解析几何经典题教师版

合集下载

2024一模汇编解析几何(教师版)

解析几何一、双曲线1.（2024房山一模11）双曲线22122x y −=的离心率是_________.2.（2024延庆一模11）已知双曲线2222:1y x C a b−=则双曲线C 的渐近线方程为________.3.（2024东城一模3）已知双曲线221x my −=的离心率为2，则m =A.3B.13C.3−D.13−【答案】B4.（2024丰台一模3）已知双曲线222:1x C y a −=(0)a >a =A.2C.2D.12【答案】B5.（2024门头沟一模4）已知双曲线C 经过点(0,1)，离心率为2，则C 的标准方程为 A.2213y x −= B.2213x y −=C.2213x y −=D.2213y x −= 【答案】C6.（2024顺义一模5）已知双曲线222:1x C y b−=(0)b >的离心率e <，则b 的取值范围是A.(0,1)B.C.(1,)+∞D.)+∞【答案】A7.（2024海淀一模5）若双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b−=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为A.2214x y −= B.2212x y −= C.2212y x −= D.2214y x −= 【答案】D8.（2024平谷一模12）已知双曲线22:1y C x m+=的左、右焦点分别为12,F F ，并且经过(M −点，则12||||MF MF −=________；双曲线C 的渐近线方程为________.【答案】2−；2y x =±9.（2024朝阳一模7）已知双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N 分别是l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点. 若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为A.y x =±B.y x =C.y x =D.y = 【答案】C10.（2024西城一模13）双曲线22:13y M x −=的渐近线方程为_________；若M 与圆222:O x y r +=(0)r >交于,,,A B C D 四点，且这四个点恰有正方形的四个顶点，则r =_________.二、抛物线1.（2024房山一模2）抛物线24x y =的准线方程是A.1x =B.1x =−C.1y =D.1y =−【答案】D2.（2024西城一模4）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是 A.1x =− B.2x =−C.1y =−D.2y =−【答案】C3.（2024延庆一模4）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上. 若M 到直线4x =−的距离为7，则||MF =A.4B.5C.6D.7【答案】B4.（2024门头沟一模12）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，若||3MF =，则M 到直线2x =−的距离为_________.【答案】45.（2024平谷一模6）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，点M 在C 上. 若||4MF =，则||OM =A. C. D.4【答案】A6.（2024朝阳一模12）已知抛物线22x py =(0)p >的焦点为F ，准线方程为1y =−，则 p =_________；设O 为原点，点00(,)M x y 在抛物线上，若||||OM FM =，则0y =_________.7.（2024丰台一模13）已知F 是抛物线24y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点， ||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为_________.【答案】38.（2024石景山一模12）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，则||AB =_________. 【答案】89.（2024东城一模14）已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为________；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线y m =(0)m ≠分别与12,C C 交于,P Q 两点，且12||||1PF QF −=，则||PQ =________. 【答案】(1,0)；2三、直线与圆1.（2024朝阳一模5）已知直线60x −+=和圆222x y r +=(0)r >相交于,A B 两点. 若||6AB =，则r =A.2B.C.4D.【答案】D2.（2024房山一模6）直线:20l x y ++=截圆222:M x y r +=(0)r >所得劣弧所对的圆心角为π3，则r 的值为B.3C.2D.3【答案】B3.（2024海淀一模12）已知22:(1)3C x y −+=，线段AB 是过点(2,1)的弦，则||AB 的最小值为_________. 【答案】24.（2024石景山一模6）直线1y kx =+与圆22(1)16x y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的长度可能为A.5B.7C.9D.14【答案】B5.（2024丰台一模7）在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=有且仅有一点P ，使||1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为A.1C.2D.【答案】D6.（2024延庆一模9）在等边ABC △中，2AB =，P 为ABC △所在平面内的动点，且1PA =，Q 为边BC 上的动点，则线段PQ 长度的最大值是1−12+D.3【答案】D7.（2024门头沟一模9）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线 340kx y k −−+=的距离，则当,k θ变化时，d 的最大值与最小值之差为A.2B.3C.4D.6【答案】D8.（2024平谷一模10）设点(1,0)A ，动直线:210l x ay a ++−=，作AM l ⊥于点M ，则点 M 到坐标原点O 距离的最小值为A.1 1 1−【答案】C四、曲线与方程1.（2024房山一模9）在平面直角坐标系中，已知(1,0)A −，(1,0)B 两点. 若曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，给出下列曲线： ①2221y x −=； ②2221x y +=；③24x y +=.其中“合作曲线”是A.①②B.②③C.①D.②【答案】A2.（2024石景山一模10）对于曲线22:1C x y −−+=，给出下列三个命题： ①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2； ③曲线C 与曲线||||3x y +=有四个交点. 其中正确的命题个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C五、大题1.（2024平谷一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过椭圆E 的右焦点F 作斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆E 于点,A B ，直线l 交直线 2x =于点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C ，直线BQ 交x 轴于D ，求证：点F 为线段CD 的中点. 【答案】解得22a =，21b =.（Ⅱ）椭圆E 的右焦点F 的坐标为(1,0)，由题意，设直线l 的方程为(1)y k x =− ()0k ≠. 设直线l 交椭圆W 于点1122(,),(,)A x y B x y ，则由直线l 的方程(1)y k x =−，令2,x =解得y k =，所以(2,)P k ，(0,)Q k .由于11(1)y k x =−，22(1)y k x =−.所以线段CD 的中点为F .2.（2024西城一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y G a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A −，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设O 为原点. 直线l 与椭圆G 交于,C D 两点（,C D 不是椭圆的顶点），l 与直线2x =交于点E . 直线,AC AD 分别与直线OE 交于点,M N . 求证：||||OM ON =. 所以||||=OM ON ．………15分已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的短轴长为，离心率e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积. 【答案】（II ）当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+，设()()1122M x ,y ,N x ,y ，则()1212P x x ,y y ++，()2222221426026y kx mk x kmx m xy =+⎧⇒+++−=⎨+=⎩，因为O 到直线l 的距离1d =,所以()20P ,不在椭圆上,不合题意. ........15分已知椭圆2222: 1 (0)x yE a ba b+=>>的离心率为12，左焦点为1(1,0)F−，过1F的直线交椭圆E于,A B两点，点M为弦AB的中点，O是坐标原点，且M不与1,O F重合.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若P是OM延长线上一点，且OP的长度为2，求四边形OAPB面积的取值范围.已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b+=>>的焦距为以椭圆E 的四个顶点的四边形的周长为16.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,1)S 的直线l 交椭圆E 于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M . 是否存在定点D ，使得||1||2DM PQ =？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①，当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为()2219x y +−=②．联立①②得0,2,x y =⎧⎨=−⎩猜测点D 的坐标为()0,2−．设直线l 的方程为1y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2231k +所以()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+6.（2024顺义一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点3(1,)2P 2b =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设斜率为12的直线l 与E 交于,A B 两点（异于点P ），直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，求||||PM PN 的值. 【答案】7.（2024门头沟一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>，椭圆E 的上顶点为A ，右顶点为B ，点O 为坐标原点，AOB △的面积为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)P 且不过点(3,1)Q 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，直线MQ 与直线4x =交于点C ，试判断直线CN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.8.（2024延庆一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>，,A C 分别是E 的上、下顶点，||2AC =，,B D 分别是E 的左、右顶点.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设P 为第二象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线BP 与直线CD 交于点N ，求证：MN BD ⊥. 【答案】解得2,1a b ==． …………4分（Ⅱ）方法一：因为为第二象限上的动点，设()(),20,01P m n m n −<<<<．…………6分P E所以M N x x =，即．方法二：因为M N x x =，所以． …………15分MN BD ⊥MN BD ⊥已知椭圆22:G x my m +=的离心率为，12,A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（Ⅰ）求m 的值及点F 的坐标；（Ⅱ）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M . 比较2||MP 与12||||MA MA ⋅的大小. 【答案】解：（Ⅰ）由题意知1m >. 设2a m =，21b =，则2221c a b m =−=−.所以2m =，1c =.所以m 的值为2，点F 的坐标为(1,0)．（Ⅱ）由题意可设 00(,)P x y （000x y ≠），(2,)Q Q y ，(,0)M M x ，则0M x x ≠，220022x y +=. ①因为PF FQ ⊥,所以00(1,)(1,)0Q xy y −⋅=.2,0)(0,2)，已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>，,A B 分别是E 的左、右顶点，P 是E 上异于,A B 的点，APB △的面积的最大值为（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，点N 在直线2x =上，,N P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的面积相等.（ⅰ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP △△≌. 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅱ）设(2,)N t ，000()(),2y P x x ≠±，则00y t <．设直线ON 的斜率为ON k ，直线AP 的斜率为AP k ，所以直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值1−．（ⅱ）假设存在点P 使得P APB NB △≌△，因为||||AB AP >，||||NP NB >，||||BP BP =，所以||||AP NB =．所以不存在点P 使得P APB NB △≌△．15分11.（2024石景山一模20）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>，短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点3(1,)2P −−分别作直线12,l l ，直线1l 与椭圆相切于第三象限内的点G ，直线2l 交椭圆C 于,M N 两点. 若2||||||PG PM PN =⋅，判断直线2l 与直线OG 的位置关系，并说明理由.。

