空间向量加减法练习题
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算练习(含解析)新人教A版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算练习（含解析）新人教A 版选修21[学生用书P131(单独成册)][A 基础达标]1．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD →B ．AD →＝AB →＋CD →＋BC → C.AD →＝AB →＋BC →－CD →D ．BC →＝BD →＋CD →解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B 正确． 2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4.3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B ．AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向D ．AC →与CB →同向解析：选D.由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知A ，B ，C 三点共线且C 点在线段AB 上，所以AC →与CB →同向．4．空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0解析：选B.由于E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以四边形EFGH 为平行四边形，其中EH →＝FG →，且FC →＝BF →，而E ，B ，F ，G 四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0.5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1→的有( ) ①AB →＋BC →＋CC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→. A ．①④ B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析：选D.根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→.6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________． 解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. 答案：AC 1→7．已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确； AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错． 答案：①②③8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③9.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式： (1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→， 所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.10.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋GD →＋EC →. 解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 作出向量如图所示：[B 能力提升]11．已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量； ④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C .如图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→， 所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量． 12．下列说法中错误的是________(填序号)． ①在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；②若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＝－CD →，则AB →，CD →互为相反向量． ③AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．解析：①正确．②正确.AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →互为相反向量．③错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．答案：③13．如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量． (1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→；(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→.解：(1)如图所示，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→，AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→.(2)如图所示，AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →， AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 3→＝AC 3→.14．(选做题)如图所示，在六棱柱ABCDEF A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量； (2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量． 解：(1)A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC → ＝AE →＋AB 1→＋0 ＝AE →＋ED 1→ ＝AD 1→.AD 1→在图中所示如图．(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→ ＝DF →＋FD →＋BD 1→ ＝0＋BD 1→ ＝BD 1→.BD 1→在图中所示如图．。
空间向量加减法练习题
3.1.1空间向量加减法习题一、选择题1.下列命题正确的有()(1)若a = b ,则a=b；(2)若4 B, C,〃是不共线的四点，则海应是四边形/崎是平行四边形的充要条件:(3)若a=E, b= Ct则a=c;\a\ = \b\t(4)向量a，b相等的充要条件是'a// bt(5) a = I引是向量a=5的必要不充分条件；(6)石=方的充要条件是从与。
重合，6与。
