基于SVD可操作度指标的机械臂灵活性分析
机械臂的动力学分析与控制
机械臂的动力学分析与控制近年来，随着科学技术的不断进步，机械臂在工业领域得到了广泛的应用。
机械臂以其优异的精度和灵活性，成为自动化生产的得力助手。
而要实现机械臂的高效工作，动力学分析与控制是不可或缺的关键。
动力学分析是研究机械臂在特定条件下的力学行为和运动规律。
通过对机械臂的动力学进行分析，可以深入了解机械臂在不同工作状态下的力学特性，有助于优化机械臂的设计和控制算法。
首先，动力学分析需要建立机械臂的动力学模型。
机械臂由多个关节和执行器组成，关节是机械臂的运动连接部件，执行器负责驱动机械臂的运动。
通过对机械臂的关节和执行器进行建模，可以得到机械臂的几何结构，质量分布以及关节间的连接关系。
接下来，动力学分析需要考虑机械臂的力学特性。
机械臂在工作时会受到多种力的作用，如重力、惯性力和外部负载力等。
这些力的作用会导致机械臂的加速度、速度和位置的变化。
通过对这些力进行分析，可以确定机械臂在特定工作状态下的动力学特性。
在动力学分析的基础上，控制机械臂的运动是十分重要的。
控制机械臂的目的是使其按照预设的路径和姿态进行精准的操作。
控制机械臂的方法有很多种，其中常用的是PID控制器和模糊控制器。
PID控制器是一种基于比例、积分和微分的控制策略。
通过对机械臂的误差进行测量和反馈，PID控制器可以根据误差的大小来调整机械臂的输出，从而使机械臂的位置和姿态接近预期值。
而模糊控制器则是一种基于模糊逻辑推理的控制方法，它可以处理复杂和模糊的输入条件，从而实现对机械臂的精确控制。
除了基本的控制方法，机械臂的轨迹规划也是控制的重要一环。
轨迹规划是指确定机械臂运动的路径和速度，使机械臂在运动过程中保持平稳和高效。
常见的轨迹规划方法有插值法和最小时间法。
插值法通过对机械臂的离散点进行插值，得到机械臂的路径和速度。
最小时间法则是通过确定机械臂的加速度、速度和位置的变化，使机械臂在最短时间内完成运动。
总结起来，机械臂的动力学分析与控制是实现机械臂高效工作的重要一环。
超冗余移动机械臂逆运动学快速求解的两种方法比较
超冗余移动机械臂逆运动学快速求解的两种方法比较超冗余移动机械臂是一种具有多个自由度的机械臂，其具有较强的灵活性和适应性，能够完成复杂的运动任务。
超冗余移动机械臂的逆运动学问题求解一直是一个具有挑战性的问题。
解决超冗余移动机械臂逆运动学问题的方法有很多种，其中包括基于解析方法和基于数值方法的两种主要方法。
本文将重点比较这两种方法在超冗余移动机械臂逆运动学问题快速求解方面的优缺点。
1. 基于解析方法基于解析方法是一种通过建立数学模型来求解机械臂逆运动学问题的方法。
这种方法通常可以通过解析几何学和微积分的知识来建立机械臂的数学模型，并通过对模型进行求解来得到机械臂的逆运动学解。
基于解析方法的优点在于求解过程直观清晰，能够得到明确的数学表达式，并且具有较高的计算精度。
基于解析方法求解的结果通常能够反映机械臂的几何结构和运动特性，便于后续的运动控制设计和优化。
基于解析方法也存在一些缺点。
对于超冗余移动机械臂来说，其多个自由度使得建立和求解数学模型变得十分复杂，需要较高的数学水平和计算能力。
基于解析方法求解的结果往往只适用于特定的机械臂结构和条件，对于复杂的非线性、非理想条件下的机械臂，基于解析方法很难得到精确的解。
基于数值方法也存在一些缺点。
数值计算过程中可能出现收敛速度慢、算法稳定性差等问题，导致求解效率较低。
基于数值方法求解的结果往往只能得到数值近似解，对于需要高精度的逆运动学问题求解，基于数值方法可能无法满足要求。
基于解析方法和基于数值方法各自具有优缺点。
对于超冗余移动机械臂的逆运动学问题，选择合适的求解方法需要综合考量机械臂的结构特点、求解精度要求、计算性能等因素。
未来随着计算机技术的发展和数值计算方法的改进，相信能够有更多更有效的方法用于超冗余移动机械臂逆运动学问题的快速求解。
机械臂工作空间全局相对可操作度图的构建方法
