高三解析几何双曲线教师版
高三数学圆锥曲线——双曲线 知识精讲 苏教版
高三数学圆锥曲线——双曲线 知识精讲 苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 圆锥曲线——双曲线二. 教学目标：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质三. 知识要点： 1. 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|＝的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
2. 双曲线图像中线段的几何特征：（1）实轴长122A A a =，虚轴长2b ，焦距12。
（2）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+（3）顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c==+（4）焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c==-==+或（5）两准线间的距离：2122a K K c=（6）离心率：121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======1，+∞）（7）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b 。
（8）通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）。
其中222b a c += a PF PF 221=-3. 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4. 双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）M 2M 1PK 2K 1A 1A 2F 2F 1（1）范围：|x |≥a ，y ∈R（2）对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 （3）顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） （4）渐近线：①若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－ab x （5）准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c =⋅（6）焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）（7）与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ【典型例题】例1. 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）。
【配套K12】高三数学双曲线专题教案 新人教A版
第八章 圆锥曲线---双曲线一、考纲要求：二、知识点复习：1．定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{}a 2MF MF M 21=-()212F F a < 注意：没有图形；⇒>21F F a 2两条射线；⇒=21F F a 2双曲线；⇒<21F F a 2 2．椭圆的标准方程及其简单几何性质：三、课前热身：1．双曲线14322=-y x 的实轴长和虚轴长分别是( ) A. 32，4 B.4，32 C.3，4 D. 2，32．双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 双曲线1322-=-y x 的渐近线方程为（ ） A 、x y 3±=B 、x y 31±= C 、x y 33±=D 、x y 3±= 4. 已知点21,F F 分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若21F PF ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A ．13+B ．12+C ．32D ．225. 若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（ ）A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 6. 已知双曲线144x 16y 922=-,则实轴 ；虚轴 ；焦距 ；焦点坐标 ；离心率 ；渐近线 四、例题分析： 类型一：定义应用例1.已知双曲线19y 25x 22=-，1F ，2F 为两焦点，点M 在双曲线上，o 90MF F 21=∠， 求21F MF S ∆的值.例2.若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 和双曲线)0n ,0m (1n y m x 22>>=-，有 相同的焦点1F ，2F ，点P 为椭圆与双曲线的交点，则=⋅21PF PF例3. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-，点A,B 在双曲线右支上，且线段AB 过右焦点2F ，m AB =，1F 为左焦点，则1ABF ∆的周长= 。
高中数学讲义：解析几何专题双曲线(解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。
假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。
三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。
（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教案理解析版
基础知识整合１．双曲线的概念平面内与两个定点F１，F２（|F１F２|＝２c>0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F１F２|且不等于零）的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0：（１）当错误!a<c时，M点的轨迹是双曲线；（２）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（３）当错误!a>c时，M点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质续表a，b，c的关系,错误!c２＝a２＋b２（c>a>0，c>b>0）双曲线中的几个常用结论（１）焦点到渐近线的距离为Ｂ．（２）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（３）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．（４）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（５）双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!.１．（２0１8·浙江高考）双曲线错误!—y２＝１的焦点坐标是（）Ａ．（—错误!，0），（错误!，0）Ｂ．（—２,0），（２,0）Ｃ．（0，—错误!），（0，错误!）Ｄ．（0，—２），（0,２）答案B解析因为双曲线方程为错误!—y２＝１，所以焦点坐标可设为（±c,0），因为c２＝a２＋b２＝３＋１＝４，c＝２，所以焦点坐标为（±２,0），选Ｂ．２．（２0１9·宁夏模拟）设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线的左、右焦点，若|PF１|＝9，则|PF２|等于（）Ａ．１Ｂ．１7Ｃ．１或１7 Ｄ．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF１|—|PF２||＝8⇒|PF２|＝１或１7．又|PF２|≥c—a＝２，故|PF２|＝１7，故选Ｂ．３．（２0１9·湖北模拟）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，点（３，—４）在渐近线上，∴错误!＝错误!，又a２＋b２＝c２，∴c２＝a２＋错误!a２＝错误!a２，∴e＝错误!＝错误!.故选Ｄ．４．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为１0，点P（２,１）在C的渐近线上，则C 的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析∵点P（２,１）在曲线C的渐近线y＝错误!x上，∴１＝错误!，∴a＝２Ｂ．又∵错误!＝错误!＝５，即４b２＋b２＝２５，∴b２＝５，a２＝２0，故选Ａ．５．