高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关文北师大版
2025版高考数学全程一轮复习第八章解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系课件
_____________________．
b
a
解 析 ： 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线 与 C 没 有 公 共 点 ， 所 以 可 令 ≤2 ， 则 e ＝
1+
b 2
a
≤ 1 + 4＝ 5.又因为e>1，所以1<e≤ 5.
a
将上述两式相减可得：
12
22
－ 2 ＝1， 2
b
a
x1 −x2 x1 +x2
y1 −y2 y1 +y2
＝
，
a2
b2
4 x1 −x2
2 y1 −y2
b2
y1 −y2 y1 +y2
即
＝
，也即
＝
a2
b2
a2
x1 −x2 x1 +x2
2
2 +b2
2
c
a
b
所以e2＝ 2＝ 2 ＝1＋ 2 ＝3，即e＝ 3.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆C上，所以൝ 2
92 + 1622 = 144，
两个方程相减得9(12 − 22 )＋16(12 − 22 )＝0，
即9(x1－x2)(x1＋x2)＝－16(y1－y2)(y1＋y2)，
因为线段AB的中点为M(－2，1)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
且AB的中点横坐标为2，则k的值为________．
2
解析：∵直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x相交于不同的两点A，B，∴k≠0，
y = kx − 2，
由ቊ 2
可得k2x2－4kx－8x＋4＝0，
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_8直线与圆锥曲线的位置关系课件文新人教A版
[基础梳理] 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx ＋c＝0.
2.弦长公式 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 |AB| ＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 或 |AB| ＝ 1＋k12 ·|y1 － y2| ＝
－
y2 6
＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O
为坐标原点，F1为左焦点．
①求|AB|；
②求△AOB的面积．
[解析]
(1)由题意知，椭圆
x2 12
＋
y2 3
＝1的右焦点为F(3,0)．设直线AB的方程为x＝ty
＋3，代入椭圆方程1x22 ＋y32＝1中得(t2＋4)y2＋6ty－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
解得－ 315<k<－1. [答案] (1)B (2)D
名师点拨 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不 同的为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的 一元二次方程． 即AFxx＋，Byy＋＝C0，＝0， 消去y得ax2＋bx＋c＝0.
2．直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切． (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切． (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
3．直线与抛物线位置关系的有关结论 (1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条 与对称轴平行或重合的直线． (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条 与对称轴平行或重合的直线． (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平 行或重合的直线．
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.8.1 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文 北师大版
(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0。( × )
【答案】 B
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦 点为 F1(－1,0)，且点 P(0,1)在 C1 上。
①求椭圆 C1 的方程； ②设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l 的方程。
【解】 ①根据椭圆的左焦点为 F1(－1,0)，知 a2－b2＝1，又根据点 P(0,1)在椭圆 C1 上，知 b＝1，所以 a＝ 2，所以椭圆 C1 的方程为x22＋y2＝1。
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔ 直线与圆锥曲线C__相__交___；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C__相__切___； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C__相__离___。 (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相 交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的 位置关系是__平__行___；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系 是__平__行__或__重__合___。
解析 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆 上。则m≥1，且m≠5。
5．过椭圆x52＋y42＝1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 5
两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为____3____。
第8章平面解析几何第8节 直线和圆锥曲线的位置关系课件 高考数学一轮复习
程为 y＝± 2x，故 A 错误；对于 B，由ac22＝3 可得 e＝ 3，故 B 正确；对 于 C，点 A 到两渐近线距离的乘积 d1d2＝|bxA－ ayaA2|＋·|bbx2A＋2 ayA|＝ac2b2 2＝b32，
故 C 正确；对于 D，kOA＝－2ba＝－ 22，kAB＝ba＝ 2，kOA·kAB＝－1，故
线 l 距离的最大值和最小值就是直线 l：y＝x＋3 5分别与两条平行线 x－y
± 5＝0 之间的距离，故最小值是|3
5－ 2
5|＝
10，最大值是|3
5＋ 2
5|＝Leabharlann 2 10.【答案】 2 10 10
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思考1►►► 如何处理直线与圆锥曲线的位置关系？
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1. 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为直线方程与圆锥 曲线方程组成的方程组解的个数．步骤如下：
1－k2≠0， k<0， Δ＝16k2－41－k2×－10＞0， 则x1＋x2＝1－4kk2＞0， x1x2＝1－－1k02＞0，
解得－ 315＜k＜－1，故实数 k
的取值范围是－ 315，－1.
【答案】
－
315，－1
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3 已知椭圆x42＋y2＝1，直线 l：y＝x＋3 5，则椭圆 C 上的点到 直线 l 距离的最大值为________，最小值为________.