解析几何难题——教师版,附解答

解析几何【例01】点的坐标分别是，，直线相交于点M ，且它们的斜率之积为． (1)求点M 轨迹的方程.(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间)，试求与面积之比的取值范围(为坐标原点)．解(1)设点的坐标为，∵)，这就是动点M 的轨迹方程． (2)方法一由题意知直线的斜率存在，设的方程为() ① 将①代入，得，由，解得．设，，则 ②令，则，即，即，且由②得，即．且且．解得且，且．∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是．方法二由题意知直线的斜率存在，设的方程为 ①将①代入，整理，得，由，解得． ,A B (0,1)-(0,1),AM BM 12-C ()2,0D l CEF E D F ODE ∆ODF ∆O M (,)x y 12AM BM k k ⋅=-0x ≠l l ()2y k x =-12k ≠±1222=+y x 0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k 0∆>2102k <<()11,E x y ()22,F x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822212221k k x x k k x x OBE OBF SS λ∆∆=||||BE BF λ=BE BF λ=⋅()1222x x λ-=-0 1.λ<<12212121224(2)(2),2122)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -⎧-+-=⎪⎪+⎨⎪-⋅-=-++=⎪+⎩（()()()22222412,2122.21x k x k λλ-⎧+-=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩22222141,(1)8(1)2k k λλλλ+∴==-++即2102k <<214k ≠24110(1)22λλ∴<-<+2411(1)24λλ-≠+33λ-<<+13λ≠01λ<<1223<<-∴λ13λ≠113,133⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭l l 2x sy =+(2)s ≠±1222=+y x 22(2)420s y sy +++=0∆>22s >设，，则② 令，且 .将代入②，得∴．即． ∵且，∴且．即且．解得且．，且．故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是．【例02】在△ABC 中，A 点的坐标为(3，0)，BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动．(1)求△ABC 外心的轨迹方程．(2)设直线l ∶y =3x +b 与(1)的轨迹交于E 、F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求的最大值并求出此时b 的值．解 (1)设B 点的坐标为(0，)，则C 点坐标为(0，+2)(-3≤≤1)，则BC 边的垂直平分线为y =+1 ① ②由①②消去，得．∵，∴．故所求的△ABC 外心的轨迹方程为：．(2)将代入得．由及，得．所以方程①在区间，2有两个实根．设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是：得∵∴ 又原点到直线l 的距离为，∴∵，∴．∴当，即时，．()11,E x y ()22,F x y 1221224,22.2s y y s y y s ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩11221212OBE OBF OB y S y S y OB y λ∆∆⋅===⋅01λ<<12y y λ=()2222241,22.2s y s y s λλ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩()222182s s λλ+=+()2222161s λλλ+=--22s >24s ≠()2221261λλλ+>--()2221461λλλ+≠--2610λλ-+<13λ≠33λ-<<+13λ≠01λ<<1223<<-∴λ13λ≠113,133⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭dEF ||0y 0y 0y 0y )23(3200-=+x y y y 0y 862-=x y 130≤≤-y 2120≤+=≤-y y )22(862≤≤--=y x y b x y +=3862-=x y 08)1(6922=++-+b x b x 862-=x y 22≤≤-y 234≤≤x 34[]8)1(69)(22++-+=b x b x x f 34[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222b b b f b b f b b 34-≤≤-b 7232984)]1(32[||2221--=+--=-⋅b b b x x 721032||1||212--=-+=⋅b x x k EF 10||b d =71)711(73202732072320||222++-=--=--=b b b b b d EF 34-≤≤-b 41131-≤≤-b 411-=b 4-=b 35||max =d EF【例03】已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．(1)求椭圆的方程．(2)设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解(I )由题意得所求的椭圆方程为，(II )不妨设则抛物线在点P 处的切线斜率为，直线MN 的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN 与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN 的中点的横坐标是，则，设线段PA 的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．【例04】已知抛物线：上一点到其焦点的距离为． (1)求与的值．(2)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．解(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得(Ⅱ)由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为.1C 22221(0)y x a b a b+=>>(1,0)A 1C 11C P 2C 2()y x h h =+∈R 2C P 1C ,M N AP MN h 212,,121b a b b a=⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩2214y x +=21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +2C 2x ty t ='=22y tx t h =-+1C 2224(2)40x tx t h +-+-=()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=1C 4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦3x 21232()22(1)x x t t h x t +-==+4x 412t x +=34x x =2(1)10t h t +++=22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥3h ≤-3h ≤-220,40h h +<-<4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦1h ≥1h =2(1)10t h t +++=1t =-1,1h t ==-4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦h C 22(0)x py p =>(,4)A m 174p m C P (0)t t >P C Q x M Q PQ C N MN C t 2py -=)4,(m A 41724=+p 21=p ∴y x =2)4,(m A 2±=m ),(2t t P PQ k则，当则. 联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即：，解得：，或，而抛物线在点N 处切线斜率：MN 是抛物线的切线，，整理得，解得(舍去)，或，【例05】已知双曲线．(1)求双曲线的方程．(2)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．(Ⅰ)由题意，得，解得，所求双曲线的方程为. )(:2t x k t y l PQ -=-,,02k kt t x y +-==)0,(2kktt M +-⎩⎨⎧=-=-y x t x k t y 22)(0)(2=-+-t k t kx x 0)]()[(=---t k x t x ,t x =t k x -=))(,(2t k t k Q --∴QP QN ⊥∴NQ k1-)]([1)(:2t k x k t k y l NQ---=--∴⎪⎩⎪⎨⎧=---=--y x t k x kt k y 22)]([1)(0)()(1122=----+t k t k kx k x 0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx 0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx kt k k x 1)(+--=t k x -=)]1)([,1)((22kt k k k t k k N +-+--∴)1()1(1)(]1)([2222222--+-=+--+--+-=∴k t k kt k kkt t k t k k k t k k K NMkt k k y k kt k k x 2)(21)(---='=+--=切k t k k k t k kt k 2)(2)1()1(2222---=--+-∴02122=-++t tk k 0)21(422≥--=∆t t 32-≤t 32≥t 32min =∴t 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>3x =C l 22:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B AOB ∠23a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1,a c ==2222b c a =-=C 2212y x -=(Ⅱ)点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得. 由及得， ∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且，∴，且，设A 、B 两点的坐标分别为，则， ∵，且，.∴ 的大小为.【解法2】(Ⅰ)同解法1.(Ⅱ)点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 ① ②∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且，∴，设A 、B 两点的坐标分别为，则，∴，∴ 的大小为. (∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零).()()0000,0P x y x y ≠222x y +=()00,P x y ()0000x y y x x y -=--002x x y y +=2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22002x y +=()222000344820x x x x x --+-=l 2002x <<20340x -≠()()22200016434820x x x ∆=--->()()1122,,,x y x y 20012122200482,3434x x x x x x x x -+==--cos OA OB AOB OA OB⋅∠=⋅()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦-()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦22002200828203434x x x x --==-=--AOB ∠90︒()()0000,0P x y x y ≠222x y +=()00,P x y ()0000x y y x x y -=--002x x y y +=2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22002x y +=()22200344820x x x x x --+-=()222000348820xy y x x ---+=l 2002x <<20340x -≠()()1122,,,x y x y 2200121222008228,3434x x x x y y x x --==--12120OA OB x x y y ⋅=+=AOB ∠90︒22002x y +=000x y ≠220002,02x y <<<<20340x -≠【例06】椭圆E : (a 、b >0)过M (2) ，N，1)两点，O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，并且若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.解:(1)因为椭圆E : (a ，b >0)过M (2) ，N ，1)两点，所以解得所以椭圆E 的方程为 (2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且，设该圆的切线方程为解方程组得，即，则△=，即，要使，需使，即，所以，所以又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且.