（２0１8·北京高考）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0）的离心率为错误!，则a＝________.答案４解析在双曲线中，c＝错误!＝错误!，且e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，a２＝１6，∵a>0，∴a＝４．6．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线为２x＋y＝0，一个焦点为（错误!，0），则a＝________；b＝________.答案１２解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±错误!x，又一条渐近线为２x＋y＝0，即y＝—２x，∴错误!＝２，即b＝２a.又∵该双曲线的一个焦点为（错误!，0），∴c＝错误!.由a２＋b２＝c２可得a２＋（２a）２＝５，解得a＝１，b＝２．核心考向突破考向一双曲线的定义例１（１）（２0１9·山西模拟）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0）的一条渐近线方程为２x＋３y＝0，F１，F２分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF１|＝２，则|PF２|＝（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１0答案C解析由题意得错误!＝错误!，解得a＝３．因为|PF１|＝２，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF２|—|PF １|＝２a，解得|PF２|＝8．故选Ｃ．（２）（２0１9·河南濮阳模拟）已知双曲线x２—y２＝４，F１是左焦点，P１，P２是右支上的两个动点，则|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１6答案C解析设双曲线的右焦点为F２，∵|F１P１|＝２a＋|F２P１|，|F１P２|＝２a＋|F２P２|，∴|F１P１|＋|F １P２|—|P１P２|＝２a＋|F２P１|＋２a＋|F２P２|—|P１P２|＝8＋（|F２P１|＋|F２P２|—|P１P２|）≥8（当且仅当P１，P２，F２三点共线时，取等号），∴|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是8．故选Ｃ．触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立与|PF１|·|PF２|的联系.即时训练１．虚轴长为２，离心率e＝３的双曲线的两焦点为F１，F２，过F１作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF２的周长为（）Ａ．３Ｂ．１6＋错误!Ｃ．１２＋错误!Ｄ．２４答案B解析由于２b＝２，e＝错误!＝３，∴b＝１，c＝３a，∴9a２＝a２＋１，∴a＝错误!.由双曲线的定义知，|AF２|—|AF１|＝２a＝错误!，１|BF２|—|BF１|＝错误!，２１＋２得|AF２|＋|BF２|—（|AF１|＋|BF１|）＝错误!，又|AF１|＋|BF１|＝|AB|＝8，∴|AF２|＋|BF２|＝8＋错误!，则△ABF２的周长为１6＋错误!，故选Ｂ．２．已知F是双曲线错误!—错误!＝１的左焦点，A（１,４），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案9解析设双曲线的右焦点为F１，则由双曲线的定义，可知|PF|＝４＋|PF１|，所以当|PF１|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F１共线时，满足|PF１|＋|PA|最小，|AF１|即|PF １|＋|PA|的最小值．又|AF１|＝５，故所求的最小值为9．考向二双曲线的标准方程例２（１）（２0１7·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝错误!x，且与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，则C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由y＝错误!x可得错误!＝错误!.１由椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（３,0），（—３,0），可得a２＋b２＝9．２由１２可得a２＝４，b２＝５．所以C的方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为错误!.若经过F和P（0,４）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由题意可得错误!＝错误!，即c＝错误!Ａ．又左焦点F（—c,0），P（0,４），则直线PF的方程为错误!＝错误!，化简即得y＝错误!x＋４．结合已知条件和图象易知直线PF与y＝错误!x平行，则错误!＝错误!，即４a＝bＣ．故错误!解得错误!故双曲线方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．触类旁通即时训练３．（２0１9·西安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线平行于直线l：y＝２x＋１0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析依题意，双曲线的渐近线为y＝２x，故错误!＝２１；在直线y＝２x＋１0中，令y＝0，故x＝—５，所以a２＋b２＝２５２.联立１２，解得a２＝５，b２＝２0．４．（２0１8·天津高考）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d１和d２，且d１＋d２＝6，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案C解析设双曲线的右焦点坐标为F（c,0）（c>0），则xA＝xB＝c，由错误!—错误!＝１可得，y＝±错误!，不妨设A错误!，B错误!，双曲线的一条渐近线方程为bx—ay＝0，据此可得，d１＝错误!＝错误!，d２＝错误!＝错误!，则d１＋d２＝错误!＝２b＝6，则b＝３，b２＝9，双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝２，据此可得，a２＝３，则双曲线的方程为错误!—错误!＝１．考向三双曲线的几何性质角度错误!双曲线离心率问题例３（１）（２0１8·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为错误!c，则其离心率的值是___．答案２解析因为双曲线的焦点F（c,0）到渐近线y＝±错误!x，即bx±ay＝0的距离为错误!＝错误!＝b，所以b＝错误!c，因此a２＝c２—b２＝c２—错误!c２＝错误!c２，a＝错误!c，e＝２．（２）（２0１6·山东高考）已知双曲线E：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且２|AB|＝３|BC|，则E的离心率是________．答案２解析由已知得|AB|＝|CD|＝错误!，|BC|＝|AD|＝|F１F２|＝２c.因为２|AB|＝３|BC|，所以错误!＝6c，又b２＝c２—a２，所以２e２—３e—２＝0，解得e＝２，或e＝—错误!（舍去）．触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b２＝c２—a２和e＝错误!转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.即时训练５．双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F１，F２，过F１作倾斜角为３0°的直线交双曲线右支于M点，若MF２⊥x轴，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析如图所示，在Rt△MF１F２中，∠MF１F２＝３0°，F１F２＝２c，∴MF１＝错误!＝错误!c，MF２＝２c·tan３0°＝错误!c，∴２a＝MF１—MF２＝错误!c—错误!c＝错误!c⇒e＝错误!＝错误!.6．已知点F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F１且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF２是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，２错误!）Ｃ．（１＋错误!，＋∞）Ｄ．（１,１＋错误!）答案D解析依题意，0<∠AF２F１<错误!，故0<tan∠AF２F１<１，则错误!＝错误!<１，即e—错误!