重合.A.1个B. 2个C. 3个D. 4个［答案］c［解析］(1)不正确.两个向量长度相等，但它的方向不一定相同.(2)正确.9：AB=DC：.AB =虎|且石〃己又丁4 B, C,，不共线,・•.四边形 3 是平行四边形.反之，在0/政力中，AB=DC.(3)正确.Y a=b,.••a，b的长度相等且方向相同.,:b=e, ：.〜。
的长度相等且方向相同.故a=c・(4)不正确.由a〃从知&与6方向相同或相反.(5)正确.a=b=> a\ = b\, a\ = b =>/ a=b.⑹不正确,而=而，AB = CD\,防与而同向.故选C.2.设4 B,。
是空间任意三点，下列结论错误的是()+BC=AC+反斗3=0-AC=CB =~BA［答案］B［解析］注意向量的和应该是零向量，而不是数0.3.已知空间向量2，BC, CD, AD,则下列结论正确的是（）^BC+CD-DC+BC=AD=茄+及'+虎= ~BD-'DC［答案］B［解析］根据向量加减法运算可得B正确.4.在平行六面体ABCI>-A, B' C D'中，与向量4r相等的向量（不含）的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个［答案］C［解析］利用向量相等的定义求解.5.两个非零向量的模相等是这两个向量相等的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件［答案］B［解析］两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B.6.在平行六面体月比〃中，也为10与班的交点，若虚=a，菽=5篇l=c，则下列向量中与反曲I等的向量是（）1, 1A.-三a+,+c［答案］A［解析］&M==总+湎—* 1 —* —*=4月+二(64+34)7.在正方体J5Q? — 4EG"中，下列各式中⑴（赤+砧+三（2）（石】+^J+瓦；⑶（2+丽）+瑟（4）（疝*+［^）+应Z.运算的结果为向量元的共有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个［答案］D8,给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆：②若空间向量a、b满足al = 6【，则a=b;③若空间向量a n,「满足zo=m A=P，则io=p④空间中任意两个单位向量必相等：⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4［答案］D［解析］①假命题.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球而，而不是一个圆；②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量&与b的方向不一定相同：③真命题.向量的相等满足递推规律：④假命题.空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等, 故④错；⑤假命题.零向量的方向是任意的.9.空间四边形中，若E、尸、G、月分别为月6、BC. CD、物边上的中点，则下列各式中成立的是()+法+西+萨0+元+函+d=o+7G+EH-\-GH=O-?B+CG+GH=O［答案］B［解析］EB-\-FC=EB+BF=EF.EH-\-'GE=GH.易证四边形瓦伊为平行四边形，故赤+鬲0,故选B.10. (2010 ・上海高二检测)已知平行四边形血的对角线交于点0,且而=a，5B=b，则无=()A. ~a~bB. a+ba-b D. 2(4-b)［答案］A［解析］反—的+亦=的一应=一5—4,故选A.二、填空题11.在直三棱柱地4层G中，若办=小CB=b,玄=o,则而=.［答案］b~ c~ a［解析］Z B=CB-CA=CB- (CA+CCJ =b~ (a+c) =b~c~a.12.己知。
空间向量的运算及应用训练题
空间向量的运算及应用训练题一、题点全面练1．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选 B 由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.2．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥βB.α⊥β C ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解析：选C ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n 1与n 2不垂直，又n 1，n 2不共线，∴α与β相交但不垂直．3．在空间四边形ABCD 中，AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝( ) A ．－1 B.0 C ．1D ．不确定解析：选B 如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ， 则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→ ＝a ·(c －b)＋b ·(a －c)＋c ·(b －a) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.4.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA ―→，OB ―→，OC ―→表示向量OA ―→，设OA ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B.x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13解析：选D 设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，∵点G 分MN 所成的比为2，∴MG ―→＝23MN ―→，∴OA ―→＝OM ―→＋MG ―→＝OM ―→＋23(ON ―→－OM ―→)＝12a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b＋13c ，即x ＝16，y ＝13，z ＝13. 5.如图，在大小为45°的二面角A EF D 中，四边形ABFE ，四边形CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1D.3－ 2解析：选 D ∵BD ―→＝BF ―→＋FE ―→＋ED ―→，∴|BD ―→|2＝|BF ―→|2＋|FE ―→|2＋|ED ―→|2＋2BF ―→·FE ―→＋2FE ―→·ED ―→＋2BF ―→·ED ―→＝1＋1＋1－2＝3－2，∴|BD ―→|＝3－ 2.6.如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB ―→，AD ―→，AA 1―→表示OC 1―→，则OC 1―→＝________________.解析：∵OC ―→＝12AC ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)，∴OC 1―→＝OC ―→＋CC 1―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋AA 1―→＝12AB ―→＋12AD ―→＋AA 1―→.答案：12AB ―→＋12AD ―→＋AA 1―→7.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN ＝________.