七级数学下册 9.3《用正多边形铺设地面》同步练习 (新版)华东师大版
华东师大版 七年级数学下册第9章多边形9.3用正多边形铺设地面同步练习含解析
用正多边形拼地板练习(镶嵌)一、选择题:1.用形状、大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是( )【答案】C【解析】A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C、正五边形每个内角是：180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；D、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺．应选C．2.以下图形中,能镶嵌成平面图案的是( )【答案】A【解析】此题考查了平面镶嵌的条件分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．A、正六边形每个内角为120度，能整除360度，3个能密铺．B、正七边形每个内角是：180°360°÷7=，不能整除360°，不能密铺；C、正八边形每个内角是：180°360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；D、正九边形每个内角是：180°360°÷9=140°，不能整除360°，不能密铺；应选A.3.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为( )【答案】D【解析】正多边形的组合能否构成平面镶嵌,关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为.假设能,那么说明能镶嵌;反之,那么说明不能镶嵌,正方形和正八边形内角分别为,由于,故能镶嵌;正五边形和正十边形内角分别为,由于,故能镶嵌.,正六边形和正三角形内角分别为,由于,故能镶嵌,正六边形和正八边形内角分别为,由于,显然取任何正整数时,不能得正整数,故不能镶嵌.应选D.4.用以下两种边长相等的图形，能进行平面镶嵌的是〔〕A．正三角形和正八边形 B．正方形和正八边形C．正六边形和正八边形 D．正十边形和正八边形【答案】B【解析】用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形.用不同的正多边形镶嵌：〔1〕用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；〔2〕用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌.5.用三种边长相等的正多边形镶嵌成一个平面，其中的两种是正四边形和正五边形，那么另一种正多边形的边数是〔〕A．12 B．15 C．18 D．20【答案】D【解析】设正4的有X个正5有Y个.那么90X+108Y+Z=360X.Y=1Z=162 20边形X=1 Y=2Z=54 不是正方形X=2 Y=1Z=72 不是正方形X=2 Y=2Z=负数所以答案当然是20边形了.6.用正三角形和正十二边形镶嵌,可能情况有( )【答案】A【解析】此题考查了平面镶嵌的条件正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．假设能，那么说明可以进行平面镶嵌；反之，那么说明不能进行平面镶嵌．正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为，而正三角形和正十二边形的每一个内角分别为、，设各有个、个，根据题意可知，方程的整数解只有一个，应选A．7.用正三角形和正六边形作平面镶嵌，那么在一个顶点处，正三角形与正六边形的个数之比为〔〕A.4:1B.1:1C. 1:4D.4︰1或1:1【答案】A【解析】六边形一个内角=120度一个顶点周角=360度还差360-120=240度每个正三角形内角60度240/60=4个，故为4:1，选择A项.8.用正三角形和正六边形镶嵌,假设每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形,那么m,n满足的关系式是( )A.2m+3n=12B.m+n=8C.2m+n=6D.m+2n=6【答案】D【解析】正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度，而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，根据题意可知60°×m+120°×n=360°，化简得到m+2n=6．应选D.二、填空题:(每题4分,共12分)1.用正三角形和正方形作平面密铺，在一个顶点周围有______________个正三角形和________个正方形的角.【答案】3,2【解析】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和2个正方形．2.用边长相等的正方形和正十二边形以及正边形可以进行平面镶嵌．【答案】六【解析】正方形：90。
吉林省长春市七年级数学下册9.3用正多边形铺设地面练习(新版)华东师大版【含解析】
9.3 9.3 用正多边形铺设地面用正多边形铺设地面一、一、 选择题选择题 （共8小题；共 40 分）二、二、 填空题填空题 （共8小题；共 40 分）1. 下列正多边形中，不能够铺满地面的是A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形2. 只用下列哪一种正多边形，可以进行平面镶嵌A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形3. 用同一种正多边形地砖不能镶嵌成平整的地面的是A．正三角形地砖B．正方形地砖C．正五边形地砖D．正六边形地砖4. 六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是A．正五边形地砖B．正三角形地砖C．正六边形地砖D．正四边形地砖5. 边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是A．正方形与正三角形B．正五边形与正三角形C．正六边形与正三角形D．正八边形与正方形6. 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有 A． 种B． 种C． 种D． 种7. 下列边长为 的正多边形与边长为 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是（1）正三角形；（2）正五边形；（3）正六边形；（4）正八边形A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（1）（4）8. 