<２，e ２—２e—１<0，（e—１）２<２，所以１<e<１＋错误!，故选Ｄ．角度错误!双曲线的渐近线问题例４（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!x Ｂ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!x Ｄ．y＝±错误!x答案A解析∵e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝e２—１＝３—１＝２，∴错误!＝错误!.因为该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，故选Ａ．（２）（２0１9·深圳调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x—２y＝0，则它的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２答案A解析依题意设双曲线的方程是错误!—错误!＝１（其中a>0，b>0），则其渐近线方程是y＝±错误!x，由题知错误!＝错误!，即b＝２a，因此其离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.触类旁通即时训练7．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则点（４,0）到C的渐近线的距离为（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．２错误!答案D解析因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝１，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以点（４,0）到渐近线的距离d＝错误!＝２错误!.故选Ｄ．8．（２0１9·河北武邑中学模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析设A（x0，y0），由题意，得x0＝c，代入渐近线方程y＝错误!x中，得y0＝错误!，即A错误!，同理可得B错误!，则错误!×错误!×c＝错误!.整理，得错误!＝错误!，即双曲线的离心率为错误!.故选Ｄ．考向四直线与双曲线的位置关系例５已知双曲线Γ：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）经过点P（２,１），且其中一焦点F到一条渐近线的距离为１．（１）求双曲线Γ的方程；（２）过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．解（１）∵双曲线错误!—错误!＝１过点（２,１），∴错误!—错误!＝１．不妨设F为右焦点，则F（c,0）到渐近线bx—ay＝0的距离d＝错误!＝b，∴b＝１，a２＝２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x２—２y２＝２中，整理得（２k２—１）x２＋４kmx＋２m２＋２＝0．∴x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!.２∵错误!·错误!＝0，∴（x１—２，y１—１）·（x２—２，y２—１）＝0，∴（x１—２）（x２—２）＋（kx１＋m—１）（kx２＋m—１）＝0，∴（k２＋１）x１x２＋（km—k—２）（x１＋x２）＋m２—２m＋５＝0．３将１２代入３，得m２＋8km＋１２k２＋２m—３＝0，∴（m＋２k—１）（m＋6k＋３）＝0．而P∉AB，∴m＝—6k—３，从而直线AB的方程为y＝kx—6k—３．将y＝kx—6k—３代入x２—２y２—２＝0中，判别式Δ＝8（３４k２＋３6k＋１0）>0恒成立，∴y＝kx—6k—３即为所求直线．∴P到AB的距离d＝错误!＝错误!.∵错误!２＝错误!＝１＋错误!≤２．∴d≤４错误!，即点P到直线AB距离的最大值为４错误!.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：１设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.错误!即时训练9．设双曲线C：错误!—y２＝１（a>0）与直线l：x＋y＝１相交于两个不同点A，Ｂ．（１）求双曲线C的离心率e的取值范围；（２）设直线l与y轴的交点为P，取错误!＝错误!错误!，求a的值．解（１）将y＝—x＋１代入双曲线错误!—y２＝１（a>0）中，得（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0．所以错误!解得0<a<错误!且a≠１．又双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，所以e>错误!且e≠错误!，即e∈错误!∪（错误!，＋∞）．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），P（0,１），因为错误!＝错误!错误!，所以（x１，y１—１）＝错误!（x２，y２—１），由此得x１＝错误!x２．由于x１，x２是方程（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0的两根，且１—a２≠0，所以x１＋x２＝错误! x２＝—错误!，x１x２＝错误!x错误!＝—错误!，消去x２得—错误!＝错误!，由a>0，解得a＝错误!.。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.6双曲线教学案苏教版
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.6双曲线教学案苏教版[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx 离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)系[常用结论]双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b .(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.(6)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a2.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线． ( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 A [由题意可知b ＝2a ，∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝5，故选A.] 2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1D.x 24－y 23＝1 A [设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.]3．若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是 ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) [因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m ＋1)＞0，即m ＞－1或m ＜－2.]4．已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于 ．6 [设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6.]考点1 双曲线的定义及其应用 双曲线定义的主要应用(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ．(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为 ．(3)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝ .(1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)9 (3)34[(1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|PA |最小时满足|PF |＋|PA |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|PA |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9.(3)因为由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，所以cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝422＋222－422×42×22＝34.] [母题探究]1．