解析：连接PD (图略)，∵M ，N 分别为CD ，PC 的中点，∴MN ＝12PD ，又P (0,0,1)，D (0,1,0)，∴PD ＝02＋－12＋12＝2，∴MN ＝22. 答案：228．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点， C 1N ―→＝λNC ―→，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以M 为坐标原点，MC ―→，MA ―→，MP ―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系．因为底面边长为1，侧棱长为2， 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2，M (0,0,0)，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，t ，因为C 1N ―→＝λNC ―→，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ，所以AB 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ.又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1―→·MN ―→＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.答案：159．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ―→·CD ―→＝0.同理AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或120°.又∵BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD ―→，∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos〈BA ―→，CD ―→〉．当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，BD ―→2＝4； 当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，BD ―→2＝2.∴|BD ―→|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2.10.如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB ―→，AD ―→，AA 1―→表示AG ―→； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C .解：(1)设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则AG ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1G ―→＝c ＋b ＋12DC ―→＝12a ＋b ＋c ＝12AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→.故AG ＝12AB ＋AD ＋AA 1.(2)证明：AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝a ＋b ， EG ―→＝ED 1―→＋D 1G ―→＝12b ＋12a ＝12AC ―→，∵EG 与AC 无公共点， ∴EG ∥AC ，∵EG ⊄平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ， ∴EG ∥平面AB 1C .又∵AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→＝a ＋c ， FG ―→＝FD 1―→＋D 1G ―→＝12c ＋12a ＝12AB 1―→，∵FG 与AB 1无公共点， ∴FG ∥AB 1，∵FG ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴FG ∥平面AB 1C .又∵FG ∩EG ＝G ，FG ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面AB 1C .二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R)，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．2．空间四点A (2,3,6)，B (4,3,2)，C (0,0,1)，D (2,0,2)的位置关系为( ) A ．共线 B.共面 C ．不共面D ．无法确定解析：选C AB ―→＝(2,0，－4)，AC ―→＝(－2，－3，－5)，AD ―→＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→成立知，A ，B ，C 不共线，故A ，B ，C ，D 不共线；假设A ，B ，C ，D 共面，则可设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→(x ，y 为实数)，即⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －2y ，－3＝－3y ，－4＝－4x －5y ，由于该方程组无解，故A ，B ，C ，D 不共面，故选C.3．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当Q A ―→·Q B ―→取最小值时，点Q 的坐标是________．解析：由题意，设O Q ―→＝λOP ―→，则O Q ＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则Q A ―→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， Q B ―→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴Q A ―→·Q B ―→＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时取最小值，此时Q 点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 4．已知四面体P ABC 中，∠PAB ＝∠BAC ＝∠PAC ＝60°，|AB ―→|＝1，|AC ―→|＝2，|AP ―→|＝3，则|AB ―→＋AP ―→＋AC ―→|＝________.解析：∵在四面体P ABC 中，∠PAB ＝∠BAC ＝∠PAC ＝60°，|AB ―→|＝1，|AC ―→|＝2，|AP ―→|＝3，∴AB ―→·AC ―→＝1×2×cos 60°＝1，AC ―→·AP ―→＝2×3×cos 60°＝3，AB ―→·AP ―→＝1×3×cos 60°＝32，∴|AB ―→＋AP ―→＋AC ―→|＝|AB ―→＋AP ―→＋AC ―→|2＝1＋9＋4＋2＋6＋3＝5. 答案：5(二)素养专练——学会更学通 5．[数学建模、数学运算]如图，在四面体A BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且A Q ＝3Q C .