因为， 22221x y a b+=OA OB ⊥22221x y a b +=2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2284a b ⎧=⎨=⎩22184x y +=OA OB ⊥y kx m =+22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩222()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m ky y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++OA OB⊥12120x x y y +=2222228801212m m k k k--+=++223880m k --=223808mk -=≥22840k m -+>22238m m ⎧>⎨≥⎩283m ≥m ≥m ≤y kx m =+r =222228381318m m r m k===-++3r =2283x y +=y kx m =+m ≥m ≤x =22184x y +=(OA OB ⊥2283x y +=OA OB ⊥12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以，， ①当时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”.②当时， ③ 当AB 的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时综上， |AB |: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.【例07】设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，，动点的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状． (2)已知，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A ， B ，且(O 为坐标原点)，并求出该圆的方程． (3)已知，设直线与圆C :(1<R <2)相切于A 1，且与轨迹E 只有一个公共点B 1，当R 为何值时，|A 1B 1|取得最大值?并求最大值.解(1)因为，，，所以，即.当m =0时，方程表示两直线，方程为；22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++||AB =====0k ≠||AB =221448k k ++≥221101844k k<≤++2232321[1]1213344k k<+≤++46||233AB <≤22k =±0k =||AB =±(||AB =||AB ≤≤||AB ∈m R ∈(,1)a mx y =+(,1)b x y =-a b ⊥(,)M x y 41=m OA OB ⊥41=m l 222x y R +=l a b ⊥(,1)a mx y =+(,1)b x y =-2210a b mx y ⋅=+-=221mx y +=1±=y当时，方程表示的是圆当且时，方程表示的是椭圆；当时，方程表示的是双曲线.(2).当时，轨迹E 的方程为，设圆心在原点的圆的一条切线为，解方程组得，即，要使切线与轨迹E 恒有两个交点A ，B ，则使△=，即，即，且，要使，需使，即，所以，即且，即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，所求的圆为. 当切线的斜率不存在时，切线为，与交于点或也满足.综上，存在圆心在原点的圆使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点且. (3)当时，轨迹E 的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆C :(1<R <2)相切于A 1，由(2)知，即 ①，因为与轨迹E 只有一个公共点B 1，由(2)知得，即有唯一解则△=，即， ②1m =0>m 1≠m 0<m 41=m 2214x y +=y kx t =+2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩224()4x kx t ++=222(14)8440k x ktx t +++-=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>22410k t -+>2241t k <+12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k--=++=+++=-+=+++OA OB ⊥12120x x y y +=222222224445440141414t t k t k k k k ----+==+++225440t k --=22544t k =+2241t k <+2244205k k +<+y kx t =+r =222224(1)45115k t r k k +===++2245x y +=552±=x 2214x y +=)552,552(±)552,552(±-OA OB ⊥2245x y +=OA OB ⊥41=m 2214x y +=l y kx t =+l 222x y R +=R =222(1)t R k =+l 2214y kx t x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩224()4x kx t ++=222(14)8440k x ktx t +++-=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+=22410k t -+=由①②得，此时A ，B 重合为B 1(x 1，y 1)点，由中，所以，， B 1(x 1，y 1)点在椭圆上，所以，所以，在直角三角形OA 1B 1中，因为当且仅当时取等号，所以，时|A 1B 1|取得最大值，最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系，以及直线与椭圆的位置关系，可以通过解方程组法研究有没有交点问题，有几个交点的问题.【例08】如图所示，已知圆是椭圆的内接△的内切圆，其中为椭圆的左顶点. (1)求圆的半径.(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切．(1)解设，过圆心作于，由，即 (1)而点在椭圆上，由(1)、 (2)式得，解得或(舍去) (2) 证明设过点与圆相切的直线方程为: (3) 则(4) 解得将(3)代入得，则异于零的解为 2222223414R t R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩-12221228144414kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩21x x =222122441616143t R x k R --==+22211214143R y x R -=-=22211124||5OB x y R=+=-2222211112244||||||55()A B OB OA R R R R =-=--=-+2244R R+≥(1,2)R =211||541A B ≤-=(1,2)R =:G 222(2)x y r -+=22116x y +=ABC A G r (0,1)M G E F ，EF G B 02,r y +（）G GD AB ⊥D BC GD HBAD AH =06y r =+0y =B 02,r y +（）2220(2)12411616r r r y +--=-==2158120r r +-=23r =65r =-M(0,1)224(2)9x y -+=1y kx -=23=2323650k k ++=12k k ==22116x y +=22(161)320k x kx ++=232161k x k =-+设，，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离故结论成立.【例09】已知椭圆()的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且.(1)求椭圆的离心率. (2)直线AB 的斜率.(3)设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线上有一点H (m ，n )()在的外接圆上，求的值.(1)得从而得，离心率 (2)由(1)知，，所以椭圆的方程可以写为设直线AB 的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组消去y 整理，得依题意，而，有题设知，点B 为线段AE 的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得. (3)由(2)知，，当时，得A 由已知得111(,1)F x k x +222(,1)E x k x +121222123232,161161k k x x k k =-=-++FE 221112*********EF k x k x k k k x x k k -+===--FE 2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++3743y x =-(2,0)FE 3722339116d -==+12222=+by a x 0>>b a )0)(0,(),0,(21>-c c F c F )0,(2c a E ||2||,//2121B F A F B F A F =B F 20≠m C AF 1∆mn||||,//2121B F A F B F A F =21||||||||1212==A F B F EF EF 2122=+-c cacc a 223c a =33==a c e 22222c c a b =-=222632c y x =+)(2ca x k y -=)3(c x k y -=),(),(2211y x B y x A ⎩⎨⎧=+-=222632)3(cy x c x k y 062718)32(222222=-+-+c c k cx k x k 3333,0)31(4822<<->-=∆k k c 222221222132627,3218k c c k x x k k x x +-=+=+2123x c x =+222222213229,3229kc c k x k c c k x ++=+-=32±=k 23,021cx x ==32-=k )2,0(c )2,0(c C -线段的垂直平分线l 的方程为直线l 与x 轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故，当时，同理可得.【例10】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为2x =.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程.解(I )由已知得，解得∴ ∴ 所求椭圆的方程为. (II )由(I )得、①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得设、，∴ ，与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设、，联立，消元得∴，∴ ，又∵∴∴ 1AF ),2(2222c x c y +-=-)0,2(c C AF 1∆222)2()2(cc y c x +=+-B F 2)(2c x y -=),(n m H ⎪⎩⎪⎨⎧-==+-)(249)2(222c m n c n c m 0≠m 222,35c n c m ==522=m n 32=k 522=m n 2221(0)x y a b a b+=>>12F F 、e =1F l M N 、2223F M F N +=l 2222⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩c a a c2,1==a c 221-=b a c 2212+=x y 1(1,0)-F 2(1,0)F l l 1=-x 22112=-⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y 2=±y (1,)2-M (1,2--N 22(2,(2,)(4,0)422+=-+--=-=F M F N l l k l (1)=+y k x 11(,)M x y 22(,)N x y 22(1)12=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 2222(12)4220+++-=k x k x k 22121222422,1212--+==++k k x x x x k k 121222(2)12+=++=+ky y k x x k 211222(1,),(1,)=-=-F M x y F N x y 221212(2,)+=+-+F M F N x x y y 22(+===F M F N x化简得解得 ∴ ∴ 所求直线的方程为 .【例11】在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F (3，0)的距离的4倍与它到直线x =2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和. (1)求点P 的轨迹C .(2)设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值.解(Ⅰ)设点P 的坐标为(x ，y )，则3︳x -2︳由题设当x >2时，由①得化简得当时由①得化简得故点P 的轨迹C 是椭圆在直线x =2的右侧部分与抛物线在直线x =2的左侧部分(包括它与直线x =2的交点)所组成的曲线，参见图1(Ⅱ)如图2所示，易知直线x =2与，的交点都是A (2，)，B (2，)，直线AF ，BF 的斜率分别为=，=. 当点P 在上时，由②知. ④当点P 在上时，由③知 ⑤ 若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为(i )当k ≤，或k ≥，即k ≤-2 时，直线I 与轨迹C 的两个交点M (，)，N (，)都在C 上，此时由④知∣MF ∣= 6 -∣NF ∣= 6 -从而∣MN ∣= ∣MF ∣+ ∣NF ∣= (6 -)+ (6 - )=12 - ( +) 424023170--=k k 2217140或(舍去)==-k k 1=±k l 11或=+=--y x y x 224(3)d x y =--+221(3)6,2x y x -+=-22 1.3627x y +=2x ≤22(3)3,x y x ++=+212y x =221:13627x y C +=22:12C y x =1C 2C 2626-AF k 26-BF k 261C 162PF x =-2C 3PF x =+(3)y k x =-AF k BF k 61x 1y 2x 2y 1121x 122x 121x 122x 121x 2x由得则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN ∣=12 - (+)=12 - 因为当当且仅当时，等号成立.