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.2．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ [解] 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．1.虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24B [由于2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ①|BF 2|－|BF 1|＝22， ②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.]2．(2019·洛阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是 ．8 [设双曲线的右焦点为F 2，∵|F 1P 1|＝2a ＋|F 2P 1|，|F 1P 2|＝2a ＋|F 2P 2|，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|＝2a ＋|F 2P 1|＋2a ＋|F 2P 2|－|P 1P 2|＝8＋(|F 2P 1|＋|F 2P 2|－|P 1P 2|)≥8(当且仅当P 1，P 2，F 2三点共线时，取等号)，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是8.]考点2 双曲线的标准方程 求双曲线标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程． (2)待定系数法：即“先定位，后定量”． ①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．(1)(2019·大连模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(1)D [(1)由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c 3，2b ＝22，由双曲线的定义可得43c3－23c 3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1，故选D.](2)[解] ① 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1，∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；当λ<0时，双曲线标准方程为y 2－λ－x 2－4λ＝1，∴c ＝－5λ.∴－5λ＝5，λ＝－ 5.∴所求双曲线方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1.(mn >0)∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线方程为y 225－x 275＝1.(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论．1.(2019·荆州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1 C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 C [由双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1，故选C.]2．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，焦点坐标为(±5,0)，则双曲线的方程为 ．x 216－y 29＝1 [将3x ±4y ＝0化为x 4±y 3＝0，设以x 4±y 3＝0为渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双曲线的方程为x 216－y 29＝1.]。
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第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
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第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
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第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
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高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第 2 讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1.双曲线的第一定义:平面内到两个定点F1 、F 的距离之差的绝对值等于定长2a（2叫双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.注1:在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作2a），不但要小于这两个定点之间的距离F1F2（记作2c），而且还要大于零，否则点的是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当2a 0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；(ⅱ）当2a 2c 时，点的轨迹是两条射线;（ⅲ)当2a 2c 时，点的轨迹不存在;高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)（ⅳ）当0 2a 2c时，点的轨迹是双曲线.特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支.MF MF 2a1 2注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为F1F2 2c），即M F1 MF F F2 12。
2.双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （e 1)的点的轨迹叫做双曲线.二、双曲线的标准方程1.双曲线的标准方程22xy122（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是0 ，b 0）;ab1高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 高中数学讲义之解析几何（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是2y2a2x2b1（a0 ）注：若题目已给出双曲线的标准方程, 那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴, 主要看实半轴跟谁走. 若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。
高中数学第2章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
知识点三 对双曲线的几何性质的五点认识
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(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方 程ax22－by22＝1(a>0，b>0)，得ax22＝1＋by22≥1，所以 x2≥a2，所以|x|≥a，即 x≤
－a 或 x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为 c>a>0，
[跟踪训练 1] 求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长和半虚轴长、焦点 坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程为4y22－3x22＝1.由此可知，半实 轴长 a＝4，半虚轴长 b＝3，c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，所以焦点坐标为(0， －5)，(0,5)，离心率 e＝ac＝45，渐近线方程为 y＝±43x.