机械臂工作空间全局相对可操作度图的构建方法李宪华;疏杨;张雷刚;郭帅;张军【摘要】针对机械臂工作空间的灵活性问题，提出了一种全局相对可操作度图的构建方法。
该方法首先将机械臂工作空间进行网格化处理，得到离散位置；然后在离散位置的均布小球上建立直角坐标系，通过绕坐标轴旋转的方式完成机械臂姿态的离散；而后将每个离散位置上的位姿进行逆运动学解算，并计算得到该位置上的最大相对可操作度；最后采用可视化的方法绘制出机械臂工作空间的相对可操作度分布图，进而揭示机械臂在其工作空间内的灵活性分布规律。
该方法为机械臂的设计提供了相关理论依据，为机械臂的任务操作规划奠定了基础。
%Aiming at the flexibility of manipulators in working space , a method of constructing global relative ma-nipulability map was proposed .In this method , the working space of the manipulator was processed by grid , and the discrete positions were obtained;then the rectangular coordinate system was set up on the discrete positions , and the discrete positions of the manipulator were accomplished by rotating the coordinate axis ;the position and pose of each discrete position were calculated by inverse kinematics , and the maximum relative operational de-gree of the position was calculated; finally, the visual method was used to draw the relative operational degree distribution map of the manipulator in the working space to reveal the flexibility distribution of the manipulator in its working space .The method provides a theoretical basis for the design of the manipulator , and lays the founda-tion for the task operation planning of the manipulator .【期刊名称】《安徽理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(036)001【总页数】6页(P56-61)【关键词】机械臂;相对可操作度图;逆运动学【作者】李宪华;疏杨;张雷刚;郭帅;张军【作者单位】安徽理工大学机械工程学院，安徽淮南 232001;安徽理工大学机械工程学院，安徽淮南 232001;安徽理工大学机械工程学院，安徽淮南 232001;上海市智能制造及机器人重点实验室，上海 200444;安徽理工大学机械工程学院，安徽淮南 232001【正文语种】中文【中图分类】TP241机械臂是模仿人体手臂而设计的一种自动化操作装置，其运动灵活性反映了对任务操作的转换能力，灵活性指标对于机械臂的设计、评价与运动规划有非常重要的作用，机械臂运动灵活性是机器人运动学研究的一个重要内容。
基于深度强化学习的机械臂运动控制研究
基于深度强化学习的机械臂运动控制研究机械臂是一种能够模仿人类手臂动作的工业机器人。
在许多领域，机械臂的应用正逐渐扩大。
随着计算机技术的日益发展和深度学习技术的兴起，机械臂的运动控制也变得越来越复杂，这就对机器人控制技术提出了更高的要求。