(2)当L 与轨迹C 的两个交点分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，设直线AF 与椭圆的另一交点为E 所以.而点A ，E 都在上，且有(1)知若直线的斜率不存在，则==3，此时综上所述，线段MN 长度的最大值为.22(3)13627y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)24361080k x k x k +-+-=1x 1y 1x 2x 222434k k +121x 2x 221234k k +226,6,24,k k ≤≥≥或k 2时22212121001212.134114k MN k k =-=-=++k =±,AE AN k k k k <<-<1122(,),(,)M x y N x y 12,C C M 1C 2C 1216,32MF x NF x =-=+1C 00012(,),, 2.x y x x x <<则1021166,33222MF x x EF NF x AF =-<-==+<+=MN MF NF EF AF AE =+<+=1C 26,AE k =-100100,1111AE MN =<所以ι1x 2x 12110012()9211MN x x =-+=<10011【例12】已知直线经过椭圆的左顶点A 和上顶点D ，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点.(1)求椭圆的方程.(2)求线段MN 的长度的最小值.(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由.解方法一(I )由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为 (Ⅱ)直线AS 的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时，此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上.设直线由解得或220x y -+=2222:1(0)x y C a b a b+=>>C B S C x ,AS BS 10:3l x =,M N C C T TSB ∆15T C (2,0),A -(0,1),2,1D a b ∴==C 2214x y +=k 0k >AS (2)y k x =+1016(,)33k M 22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(14)16164k x k x k +++-=11(,),S x y 212164(2),14k x k --=+2122814k x k -=+12414ky k =+222284(,),1414k k S k k -++(2,0)B 1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-161||33k MN k=+16116180,||233333k k k MN k k >∴=+≥⋅=16133k k =14k =14k ∴=MN 83MN 14k =BS 644220,(,),||555x y s BS +-=∴=C T TSB ∆15T BS 24T BS BS 24l ':10l x y ++=|2|2,42t +=32t =-52t =-【例13】给定椭圆，称圆心在原点的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ(1)求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程.(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线，使得与椭圆C 都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M 、N .①当P 为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程. ②求证|MN |为定值.解：(I )因为，所以 ……………2分所以椭圆的方程为，准圆的方程为 . ……………4分 (II )(1)因为准圆与轴正半轴的交点为P (0，2)， ……………5分设过点P (0，2)，且与椭圆有一个公共点的直线为，所以，消去y ，得到， ……………6分因为椭圆与只有一个公共点，所以，…7分解得. …8分所以方程为. ……9分 (2)①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是(或)，即为(或)，显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直. ………10分 ② 当都有斜率时，设点，其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去得到，，，经过化简得到:，因为，，2222:1(0)x y C a b a b+=>>O F 12,l l 12,l l 12,l l y 12,l l 3,2==a c 1=b 2213x y +=422=+y x 422=+y x y 2+=kx y 22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩0912)31(22=+++kx x k 2+=kx y 2214449(13)0k k ∆=-⨯+=1±=k 12,l l 2,2+-=+=x y x y 12,l l 1l 1l 3=x 3-=x 1l 3=x 1l )1,3(),1,3(-)1,3()1,3(-1=y 1-=y 2l 1=y 1-=y 12,l l 1l 3-=x 12,l l 12,l l ),(00y x P 42020=+y x ),(00y x P 00)(y x x t y +-=0022()13y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩y 03))((32002=--++tx y tx x 03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t 0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+⋅--=∆tx y t tx y t 012)3(2000220=-++-y t y x t x 42020=+y x 0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直.……12分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点M ，N ，且垂直，所以线段MN 为准圆的直径，所以|ＭＮ|=４. ……………13分【例14】设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x +m )在x 轴上方公有一个公共点P .(1)实数m 的取值范围(用a 表示).(2)O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <21时，试求⊿OAP 的面积的最大值(用a 表示). 14. 解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(-a ，a )上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：1°△=0得：212+=a m ，此时x p =-a 2，当且仅当-a <-a 2<a ，即0<a <1时适合；2°f (a )f (-a )<0，当且仅当-a <m <a ；3°f (-a )=0得m =a ，此时x p =a -2a 2，当且仅当-a <a -2a 2<a ，即0<a <1时适合． f (a )=0得m =-a ，此时x p =-a -2a 2，由于-a -2a 2<-a ，从而m ≠-a ．综上可知，当0<a <1时，212+=a m 或-a <m ≤a ；当a ≥1时，-a <m <a ．…… 10分(2)△OAP 的面积p ay S 21=∵0<a <21，故-a <m ≤a 时，0<m a a a 2122-++-<a ，由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=显然当m =a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p =221ax p -取值最大，此时22a a y p -=，∴2a a a S -=．当212+=a m 时，x p =-a 2，y p =21a -，此时2121a a S -=．下面比较2a a a -与2121a a -的大小：令22121a a a a a -=-，得31=a故当0<a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121a a S max -=．当2131<<a 时，22121a a a a a ->-，此时2a a a S max -=．……… 20分12,l l 21,t t 12,l l 21,t t 0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x 121-=⋅t t 12,l l 12,l l ),(00y x P 12,l l 422=+y x【例15】一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A 且OA =a . 拆叠纸片使得圆周上某一点A /刚好与A 点重合，这样的每一种拆法都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．16.解：如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则有A (a ，0)．设折叠时，⊙O 上点A /(ααsin ,cos R R )与点A 重合，而折痕为直线MN ，则 MN 为线段AA /的中垂线．设P (x ，y )为MN 上任一点，则｜PA /｜=｜PA ｜ 5分 ∴2222)()sin ()cos (y a x R y R x +-=-+-α 即ax a R y x R 2)sin cos (222+-=+αα 10分∴22222222sin cos yx R ax a R yx y x ++-=++αα可得：)cos ,(sin 22)sin(22222222yx y yx x yx R ax a R +=+=++-=+θθθα∴222222yx R ax a R ++-≤1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分平方后可化为 22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-≥1，即所求点的集合为椭圆圆22222)2()2()2()2(a R y R a x -+-=1外(含边界)的部分． 20分【例16】过抛物线2x y =上的一点A (1，1)作抛物线的切线分别交x 轴于D 、交y 轴于B .点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ；点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P .当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.18.解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,21(),1,0(是线段AB 的中点.……5分设),(y x P 、),(200x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由1λ=ECAE知， ;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE得.11,1220222022λλλλ++-=+=x y x x∴EF 所在直线方程为：,1111111111111202101120122021201λλλλλλλλλλλλ++-+++-=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①…10分当210≠x 时，直线CD 的方程为：12202020--=x x x x y …②联立①、②解得02133x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312-=x y ……15分当210=x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：21=x ，联立解得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10≠∴≠x x ∴所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ……20分解二：由解一知，AB 的方程为),0,21(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分令,1,1,2211λλγ+==+===CF CBt CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ∆的中线， .22CBD CAD CAB S S S ∆∆∆==∴而,23,232)11(212212*********=∴=+=+=+==⋅⋅=∆∆∆∆∆∆γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ∆的重心.……10分设),,(),,(200x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为,3311),32(,31310202000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(312-=x y故所求轨迹方程为).32()13(312≠-=x x y ……20分。