13 ______e_＝__ac_(_e_>_1_)_______
知识点二 等轴双曲线 01 ____实__轴__长__与__虚__轴__长__相__等_______的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲 线具有以下性质： (1)方程形式为 02 __x_2_－__y_2＝__λ____________ (λ≠0)； (2)渐近线方程为 03 ____y_＝__±_x__________，它们互相垂直，并且平分双 曲线实轴和虚轴所成的角； (3)实轴长和虚轴长都等于 04 ___2_a____，离心率 e＝ 05 ___2___.
图 形
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
焦点在 y 轴上 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
焦点位置 焦点 焦距
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圆锥曲线（2）教师版双曲线一、双曲线的定义㈠平面内到两个定点的距离差等于定值且该定值小于这两个定点的距离的点的轨迹为双曲线 ㈡符号语言: 已知FF 21,为平面上两个定点若()F F F Fa a P P2121202||<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线注；单支双曲线的定义 已知FF 21,为x 轴上的两个定点且FF 21在左侧①若()F F F F a a P P 2121202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的右支 ②若()F F F Fa a P P2112202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的左支双曲线位置的判定 方程()()()N m ym x m m m m *∈=--+--22222935220113表示双曲线⑴求m⑵求双曲线焦点坐标及渐近线方程 典例求双曲线标准方程⎪⎩⎪⎨⎧轨迹方程法待定系数法几何法㈠几何法：求实半轴a 及虚半轴b注：双曲线定位条件：双曲线上点的坐标，焦点位置，渐进线方程，若题中无定位条件可以利用换轴法写方程，反之不行例已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线为y=kx （k>0）离心率为k e 5=则双曲线标准方程A 、142222=-a y a x B 、152222=-ay a xC 、142222=-b y b x D 、152222=-by b x答案：C练习：1、已知圆C ：084622=+--+y x yx ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和定点，则适合该条件的双曲线的标准方程为答案：112422=-yx2、已知双曲线中心在原点，焦点FF 21,，离心率为2，且过点()10,4-⑴求双曲线的方程⑵若点M （3,m ）在双曲线上，求证：012=⋅→→F M F M⑶求FF M 21∆的面积答案；⑴622=-yx ,⑶63、过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 提示：用通径算 答案：2㈡待定系数法:①已知双曲线上两个点坐标双曲线方程可设为()0122<⋅=-B A B Ay x②已知双曲线的渐近线方程为0=±By Ax 则与它对应的双曲线标准方程可设为()02222≠=-λλyB x A例1求经过点P （3,415），且一条渐近线为4x+3y=0的双曲线标准方程 答案：116922=-yx例2双曲线的渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐进线的距离为3，求双曲线的标准方程 提示：分类讨论方法处理，找到渐进线的倾斜角直接可求c答案：19271932222=-=-xy y x 或㈢轨迹方程法（定义法） 例已知动圆M 与圆()24:221=+-yC x 外切，与圆()24:222=+-yC x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程圆C1的圆心C1（-4,0）半径21=r,圆C 2的圆心C 2（-4,0）半径22=r设动圆的半径为r,r r CC 21218+>=故圆C 1与圆C 2外离如图所示圆M 与圆C 1外切故r Cr M 11+=,圆M 与圆C 2外切故r C r M 22-=a M M C C 22221==-∴M 点轨迹为以C C 21,为左右焦点的双曲线的右支∴()2114222≥=-x yx注：当遇到利用定义法求曲线轨迹方程涉及圆内切问题时，一定要分析两已知圆的位置关系，只有这样才能知道动圆与圆C2哪个是大圆哪个是小圆练习1：设椭圆C1的离心率是135，焦点在x 