渐开线圆柱齿轮齿厚测量方法及其计算公式

渐开线直齿圆柱齿轮齿厚测量方法及其计公算式本文意欲回答读者在查阅设计手册时无从知晓而常常提出来的关于几个基本含义的问题：什么是公法线？什么是量柱距？什么是固定弦和分度圆弦？它们的计算公式是怎样推出来的等等。

渐开线圆柱齿轮常用的齿厚测量方法有公法线长度、量柱（或球）距、分度圆弦齿厚、固定弦齿厚四种方法。

后两种方法是测量单个齿，一般用于大型齿轮。

对于精度要求不太高的齿轮也常用分度圆弦测量法。

公法线长度测量在外齿轮上用得最多，内齿轮也可用；大齿轮测量因受量具限制很少用。

量柱距测量主要用于内齿轮和小模数齿轮。

1. 公法线长度测量（1）公法线及其长度计算式对于渐开线齿廓，根据渐开线的性质，其上任意点的法线总是和基圆相切，因此用两个平行的卡爪卡住几个齿时（见图1），两个卡爪接触点A 、B 的连线必定与基圆相切于某一点C ，这条AB 连线就叫公法线，一般用W k 表示；下标k 表示卡住的齿数。

图1中，根据渐开线的性质，A C ＝A C ')；B C ＝B C '⌒；A B ＝A B ''⌒。

A B 是（k-1）个基圆齿距p b和一个基圆齿厚S b 之和，即：(1)(1)cos k b b b W k p S k m S πα=-+=-+……（1-1） 式中，k –跨测齿数；α–压力角（°）； m –模数，mm ；分度圆和基圆上的齿厚具有如下关系：22b bs sinv invo r r α+=+ 由上等式可得：(2tan )22b b b r ms xm r inv r παα=++ 图1 公法线长度的测量计算 =1cos 2sin cos 2m xm zm inv παααα++…………（1-2） 将（1-2）式代入（1-1）式，经整理后可得公法线长度计算式为：cos [(0.5)2tan ]k W m zinv k x ααπα=+-+…………（1-3）式中，z –齿轮的齿数； inv α–渐开线函数；x –变位系数；若模数m=1,（1-3）式变为：cos [(0.5)2tan ]k W zinv k x ααπα=+-+cos [(0.5)2sin zinv k x ααπα=+-]+K k W W **=+∆…………（1-4）（1-4）式中第二行的前一项cos (0.5)k W k ααπ*=+-［zinv ］就是m=1的标准齿轮的公法线长度。

后一项2sin k W x α*∆=为m=1的齿轮变位后公法线长度的附加量。

k W *和k W *∆二项的数据可直接由《机械设计手册》或《齿轮手册》等资料中查取，将其值相加再乘以模数便得到齿轮的公法线长度。

所以，查表计算的公法线长度为：()k k k W W W m **=+∆…………（1-5）对于斜齿轮，公式中的α和x 应为法面值n α和n x ，齿数z 应为假想齿数z '。

其中tninv z z inv αα'=⨯ 式中，t α为端面压力角。

公式（1-3）、（1-4）、（1-5）同样适用于内齿轮，只是其中的k 值代表跨齿槽数而已。

当α=20°时，其公法线长度也可同外齿轮一样直接由《机械设计手册》或《齿轮手册》等资料中查取。

（2）跨测齿数k 的确定跨测齿数选择要适当，多或少均不合适，所以要选择一个合适的齿数。

对于不变位的标准齿轮，公法线千分尺的两个测量平面应相切于分度圆附近。

若正好切于分度圆上A 、B 两点（图2），则公法线长度为：2sin k A B r W α==…………（1-6）这时，A B 间所跨的齿数为：A 1b bB S k p ''-=+⌒……………(1-7)因为A B ''⌒＝A B ＝2rsin α,将该式与（1-2）式(式中x=0)代入(1-7)式，可得：0.5zk απ=+（式中α为弧度）； 将α转换为以度为单位（360°＝2π弧度），则：0.5180zk α=+…………………（1-8）上式计算出的结果四舍五入予以圆整。

图2卡爪与齿轮相切于分度圆当α＝20°，跨测齿数计算式为：0.59zk =+，……………（1-9） 当－0.3≤x ≤+0.3时，跨测齿数k 均可用此式计算。

对于变位齿轮，是假定卡尺在轮齿中部所在的中圆附近接触，可据此推出：22122[(1)cos tan ]0.5cos zx xk inv z z αααπα=+---+当x ＞∣±0.3∣时，可按下计算跨测齿数。

