验七（见实验课件）
2022/2/3
10
课后思考：汉诺塔问题
问题IPO 输入：汉诺塔的层数 处理：实现一个汉诺塔圆盘的移动，采用递归实现将所有圆盘从A移 动到C。 输出：整个移动流程
编程语言中的递归方法解析
编程语言中的递归方法解析在计算机编程中，递归是一种重要的方法，它允许程序通过调用自身来解决问题。
递归在算法设计和实现中起着重要的作用，它能够简化问题的解决过程，提高代码的可读性和可维护性。
本文将深入探讨编程语言中的递归方法，探索其原理、应用和一些常见的注意事项。
一、递归的原理递归是一种自我调用的方法，它将问题划分为更小的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。
递归方法通常包含两个部分：基本情况和递归情况。
基本情况是指问题的最小规模，它通常是递归方法的终止条件。
递归情况是指将问题分解为更小规模的子问题，并通过递归调用解决这些子问题。
递归方法的实现通常使用函数或过程的形式。
在函数式编程语言中，递归方法是一种常见的编程范式。
例如，在Lisp和Scheme等语言中，递归是一种基本的控制结构，用于解决各种问题。
二、递归方法的应用递归方法在许多领域中都有广泛的应用。
其中一个常见的应用是计算数列中的斐波那契数列。
斐波那契数列是一个无限序列，其中每个数字都是前两个数字的和。
通过递归方法可以轻松地计算斐波那契数列的第n个数字。
另一个常见的应用是树的遍历。
树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成。
通过递归方法可以遍历树的所有节点，从而实现对树的操作和分析。
递归方法还可以用于解决复杂的数学问题，如计算阶乘、排列组合等。
通过递归方法，可以将这些问题简化为更小规模的子问题，从而提高解决问题的效率。
三、递归方法的注意事项尽管递归方法具有许多优点，但在使用时也需要注意一些问题。
首先，递归方法可能会导致堆栈溢出。
每次递归调用都会将一些信息存储在堆栈中，如果递归调用的层数过多，堆栈可能会超出其容量，导致程序崩溃。
因此，在使用递归方法时，需要确保递归的深度不会过大，或者使用尾递归等优化方法来减少堆栈的使用。
另一个需要注意的问题是递归方法的性能。
由于递归方法涉及多次函数调用和堆栈操作，它可能比迭代方法更慢。
在某些情况下，可以使用迭代方法或其他更高效的算法来替代递归方法。
C语言递归函数递归的原理和应用场景
C语言递归函数递归的原理和应用场景递归函数是指在函数的定义中调用函数本身的一种方式。
通过递归函数，可以实现对问题的逐级拆分与求解，便于理解和编码。
本文将介绍C语言递归函数的原理和一些常见的应用场景。
一、递归函数的原理递归函数的原理基于分治法，将原问题不断分解为更小规模的子问题，直到满足某个递归终止条件，然后通过逐级返回求解出整个问题。
递归函数通常具有以下结构：1. 基线条件（递归终止条件）：判断是否满足递归的结束条件，当满足条件时，递归不再继续，直接返回结果。
2. 递归条件：由于递归是调用函数本身，需要满足某个条件时才执行递归调用，将问题规模缩小一步，继续求解更小规模的子问题。
3. 递归调用：在函数体内部直接调用函数本身，将问题规模不断缩小，直到满足基线条件。
二、递归函数的应用场景1. 阶乘计算：阶乘是指对于非负整数n，将其与前面所有的正整数相乘。
使用递归函数可以轻松实现阶乘的计算。
例如，计算n的阶乘可以通过函数调用factorial(n)来实现，其中factorial(n)表示计算n的阶乘。
```c#include <stdio.h>int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return 1; // 基线条件} else {return n * factorial(n - 1); // 递归调用}}int main() {int n = 5;int result = factorial(n);printf("%d的阶乘为：%d\n", n, result);return 0;}```2. 斐波那契数列：斐波那契数列是指前两个数为1，之后的每个数都是前两个数之和。
递归函数可以简洁地实现斐波那契数列的计算。
例如，计算斐波那契数列的第n个数可以通过函数调用fibonacci(n)来实现，其中fibonacci(n)表示计算第n个斐波那契数。
python 函数递归
python 函数递归Python函数递归在Python中，函数递归是一种常见的编程技巧。
递归是指函数调用自身的过程，它可以解决一些复杂问题，也可以使代码更加简洁。