轴上且长轴长26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为,答案：191622=-yx2、双曲线116922=+yx的两个焦点为F F 21,，点P 在双曲线上，若F F P p 21⊥，则P 到x 轴的距离是提示：双曲线定义+等积法,答案：5163、F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 在双曲线上，若ac F P F P F P F P 221,021==⋅→→→→（c 为半焦距），则双曲线的离心率为 答案；251+ 三、双曲线的几何性质 例F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P ，使022=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→→→P F F O OP ，且F P F P 231→→=，则双曲线的离心率是解：根据向量加法的平行四边形法则作F O OP OM 2→→→+=显然四边形F OPM 2为菱形∴F OP 2∆为直角三角形例FF 21,是双曲线1322=-y x的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若F P F P 2413→→=，则F F P 21∆的面积等于 练习：过双曲线()012222>>=+a b bya x 的左焦点F （-c,0）（c>0）作圆ay x 222=+的切线切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→OP OF OE21（O 为坐标原点）则双曲线的离心率为 A 、5 B 、3 C 、25 D 、26显然 OE 为B FRt F'∆的中位线，∴a B F 2'=又c F F 2'=由勾股定理及b a c 222+=，则BF=2b 又由双曲线定义知b=2a 可求e由双曲线定义四、直线与双曲线的位置关系㈠从几何角度探讨直线与双曲线的位置关系问题1：直线与双曲线重合时，直线与双曲线有几个交点？问题2：直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有几个交点？能不能出现下面几种情况？归纳：当直线与双曲线渐进线平行时，直线与双曲线有唯一交点问题3：直线与双曲线相切时，能不能出现下面两种情况？归纳：直线与双曲线相切，直线与双曲线有唯一交点问题4：直线与双曲线相交最多有几个交点？把直线方程和双曲线方程联立消元（消y ）得到的方程02=++C Bx Ax最多两个根，故直线和双曲线最多有两个交点。
当直线和双曲线有两个交点时，直线和单支有两个交点或与两支一边一个交点如下图当直线与双曲线无交点时㈡从代数角度探讨直线与双曲线的位置关系1、 首先考虑斜率存在的直线l 与双曲线的位置关系 设斜率存在的直线方程为l:y=kx+m,双曲线方程为()0,012222>>=-b a by a x⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222by a x mkx y ()02222222222=----m a b a a x k a b x km⑴当x abk k ab ±==-即0222时 ⅰ）当m=0时直线与双曲线渐近线重合，直线与双曲线无交点 ⅱ）当0≠m 直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线有唯一交点 ⑵当0222≠-kab时点直线与双曲线相交于两⇔>∆0 点直线与双曲线相切于一⇔=∆0 直线与双曲线无交点⇔<∆02、 当直线斜率不存在时联立方程求交点或数形结合判断直线与双曲线的位置关系注：①直线与双曲线有两个交点的条件：首先保证直线与双曲线渐近线不平行也不重合，再把直线方程与双曲线方程联立消元得到的二次方程的判别式大于②上面两种方法讨论直线与整条双曲线的关系当直线与双曲线相交于两点时，有时问题特别强调这两个交点的位置例直线与双曲线的左支有两个交点，与右支有两个交点或者与左右两支一边一个交点解题思路：将直线方程和双曲线方程联立消元（消去取值范围为R 的变量）再利用yy x x 2121⋅⋅或讨论问题例1：已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右交点为F ，若过F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的范围师生活动：在双曲线右支内取点任取一点M ，先过F 作与渐进线平行的直线①过F 的直线与渐进线平行时即k k k k ll ll21==或，直线与双曲线有唯一交点②过F 的直线落在阴影内时即k k k l l l 12<<或写成abkl<，直线与双曲线的两支一边一个交点 ③过F 的直线落在空白处时即k k k kl l l l21<>或或写成abk l >，直线与双曲线的右支有两个交点同理我们也可以讨论在双曲线左支内取点的情况教学建议；对于讨论直线与双曲线位置关系问题，就题论题，不要编造一些匪夷所思的问题自己折磨自己， 