本文将探讨基于深度强化学习的机械臂运动控制研究，并分析其现状和未来发展方向。
一、机械臂运动控制的现状机械臂运动控制是机器人领域中的一个重要研究方向。
在传统的机械臂运动控制中，通常采用预先编程的方式来控制机械臂的运动。
这种方法存在着以下问题：1. 缺乏自适应性：预先编程的控制方法只能适用于固定的场景，对于环境的变化以及未知的情况无法进行自适应。
2. 难以处理复杂环境：当机械臂所处的环境非常复杂时，很难通过预先编程的方式来控制机械臂的运动。
3. 精度不高：预先编程的方式只能实现较低的精度，无法处理一些精度要求较高的任务。
因此，在近年来的机械臂运动控制研究中，越来越多的学者开始探索基于深度学习的控制方法。
二、深度学习在机械臂运动控制中的应用深度学习是一种人工智能的技术，它在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域已经取得了很大的成功。
近年来，深度学习也逐渐应用到机器人领域中。
深度学习的一个优点是可以从大量的数据中学习，这也是机械臂运动控制中所需要的。
基于深度学习的机械臂运动控制方法主要分为两类：基于监督学习的方法和基于强化学习的方法。
1. 基于监督学习的方法基于监督学习的方法是指通过对大量的训练数据进行学习，从而得到机械臂运动的控制模型。
这种方法需要在训练数据集中标注出正确的运动轨迹和动作。
随着深度学习技术的进步，监督学习在机械臂运动控制中的应用也越来越广泛。
例如，可以使用卷积神经网络来对机械臂进行运动控制。
2. 基于强化学习的方法基于强化学习的方法是指通过不断地试错和调整，从而得到机械臂运动控制模型。
在这种方法中，用以控制机械臂运动的模型会根据当前状态所处的情况，以及得到的奖励或惩罚来进行相应的调整。
机械臂的运动学与逆运动学分析
机械臂的运动学与逆运动学分析机械臂是一种能够模拟人类手臂运动的自动化机器人。
它广泛应用于工业领域，用于完成各种复杂的操作任务。
机械臂的运动控制是实现其功能的关键，其中运动学和逆运动学分析是研究机械臂运动的基础。
一、机械臂的运动学分析运动学分析主要关注机械臂的位置、速度和加速度等运动参数的计算。
机械臂主要由关节连接的刚性杆件组成，每个关节可以沿特定方向进行旋转或平移运动。
在机械臂运动学中，我们关注的是机械臂末端执行器的位置和姿态。
1. 正运动学分析正运动学分析指的是根据机械臂各关节的运动参数，计算机械臂末端执行器的位置和姿态。
通常，我们采用坐标变换矩阵的方法来进行计算。
通过将各个关节的运动连续相乘，可以得到机械臂末端执行器相对于机械臂基座标系的位姿矩阵。
以一个3自由度的机械臂为例，设第一关节绕Z轴旋转角度为θ1，第二关节绕Y轴旋转角度为θ2，第三关节绕X轴旋转角度为θ3。
则机械臂末端执行器相对于基座标系的位姿矩阵可以表示为：[cos(θ2+θ3) -sin(θ2+θ3) 0 a1*cos(θ1)+a2*cos(θ1+θ2)+a3*cos(θ1+θ2+θ3)][sin(θ2+θ3) cos(θ2+θ3) 0 a1*sin(θ1)+a2*sin(θ1+θ2)+a3*sin(θ1+θ2+θ3)][0 0 1 d1+d2+d3][0 0 0 1]其中，a1、a2、a3和d1、d2、d3分别为机械臂的长度和位移参数。
通过这个矩阵，我们可以得到机械臂末端执行器的位置和姿态。
2. 速度和加速度分析除了机械臂末端执行器的位置和姿态，机械臂的速度和加速度也是非常重要的运动参数。
通过对机械臂运动学模型的导数运算，我们可以得到机械臂的速度和加速度表达式。
机械臂的速度可以表示为：v = J(q) * q_dot其中，v为机械臂末端执行器的速度向量，J(q)为机械臂的雅可比矩阵，q为机械臂各关节的角度向量，q_dot为各关节的角速度向量。
机械臂柔顺运动控制技术研究
机械臂柔顺运动控制技术研究机械臂柔顺运动控制技术研究：走向精确和高效的未来近年来，机械臂的应用范围越来越广泛，从工业生产线到医疗手术室再到家庭助手，机械臂都扮演着重要的角色。
然而，传统的机械臂在某些应用场景下存在一定的局限性，例如在与人类合作或对复杂环境的适应性上。