求证：P Q ∥平面BCD .证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为坐标原点，OD ，OP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)． 因为A Q ―→＝3Q C ―→， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以P Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)， 故P Q ―→·a ＝0.又P Q ⊄平面BCD ，所以P Q ∥平面BCD .6.[数学建模、数学运算]如图所示，已知四棱锥P ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，平面PBC ⊥底面ABCD .求证：(1)PA ⊥BD ；(2)平面PAD ⊥平面PAB .证明：(1)取BC 的中点O ，连接PO ， ∵△PBC 为等边三角形，∴PO ⊥BC .∵平面PBC ⊥底面ABCD ，平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)， ∴BD ―→＝(－2，－1,0)，PA ―→＝(1，－2，－3)． ∵BD ―→·PA ―→＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴PA ―→⊥BD ―→，∴PA ⊥BD .(2)取PA 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB ―→＝(1,0，－3)，∴DM ―→·PB ―→＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM ―→⊥PB ―→，即DM ⊥PB .∵DM ―→·PA ―→＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM ―→⊥PA ―→，即DM ⊥PA .又∵PA ∩PB ＝P ，PA ⊂平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， ∴DM ⊥平面PAB .∵DM ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB .。
空间向量运算练习
高二年级数学选修2-1 《空间向量及其运算练习》学习目标1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.重点难点：掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式课前热身复习：1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记为 ； 具有 叫单位向量.2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.3.实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与a ；当λ＜0时，λa 与a ； 当λ＝0时，λa ＝ . 4. 向量加法和数乘向量运算律：交换律：a ＋b ＝ 结合律：(a ＋b )＋c ＝ 数乘分配律：λ(a ＋b )＝5.① 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.②空间向量共线定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得 ；③ 推论： l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 6. 空间向量共面：①共面向量： 同一平面的向量.②定理：对空间两个不共线向量,a b ，向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .③推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A ,B ,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使 ⑵ 对空间任意一点O ，有 7. 向量的数量积：a b ⋅= .8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .10. 设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ _________︱AB ︱＝ _____ 11. 向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝ ； ⑵a －b ＝ ； ⑶λa ＝ ； ⑷a ·b ＝12.夹角公式：cos ＜a ,b ＞＝ _______________ 13.向量的平行与垂直：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //b ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ； 14.线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: ______________________________.课堂训练例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==，OC c =，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .变式：如图，平行六面体''''ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==，'AA c =,点,,P M N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且'41CQ QA =,用基底,,a b c 表示下列向量： ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6A B C C B C A A A ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AMBA ⊥. 变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥达标检测1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =（ ） A. +-a b c B. -+a b c C. -++a b c D.-+-a b c2．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2）， c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 6573.32,2,a i j k b i j k =+-=-+则53a b ∙=（ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－14.已知()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）A. .1B.15 C. 35D. 755.已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角,a b <>为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对6. 若A (m ＋1，n －1,3)， B. (2m ,n ,m －2n )，C (m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = 分层作业1如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点.⑴ 求证：EF CF ⊥；⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦； ⑶ 求CE 的长.主编： 刘丽芳。