用边长均为 的正三角形、正方形、正六边形镶嵌成一个边长为 的正十二边形的平面图形，现有 个正方形，个正六边形，那么还需要正三角形 A． 个B． 个C． 个D． 个9. 用边长相等的正三角形和正六边形把地面密铺，则在一个顶点处正三角形和正六边形的个数分别为10. 给出下列正多边形：① 正三角形；② 正方形；③ 正六边形；④ 正八边形．用上述正多边形中的一种能够辅满地面的是 ．（将所有答案的序号都填上）11. 用边长相等的三角形、四边形、五边形、六边形、七边形中的一种；能进行平面镶嵌的几何图形有 种．12. 幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板（填三种） ．13. 在正三角形，正四边形，正五边形和正六边形中不能单独密铺的是 ．14. 单独使用正三角形、正方形、正六边形、正八边形四种地砖，不能镶嵌（密铺）地面的是 ．三、三、 解答题解答题 （共2小题；共26 分）15. 如图 ①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图 ④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形 ．16. 现有 ①正三角形、②正方形、③正五边形、④正八边形四种地板砖，这四种地板砖的边长都相等，能用两种地板砖密铺是 ．（只填写序号）17. 我们常常见到如下图所示图案的地板，它们分别是用正方形、正三角形的材料铺成的为什么用这样形状的材料能铺成平整（不互相重叠），又无空隙的地板呢？18. 工人师傅把-批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边脚余料用来铺地板，按照下面给出的拼接四边形木块的方法，就可以不留下任何空隙而铺成一大片．I. 请你说出工人师傅之所以能这样拼接的道理；II. 如果工人师傅手里还有一批形状、大小完全相同，但不规则的三角形边脚余料，那么工人师傅能否用它们拼成平整且无空隙的地板呢？如果可以，请说出你的理由，并将你剪好的一些形状、大小完全相同、但不规则的三角形纸片，贴在下面的空白处（不互相重叠且无空隙），镶嵌成地板模型．123456789101112131415161718参考答案一、选择题D B C A B B B B二、填空题， 或 ，①②③正三角形、正方形、正六边形正五边形正八边形正十二边形①②或②④三、解答题这是因为它们的每一个内角分别为 和 ，用它们可以分别拼成周角为 ．1. 这是因为任意四边形的内角和都是．2. 可以．因为三角形的内角和为，。
9.3用正多边形铺设地面(重点练)2023学年七年级数学下册同步备课系列(华东师大版)原卷版
9.3用正多边形铺设地面（重点练）一．选择题（共10小题）1．（2021春•偃师市期末）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种2．（2021春•汝阳县期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）A．正六边形和正方形B．正五边形和正八边形C．正六边形和正三角形D．正十边形和正三角形3．（2021春•东坡区校级期末）张明的父母打算购买一种形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺地板，为了保证铺地板时既没缝隙，又不重叠，则所购瓷砖形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形4．（2021春•安丘市期末）用下列一种正多边形可以拼地板的是（）A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形5．（2021春•巴中期末）如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则n等于（）A．4 B．6 C．8 D．106．（2021春•绿园区期末）学校购买一种正多边形形状的瓷砖来铺满教室的地面，所购买的瓷砖形状不可能是（）A．等边三角形B．正五边形C．正六边形D．正方形7．（2021春•大英县期末）现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正六边形，则可以再选择的正多边形是（）A．正七边形B．正五边形C．正四边形D．正三边形8．（2021春•上蔡县期末）我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是（）A．18°B．30°C．36°D．54°9．（2021春•仁寿县期末）用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是（）A．2m+3n＝12 B．m+n＝8 C．2m+n＝6 D．m+2n＝6 10．（2021春•麦积区期末）用正三角形和正方形镶嵌一个平面，在同一个顶点处，正三角形和正方形的个数之比为（）A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．3：2二．填空题（共8小题）11．（2018春•甘孜州期末）给出下列正多边形：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．用上述正多边形中的一种能够辅满地面的是．（将所有答案的序号都填上）．12．（2019•葫芦岛模拟）把边长为a的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需个正三角形才可以镶嵌．13．（2018春•鲤城区期末）用一种正五边形或正八边形的瓷砖铺满地面（填“能”或“不能”）．14．（2016秋•思明区校级期中）用三种边长相等的正多边形铺地面，已选了正方形和正五边形两种，还应选正边形．15．（2018秋•阆中市期中）用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有个正三角形和个正四边形．16．（2017春•合肥期末）装修大世界出售下列形状的地砖：（1）正三角形；（2）正五边形；（3）正六边形；（4）正八边形；（5）正十边形，若只选购一种地砖镶嵌地面，你有种选择．17．（2017•镇海区校级自主招生）用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．18．（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是．三．解答题（共8小题）19．（2014•崇安区校级模拟）小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．（1）求MA的长度；（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）20．