为了克服这些问题，机械臂柔顺运动控制技术应运而生，其致力于提高机械臂的柔顺性、精确性和高效性。
本文将探讨该技术的研究进展和未来发展方向。
柔顺运动控制技术是指机械臂通过具有精确力传递和高灵活性的机械结构，实现类似于人类手臂的柔软运动。
这种运动可以应对复杂的环境要求，比如与人类进行合作或在狭小空间中操作。
在传统的机械臂中，刚性结构和刚性控制往往导致运动精度和灵活性的不足。
而柔顺运动控制技术通过引入弹性材料、柔性机械结构和感知反馈控制算法等手段，有效提高了运动表现。
首先，柔性机械结构是实现机械臂柔顺运动控制的核心之一。
传统机械臂的末端执行器通常由刚性材料制成，限制了运动灵活性和安全性。
而柔性材料的引入可以提供更自由的运动范围，同时降低了与环境或操作对象接触时的风险。
例如，研究人员已经成功开发了基于人工肌肉和弹性材料的机械臂，实现了精确、连续和逼真的运动。
这种柔性机械结构的研究对于提高机械臂在协作机器人、医疗手术等领域的应用潜力具有重要意义。
其次，柔顺运动控制技术需要配备高效的感知反馈系统，以提供准确的运动信息并对环境变化进行实时响应。
在复杂的应用场景中，机械臂需要不断地感知和分析周围环境的信息，以便根据需要调整运动轨迹和力量输出。
近年来，计算机视觉和力传感器等技术的快速发展为实现这一目标提供了强有力的支持。
机械臂可以通过视觉系统检测周围物体的位置、形状和姿态，并通过力传感器感知外力作用下的变形情况。
这种感知反馈系统的引入使机械臂能够更好地适应环境需求和与人类进行交互。
从实际应用角度来看，机械臂柔顺运动控制技术在医疗、家庭助理和协作机器人等领域具有巨大的潜力。
基于svd的机器人定位算法
基于svd的机器人定位算法基于SVD的机器人定位算法在机器人技术领域，机器人定位一直是一个非常重要的问题。
机器人定位指的是机器人在未知环境中确定自身位置的过程。
在实际应用中，机器人的定位准确性直接影响了机器人的导航能力和任务执行能力。
因此，如何提高机器人的定位精度一直是机器人技术研究的热点问题之一。
本文将介绍一种基于SVD的机器人定位算法，该算法能够有效提高机器人的定位精度。
SVD（Singular Value Decomposition）是一种常用的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中A 是一个m×n的矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n 的对角矩阵，V是一个n×n的正交矩阵。
SVD的一个重要应用是在数据降维和特征提取方面。
在机器人定位中，SVD可以用来提取机器人的位置和姿态信息。
机器人定位一般分为两类，即绝对定位和相对定位。
绝对定位是指机器人在已知地图的情况下确定自身位置，而相对定位则是在未知环境中通过机器人在运动中的相对位移来估计机器人的位置。
本文介绍的基于SVD的机器人定位算法属于相对定位。
基于SVD的机器人定位算法的基本思路是通过机器人在运动中的相对位移来构建一个矩阵，并对该矩阵进行SVD分解，从而提取机器人的位置和姿态信息。
该算法的具体步骤如下：1. 机器人在起始位置处获取一组传感器数据，包括机器人的位置和姿态信息。
2. 机器人开始运动，并在每次运动过程中获取一组传感器数据，包括机器人的位置和姿态信息。
3. 将每次获取的传感器数据转化为机器人的相对位移，构建一个位移矩阵A。
4. 对位移矩阵A进行SVD分解，得到矩阵A的左奇异矩阵U、奇异值矩阵Σ和右奇异矩阵V。
5. 根据矩阵U和V中的信息，计算机器人的位置和姿态信息。
6. 重复步骤2至5，直至机器人到达目标位置。
基于SVD的机器人定位算法的优势在于其可以有效提取机器人的位置和姿态信息，并且具有较高的定位精度。
超冗余移动机械臂逆运动学快速求解的两种方法比较
超冗余移动机械臂逆运动学快速求解的两种方法比较移动机械臂（Mobile manipulators）在工业、教育、医疗等领域广泛应用。