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。
高中数学空间向量及其运算专项练习
高中数学空间向量及其运算专项练习题组一 空间向量的线性运算1.AB 、BC 、CD 、AC 的中点，则12(AB ＋BC ＋CD )化简 的结果为 ( )A ．BFB ．EHC ．HGD ．FG解析：12(AB ＋BC ＋CD )＝12(AC ＋CD )＝12AD ＝12·2HG ＝HG . 答案：C2．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若AB ＝a ，11A D ＝b ，11A A ＝c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是 ( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，1B M ＝1B B ＋BM ＝c ＋12BD＝c ＋12(AD －AB )＝－12a ＋12b ＋c . 答案：A题组二 空间中的共线、共面问题 3.A 点是否共面________(共面或不共面)．解析：AB ＝(3,4,5)，AC ＝(1,2,2)，AD ＝(9,14,16)，设AD ＝x AB ＋y AC .即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 答案：共面4．如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G分别是A 1D 1、D 1D 、D 1C 1的中点．求证：平面EFG ∥平面AB 1C .证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则EG ＝1ED ＋1D G ＝12(a ＋b )，AC ＝a ＋b ＝2EG ， ∴EG ∥AC ， EF ＝1ED ＋1D F ＝12b －12c ＝12(b －c )， 1B C ＝11B C ＋1C C ＝b －c ＝2EF ，∴EF ∥1B C .又∵EG 与EF 相交，AC 与B 1C 相交，∴平面EFG ∥平面AB 1C .题组三 空间向量数量积及应用5.点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于( )A ．2BA ·BCB ．2AD ·BD C ．2FG ·CA D ．2EF ·CB解析：〈AD ，BD 〉＝π3，∴2AD ·BD ＝2a 2×cos π3＝a 2. 答案：B6．(2010·长沙模拟)二面角α－l －β为60°，A 、B是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝α，BD ＝2a ，则CD的长为 ( )A ．2a B.5a C ．a D.3a解析：∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴〈AC ,BD 〉＝60°，且AC ·BA ＝0，AB ·BD ＝0，∴CD ＝CA ＋AB ＋BD ，∴|CD |＝2()CA AB BD ++ ＝a 2＋a 2＋(2a )2＋2a ·2a cos120°＝2a .答案：A7．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．解：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则两两夹角为60°，且模均为1.(1)1AC ＝AC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .∴|1AC |2＝(a ＋b ＋ c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c＝3＋6×1×1×12＝6， ∴|1AC |＝6，即AC 1的长为 6.(2)1BD ＝BD ＋1DD ＝AD －AB ＋1AA ＝b －a ＋c .∴1BD ·AC ＝(b －a ＋c )·(a ＋b )＝a ·b －a 2＋a ·c ＋b 2－a ·b ＋b ·c＝1.|1BD |＝(b －a ＋c )2＝2，|AC ―→|＝(a ＋b )2＝3，∴cos 〈1BD ，AC 〉＝11BD ACBD AC＝12×3＝66. ∴BD 1与AC 夹角的余弦值为66. 题组四 空间向量及其运算的综合8.已知向量a ＝(11,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)假设存在一点E 满足题意，即AE ＝t AB (t ≠0)． OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 3AD ＝DC ＝3，AB ＝2，E 是DC 上的点，且满足 DE ＝1，连结AE ，将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB ＝60°，设AC 与BE 的交点为O .(1)试用基向量AB ，AE ，1AD 表示向量1OD ；(2)求异面直线OD 1与AE 所成角的余弦值；(3)判断平面D 1AE 与平面ABCE 是否垂直？并说明理由．解：(1)∵AB ∥CE ，AB ＝CE ＝2，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为BE 的中点． ∴1OD ＝1AD －AO ＝1AD －12(AB ＋AE )＝1AD －12AB －12AE .(2)设异面直线OD 1与AE 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈1OD ，AE 〉|＝|11OD AEOD AE|，∵1OD ·AE ＝(1AD －12AB －12AE )·AE＝1AD ·AE －12AB ·AE －12|AE |2＝1×2×cos45°－12×2×2×cos45°－12×(2)2＝－1，|1OD |＝ 211()2AD AE ＝62，∴cos θ＝|11OD AEOD AE |＝|－162×2|＝33. 故异面直线OD 1与AE 所成角的余弦值为33.(3)平面D 1AE ⊥平面ABCE .证明如下： 取AE 的中点M ，则1D M ＝AM －1AD ＝12AE －1AD ，∴1D M ·AE ＝(12AE －1AD )·AE ＝12|AE |2－1AD ·AE＝12×(2)2－1×2×cos45°＝0.∴1D M ⊥AE .∴D 1M ⊥AE . ∵1D M ·AB ＝(12AE －1AD )·AB ＝12AE ·AB －1AD ·AB＝12×2×2×cos45°－1×2×cos60°＝0， ∴1D M ⊥AB ，∴D 1M ⊥AB .又AE ∩AB ＝A ，AE 、AB ⊂平面ABCE ， ∴D 1M ⊥平面ABCE .∵D 1M ⊂平面D 1AE ，∴平面D 1AE ⊥平面ABCE .。
