上海市南洋模范中学高三数学三模考试试题(含解析)

上海市南洋模范中学高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题1.若集合{}{}310,12A x x B x =+=-<，则AB =_____． 【答案】1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】分别求出A B ，集合的x 的范围，求交集即可。

【详解】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A ＝{x |3x +1＞0}＝{x |x ＞﹣13}， B ＝{|x ﹣1|＜2}＝{x |﹣2＜x ﹣1＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |﹣13＜x ＜3}， 故答案为：（﹣13，3）． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于简单题目。

2.若复数z 满足1i i z -=-，其中i 为虚数单位，则z =_____． 【答案】1i -【解析】【分析】先求出z =1+i ，则1z i =-。

【详解】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，则可求．【解答】解：由1i z -＝﹣i ，得21i (1i)i z 1i i i--===+--， ∴1z i =-．故答案为：1﹣i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．3.若函数()()11+02f x x =>的反函数为()1f x -，则不等式()12f x ->的解集为_____． 【答案】31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】先求出()11()1f x x x -=>1-，即121x >-求解即可。

【详解】∵1()1f x x =+， ∴有11()(1)1fx x x -=>-， 则121x >-，必有x ﹣1＞0， ∴2（x ﹣1）＜1，解得1＜x 32<． 故答案为：31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项_____． 【答案】35x【解析】【分析】T r +1＝（﹣1）r r7C x 7﹣2r ，r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6，经过比较即可得出 【详解】7721711r r r r r r T x x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭﹣＝C ＝（﹣）， r 必须偶数，分别令r ＝0，2，4，6，其系数分别为：1， 27C ,47C ,67C经过比较可得：r ＝4时满足条件， 415735T C xx -== 故答案为：35x．【点睛】35x本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.若4y =a ，最大值为b ，则2lim 34n nn n n a b a b →∞-=-_____． 【答案】12【解析】【分析】先求函数的定义，求出函数的最大值a 和最小值b ，代入求极限。

【详解】y ＝4[﹣1，3]当x ＝1时，y 取最小值为2，当x ＝3或﹣1时，y 取最大值为4，故a ＝2，b ＝4；1 i m 234n n n n a b n ab -→∞-＝1 im 2243244n n n n n -⋅→∞⋅-⋅＝122lim 1342nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题．6.已知平面上三点A 、B 、C 满足3,522AB BC CA ====AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于_____．【答案】8-【解析】分析】 由三边的平方和的关系，可得△ABC 为直角三角形，由0AB BC CA ++=，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值 【详解】由|4B |＝，|Bi ||CA |＝，可得： 222AB BC CA +=即有△ABC 为直角三角形，由0AB BC CA ++=两边平方可得， 222ABBC BCCA CAAB 2()0AB BC CA +++++=即有AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅ 222||+||+||1=-2AB BC CA （） ＝﹣12×（3+5+8）＝﹣8． 故答案为：﹣8．【点睛】本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7.设P 是曲线sec (2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____．【答案】22841x y -=【解析】【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．【详解】曲线（θ为参数），即有 sec tan y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1，即为8x 2﹣4y 2＝1．故答案为：8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．【答案】200【解析】试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯. 考点：等差数列.9.从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中k A ∈）的概率是25，则k =__. 【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于k ，另一个数小于k 的基本事件有(1)(10)k k --种，根据古典概型概率公式即可得到关于k 的方程解得即可.【详解】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任取两个数的基本事件有21045C =种，取到的一个数大于k ，另一个数小于k ，比k 小的数有1k -个，比k 大的数有10k -个，故一共有11110(1)(10)k k C C k k --⋅=--个基本事件， 由题意可得(1)(10)2455k k --=， 即，整理得211280k k -+=，解得4k =或7k =，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.10.已知数列{}n a 的通项公式为()()*12n n n a n n N =-⋅+∈，则这个数列的前n 项和n S =_____． 【答案】1152,242,2n n n n n S n n +++⎧-⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为奇数为偶数 【解析】【分析】分n 为奇数、偶数两种情况讨论，利用分组求和法计算即得结论．【详解】当n 为偶数时，S n ＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n +1+n ）]+（2+22+…+2n ）＝()212212n n --＝2n +1+2n ﹣2； 当n 为奇数时，S n ＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣n +2+n ﹣1）﹣n ]+（2+22+ (2)） ＝12n -﹣n +()21212n -- ＝2n +1﹣2n ﹣52；综上所述，S n ＝1152,242,2n n n n n n +++⎧-⎪⎪⎨-⎪+⎪⎩为奇数为偶数 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．11.已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.【答案】2【解析】【分析】 由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a 的值.【详解】设数列{}n a 的公比为0q >，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-得121011210111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭，即()10101111111111a q a q a q q⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =②，联立①②解得12a =. 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.。