初中数学经典《相似》题-初中教育精选

平面图形的认识试卷副标题1．下列各组图形中不一定相似的有（）①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥两个等腰直角三角形．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（）A．2：1 B．：1 C．：1 D．1：13．已知，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD 的长是（）A．B．C．﹣1 D．+15．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.56．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm7．若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．△ABC与△A′B′C′的相似比为C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等D．△ABC与△A′B′C′的相似比为8．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．D．9．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．1311．将一副三角板按如图叠放，△ABC是等腰直角三角形，△BCD是有一个角为30°的直角三角形，则△AOB与△DCO的面积之比等于（）A．B．C．D．12．四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则a= _________ cm．13．已知线段AB及AB上一点P，当P满足下列哪一种关系时，P为AB的黄金分割点①2正确的是（填“序号”）14．甲、乙两农户各有两块土地（如图所示），今年这两个农户决定共同投资开发一个新的项目，需要将这四块土地换成一块土地，而这块地的宽为a+c米，为了使换的土地与原四块土地面积和形状相同，交换后的土地的长应该是米．15．将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画_________ 个，你的理由是_________ ．16．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm，6cm，7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，则△DEF的另外两边的长度是_________．17．△ABC中，AB=9cm，AC=6cm，D是AC上的一点，且AD=2cm，过点D作直线DE 交AB于点E，使所得的三角形与原三角形相似，则AE=_________cm．18．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的数量关系为．19．如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE=CF，D为BF的中点，AE：AF的值为．20．如图，Rt△ABC中，∠ACD=90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F．若S△AEG=S四边形EBCG，则=．21．如图，菱形，矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是，|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于_________ ；②当菱形的“接近度”等于_________ 时，菱形是正方形．22．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．23．已知==，求的值．24．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．25．△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD=4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：（1）A′B′边上的中线C′D′的长；（2）△A′B′C′的周长；（3）△ABC的面积．26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．（1）求证：△EAB∽△ECA；（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，△ABE和△ADC一定相似．27．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8m，窗高CD=1.2m，并测得OE=0.8m，OF=3m，求围墙AB的高度．28．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．29．如图：矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？30．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，（1）当t=2时，求△PBQ的面积；（2）当t=时，试说明△DPQ是直角三角形；（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP 是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由．参考答案1．B【解析】试题分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．解：①两个矩形，对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似；②两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；③两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；④两个等边三角形，角都是60°，故相似；⑤两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；⑥两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．所以共有①③⑤3个不一定相似，故选B．考点：相似图形．点评：本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相等．2．C【解析】试题分析：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．解：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则DM=AD=x．又矩形DMNC与矩形ABCD相似．∴=，即=即y2=x2．∴x：y=：1．故选C．考点：相似多边形的性质．点评：本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键3．D【解析】试题分析：先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．解：令a，b分别等于13和5，∵，∴a=13，∴==；故选D．考点：比例的性质．点评：此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．4．C【解析】试题分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC．设BD=x，则BC=x，CD=2﹣x．由于=，∴=．整理得：x2+2x﹣4=0，解方程得：x=﹣1±，∵x为正数，∴x=﹣1+．故选C．考点：黄金分割．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．5．B【解析】试题分析：由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．解：∵a∥b∥c，∴，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴，解得：DF=，∴BF=BD+DF=3+=7.5．故选B．考点：平行线分线段成比例．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6．