本文将介绍Python函数递归的基本概念、实现方法以及注意事项。
1. 什么是函数递归？函数递归是指函数在执行过程中调用自身的过程。
在递归过程中，函数会不断地调用自身，直到满足某个条件才停止。
递归函数通常包含两部分：基本情况和递归情况。
基本情况是指递归过程中满足某个条件时，函数不再调用自身，而是返回一个结果。
递归情况是指函数在递归过程中继续调用自身，直到满足基本情况。
2. 如何实现函数递归？实现函数递归的关键是要理解递归的基本原理。
在Python中，我们可以通过以下方式实现递归函数：def recursive_function(parameters):if base_case(parameters): # 基本情况return base_case_valueelse: # 递归情况new_parameters = modify_parameters(parameters)return recursive_function(new_parameters)在递归函数中，我们首先判断当前参数是否满足基本情况，如果满足则返回基本情况的结果，否则继续调用递归函数，直到满足基本情况为止。
需要注意的是，在函数递归的过程中，每次调用函数都会在内存中创建一个新的函数栈，如果递归深度过大，可能会导致栈溢出的问题。
3. 函数递归的应用函数递归在编程中有很多应用。
以下是一些常见的应用：(1) 阶乘函数阶乘函数是指n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
可以使用递归函数来实现阶乘的计算：def factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)(2) 斐波那契数列斐波那契数列是指第n个数等于前两个数的和，即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
C语言的函数与递归
C语言的函数与递归引言函数和递归是C语言中非常重要的概念，它们为程序的模块化和重复利用提供了强大的工具。
函数可以将一些功能代码封装起来，使得代码更加有组织、易于维护。
而递归则可以在某些情况下解决问题更加简洁高效。
本文将介绍C语言中的函数和递归的概念，并通过示例代码详细说明其用法和注意事项。
函数什么是函数函数是一段具有特定功能的代码块，它可以被调用并执行。
函数可以接受参数，也可以返回结果。
C语言中的函数具有以下几个特点： - 函数由函数头和函数体组成，函数头包含函数的返回类型、函数名和参数列表。
- 函数可以有多个参数，参数可以是基本数据类型、指针、数组等。
- 函数可以有返回值，返回值的类型与函数头中的返回类型相匹配。
- 函数可以被多次调用，提供了代码的重复利用性。
函数的定义和调用定义函数的语法如下所示：返回类型函数名(参数列表) {// 函数体}调用函数的语法如下所示：函数名(参数列表);下面是一个简单的示例：#include <stdio.h>// 定义一个add函数，接受两个整数作为参数，返回它们的和int add(int a, int b) {return a + b;}int main() {int result = add(1, 2); // 调用add函数计算1+2printf("1 + 2 = %d\n", result); // 输出结果3return0;}在上面的示例中，我们定义了一个add函数，它接受两个整数作为参数，并返回它们的和。
在主函数中，我们调用了add函数，并将结果赋值给result变量，最后输出结果。
函数的参数传递方式C语言中函数的参数传递方式有两种：值传递和地址传递。
值传递值传递是指将参数的值复制一份给函数，在函数内部对该参数的修改不会影响到原始变量。
下面是一个示例：#include <stdio.h>void changeValue(int a) {a = 10;}int main() {int num = 5;printf("Before change: %d\n", num); // 输出结果5changeValue(num); // 调用函数changeValueprintf("After change: %d\n", num); // 输出结果依然是5return0;}在上面的示例中，我们定义了一个changeValue函数，它接受一个整数作为参数，并将该参数的值修改为10。
什么是递归
什么是递归？递归（Recursion）是一种编程技术，其中一个函数调用自身来解决问题。
递归是通过将问题分解成更小的子问题来解决复杂问题的一种方法。
