圆周角与圆心角：【角的灵活转化】

练习：
1 已知：如图，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．求证：DF2=HF·GF．
、
2．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．
3．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．
2 如图7-28，以等腰△ABC的边AB为直径的半圆，分别交AC、BC于点D、E,若AB=10, ∠OAE=30O,则DE=______。
3 在锐角△ABC中，∠A=50O,若点O为外心，则∠BOC=_____;若点I为内心，则∠BIC=______；若点H为垂心，则∠BHC=________.
4 若△ABC内接于⊙O，∠A=nO,则∠BOC=_______.
4．已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．
5已知：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．
（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．
综合：
1已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．
（1）求 的度数；（2）求CE的长；（3）求证：DA、DC的长是方程 的两个实数根。
弧与角的转化：弧到角
例题讲解：1一条弦把圆分成 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为。
2、如图， ， 上的一点，则 。
练习：1．圆周角是24°，则它所对的弧是________
2 在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是________
角到弧，弧到角（圆内角的转化）
例图7-24，（1）∠ =_______；（2）∠ =_______。
5如图7-29，已知AB和CD是⊙O相交的两条直径，连AD、CB，那么 和 的关系是（ ）
(A) = (B) > (C) < (D) =2
6 如图7-30，在⊙O中，弦AC、BD交于点E，且 ，若∠BEC=130O,则ห้องสมุดไป่ตู้ACD的度数为___________
几种常见图形：换角
平行线 内接四边形 等腰 弧中点
4.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1)P是 上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.
5、⊙O中，AB是直径，AC是弦，点B在AC上，且OD＝５，∠ADO和 的度数都等于60°，求CD和BD的长。
6、在△ABC中，∠BAC与∠ABC角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连结BD、CD、CE，且∠BDA＝60°，
（1）求证：△BDE是等边三角形；
（2）若∠BDC＝120°，猜想BDCE是怎样的四边形？并证明你的猜想。
7、如图7-43，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．
11、如图， 为 的直径， 交 于点 ， 交 于点 ．（1）求 的度数；（2）求证： ．
几何证明：三角形形似的换角；换边
例．如图，已知△ABC内接于半径为R的⊙O，A为锐角．求证： =2R
例已知：如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC的外接圆于E，连接BE．求证：BE=DE．
7 如图， 内接于⊙OAD是⊙O的直径， ，则 ______.
复杂图形边角关系及求值：主要弄清变的关系最好用X体现数量；角与角之间的等量互余关系
常用方法：三角形相似，角RT三角形。同时注意问题的转化
计算求值：
例：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．（三角形形似）
（1）求证：AC⊥BE；（2）求AB的长．
2如图，已知P是 直径AB延长线上的一点，直线PCD交 于C、D两点，弦 于点H，CF交AB于点E。
（1）求证： ；。
的半径为2,求弦CF的长。
3 如图， 为锐角，且关于 的方程 有两个相等的实数根，D是劣弧 上任意一点，(点D不与点A、C重合)，DE平分 ，交AC于F。
例设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长
1.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.
2.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.
3.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.
8、如图7-44，AB为⊙O的直径，弦AC=3cm，BC=4cm，CD⊥AB，垂足为D．求AD、BD和CD的长．
9．以△ABC的BC边为直径的半圆，交AB于D，交AC于E，EF⊥BC于F，AB=8cm，AE=2cm，BF∶FC=5∶1（如图）．求CE的长．
10．如图，在⊙O中，BC，DF为直径，A，E为⊙O上的点，AB=AC，EF= DF．求∠ABD+∠CBE的值
4.如图4,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等 的角有________对相似三角形________
5、AD是⊙O直径，∠A=240，∠CBD=250，求∠E
6.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是____________
1 2
1.如图1,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.
2.已知,如图2,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
3.如图3,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
例如图7-25，在△ABC中，∠C是直角，∠A=32O18 ，以点C为圆心、BC为半径作圆，交AB于点D,交AC于点E,则 的度数是______。
例7-26，点O是△ABC的外心，已知∠ACB=100O,则劣弧 所对的∠AOB=______度。
练训练：
1图7-27，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E, ∠ACD=60O, ∠ADC=50O,则∠AEC=______度。
圆周角与圆心角：【角的灵活转化】
圆中角的灵活：通常为弧到角，及RT三角形，等腰三角形，圆内接四边形综合角的转化
做好几何的问题一定找清：角的关系；变的关系
基本图形：
重要结论：1：圆一周360度
2：直径所对圆周角90度
圆中角的转化思想方法：圆内角的转化（圆周角定理，等腰三角形，等量转化）
圆外角转的圆的，再圆内角的转化（圆内接四边形，切线，RT三角形）