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题组二 弦长问题 2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆ax22＋by22＝ 1(a＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直 的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，AB＝4. (1) 求椭圆的方程；
(2) 若 AB＋CD＝478，求直线 AB 的方程．
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课件理01.ppt
解 由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP| ＋|AB|＝4>|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4 的椭圆(挖去与x轴的交点)．
设曲线M：ax22＋by22＝1(a>b>0，y≠0)，
则a2＝4，b2＝a2－|A2B|2＝3， 所以曲线M：x42＋y32＝1(y≠0)为所求．
触类旁通 代入法求轨迹方程的4个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)． (2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关 系． (3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′. (4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
【变式训练2】 [2017·济南模拟]已知圆C方程为：x2＋
(2)由椭圆C2：x92＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)， 由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为y＝x0y＋0 3(x＋3)，① 直线A2B的方程为y＝x－ 0－y03(x－3)，②
由①②得y2＝x－ 20－y209(x2－9)．③ 又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y02＝1－x902.④ 将④代入③，得x92－y2＝1(x<－3，y<0)． 因此点M的轨迹方程为x92－y2＝1(x<－3，y<0)．
第8章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x， y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲 __线 __的 __方 __程 __；这条曲线叫做方程 的曲线．
高三理科数学一轮复习 第八章 解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系课件
B.2
C.3
D.4
2.C
【解析】由题意知直线 AB 的方程为 y=
3
������-
������ 2
, 即为������ =
������ 3
+
������ 2
,
代入抛物线方程整理得
3������2 −
2������������ −
3������2 = 0, 解得������������ =
3������, ������������
7
8
9
10
11
直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法以及注意点 (1)判定方法:一般是代数法,即将直线方程代入圆锥曲线方程,消去一个变量得到关于另一个变量的方程,进 而判定该方程解的个数,方程组有几组解,直线与圆锥曲线就有几个交点.
(2)注意点:①联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况; ②判别式的作用是限定所给参数的范围,以此为依据确定哪些根是增根,从而判断取舍.
典例1 (2015·四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段
AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是 ( )
A.(1,3) B.(1,4)
C.(2,3)
D.(2,4)
【解题思路】由抛物线与圆的对称性知,满足条件的直线如图所示,其中 两条是与x轴垂直的直线l1,l2,另两条直线为图中的l3,l4.当存在l1,l2使其满 足条件时,则有0<r<5.当存在l3,l4使其满足条件时,设其方程为 y=kx+m(k≠0),代入y2=4x,得k2x2+(2km-4)x+m2=0,则Δ=(2km-4)2-4k2m2>0,所 以km<1 ①.设A(x1,y1),B(x2,y2),
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关文北师大版
第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a ＞2，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＞1＋4＝ 5.3．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( ) A ．6 B ．2 6 C. 3 D ．2 3解析：选D.设双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意可知抛物线C 2的焦点为(3，0)，准线方程为x ＝－3，即双曲线中c ＝3，a 2＋b 2＝9，将x ＝－3代入双曲线方程，解得y＝±b a 9－a 2，又抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，所以2×b a 9－a 2＝43，与a 2＋b 2＝9联立得，a 2＋23a －9＝0，解得a ＝3，故双曲线C 1的实轴长为23，故选D.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.5．(2016·太原模拟)已知中心为原点，一个焦点为F (0，52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y 225＝1B.x 275＋y 225＝1C.x 225＋y 275＝1D.2x 225＋2y 275＝1解析：选C.由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2， y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12（a 2－50）10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12（a 2－50）10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1，故选C.6．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB →(λ＞1)，则λ的值为( ) A ．5 B ．4 C.43 D.52解析：选B.根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.7．(2016·宜宾模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝|PF 2|，所以2c ＝b 2a，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2＋2ac－a 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2，又0<e <1，所以e ＝2－1.答案：2－18．(2016·辽宁省大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝53， x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.答案：5539．(2014·高考江西卷)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以－b 2a 2＝－12，所以a 2＝2b 2.又因为b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，所以a 2＝2c 2，所以c a ＝22.答案：2210．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则满足条件的l 的条数为________．解析：因为a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，所以F (3，0)，若A ，B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将x ＝3代入x 24－y 25＝1得y ＝±52，所以|AB |＝5，满足题意；若A ，B 分别在两支上，因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4<5，所以满足|AB |＝5的直线有2条，且关于x 轴对称．综上，一共有3条． 答案：311．(2016·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2.因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4， 当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，3x 2＋4y 2＝12⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0， 由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4， 设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)．因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎪⎫－4，134.综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134.1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：选A.由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以 F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以 MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为 MF 1→·MF 2→＜0，所以 (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A.2．(2016·衡水调研)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227.求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由题意知c ＝1，2a ＝32＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ＞0成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k2.可得|AB |＝12（k 2＋1）3＋4k2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k2， 所以△AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227， 化简得17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，所以r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.3．(2015·高考湖南卷)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为 (0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ， 得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文
±
6，32，所以49a2＋b62＝1.②
联立①，②得a2＝9，b2＝8.