与传统固定基底机械臂不同，移动机械臂通过底盘的移动实现对工作空间的重新配置，具有更大的可达性，适用于不同的环境和任务。
移动机械臂的控制涉及运动规划、动力学分析和逆运动学求解等问题，其中逆运动学求解是实现机械臂自主控制和手动操作的重要内容。
本文将对超冗余移动机械臂逆运动学快速求解的两种方法进行比较和分析。
一、相关技术和问题在机械臂运动控制中，机械臂的位置和姿态可以描述为末端执行器相对于参考坐标系的坐标和姿态，通常使用六个自由度（6-DOF）表示。
对于超冗余机械臂，由于其自由度数量的增加，臂架可实现更复杂的形态变换，但也带来了更高的运动规划和逆运动学求解难度。
传统的机械臂逆运动学求解方法通常是基于解析几何、矩阵代数和三角函数等数学工具，对机械臂的运动学模型进行分析和推导，得到数学方程，再通过求解方程来确定机械臂各个关节的控制参数。
这种方法的优点是可靠性、精度和通用性高，但缺点是计算复杂度大，求解时间长，对冗余机械臂逆运动学求解尤为困难。
1. 冗余问题。
超冗余机械臂具有多余的自由度，某些自由度可能无法被利用，因为它们的移动不会改变机械臂的末端效应器的位置和姿态。
2. 运动约束。
机械臂的末端执行器必须满足运动约束，如工作空间限制、碰撞避免、动力学约束等。
3. 建模误差。
机械臂在运动控制中的建模误差可能会导致逆运动学求解的不准确性和不稳定性。
4. 运动规划。
在逆运动学求解过程中，需要根据用户给定的末端姿态或轨迹规划运动路径。
为了高效地解决超冗余机械臂逆运动学的问题，目前研究人员提出了多种快速求解方法。
这里将介绍并比较两种较为常见的方法。
1. 基于奇异值分解的快速求解方法奇异值分解方法（Singular Value Decomposition，SVD）是一种基于线性代数的数值方法，广泛应用于数据分析、图像处理和机器学习等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基于S V D可操作度指标的机械臂灵活性分析$李宪华®孙青®张雷刚®张军®(①安徽理工大学机械工程学院，安徽淮南232001;②上海大学机电工程与自动化学院，上海200444)摘要：针对机械臂在其工作空间内灵活性的优劣分布问题，提出了一种基于雅克比SVD可操作度指标，并对其进行归一化处理，分析该指标的大小随工作空间内点的变化情况。
首先，分析机械臂的雅克比矩阵及其奇异值分解，基于雅克比奇异值推导出可操作度的表达式;然后，分析机械臂的奇异性并基于SVD方法提出一种评估机械臂的操作能力方法；最后，以川崎FS03N型机械臂为研究对象，采用所提出的方法，应用MATLAB的Robotics工具箱进行仿真分析，验证了上述分析的正确性，并为后续的避障和轨迹规划奠定基础。
关键词：灵活性;雅可比矩阵;奇异值分解;Robotics工具箱中图分类号：TP241 文献标识码:ADOI：10.19287/ki.1005-2402. 2019. 04. 002Flexibility analysis of manipulator based on SVD operability indexLI Xianhua①，SUN Qing①，ZHANG Leigang②，ZHANG Jun①(①School of Mechanical Engineering，Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001, CHN；②School of Mechatronic Engineering and Automation，Shanghai University,Shanghai 200444, CHN)Abstract：Aimed at the distribution of the flexibility of the manipulator in its workspace,it is proposed that a flexible analytical method is based on the operable index of Jacobian SYD and