解析几何经典例题及解析

解析几何经典例题及解析题目：已知三点A（1,2）、B（3,4）、C（4,5），判断是否共线。

解析：为了判断这三个点是否共线，我们可以算出它们的斜率是否相等。

斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。

我们先算出AB、AC两条线段的斜率，如果它们相等，则这三个点共线。

k_AB=(4-2)/(3-1)=1k_AC=(5-2)/(4-1)=1因为k_AB=k_AC，所以这三个点共线。

2. 点到直线距离问题：题目：已知直线L：2x-y+1=0，点P（3，4）到直线L的距离是多少？解析：点P到直线L的距离可以通过求点P到直线L的垂线的长度来计算。

我们先求出直线L的斜率k，因为与L垂直的直线的斜率为-k的倒数。

直线L的一般式表示为Ax+By+C=0，所以斜率k=-A/B。

将直线L的一般式转化为斜截式y=kx+b的形式，可以得到直线L的斜率为k=2/1=2。

所以与L垂直的直线的斜率为-1/2。

接下来我们求出与L垂直的直线的截距b。

因为点P在这条直线上，所以直线的表达式可以写为y=-1/2x+b，将点P代入这个方程组中可得b=5。

因此与点P到直线L的垂线的方程为y=-1/2x+5，求出点P到这条直线的垂足Q的坐标为（2，3）。

所以点P到直线L的距离为PQ的长度，即√((3-2)+(4-3))=1.41。

3. 直线交点问题：题目：已知直线L1：2x-y+1=0，直线L2：x+y-3=0，求出它们的交点。

解析：求出两条直线的交点，可以将两条直线的方程联立起来解方程组。

将L1的方程改写成x=(y-1)/2的形式，将其代入L2的方程中，得到：((y-1)/2)+y-3=0，即y=2，代入L1的方程中可以得到x=1。

因此两条直线的交点为(1,2)。

解析几何练习题及答案

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

数学解析几何经典例题附带答案

数学解析几何经典例题~一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3.∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C.答案： C2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件．答案： C3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.答案： D4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( )A ．椭圆、双曲线、圆B ．椭圆、双曲线、抛物线C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线解析：当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线．答案： C5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直．又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.答案： D6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A.32B.34C ．2 5 D.355解析：圆心(2，－3)到EF 的距离d ＝|2＋6－3|5＝ 5. 又|EF |＝29－5＝4，∴S △ECF ＝12×4×5＝2 5. 答案： C 7．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析：由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2b a 2＋b2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： A8．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，则O (2,0)，∴k OM ＝2－01－2＝－2. ∴直线l 的斜率k ＝12， ∴l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.答案： D9．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于0解析：由题意，得e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a (a >b >0)， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－b 4a4<1， ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1e 2)＝lga 4－b 4a 2<0. 答案： C10．已知A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫225，0D.⎝⎛⎭⎫0，225 解析：点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．答案： B11．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977 D.94解析：设椭圆短轴的一个端点为M .由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b .∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°.令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216， ∴|y |＝94. 即P 到x 轴的距离为94. 答案： D12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x解析：由AF →＝FB →及|AF →|＝|AC →|知在Rt △ACB 中，∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p 2＝p ， ∴AC ＝2p ，BC ＝23p ，BA →·BC →＝4p ·23p ·cos 30°＝48，∴p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x .答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)，由题意，p 2＝2，∴p ＝4.答案： 414．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P 、Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为______．解析： ∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y ＝－x .∵两圆的连心线垂直平分公共弦，∴P (1,2)，Q 关于直线y ＝－x 对称，∴Q (－2，－1)．答案： (－2，－1)15．设M 是椭圆x 24＋y 23＝1上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1→·MA 2→的最小值等于________．解析：设M (x 0，y 0)，则MA 1→＝(－2－x 0，－y 0)，MA 2→＝(2－x 0，－y 0)⇒MA 1→·MA 2→＝x 20＋y 20－4＝x 20＋⎝⎛⎭⎫3－34x 20－4＝14x 20－1，显然当x 0＝0时，MA 1→·MA 2→取最小值为－1.答案：－116．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点为F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，且PF 1的中点在y 轴上，则△PF 1F 2的面积为________．解析：如图，设PF 1的中点为M ，则MO ∥PF 2，故∠PF 2F 1＝90°.∵a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，|PF 1|＝8＋|PF 2|.由|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2得(8＋|PF 2|)2＝|PF 2|2＋100，∴|PF 2|＝94，S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 2|＝454. 答案： 454三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)双曲线的两条渐近线方程为x ＋y ＝0和x －y ＝0，直线2x －y －3＝0与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝5，求此双曲线的方程．解析： ∵双曲线渐近线为x ±y ＝0，∴双曲线为等轴双曲线．设双曲线方程为x 2－y 2＝m (m ≠0)，直线与双曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x 2－y 2＝m ，得3x 2－12x ＋m ＋9＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ＋93. 又|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[(2x 1－3)－(2x 2－3)]2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， ∴(5)2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋93，解得m ＝94. 故双曲线的方程为x 2－y 2＝94. 18．(12分)已知圆C 的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解析： (1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x ，∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直，∴直线OC 的方程为x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2.圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.19．(12分)(盐城市三星级高中20XX 届第一次联考)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且C 2的离心率为22，如果C 1、C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．解析：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．A 、B 在椭圆上，∴b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2. ∴b 2(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋a 2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.