B【解析】试题分析：根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则设DF=xcm，得到：解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．考点：相似多边形的性质．点评：本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．7．B【解析】根据相似三角形的性质逐个进行判断可知A、C、D正确，B错误．试题分析：解：A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确；B、可知△ABC与△A′B′C′的相似比为，错误；C、所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确；D、因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为，正确．故选B．相似图形．考点：此题考查了相似三角形的判定与性质，若对应边的比都相等，则两个三角形相似；相点评：似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．C【解析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由试题分析：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解：∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故D正确；当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．故选C．考点：相似三角形的判定．点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．9．C【解析】试题分析：令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置．解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．考点：相似三角形的判定．点评：考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．10．A【解析】试题分析：解：∵=，∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴==，∴9S△AEF=S△ABC，∵S四边形BCFE=8，∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=9．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．11．C【解析】试题分析：设BC=a，则AB=BC=a，CD= a∴AB：CD=1：∵AB∥CD∴△AOB∽△COD∴AB：CD=1：∴△AOB与△DCO的面积之比为1：3故选C．考点：相似三角形的判定与性质．点评：通过两个直角三角形的公共边找到两个三角形之间的联系是解决本题的关键．12．1【解析】试题分析：由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得，又由b=3cm，c=2cm，d=6cm，即可求得a的值．解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴，∵b=3cm，c=2cm，d=6cm，∴，解得：a=1cm．故答案为：1．考点：比例线段．点评：此题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．13．①②③【解析】试题分析：根据黄金分割点的定义列出算式，然后求解得到AP与AB关系，再根据AB、AP、BP三者之间的关系对各小题整理即可判断正误．解：∵P为AB的黄金分割点，∴=，∴AP2=AB•PB，故①小题正确；AP2=AB•（AB﹣AP），AP2+AB•AP﹣AB2=0，解得AP=AB，故②小题正确；（AB﹣PB）=AB，整理得，PB=AB，故③小题正确；∵AP=AB，∴PB=AB﹣AP=AB，∴==，故④小题错误；=，故⑤小题错误．综上所述，①②③正确．故答案为：①②③．考点：黄金分割．点评：本题考查了黄金分割，明确黄金分割点的定义列出比例式是求解的关键．14．a+b【解析】试题分析：由图可得四块土地的面积为a2+bc+ac+ab，此式可分解因式为（a+b）（a+c），据此可得解．解：由题意得，四块土地的面积为a2+bc+ac+ab，∴所换的土地的面积=a2+bc+ac+ab=a（a+b）+c（a+b）=（a+b）（a+c），∵这块地的宽为a+c米，∴这块地的长为a+b．故答案为：a+b．考点：相似多边形的性质．点评：此题主要考查分解因式的应用，读懂题意，列出代数式是关键．15．无数多边形的形状发生了变化【解析】试题分析：如果将一个多边形缩小为原来的，只是周长缩小为原来的，根据相似多边形的定义，可知多边形的形状会发生变化，故这样的多边形可以画无数个．解：将一个多边形缩小为原来的，这样的多边形可以画无数个，理由是：将一个多边形缩小为原来的时，只是周长缩小为原来的，对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，即多边形的形状发生了变化，故这样的多边形可以画无数个．考点：相似图形．点评：本题主要考查了相似多边形的定义：如果两个多边形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个多边形是相似多边形．即形状相同，大小不一定相同的多边形叫做相似多边形．16．，；，；，．【解析】试题分析：∵两个三角形相似，设另外两条边长为x，y如果是5cm和4cm的边长是对应边则==，解得x=cm，y=cm；如果6cm和4cm边长是对应边所以==，解得x=cm，y=cm，如果7cm和4cm边长是对应边则==，解得x=cm，y=cm，故答案为：，；，；，．考点：相似三角形的性质.点评：此题主要考查相似三角形的性质这一知识点，此题需要利用分类讨论的思想，从对应边的三种情况进行分析，这也是学生容易忽视的地方．17．cm或3cm【解析】试题分析：①如图2，当△ADE∽△ABC时，有AD：AE=AB：AC∵AB=9cm，AC=6cm，AD=2cm∴AE=cm；②如图1，当△AED∽△ABC时，有AD：AE=AC：AB∵AB=9cm，AC=6cm，AD=2cm∴AE=3cm∴AE为cm或3cm．考点：相似三角形的性质．点评：此题主要考查学生对相似的三角形的性质的运用及分类讨论思想的掌握情况．18．AB=2BC．【解析】试题分析：过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，∴AE=2AF，∵纸条的两边互相平行，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，AD=BC，∵∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE∽△ADF，∴==，即=．故答案为：AB=2BC．考点：相似三角形的判定与性质．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．19．【解析】试题分析：解：过F作FH∥AB交CE于H，∵FH∥AB，∴∠HFD=∠EBD，∵D为BF的中点，∴BD=DF，在△BED和△FHD中，∴△BED≌△FHD（SAS），∴FH=BE，∵FH∥AB，∴△CFH∽△CAE，∴HF：AE=CF：AC，∵AC=AB，CF=AE，∴AF=BE=HF．设AC=AB=1，AE=x，则=即为，解得x=﹣，AF=﹣，∴AE：AF=．考点：相似三角形的判定与性质．点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质及二元一次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键．20．【解析】试题分析：∵EF∥BD∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，∴△AEG∽△ABC，且S△AEG=S四边形EBCG∴S△AEG：S△ABC=1：4，∴AG：AC=1：2，又EF∥BD∴∠AGF=∠ACD，∠AFG=∠ADC，∴△AGF∽△ACD，且相似比为1：2，∴S△AFG：S△ACD=1：4，∴S△AFG=S四边形FDCGS△AFG=S△ADC∵AF：AD=GF：CD=AG：AC=1：2∵∠ACD=90°∴AF=CF=DF∴CF：AD=1：2．考点：相似三角形的判定与性质．