it is normalize.The size of theindex is analyzed with the change of the point in the workspace.First,the Jacobian m atrix of the manipulator and its decomposition of singular value are analyzed,and the operable expression is derived,which is based on the Jacobian singular value.After that,the singularity of the manipulator is analyzed,and a method,which is based on the SVD method,is proposed to evaluate the operational capability ofthe manipulator.Finally,the Kawasaki FS03N type manipulator is selected as the research object.According to the proposed method,it is analyzed,using the simulation of Robotics toolbox of MAT-LAB.And it verifies the correctness of the mentioned analysis above.And it lays the foundation for thefollowing obstacle avoidance and trajectory planning.Keywords：flexibility；jacobian m atrix；singular value decomposition；robotics toolbox机械臂的灵活性研究在机器人运动学中至关重 要，其反映了机械臂对操作任务的全局转化能力，机械 臂的灵活性能对于机械臂的设计、性能评估和手臂轨 迹规划也有着至关重要的中作用。
在机械臂灵活性的 研究中，其灵活性能指标的研究更是尤为重要。
对于机械臂灵活性指标，国内外学者已提出了诸 多的灵活性指标，主要包括:条件数、方向操作度、各向 同性指标、可操作度指标和最小奇异值等[1]，其中可 操作度、条件数和最小奇异值是较为经典也是应用较为广泛的3个灵活性指标[2]。
针对机械臂的灵活性性 能，国内外许多学者对其进行了相关研究，Yoshikawa 将雅克比和其转置之积的行列式定义为机械臂可操作 性的度量指标，并在此基础上提出了可操作度椭球的 概念来描述机械臂的灵活性[3];赵京等运用主成分分 析法研究了机械臂的灵活性，并在平面2R和空间3R 机械臂上进行了验证[4];赵京等应用提出采用全局可 操作度指标来分析仿人机械臂构型，并对机械臂的构 型进行优化，得到最佳构型[5]Charles等对冗余机械*安徽高校自然科学研究重点项目（K J2016A200);安徽省科技重大专项（16030901012)臂的运动学灵活性指标进行研究，提出用雅克比行列 式、条件数和最小奇异值等来分析机械臂的灵活性，并 对其进行了姿态优化[6] ;Valsamos等将条件数和可操 作度作为评估指标对一特殊机械臂进行分析研究，并 基于这两个指标提出新的灵活性指标[7] ;Ayssam等基 于雅克比矩阵的奇异值提出了一种评估和优化机械臂 的操作能力指标算法，并得到在机械臂工作空间中指 定奇异值的分布[8];谢碧云等提出基于条件数约束的 方向可操作度指标来分析机械臂的灵活性能，并用平 面3R机器人进行试验，验证所提指标的可行性[9]。
本文以川崎FS03N型机械臂为研究对象，结合文 献[8]中分析雅克比奇异值的方法，分析了机械臂的 奇异性，并基于SVD方法提出一种评估机械臂的操作 能力方法;根据所提出的方法而结合MATLAB的Rooties工具箱及其可视化功能得到仿真结果，并验证 了分析的正确性。