又线段AB 的中点是圆的圆心(2,1)，∴x 2＋x 1＝4，y 2＋y 1＝2，∴k AB ＝－b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－2b 2a 2，椭圆的离心率为22，∴b 2a 2＝1－e 2＝12， k AB ＝－2b 2a2＝－1，直线AB 的方程为y －1＝－1(x －2)，即x ＋y －3＝0.由(x －2)2＋(y －1)2＝203和x ＋y －3＝0得 A ⎝⎛⎭⎫2＋103，1－103. 代入椭圆方程得：a 2＝16，b 2＝8，∴椭圆方程为：x 216＋y 28＝1. 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e . (1)若半焦距c ＝22，且23、e 、43成等比数列，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，P 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且M P →＝λMN →，求λ的值；(3)若不考虑(1)，在(2)中，求证：λ＝1－e 2.【解析方法代码108001121】解析： (1)∵e 2＝23×43，∴e ＝223， ∴a ＝3，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)设P (x ，y )，则⎩⎨⎧ y ＝223x ＋3x 29＋y 2＝1，解得P ⎝⎛⎭⎫－22，13. ∵M ⎝⎛⎭⎫－924，0，N (0,3)，M P →＝λMN →， ∴λ＝19. (3)证明：∵M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎫－a e ，0，N (0，a )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ex ＋ax 2a 2＋y 2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－cy ＝b 2a (其中c ＝a 2－b 2)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 由M P →＝λMN →得⎝⎛⎭⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝⎛⎭⎫a e ，a ， ∴⎩⎨⎧ a e －c ＝λ·a eb 2a ＝λa ，∴ λ＝1－e 2. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|. (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点P (－1，0)，交y 轴于点M ，若M Q →＝2QP →，求直线l 的方程．解析： (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)，由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2－2，±2a ，故AF 1所在直线方程为y ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x a a 2－2＋1a ，所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)，又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)，所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )，设Q (x 1，y 1)，由于M Q →＝2QP →，∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)，解得x 1＝－23，y 1＝k 3. 又Q 在椭圆C 上，得⎝⎛⎭⎫－2324＋⎝⎛⎭⎫k 322＝1，解得k ＝±4，故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.22．(14分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的一个焦点为F (0,22)，与两坐标轴正半轴分别交于A ，B 两点(如图)，向量A B →与向量m ＝(－1，2)共线．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为k 的直线过点C (0,2)，且与椭圆交于P ，Q 两点，求△POC 与△QOC 面积之比的取值范围．【解析方法代码108001122】解析： (1)y 216＋x 28＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1<0，x 2>0.PQ 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程并消去y ，得(2＋k 2)x 2＋4kx －12＝0，x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，① x 1x 2＝－122＋k 2.② 设S △QOC S △POC ＝|x 2||x 1|＝－x 2x 1＝λ，结合①②得 (1－λ)x 1＝－4k 2＋k 2，λx 21＝122＋k 2. 消去x 1得λ(1－λ)2＝34⎝⎛⎭⎫1＋2k 2>34，解不等式λ(1－λ)2>34，得13<λ<3. ∴△POC 与△QOC 面积之比的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，3.。

解析几何练习题

解析几何练习题一、直线方程与性质1. 已知两点A(2,3)和B(5,1)，求直线AB的方程。

2. 已知直线l经过点P(1,2)，且斜率为3，求直线l的方程。

3. 设直线y = 2x + 1与直线y = x + 3相交于点A，求点A的坐标。

4. 已知直线l：3x + 4y + 6 = 0，求直线l在x轴和y轴上的截距。

5. 判断下列直线是否平行：y = 2x + 3 和 y = 2x 1。

二、圆的方程与性质1. 已知圆心在原点，半径为5，求圆的方程。

2. 已知圆的方程为(x 2)² +(y + 3)² = 16，求圆的半径和圆心坐标。

3. 求过点A(1,2)、B(3,4)和C(5,6)的圆的方程。

4. 已知圆C：x² + y² = 25，直线l：2x y + 3 = 0，判断直线l与圆C的位置关系。

5. 求圆x² + y² + 2x 4y 20 = 0 的圆心和半径。

三、点、线、圆的综合问题1. 已知直线l：2x + 3y 1 = 0，求直线l上到点P(1,2)距离最短的点的坐标。

2. 已知圆C：(x 3)² + (y + 2)² = 16，直线l：x + y 4 = 0，求直线l与圆C的交点。

3. 设点A(2,3)关于直线y = x的对称点为B，求点B的坐标。

4. 已知直线l：3x 4y + 7 = 0，圆C：(x 1)² + (y + 2)² = 9，求直线l与圆C的公共点。

5. 求直线y = 2x + 1与圆x² + y² = 25的交点。

四、解析几何在实际问题中的应用1. 已知某工厂的原料存放点A(2,3)和产品存放点B(5,1)，求从A 到B的最短路线。

2. 在平面直角坐标系中，有一块长方形土地，其四个角分别为A(0,0)、B(4,0)、C(4,3)和D(0,3)，求该土地的对角线长度。

解析几何习题及答案

解析几何习题一、选择题(本大题共12个小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 平面上有两个定点A 、B 及动点P ，命题甲：“|P A |－|PB |是定值”，命题乙“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y ＝±13x ，那么双曲线方程是( ) A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝1 C.x 29－y 2＝1 D.x 218－y 23＝1 3. 点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )A ．(－a －1，－b －1)B ．(－b －1，－a －1)C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )4. 直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1 5. 椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D.1925或21 6. 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．127. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 8. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )． A. 2 B. 3 C.3＋12 D.5＋129. 若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－2,2) D ．[－2,2]10. 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.9211. 已知F (c,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 的距离为m ＋n 2的点是( ) A ．(c ，±b 2a ) B ．(c ，±b a) C ．(0，±b ) D ．不存在12. A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫22，53，C (x 2，y 2)为椭圆x 29＋y 225＝1上三点，若F (0,4)与三点A 、B 、C 的距离为等差数列，则y 1＋y 2的值为( )A.43B.103C.163D.223二、填空题（本大题共4小题，将正确的答案填在题中横线上）13. 设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于________．14. 平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．15. 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．16. 点P 是双曲线x 24－y 2＝1上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．三、解答题(本大题共5个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．18. 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围．(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．19. 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．20. 在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的双曲线方程．。