向量的加减法练习题(打印版)
向量的加减法练习题（打印版）# 向量加减法练习题## 一、向量加法练习题目1：已知向量\( \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \) 和向量\( \vec{B} = 2\hat{i} - 5\hat{j} \)，求向量\( \vec{A} +\vec{B} \)。
解答：\[ \vec{A} + \vec{B} = (3 + 2)\hat{i} + (4 - 5)\hat{j} =5\hat{i} - \hat{j} \]题目2：若向量\( \vec{C} \) 与向量\( \vec{D} = 4\hat{i} +3\hat{j} \) 的和为\( \vec{E} = 7\hat{i} + 8\hat{j} \)，求向量\( \vec{C} \)。
解答：\[ \vec{C} = \vec{E} - \vec{D} = (7 - 4)\hat{i} + (8 -3)\hat{j} = 3\hat{i} + 5\hat{j} \]## 二、向量减法练习题目3：已知向量\( \vec{F} = 6\hat{i} - 2\hat{j} \) 和向量\( \vec{G} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \)，求向量\( \vec{F} -\vec{G} \)。
解答：\[ \vec{F} - \vec{G} = (6 - 3)\hat{i} + (-2 - 4)\hat{j} =3\hat{i} - 6\hat{j} \]题目4：若向量\( \vec{H} \) 与向量\( \vec{I} = 5\hat{i} -3\hat{j} \) 的差为\( \vec{J} = 2\hat{i} + 7\hat{j} \)，求向量\( \vec{H} \)。
解答：\[ \vec{H} = \vec{I} + \vec{J} = (5 + 2)\hat{i} + (-3 +7)\hat{j} = 7\hat{i} + 4\hat{j} \]## 三、向量加减法综合应用题目5：在直角坐标系中，点A(2, 3)和点B(5, -1)，求点A到点B 的向量\( \vec{AB} \)。
向量加减法简单练习题(打印版)
向量加减法简单练习题（打印版）# 向量加减法简单练习题## 一、向量加法### 练习题1：向量求和给定两个向量 \( \vec{A} = (2, 3) \) 和 \( \vec{B} = (4, -1) \)，求它们的和 \( \vec{A} + \vec{B} \)。
### 练习题2：向量加法的几何意义考虑向量 \( \vec{C} = (1, 2) \) 和 \( \vec{D} = (-3, 1) \)，画出这两个向量，并在坐标系中表示它们相加的结果。
### 练习题3：向量加法的分量表示已知向量 \( \vec{E} = (x, y) \) 和 \( \vec{F} = (a, b) \)，求\( \vec{E} + \vec{F} \) 的分量。
## 二、向量减法### 练习题4：向量差给定向量 \( \vec{G} = (5, 6) \) 和 \( \vec{H} = (1, 4) \)，求它们的差 \( \vec{G} - \vec{H} \)。
### 练习题5：向量减法的几何意义考虑向量 \( \vec{I} = (-2, 3) \) 和 \( \vec{J} = (3, -1) \)，画出这两个向量，并在坐标系中表示它们相减的结果。
### 练习题6：向量减法的分量表示已知向量 \( \vec{K} = (m, n) \) 和 \( \vec{L} = (p, q) \)，求\( \vec{K} - \vec{L} \) 的分量。
## 三、向量加法和减法的综合应用### 练习题7：向量加法和减法的组合给定向量 \( \vec{M} = (7, -2) \)，\( \vec{N} = (-1, 5) \) 和\( \vec{O} = (3, -4) \)，求 \( \vec{M} + \vec{N} - \vec{O} \)。
### 练习题8：向量加减法的几何应用在平面直角坐标系中，点 \( A(1, 2) \)，\( B(4, 6) \) 和 \( C(-1, 3) \)，求从点 \( A \) 到点 \( C \) 的向量，然后求从点 \( C \) 到点 \( B \) 的向量，并计算这两个向量的和。
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3.1.1空间向量加减法习题
一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
→→(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
，b|a|＝||??相等的充要条件是，b(4)向量a?；∥ba??(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；→→(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D 重合．A．1个B．2个
个．4C．3个 D C答案[][解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．→→AB＝DC正确．(2)∵→→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥CD.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．→→反之，在?ABCD中，AB＝DC.
，a＝b(3)正确．∵∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.
(4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．
b./ |?a＝||||＝b?a|＝b|，a|＝ba(5)正确．→→→→→→同向．CD与AB，|CD|＝|AB|，CD＝AB.不正确(6)
故选C.
2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是()
→→→→→→0CA＝AB＋BC＋BCA.AB＋＝AC B.→→→→→＝－BA D.ABC.AB－AC ＝CB ][答案B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0.
→→→→3．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()→→→A.AB＝BC＋CD
→→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB ＋BC＋DC
→→→D.BC＝BD－DC
B答案][[解析]根据向量加减法运算可得B正确．
→→4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个数是()
A．1个B．2个
4个D．．C3个
答案[]C[解析]利用向量相等的定义求解．
5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件
．必要不充分条件B C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B
[解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B.