这种自我调用的过程在每次调用中都会处理一个更小的问题，直到达到基本情况（终止条件），然后逐步返回结果，最终解决整个问题。
递归的核心思想是将复杂问题分解成更小规模的相同问题。
每次递归调用都会将问题的规模减小，直到问题达到一定的规模，可以直接解决。
这个基本情况通常是一个简单且不再需要递归的情况。
递归的实现通常包括以下几个要素：1. 基本情况：基本情况是递归调用的终止条件。
当问题的规模减小到一定程度，可以直接解决时，递归将停止。
在基本情况下，函数通常直接返回结果而不再进行递归调用。
2. 递归调用：递归函数在解决问题的过程中会调用自身来处理更小规模的子问题。
递归函数通过传递问题的子集或更小的输入来减小问题的规模。
递归调用将重复进行，直到达到基本情况。
3. 问题的规模减小：递归函数通过每次调用将问题的规模减小来逐步解决问题。
这通常涉及到在每次递归调用中使用不同的输入或参数。
问题的规模必须在每次递归调用中减小，否则递归将无法终止，导致无限循环（无穷递归）。
递归的一个典型示例是计算阶乘。
阶乘是指从1到某个正整数之间所有整数的乘积。
使用递归，我们可以将阶乘问题分解为更小的子问题，直到达到基本情况。
例如，计算5的阶乘（5!）可以使用递归的方式来实现：```factorial(n):if n == 0: // 基本情况return 1else:return n * factorial(n-1) // 递归调用```在上面的示例中，当n等于0时，递归调用将停止，返回1作为结果。
否则，函数将n与n-1的阶乘相乘，并继续递归调用，直到达到基本情况。
递归函数需要小心处理，确保递归调用能够终止，并且问题的规模在每次递归调用中减小。
否则，递归可能会导致堆栈溢出或无限循环的问题。
递归在许多算法和数据结构问题中都有应用，例如树的遍历、图的搜索、排序算法等。
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基本思想：把字符串看做递归对象
6.7.3示例程序：字符串反转
将字符串分割成首字符和剩余子字符串
反转了剩余部分后把首字符放到末尾，整个字符 串反转就完成了
字符串反转算法(常犯错误版) ：
6.7.3示例程序：字符串反转
此算法运行结果出错 ：
………
6.7.3示例程序：字符串反转
构造递归函数，需要基例
中途的递归链暂时存储，并在函数返回时使用。
6.7.2递归函数
5!的递归调用过程图
6.7.3示例程序：字符串反转
Python列表有反转的内置方法 Nhomakorabea 方法 1 ：字符串转换为字符列表，反转列表，列表 转换回字符串 方法2：递归
6.7.3示例程序：字符串反转
此问题的IPO模式：
输入：字符串 处理：用递归的方法反转字符串 输出：反转后的字符串
6.7.1 递归的定义
阶乘的递归定义：
n0 1 n! n(n 1)!otherwise
0的阶乘：定义为1
其他数字：定义为这个数字乘以比 这个数字小1的数的阶乘
6.7.1 递归的定义
递归不是循环
最后计算基例：0!。0!是已知值 递归定义特征 ：
有一个或多个基例是不需要再次递归的；
所有的递归链都要以一个基例结尾。
6.7.2递归函数
通过一个累计器循环计算阶乘
阶乘的递归定义函数 ：
6.7.2递归函数
运行递归函数fact()计算阶乘：
6.7.2递归函数
递归每次调用都会引起新函数的开始
递归有本地值的副本，包括该值的参数 阶乘递归函数中：每次函数调用中的相关 n 值在
6.6 函数和程序结构
完整程序可以写为。
6.6 函数和程序结构
整个程序可读性很强。使用函数的思想编写程序，
可以大大增加程序的模块化程度
程序运行结果为：
6.7.1 递归的定义
递归：函数定义中使用函数自身的方法
经典例子：阶乘
n! n(n 1)(n 2)...(1)
举例：5！=5(4)(3)(2)(1) =5 * 4！ 推广： n!=n(n-1)!
函数和递归
礼 欣
北京理工大学
6.6 函数和程序结构
函数可以简化程序，函数可以使程序模块化
用函数将较长的程序分割成短小的程序段，可以
方便理解
程序例子：
6.6 函数和程序结构
将部分功能从程序中移出作为独立函数
星号绘制函数
6.6 函数和程序结构
星号数量计算函数
整体控制函数
基例不进行递归，否则递归就会无限循环执行 Python 在900余次调用之后，到达默认的“递归
深度的最大值”，终止调用
此递归调用以字符串形式执行，应 设置基例为空串
6.7.3示例程序：字符串反转
正确的字符串反转代码（新版）：
6.7.3示例程序：字符串反转
运行结果：