解析几何专题训练含参考答案

15．已知直线ax－y+2a=0与(2a－1)x+ay+a=0互相垂直,则a的值=
16若圆与圆的公共弦长为，则a=________.
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上、半径为的圆位于轴右侧，且与直线相切.
（1）求圆的方程；（2）在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．
解析几何专题训练含参考答案
一、选择题
1．直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距等于( )．
A. B．2 C. D．2
3．已知分别是椭圆的左右焦点，过与轴垂直的直线交椭圆于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的范围是（）
依题意，得： 8分
由，令，得，即
10分（用表示一样给分）
当且仅当即时取等号.12分
因为故时，有最小值 .13分
15．1,016【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为，
利用圆心（0，0）到直线的距离d 为，解得a=1.
【答案】117．（1）；（2）时取得最大值，点的坐标是与，面积的最大值是 .
试题分析：（1）设圆心是，它到直线的距离是，
解得或（舍去）所求圆的方程是
18．已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

解析几何经典题1. (本小题满分14分)已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1),(0,1)-,且,AC BC所在直线的斜率之积等于(0)m m ≠.(1)求顶点C 的轨迹E 的方程,并判断轨迹E 为何种圆锥曲线;(2)当12m =-时,过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点,设点N 关于x 轴的对称点为Q (M Q 、不重合) 试问:直线MQ 与x 轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.1. (1)由题知:11y y m x x-+⋅= 化简得:221(0)mx y x -+=≠当1m <-时轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,1)-两点;当1m =-时轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是1的圆,且除去(0,1),(0,1)-两点; 当10m -<<时轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,1)-两点; 当0m >时轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,1)-两点; (2)设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零,则可设l :1x ty =+,代入221(0)2x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-=12222t y y t -+=+,12212y y t -=+, 又因为M Q 、不重合,则1212,x x y y ≠≠-Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =,得1211211211121212()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++故直线MQ 过定点(2,0)解二:设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零,可设l :(1)y k x =-代入221(0)2x y x +=≠整理得:2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122412k x x k +=+,21222212k x x k-=+,Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =,得121121121211121212()(1)()2()2(2)2y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-∴直线MQ 过定点(2,0)2. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的短轴长为2，离心率为2．过点M （2,0）的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围；（Ⅲ）若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点.2、解：（Ⅰ）依题意知1b =，2cae ==得2222222a c a b ==-,故22a =. ……2分所以椭圆C 的方程为2212x y += …………3分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：2x =，与椭圆2212x y +=不相交。

所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为(2)y k x =-，与椭圆C 的方程2212x y +=联立,消去y 得 2222(12)8820k x k x k +-+-=. …………4分由△＞0得2102k ≤<. …………5分设1122(,),(,)A x y B x y ,则222212122881212,kk kkx x x x -+++==. …………6分∴1212OA OB x x y y ⋅=+ …………7分222212121212(2)(2)(1)2()4x x k x x k x x k x x k =+--=+-++=222102751212k k k-=-++ …………8分2102k ≤<，∴2777212k <≤+，故所求范围是3[2,)2-. …………9分（Ⅲ）由对称性可知N 22(,)x y -，若直线AN 恒过一定点，则定点在x 轴上.直线AN ：121112()y y y y x x x x +-=--， …………11分令0y =得:2222112122112121121212242416161212812()22()14k kk k kky x x x y x y x x x x x x y y y y x x ---+++-+-+=-====+++-, …………13分 ∴直线l 过定点(1,0). …………14分3、(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点A 为抛物线28y x =的焦点，上顶点为B，离心率为2（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，若线段PQ 的中点横坐标是l 的方程3、解：（1）抛物线28y x =的焦点为(2,0)A ，依题意可知2a =…………2分因为离心率c e a ==c = …………3分故2221b a c =-=…………5分所以椭圆C 的方程为：2214x y += …………6分（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：0x =，与椭圆2214x y +=的交点为(0,1)P ，(0,1)Q -，线段PQ 的中点横坐标为0，与题意不符。