故C2的方程为y92＋x82＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因A→C与B→D同向，且|AC|＝|BD|， 所以A→C＝B→D，从而x3－x1＝x4－x2，
即x1－x2＝x3－x4， 于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1. 由yx＝2＝k4xy＋1， 得x2－4kx－4＝0. 而x1，x2是这个方程的两根， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
直线与圆锥曲线的位置关系
（重点得分型——师生共研）
【调研1】 (2015·湖南卷)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F
也是椭圆C2：
y2 a2
＋
x2 b2
＝1(a>b>0)的一个焦点．C1与C2的公共弦
的长为2 6 .过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于 C，D两点，且A→C与B→D同向．
第八章
平面解析几何
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
考纲下载 1．掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系． 2．了解圆锥曲线的简单应用.
请注意 圆锥曲线的热点内容涉及直线与圆锥曲线的位置关 系、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等.考查的 知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力.同时着重考 查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分 度较大的题目.高考在各种题型中都涉及，而且常作为压轴 题出现，以考查学生综合运用知识解决问题的能力.
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第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且
平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．
2．已知双曲线x2a2－y2b2
＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a ＞2，所以e ＝c
a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫b a 2
＞1＋4＝5.
3．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( )
A ．6
B ．26 C.3
D ．23 解析：选D.设双曲线C 1的方程为x2a2－y2
b2
＝1(a >0，b >0)．由题意可知抛物线C 2的焦点为(3，
0)，准线方程为x ＝－3，即双曲线中c ＝3，a 2＋b 2
＝9，将x ＝－3代入双曲线方程，解得y
＝±b a 9－a2，又抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，所以2×b a 9－a2＝43，
与a 2＋b 2＝9联立得，a 2
＋23a －9＝0，解得a ＝3，故双曲线C 1的实轴长为23，故选D.
4．经过椭圆x22
＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐
标原点，则OA →·OB →
等于( ) A ．－3
B ．－1
3 C ．－1
3
或－3
D ．±13 解析：选B.依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，
即y ＝x －1，代入椭圆方程x22＋y 2＝1并整理得3x 2
－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43
，所以两个交
点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →
＝－13
.
5．(2016·太原模拟)已知中心为原点，一个焦点为F (0，52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所
得弦中点的横坐标为1
2
，则该椭圆方程为( )
A.2x275＋2y2
25＝1
B.x275＋y225＝1
C.x225＋y2
75
＝1
D.2x225＋2y275＝1
解析：选C.由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x2a2－50＋y2
a2
＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x2a2－50＋y2a2
＝1，y ＝3x －2，
消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2
－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆
的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2， y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12（a2－50）
10a2－450
，由题意
知x 1＋x 2＝1，即12（a2－50）10a2－450＝1，解得a 2
＝75，所以该椭圆方程为y275＋x225
＝1，故选C.
6．过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43
的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB →(λ
＞1)，则λ的值为( )
A ．5
B ．4 C.4
3
D.
52 解析：选B.根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x1，－y1＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x2－p 2，y2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y1y2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元
得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2
，（y1＋y2）2y1·y2＝y1y2＋y2y1＋2＝－94
，即－λ－
1λ＋2＝－94
.又λ＞1，故λ＝4.
7．(2016·宜宾模拟)已知椭圆x2a2＋y2
b2
＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴
的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
解析：由题意得|PF 2|＝b2a ，又|F 1F 2|＝|PF 2|，所以2c ＝b2a ，因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2
＋2ac －
a 2＝0，所以e 2
＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2，又0<e <1，所以e ＝2－1.
答案：2－1
8．(2016·辽宁省大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y2
4
＝1的右焦点F 1，与椭
圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．
由方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝2（x －1），
x25＋y2
4
＝1，消去y ，整理得3x 2
－5x ＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得
x 1＋x 2＝5
3
， x 1x 2＝0.
则|AB |＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝55
3
.
答案：
55
3
9．(2014·高考江西卷)过点M (1，1)作斜率为－1
2的直线与椭圆C ：x2a2＋y2b2
＝1(a ＞b ＞0)相交
于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．。