1可操作度分析1.1雅克比矩阵机械臂的雅可比矩阵定义为操作速度和关节速度 线性变换，也可看成是构型空间与操作空间运动速 度的传动比，运动方程为：r = r(6)(1)式中:，=[r丨，厂2，…人]T表亦操作向量;沒=，…a r 表示关节向量◦对式（1)两边时间£求导得到：r=J(6)6(2)式中•为机械臂的操作速度；纟为关节角速度;/(沒）为机械臂的雅克比矩阵，为6x n偏导数矩阵。
本文运用一种基于机器人连杆速度的简便方法构造雅克比矩阵[11]。
对于一般的〃自由度串联机械臂 而言，其雅克比矩阵的计算公式为：~J p i~_J〇i__Z i-\_⑶式中为操作空间线速度和关节空间的线性变换; 4为操作空间角速度和关节空间的线性变换P m为关 节〖的z轴的单位向量;&为末端执行器相对于基坐 标系的位置向量;/V i为坐标系；-1相对于基坐标系的 位置向量，其中i=l，2,…，ri。
特别地，当〃>6时，雅克比矩阵不为方阵，机械臂 为冗余机械臂;当机械臂处于奇异位型，其雅克比矩阵 出现秩亏，末端自由度数会减少;当雅克比矩阵为方阵 时，det(/) = 0是机械臂处于奇异位型的充分必要条件。
1.2奇异值分解机械臂的雅克比矩阵奇异值定性地描述了机械臂 的运动灵巧性和运动性能。
根据矩阵的奇异值分解理 论，对机械臂任意位型的雅克比进行奇异值分解[12]，即：J i n X-n^m X m^m X n^n X n⑷式中：均为正交矩阵。
故有:U T U=Im X mV T V=In X n(5)(6) I0000 •"0"0^20…00 •_•000•••0…0 •.•000…00 •,•000…00 •••0(V)式中…>〇^>0为《/的奇异值，q为最大 奇异值，为最小奇异值，/为单位矩阵。
当、#0时，雅克比矩阵满秩，机械臂处在非奇异位型，当时，雅克比矩阵秩亏，机械臂处在奇 异位型，丧失一个或多个自由度。
1.3可操作度为定量地评估机械臂的运动灵活性，Y0SHIKA-WA[3]提出了可操作度的量度指标：c o= Vdet(JJ T) = ^XlX2-Xm(8)式中^为可操作度的量度指标，det()为方阵的行列 式，/为机械臂的雅克比矩阵，r为机械臂的雅克比矩 阵转置入为矩阵（//)的特征值，=1，2,…，为矩阵(/f)的行数。
根据前文的奇异值分解可知，可操作度的量度指 标也可以表示为：c o= a la2--a m(9)式中:A为雅克比矩阵/的奇异值，1，2,…，为 雅克比矩阵J的行数。
对于非冗余机械臂，其雅克比矩阵为方阵，此时可 操作度等于雅克比矩阵行列式绝对值，即：(〇= |det(/) |(10)可操作度不仅可以对机械臂的运动能力进行综合 评估，而且可以用来度量其整体灵活性。
1.4基于SVD的可操作度归一化处理为了研究机械臂在其工作空间的灵活性分布情 况，以及末端位置与灵活性的关系，需要对基于SVD 的可操作度进行归一化处理。
艮P，1m a x(w 1,w2 ,w;3 ?式中为归一化后的可操作度;为第〖步的雅克 比矩阵的第1个奇异值^为运动过程中总步数。
2基于S V D的机械臂灵活性分析2.1机械臂的奇异性分析当机械臂出现奇异构型时，会出现关节速度突变 和运动学的逆解不存在等情况，将不利于对机械臂的 轨迹规划和运动学分析，因此应尽量规避奇异构型。
一般地，带有球腕的六自由度拟人臂共有3种手臂奇 异类型[13]，分别是腕部奇异、肘部奇异和肩部奇异。
对于结构复杂的机械臂，单一的通过雅克比矩阵的行 列式为零的方式计算其内部奇异较为复杂，在此进行 奇异性解耦，进而分离成求解前3个关节奇异性和后 3个关节奇异性问题，共得到3种奇异情况：当^= 0 或05=tt时，出现腕部奇异；当=t t/2或沒3= -t t/2 时，出现肘部奇异；当^=Py= 0时，出现肩部奇异（其 中/为末端执行器的位置坐标的值）。
六自由度拟人臂是目前应用最为广泛的机械臂之 一，其相关的研究也很多。
由上文分析可知，当关节角 g= [0,0, -t t/2,0,0,0]时，机械臂位于奇异构型。