…………9分所以直线l 的斜率存在，设为k，则直线:l y kx =由2244y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y可得22(41)40k x +++= ……8分因为直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，所以2212816(41)0k k ∆=-+> 解得1||2k >…………10分又12122441x x x x k +==+ ……11分设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 中点00(,)M x y ，因为线段PQ的中点横坐标是所以12022415x x x k +-===-+ ……12分解得1k =或14k = ……13分因为1||2k >，所以1k =，因此所求直线:l y x =…………14分 4． (本小题满分14分)已知过点A(0，4)的直线l 与以F 为焦点的抛物线C ：2x py =相切于点0(4,)T y -；中心在坐标原点，一个焦点为F 的椭圆与直线l 有公共点． (1)求直线l 的方程和焦点F 的坐标； (2)求当椭圆的离心率最大时椭圆的方程；(3)设点11(,)M x y 是抛物线C 上任意一点，D(0,-2)为定点，是否存在垂直于y 轴的直线l 被以MD 为直径的圆截得的弦长为定值?请说明理由．4、解：(1)∵2x y p=∴2x y p '=，∴直线l :02(4)(4)y y x p ⨯--=+ ∵016y p =∴直线l :168(4)y x p p--=+ ∵直线l 过点A(0，4)，∴1684(04)p p--=+ ∴4p =- ∴直线l :240x y -+= , F 为(0,-1) ………………4分(2)设椭圆为1222-+a x a y =1(a>1) ,12(0,1),(0,1)F F - ,1aa c e ==当e 最大时，a 取得最小;则在直线l 上找一点P ，使得21PF PF +最小2(0,1)F -关于240x y -+=对称道点为200(,)F x y ' …………………6分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=++--+⋅12.0)1(04212020000x y y x 解得⎩⎨⎧=-=1400y x∴1212122||||||||||2a PF PF PF PF F F ''=+=+===……8分∴所求椭圆方程为13422=+x y …………………9分 (3)假设存在1l :y b =, 以MD 为直径的圆N 的圆心为N 21124(,)22x x -- 半径为r ND == 22121))2(224()02(----+-x x 0N 到直线1l 的距离为d |18||224|2121b x b x ++=---= b b x x b x d x r 24416464121212412412+⋅++++=+=∴弦长=b b b x d r 2)1(42222122--+-=- ………………12分 ∴当1b =-时，弦长为定值2 ………………13分即1l :1y =-时，垂直于y 轴的直线l 被以MD 为直径的圆截得的弦长为定值2．…14分5.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知分别是椭圆2222:1(0)x yG a b a b +=>>圆G 与抛物线24y x =-有一个公共的焦点，(,1)2-. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ) 设点P 是椭圆G 在第一象限上的任一点12,PF PF ,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆G 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为1k ,2k ,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值；（III ）在第(Ⅱ)问的条件下，作22F Q F P ⊥，设2F Q 交l 于点Q ，证明:当点P 在椭圆上移动时，点Q 在某定直线上. 5．解：（Ⅰ）解(Ⅰ)由题意得1c = ，又223112a b +=，………………2分消去b 可得，422730a a -+=，解得23a =或212a =（舍去），则22b =，求椭圆G 的方程为22:132x y C +=．……………………4分(Ⅱ)设直线l 方程为y kx m =+，并设点00(,)P x y ，由222222360(32)63x y k x kmx m y kx m⎧+-=⇒+++-⎨=+⎩.22023m k ∆=⇒=+，…………………6分0233023km kx m k =-=->+，当0k >时,0m <，直线与椭圆相交，所以0,0k m <>，2223m k m =+⇒=由222200002(3)1323x y x y -+=⇒=得02m y =，0023x k y ∴=-，…………………8分 000223x x y y y =-+，整理得：00132x x y y +=0001200031111()32y x x kk kk x y y +-+=-+=-为定值. ……………………10分（用导数求解也可，若直接用切线公式扣4分，只得2分）（III ）2PF 的斜率为：2001PF y k x =-，又由22PF F Q ⊥2001F Q x k y -⇒=-,从而得直线2F Q 的方程为：0001(1)x y x y -=--,联立方程000001(1)132x y x y x x y y -⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 消去y 得方程0(3)(3)0x x --=，因为03x ≠，所以3x = ，即点Q 在直线3x =上. ………………………14分6．(本小题满分14分) 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 两个焦点为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，直线A F 1上有一动点P ，求||||2PO PF +的最小值．6．解：（Ⅰ）解：由题设得⎪⎩⎪⎨⎧+==++=222622c b a c a a c a …………… 2分解得： 3,2==b a ，1=c ……………… 4分故C 的方程为13422=+y x . ……… 5分离心率e 21= …… 7分（2）直线A F 1的方程为)1(3+=x y ，设点O 关于直线A F 1对称的点为),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⋅2323)12(3213000000y x x y x y 所以点M 的坐标为 )23,23(- ………… 11分 ∵PM PO =，222MF PM PF PO PF ≥+=+， … 12分 ∴||||2PO PF +的最小值为7)023()123(||222=-+--=MF ……… 14分 7．如图，已知圆E : 22(1)16x y ++=，点(1,0)F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，点G 是轨迹Γ上的一个动点，直线AG 与直线2x = 相交于点D ，试判断以线段BD 为直径的圆与直线GF的位置关系，并证明你的结论．7．解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||EF >，故Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．… 2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，1c =，则b 4分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为 22143x y +=．……… 5分（Ⅱ）以线段BD 为直径的圆与直线GF 相切．由题意，设直线AG 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，则点D 坐标为(2,4)k ，BD 的中点H 的坐标为(2,2)k ．联立方程组22(2),1,43y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)1616120k x k x k +++-=， ………… 6分设00(,)G x y ，则2021612234k x k--=+，所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k =+=+， ………… 7分当12k =±时，点G 的坐标为3(1,)2±，点D 的坐标为(2,2)±.直线GF ⊥x 轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+±=与直线GF 相切． …… 9分当12k ≠±时，则直线GF 的斜率为2222124346814134k k k k k k +=---+，则直线GF 方程为24(1)14ky x k =--， ………………… 10分点H 到直线GF的距离3222228428|2|||142||14|14|k k k k k k d k k k +---===+-，………………… 11分又||4||BD k =，所以圆心H 到直线GF 的距离1||2d BD =， …………………12分此时，以BD 为直径的圆与直线GF 相切． ………………… 13分综上所述，以线段BD 为直径的圆与直线GF 相切． ………………… 14分8．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点OC 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为0)F ，其短轴上的一个端点到F的距离为x（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值. 8．解：（Ⅰ）21c a b ==∴=，， ………………1分∴椭圆方程为2213x y +=，………2分, 准圆方程为224x y +=. ………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，，设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， ………………4分所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=. ………………5分因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则1l ：x =1l ：x =1l 与准圆交于点1)1)-，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l，垂直；同理可证当1l ：x =12l l ，垂直. ………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， l 2由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=. 由0∆=化简整理得 2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切，所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值. ………………14分9． (本题满分14分)已知点(1D 在双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：上，且双曲线的一条渐近线的方程是03=+y x ． (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点)1,0(且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围； (3)设(2)中直线l 与双曲线C 交于B A 、两个不同点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．9．解：(1)由题知，有22121,a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………2分解得221,31.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩因此，所求双曲线C 的方程是221113x y -= ……………4分 (2) ∵直线l 过点)1,0(且斜率为k ，∴直线l ：1y kx =+． ………5分联立方程组2231,1x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得22(3)220k x kx ---=． ……………6分又直线l 与双曲线C 有两个不同交点，∴22230,(2)4(3)(2)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=---->⎪⎩ ……………8分解得((3,3)(3,6)k ∈-． ……………9分(3)设交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由(2)可得1221222,32.3k x x kx x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩……………10分又以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，因此，(OA OB O ⊥为坐标原点）． ……………11分于是，0,OA OB ⋅=即12120x x y y +=，21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)21033k k k k-+++=--，解得1k =±． ……………13分又1k =±满足230k -≠，且0∆>，所以，所求实数1k =±． ………14分 10．（本题满分14分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的焦距为4，且椭圆Γ过点)2,2(A ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设P 、Q 为椭圆Γ上关于y 轴对称的两个不同的动点，求⋅的取值范围． 10．（1）解法一：由已知得2=c ， ………………………………1分因为椭圆Γ过点)2,2(A ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,4,1242222b a ba …………………………2分解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,822b a …………………………………………4分所以，椭圆Γ的方程为14822=+y x ． …………………………………6分解法二：由已知得2=c ，所以椭圆Γ的两个焦点是)0,2(1-F ，)0,2(2F ，……1分所以24223||||221=+=+=AF AF a ，故22=a ， ………………4分所以4222=-=c a b ． …………………………………5分所以，椭圆Γ的方程为14822=+y x ． ………………………………6分（2）设),(y x P ，则),(y x Q -（0≠x ），)2,2(--=y x ，)2,2(---=y x ， ………………………7分由14822=+y x ，得2228y x -=，所以2223)2(4222--=-+-=⋅y y y x 383232-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y ， ………………………………………………………………11分由题意，22<<-y ，所以241038323382+<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-y ． ……………13分所以，AQ AP ⋅的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-2410,38． ………………………………14分 11．（本题满分14分）已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AS ,BS 与直线4=x l ：分别交于N M ,两点.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）(ⅰ) 设直线AS ,BS 的斜率分别为21,k k ，求证21k k ⋅为定值； (ⅱ)求线段MN 的长度的最小值.11．解：(Ⅰ).椭圆 C 的方程为1422=+y x . ………3分（Ⅱ）(ⅰ)设点S 的坐标为),(00y x ，∴22000021+⋅-=⋅x yx y k k 42020-=x y ………5分∵点S 在椭圆上，∴142020=+y x ，∴202044y x -=-∴4121-=⋅k k ………7分(ⅱ) 设直线AS 的方程为)2(1+=x k y ，则)6,4(1k M 且01>k ………9分∵ 4121-=⋅k k ∴ 直线BS 的方程为)2(411--=x k y ………10分 ∴)21,4(1k N -， ………11分故11216||k k MN +=， ………12分 ∴322162216||1111=⨯≥+=k k k k MN ，…13分当且仅当11216k k =，即631=k 时等号成立，∴631=k 时，线段MN 的长度取得最小值为32. …………14分 12．如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |．（1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB||QA|-=？若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作2243O :x y +=的两条切线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，求证：22113m n +为定值．12．（1）依题意知，椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0) ．设椭圆E 的方程为14222=+by x ．由椭圆的对称性知|OC |＝|OB |，又∵0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |．∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形．∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ．将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ，∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ．（2）设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个．（3）设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥,∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)，其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上， ∴M 、N 坐标也满足方程2243O :x y +=----⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=．令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，∴114433x ,y m n ==．又点P 在椭圆E 上，∴22443433()()m n +=，即2211334m n +=为定值．。