【配套K12】江苏省南通市、扬州市、泰州市2016届高三数学第三次调研测试试题

江苏省南通市、扬州市、泰州市2016届高三数学第三次调研测试试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2U A =-=-，则U C A = .2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 .3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 .7.函数()f x =的定义域为 . 8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为.10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC+⋅-的值为 .11.设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 .12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn 的最大值为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且m n ⊥.（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N ==分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC .17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q . （1）若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值；（2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围； （2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N ++=+∈.（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.南通市2016届高三第三次调研测试数学II21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB 的长.D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++【必做题】第22,23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论. 23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2n n N +∈局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n . （1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.南通市2016届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题1.{}02.34i +3. 24. 35.π6.167.(8.4y x =±10. -16 11.10010112.0a <或2a > 13.14 14.1,3⎡+⎣二、解答题15.（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin cos 0333m n A B A B A B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,366A B πππ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32A B ππ+-=，即6A B π-=； （2）因为3cos 5B =，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5B = 所以sin sin sin cos cos sin 666A B B B πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭431552=+⋅=由正弦定理，得3sin 10834sin 5ABC AC B=⋅=⨯=. 16.（1）设AC BN O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点， 所以,AB CN AB CN =，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC 又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN . （2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥ 因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥ 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN = 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN .17.（1）由条件，222242a caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y += （方法一）直线l 的方程为()122y x =+，由()2212224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：23440x x +-= 解得22,3A p x x =-=，所以24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以AP ==O 到直线l的距离d =所以5AQ ==，所以56AP AQ == （方法二）由222224x y x y =-⎧⎨+=⎩得2340y y -=，所以85P y =所以455386AP AQ =⨯=; （2）（方法一）若PQ AP λ=，则1AQAPλ=- 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即221AP k =+，同理AQ =由题意：20k >，所以01λ<<.18.（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为=因为14ABCD S >四边形，所以2144x ->，即x <又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x >所以x <<;（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m - 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈ABCDS ===矩形 设()43262420f a a a a a =-++-，()()()()'3241822421234f a a a a a a a =-++=+--令()'0fa =，得32a =，或1a =-（舍去），或4a =（舍去） 列表如下：所以当32a =时，()max 349216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即max 74S = （方法二）设AB所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm 由条件，2+26a b =，即3a b +=因为(),0,2a b ∈，所以()30,2b a=-∈，从而(),1,2a b ∈由于ABBD ==，ABCD S ==矩形()()2228872224a b a b +--+≤≤=当且仅当()31,22a b ==∈时，74ABCD S =矩形 答：窗口ABCD 面积的最大值为274m19.（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===（2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n nn a q a q b q-=+-所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符） 所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列； （方法二）因为11n n n a b S +=+①所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+ 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符） 所以存在实数11q λ=-，是{}n b λ+为等比数列； （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--= 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠ 所以当2n ≥时，11n n n nb a d a a +=--④ 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤ 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b d a a a a d d --+---==----⑥ 先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列 因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=-- 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=-- 又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=-即23,,,,n a a a 成等差数列；再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d = 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=- 所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d--+----=-==-----所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（1）当0a =时，()()();,1x x f x xef x e x ==+令()'0f x =，得1x =-列表如下：所以函数()f x 的极小值为()1f e-=-，无极大值； （2）①当0a ≤时，由于对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥ 所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意；②当01a <≤时，因为()()()'01cos201cos010x fx e x a x e a a ≥+-≥+-=-≥ 所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意； ③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x <所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <=即当1a >时，不符合题意综上所述，a 的取值范围是(],1-∞;（3）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点，由（2）知，当1a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点 当1a >时，()()'1cos2x f x e x a x ≥+-令()()1cos2x g x e x a x =+-，()()'22sin 2x g x e x a x =++ 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 由()2010,1022g a g e a πππ⎛⎫⎛⎫=-<=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x 且当()00,x x ∈时，()'0f x <，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x > 即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()200,022f x f f e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭ 所以()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点. 数学II （附加题）21.A.因为2,CAB B AE ∠=∠为CAB ∠的平分线，所以CAE B ∠=∠又因为CD 是C ∠的平分线，所以ECA DCB ∠=∠所以ACD BCD ∆∆，所以AE AC BD BC=，即AE BC BD AC ⋅=⋅ 又因为,AED CAE ECA ADE B DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠所以AED ADE ∠=∠，所以AD AE =所以AD BC BD AC ⋅=⋅B.设(),P x y 是直线20x +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-= 即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b +=-=- 解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=C.曲线C的普通方程为(224x y +=，表示以)为圆心，2为半径的圆 直线l的直角坐标方程为3y x =，所以圆心到直线的距离为2 所以线段AB的长为=D.因为0,0,0x y z >>>所以3333x y z xyz ++≥ 3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++22.（1）由题意点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为PO 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF所以PO PF =，即点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OF 的中垂线上， 所以3,344p p ==，所以抛物线的方程为26y x = （2）由抛物线的对称性，设点2001,6A y y ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴的上方，所以点A 的气息的斜率为03y 所以点A 处切线的方程为2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 令上式中0y =，得2016x y =-所以点B 的坐标为201,06y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200001313,,,6262FA y y BE y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE =，所以FA BE ，又AE FB 故四边形AEBF 为平行四边形再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形.23.（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局所以()44344411522216P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 同理()6664566661115322216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n +局故()222122222111222n n nn n n n n n P n C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()22122222222211112122222n n n n n n n n n n n n n n C C C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()1222211122n n n C P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又因为()()()()()()()()2222112222222!441214!!2122!22212121!1!n n n n n n n n n n n C n n C n n n C C n n n n n +++++++====>++++++ 所以122222222n n n n n n C C +++>，所以()()1P n P n <+。