答案；[)+∞,2练习1；设离心率为e 的双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右焦点为F ，斜率为k 的直线过F ，且与双曲线的左右两支以及y 轴的交点分别为R ，P ，Q ⑴试比较k e221+与的大小⑵若P 为FQ 中点，且ek=2,求e解⑴斜率为k 的直线过F ，且与双曲线的左右两支各有一个交点则12222-=<⇒<e ba k ab k⑵利用直线方程求出F ，Q 的坐标，利用F ，Q 的坐标表示P 点坐标，将P 点坐标代入双曲线，联立ek=2可求e=5练习2已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 与直线y=2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围是提示几何法 答案；5>e例2：已知双曲线C 中心在原点，而且右焦点为F （2,0）右顶点为()0,3⑴求双曲线C 的方程⑵若直线l:2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同交点A 和B ，且2>⋅→→OB OA ，其中O 为坐标原点，求k的取值范围 解⑴答案：1322=-y x⑵⎪⎩⎪⎨⎧=-+=33222y x kx y ()09263122=---kx x k0363603122>-=∆≠-k k 且∴1122<≠k k且①22121>+=⋅→→y y x x OB OA()()()2222212122121+++=++=x x xx k x x y y k k k∴()()02121212>+++x x xx k k∵139,3126221221-=-=+k x x kx x k∴0311213992222>-+-+kkk k∴3312<<k 结合①1312<<k 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈1,3333,1k设计说明：在本题中给出向量关系式，在有些问题中可以自己创造向量垂直条件，如下题 例3已知双曲线()0,012222>>=-b a bya x 的离心率为332=e ，过点A （0，-b ）和（a,0）的直线与原点的距离为23 ⑴求双曲线方程⑵直线y=kx+m （0,0≠≠m k ）与该双曲线交于不同两点C ，D 且C ，D 都在以A 为圆心的同一个圆上，求m 的范围 解⑴1322=-y x⑵如图设M 为CD 中点，显然CD AM →→⊥以下略答案：0414<<->m m 或 注：不要忘记检验直线与双曲线相交于两点条件设计说明：建模方法除了向量法外，还有弦长公式 四、双曲线的弦长公式㈠若将斜率存在的直线方程l:y=kx+m 与双曲线方程联立消元（消y ）后得到方程02=++C Bx A x弦长AAB k∆+=21 若将斜率存在的直线方程l:y=kx+m 与双曲线方程联立消x 得到方程02=++C By A y弦长公式为AAB k∆+=211 ㈡当直线的斜率不存在时先求直线与双曲线的交点再求弦长 注： 不要忘记检验直线与双曲线相交于两点条件例：求两条渐近线为02=±y x 且截直线x-y-3=0所得弦长为338的双曲线方程 提示：利用渐近线设出双曲线方程再求弦长 答案；1422=-y x综合练习：1、 双曲线12222=-by a x 与12222=+ax b y 的离心率e e 21与，则e e 21+最小值为答案：22 2、 方程c b ay x=+22表示双曲线是ab<0的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 答案：D3、 双曲线的渐进线为034=±x y ，则双曲线的离心率为 答案：3545或 4、F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点,A,B 是以O 为圆心，以F O 1的圆与该双曲线左右两支的两个交点，且AB F 2∆为等边三角形，则双曲线的离心率为答案：31+5、FF 21,是双曲线1922=-y x左右焦点，若点P 在双曲线上，且021=⋅→→F P F P ，则=+→→F P F P 21,答案：1026、设双曲线()0,012222>>=-b a bya x 的两条渐近线与实轴的夹角为θ，而离心率[]2,2∈e ，则θ的取值范围,答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,2ππ 7、FF 21,是双曲线()0,012222>>=-b a bya x 的两个焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点，若FAB2为锐角三角形，则离心率e 的范围是要想FAB2为锐角三角形,只需⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠2,02πB A F ，∴⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ ∴()1,0tan 22∈==ac c a b bθ∴1110222<-⇒<-<eac eac∴211+<<e7抛物线一、抛物线定义1、文字语言：到定点的距离与到直线距离相等点的轨迹为以定点为焦点，以定直线为准线的抛物线（定直线不过定点）2、符号语言：F 为定点，l 为定直线 若()l F l P d PF ∉=1,则P 点轨迹为以P 为焦点，以l 为准线的抛物线注：PF 长为焦半径，焦半径数值上等于()l P d ,二、抛物线的几何性质注：①一次项定轴，一次项为x ，焦点在x 轴上；一次项为y,焦点在y 轴上②一次项系数定开口方向⎩⎨⎧<>开口向左或向下开口向上或向右00t t③抛物线的通径：过焦点与对称轴垂直的弦的弦长=|t|练习1对于顶点在原点的泡物线，给出下列条件① 焦点在y 轴上②焦点在x 轴上③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为6④抛物线的通径长为5⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）能满足抛物线方程x y102=的条件是 答案：②⑤练习2已知椭圆12222=+by a x 的一条通径与抛物线()022>=p px y 的通径重合，则椭圆的离心率答案：12-典例一、求抛物线标准方程：㈠ 几何法（求t ）练习：1、若抛物px y 22=的焦点与椭圆12622=+yx 的右焦点重合，则P 的值为答案：42、抛物线()042>=m mx y的焦点到双曲线191622=-yx 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的标准方程为 答案：x y202=3、在平面直角坐标系xOy 中有一定点A （2,1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线()022>=p px y的焦点，则该抛物线的准线方程是 答案：l:45-=x 4、若双曲线1163222=-pyx 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，求抛物线标准方程答案：x y82=5、设椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的标准方程为 答案：1121622=+yx6、抛物线的焦点是双曲线14491622=-y x的左顶点，求抛物线的标准方程答案：x y122-=7、设抛物线m x y=2的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线方程提示：314=--m则m=8或-16 8、在直角坐标系xoy 中，椭圆()012222>>=+b a bya x 的左右交点为F F F 221,,也是抛物线x y 42=的交点，点M 为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且352=FM，求椭圆方程,答案：13422=+y x ㈡待定系数法例1已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A （m,-3）到焦点F 的距离为5，求m 注；利用抛物线上点的坐标可确定抛物线的开口方向 在本题中抛物线开口可能向下，向右或向左 ⑴当抛物线开口向下，设抛物线标准方程为()02<=t ty x43t PF -==5∴t=-8∴抛物线标准方程为y x 82-=,将A 点坐标代入可求m=62± ⑵当抛物线的对称轴为x 轴时，设抛物线标准方程为()02≠=t tx y|4|t m PF +==5 又A 在抛物线上 ∴9=mt 解得m=2921或 练习 ：1、顶点在原点，关于坐标轴对称，且过点（2，-3）的抛物线标准方程是 答案：y x x y342922-==或 2、抛物线的焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于A 点，|AF|=5，求抛物线标准方程 答案：x x y y18222±=±=或㈢轨迹方程法：定义法若点P 到直线x=-1的距离比它到点（2,0）距离小1，则点P 的轨迹 解：如图P 到直线l:x=-2的距离和它到点（2,0）距离相等 故P 点轨迹是以F （2,0）为焦点，以l:x=-2为准线的抛物线二、抛物线的几何性质 例；以抛物线()022>=p px y的焦半径|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系设PF 中点为M ，P （x,y ），2px PF += ()PF p x y M d 21221,=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=轴∴以抛物线()022>=p px y的焦半径|PF|为直径的圆与y 轴相切结论：设P 是抛物线()02≠=t tx y上任意一点，则以此抛物线焦半径|PF|为直径的圆与y 轴相切。