→→6．在平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB＝a，AD＝b，11111111→→AA＝c，则下列向量中与B )(相等的向量是M11．
11A．－a＋b＋c2211 cb＋B.a＋2211C.a－b＋c 2211D．－a－b＋c22[答案]A →→→[解析]B M＝BB＋BM11
1→→＝AA＋BD 121→→→＝AA＋(BA＋BC )11111211＝－a ＋b＋c.∴应选A.227．在正方体ABCD－ABCD中，下列各式中1111→→→CC)＋(1)(AB＋BC1→→→(2)(AA＋AD) ＋DC11111→→→(3)(AB＋BB)＋BC 111→→→(4)(AA＋A B)＋BC.11111→运算的结果为向量AC 的共有
()1A．1个B．2个
个4个D．．C3 D答案[] 8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为
起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是()
B．2A．1D．4 C．3
D[答案][解析]①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
真命题．向量的相等满足递推规律；③④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
9．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是()
→→→→A.EB＋BF ＋EH＋GH＝0→→→→B.EB＋FC＋EH＋GE＝0
→→→→0GH＝＋FG＋EH＋EFC.→→→→0CG＋GH＝FBD.EF－＋]B答案[→→→→→[解析]EB＋FC＝EB＋BF＝EF，
→→→，GE＋＝GHEH
易证四边形EFGH为平行四边形，
→→，0GHEF故＋＝ B.故选．
→→10．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且OA＝a，OB＝b，→则BC＝()
A．－a－b B．a＋b1D．2(a b－b)C.a－ 2 A][答案→→→→→[解析]BC＝BO＋OC ＝BO－OA＝－b－a，故选A.
二、填空题→→→→11．在直三棱柱ABC—ABC中，若CA＝a，CB＝b，CC＝c，则AB＝________.11111
[答案]b－c－a
→→→→→→[解析]AB＝CB－CA＝CB－(CA＋CC)＝b－(a＋c)＝b－c－a. 11→→→→12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2OA＋OB＋OC＝0，那么AO＝________.
→[答案] OD[解析]∵D为BC中点，→→→∴OB＋OC＝2OD，
→→→OA＝－2又OB＋OC
→→→→∴OD＝－OA即OD＝AO.
→13．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则MN用→→→AB、AC、AD表示的结果为______________________．
1→→[答案](AD－AB) 2．
11→→→→[解析]MN＝BD＝(AD－AB) 2214．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：
→→→；＝AC①AB－CB→→→→②AC′＝AB＋B′C′＋CC′；
→→③AA′＝CC′；
→→→→→④AB＋BB′＋BC＋C′C ＝AC′.正确的是________．
①②③[答案]→→→→→→→→→→→[解析]AB－CB＝AB＋BC＝AC，①正确；AB＋B′C′＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝→AC′，②正确；③显然正确．
三、解答题15．如图所示的是平行六面体ABCD—ABCD，化简下列各式．1111
→→→(1)AB＋AD＋AA；1→→→BC.DD－AB＋(2)1→→→→→→→[解析](1)AB＋AD＋AA ＝AB＋BC＋CC＝AC 111→→→→→→)－AD＝DD－(AB－(2)DDAB＋BC11→→→BDDD－DB＝＝1116．如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．
→→→→→(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC；
→→→→.′AA－AD＋AC－′AC(2)．
→→→→→→[解析](1)原式＝AB＋AA′＋AD－AA′－AD＝AB
→→→→.′＝AD′原式＝CC＋AD－AA(2)→→→17．若G为△ABC的重心，求证GA＋GB ＋GC＝0.[解析]证明：延长AG交BC于D，在AD延长线上取点E，使DE＝GD，则四边形→→→→→→→→BGCE为平行四边形，所以GE＝GB＋GC，又由重心知GE＝－GA，故GA＋GB ＋GC＝0. 1→→→18．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证EF
＝(AB＋DC)． 2
→→→→[解析]证明：EF＝EA＋AB＋BF，①
→→→→，②＋DC＋CFEF＝ED→→→→→→→→→①＋②，得2EF＝(EA＋AB＋BF)＋(ED ＋DC＋CF)＝AB＋DC，1→→→∴EF＝( AB＋DC)．2．。