20.5180zxctg k ααπ=++…………………（1-10）20α=时的k 值可查《机械设计手册》中的线图确定（内齿轮的k 值是跨测齿槽数）。

2.量柱距测量（1）量柱（或球）直径d p量柱（或球）测量可以比较自由地选取量柱直径，只要直径合适即可。

合适的含义是： ○1量柱直径要足够大，在齿槽中放上量柱以后，其外表应高出齿顶，以便测量时测头不碰齿顶。

○2量柱应与齿槽两侧的渐开线齿面部分接触，通常选择在轮齿中部。

量柱直径的取值通常用模数m 来表示。

对于内齿轮，量柱直径的适用范围大约为（1.4~1.7）m 。

通常取d p =1.68m ，有时也有取1.65m 的，甚至取到1.44m ，但1.44m 有时会低于齿面，不便测量。

对于外齿轮，量柱直径的适用范围大约为（1.6~1.9）m 。

常取d p =1.92m ，或1.728m 、1.68m 等，大约在啮合节圆附近接触。

（2）量柱距M 的计算计算M 值分偶数齿（双数，齿槽相对）和奇数齿（单数），见图3。

○1首先要计算通过量柱中心的量柱接触点的渐开线压力角Mα（见图4，公式推导从略）.图3 内、外齿轮量柱距测量 图4 量柱接触点压力角m α计算2tan cos 2p M d x inv inv mz zzπαααα=±+……………………………（2-1） 当20α=时，M inv α按下式计算：10.014904(1.06418 1.57080.728)p M d inv x z mα=±+………………（2-2）○2M 值计算： 对于偶数齿： cos cos p Mmz M d αα=±………………………………………（2-3）对于奇数齿： cos 90cos cos p M mz M d zαα=±…………………………………（2-4）公式（2-1）~（2-4）中的±号或号，上面的用于外齿轮，下面的用于内齿轮；x 为变位系数。

○3 M 值的上、下偏差E Ms 和E Mi 的确定 M 值的上、下偏差由齿轮的公法线平均长度上、下偏差 换算得出，其换算公式见表1。

表 1内齿偶数上偏差Ms E sin sin wms wm wmMs M ME E T E αα+||+==公式中：wms E -齿轮的公法线平均长度上偏差轮 齿下偏差Mi E sin sin wmi wm Mi M ME E E αα+||==wmi E -齿轮的公法线平均长度下偏差wm wms wmi T E E =--齿轮的公法线平均长度公差Z -齿轮的齿数Mα-通过量柱中心的量柱接触点的渐开线压力角wm E -齿轮的公法线平均长度最小偏差值，通常按wms E 取值，例如直径为200mm ，模数为8mm 的8级精度直齿轮，其公法线平均长度上、下偏差代号为FH,对应的偏差值为-128μm 和 -256μm,则wm E 取值为-128μm 。

奇数齿上偏差Ms E 9090cos cos sin sin wms wm wm Ms M M E E T E Z Zαα︒︒+||+==下偏差Mi E 9090cos cos sin sin wmi wm Mi M M E E E Z Z αα+||︒︒==外齿轮偶数齿上偏差Ms E sin sin wms wm Ms M M E E E αα-||==下偏差Mi E sin sin wmi wm wmMi M ME E T E αα-||-==○4内、外齿轮M 值及其上、下偏差的标注形式为EmsEmi M 。

3.弦齿厚测量弦齿厚测量多用于大模数齿轮，测单个齿。

通过以齿顶圆为基准，测量一定高度上的齿厚来控制齿轮的尺寸。

常用的有测量分度圆弦齿厚（图5）和固定弦齿厚（图6）两种方法。

这两种方法都要以齿顶圆为基准，因此齿顶圆尺寸精度要求高(6~8精度齿轮为IT8)。

测量分度圆弦齿厚，当变位系数较大时不方便，有的可能不能测量。

对于斜齿轮，还要换算成当量齿数，也不方便。

此外，其测量精度也不高。

固定弦测量计算比较简单，但也有测量精度不高，模数小时测量不方便的缺点。

图5 分度圆弦齿厚测量 图6 固定弦齿厚测量（1）分度圆弦齿厚测量：分度圆弦齿厚的计算与测量内、外齿轮有别，外齿轮应用较多。

其测量尺寸的计算公式根据图5所示几何关系推出。

计算测量尺寸的公式列于表 2中。

表2分度圆弦齿厚测量计算公式名 称直 齿 轮外齿轮标准齿轮 弦齿厚2sinsin2s r mz mzφπ==（见图5）； 式中，m —模数，z —齿数弦齿高11(1cos )[(1cos )]2222a a h h m mz m h z z zππ**=+-=+-； 式中，a h *—齿顶高系数变位齿轮弦齿厚 2tan sin()2x s mz zzπα=+； 式中，x —变位系数；α—压力角（°）； 弦齿高 12tan [1cos()]22a x h h m mz z zπα*=+-+内齿轮标准齿轮 弦齿厚2sins mz mz π=2弦齿高21(1cos )22a h h mz h z π=--+∆222； 式中，22(1cos );2a a d h δ∆=-22222a a inv inv z πδαα=-+；2a d —齿顶圆直径；2a α—齿顶圆压力角，22arccos(/)a b a d d α=，其中，2cos cos b d d mz αα==—基圆直径。

变位齿轮弦齿厚22222tan sin()2x s mz z z απ=-；弦齿高2222222tan 1[1cos()];22a x h h mz h z z απ=---+∆ 式中，2a h —内齿轮齿顶高；222(1cos );2a a d h δ∆=-而2222tan 2a a x inv inv zz παδαα=--+ 为使用方便，通常将各种齿数20α=，m=1, 1a h *=的非变位标准直齿圆柱外齿轮的分度圆弦齿厚和弦齿高制成参数表，使用时按外齿轮的实际齿数查取相应数值再分别乘以模数数值即得所需数值。

（2）固定弦齿厚测量：以外齿轮为例，所谓固定弦就是将产形齿条的齿槽跨在齿轮的齿上，齿条与轮齿的切点A 和B 之间的距离即是固定弦c s 。