点评：本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．21．①40 ②0【解析】试题分析：①若菱形的一个内角为70°，求该菱形的“接近度”，可以求出菱形的相邻的另一内角的度数，这两个数的差的绝对值就是接近度；②当菱形的“接近度”|m﹣n|=0时，菱形是正方形．解：①若菱形的一个内角为70°∴该菱形的相邻的另一内角的度数110°∴“接近度”等于|110﹣70|=40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，则菱形是正方形．考点：相似图形．点评：题是一个阅读理解问题，真正读懂题目，理解“接近度”的含义是解决本题的关键．22．（1）1；（2）或或【解析】试题分析：（1）存在另外1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．考点：相似三角形的判定与性质．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．23．【解析】试题分析：先设===k，可得x=2k，y=3k，z=4k，再把x、y、z的值都代入所求式子计算即可．解：设===k，可得x=2k，y=3k，z=4k，∴==．考点：比例的性质．点评：本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设===k，可得x=2k，y=3k，z=4k，降低计算难度．24．经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似【解析】试题分析：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．考点：相似三角形的性质．点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．25．（1）8cm （2）40cm （3）16cm2【解析】试题分析：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD=4cm，∴=，∴C′D′=4cm×2=8cm，∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm；（2）∵△ABC∽△A′B′C′，，△ABC的周长为20cm，∴=，∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，∴△A′B′C′的周长为40cm；（3）∵△ABC∽△A′B′C′，，△A′B′C′的面积是64cm2，∴==，∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，∴△ABC的面积是16cm2．考点：相似三角形的性质．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．26．见解析【解析】试题分析：（1）由题意，△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，可得，BD=CD，AD=CD，所以，∠C=∠DAC，又由AE⊥AD，所以，∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，所以，∠EAB=∠C，即可证得；（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，所以，当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．证明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴BD=CD，AD=CD，∴∠C=∠DAC，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠EAB=∠C，∴△EAB∽△ECA；（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，∴当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．考点：相似三角形的判定．点评：本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，是正确解答本题的基础．27．4.4m【解析】试题分析：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90°，∵OD=0.8m，OE=0.8m，∴∠DEB=45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE=45°，∴AB=BE，设AB=EB=xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴=，=，解得：x=4.4m．经检验：x=4.4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4.4m．考点：中心投影；相似三角形的判定与性质点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．28．2：3【解析】试题分析：过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出=，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可．解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴=，∵AF：BF=1：2，∴=，∴=，即FE=BC，∵BC：CD=2：1，∴CD=BC，∵FE∥BD，∴===．即FN：ND=2：3．证法二、连接CF、AD，∵AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，∴==，∵∠B=∠B，∴△BCF∽△BDA，∴==，∠BCF=∠BDA，∴FC∥AD，∴△CNF∽△AND，∴==．考点：平行线分线段成比例．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．29．（1）不相似，理由见解析（2）1.5或9【解析】试题分析：（1）要说明相似只要说明对应边的比相等，对应角相等；（2）如果两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，对应边的比相等．就可以求出x的值．解：（1）不相似，AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，而≠；（4分）（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则=，则：=，解得x=1.5，（7分）或=，解得x=9．（10分）考点：相似多边形的性质．点评：本题主要考查了相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角的比相等，两个条件必须同时成立．30．（1）8 （2）见解析（3）5.625s【解析】试题分析：（1）当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4，∴BP=AB﹣AP=4，∴△PBQ的面积=×4×4=8；（2）当t=时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117，∵PQ2+DQ2=DP2，∴∠DQP=90°，∴△DPQ是直角三角形．（3）设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O．设QB的长度为x，则QC的长度为（12﹣x），∵DC∥BO，∴∠C=∠QBO，∠CDP=∠O，∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12﹣x，∴=，即=，解得：BO=，∴AO=AB+BO=6+=，∴DO=，PO=，∵∠ADP=∠ODP，∴12：DO=AP：PO，代入解得x=0.75，∴DP能平分∠ADQ，∵点Q的速度为2cm/s，∴P停止后Q往B走的路程为（6﹣0.75）=5.25cm．∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s．考点：矩形的性质；相似三角形的性质．点评：用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半；若三角形的三边a，b，c符合a2+b2=c2，那么∠C=90°；相似三角形的对应边成比例；三角形的角平分线分对边的比等于另两边之比．。