（2011秋•泉港区期末）正在改造的人行道工地上，有两种铺设路面材料：一种是长为acm、宽为bcm的矩形板材（如图1），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图2）．（1）用多少块如图2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？（只要写出一个符合条件的答案即可），并写出新正方形的面积；（2）现用如图1所示的四块矩形板材铺成一个大矩形（如图3）或大正方形（如图4），中间分别空出一个小矩形和一个小正方形．①试比较中间的小矩形和中间的小正方形的面积哪个大？大多少？②如图4，已知大正方形的边长比中间小正方形的边长多20cm，面积大3200cm2．如果选用如图2所示的正方形地砖（边长为20cm）铺设图4中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可直接密铺（缝隙忽略不计）呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图2的地砖？21．（2018秋•硚口区校级月考）某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．22．（2013秋•藁城市校级月考）如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．23．（2005•济南）我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x+120°•y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．24．（2010•青岛）问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角．问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+，整理得：2x+3y＝8，我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：_______；结论2：_______．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_______；验证3：_______；结论3：_______．25．（2005•罗湖区校级模拟）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 …（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．26．（2003•陕西）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…正多边形每个内角的度数…（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．。
华师大版初中数学七年级下册《9.3 用正多边形铺设地面》同步练习卷
华师大新版七年级下学期《9.3 用正多边形铺设地面》2019年同步练习卷一．解答题（共50小题）1．如图所示，有一边长为米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的正方形方砖密铺而成．（1）图中黑白方砖共有块；（2）求一块方砖的边长．2．数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法去进行探究．探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．第三类：选正六边形．（仿照上述方法，写出探究过程及结论）探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第四类：选正三角形和正方形在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成个周角．根据题意，可得方程60x+90y＝360整理，得2x+3y＝12．我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌第五类：选正三角形和正六边形．（仿照上述方法，写出探究过程及结论）第六类：选正方形和正六边形，（不写探究过程，只写出结论）探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．（不写探究过程，只写结论），3．某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．4．阅读下面内容并回答问题：（1）有若干边长相等、边数分别为x，y，z的三种不同的正多边形，若这三种正多边形能镶嵌整个平面，试猜想x，y，z之间的关系，你能对你的这个猜想给出证明吗？解：边数为x的正多边形的一个内角为度．边数为y的正多边形的一个内角为度．边数为z的正多边形的一个内角为度，因为能进行平面镶嵌，即各取三种正多边形的一个内角能拼成360o角，所以有++＝360，在等式两边同时除以180o，得．因为，所以（1﹣）++＝2所以在等式两边同时除以（﹣2），得（2）根据上面得到的结论，从正三角形、正方形中选一种，再在其他正多边形中选两种，请尝试找出一个三种不同的正多边形镶嵌的方案．（直接写出方案即可）5．用若干块边长为20cm的正三角形瓷砖和一块边长为20cm正六边形的瓷砖铺成一边长为1.2m的正六边形的地面，则需要这样的正三角形瓷砖多少块？6．【问题提出】用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖．铺砌）平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°，平面内如何镶嵌呢？【问题解决】用多种正多边形镶嵌例如：用正八边形和正方形进行组合镶嵌，设在一个顶点周围有m个正八边形的角，有n 个正方形的角，由于正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，所以有m•135°+n•90°＝360°，即3m+2n＝8．这个方程的正整数解为．可见用正八边形和正方形进行组合镶嵌，在一个顶点的周围有2个正八边形和1个正方形．【方法应用】如果想用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌请完成以下问题：（1）计算出正六边形每个内角的度数；（2）如果在一个顶点周围有x个正六边形，有y个正三角形，如何镶嵌的方案．7．正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．8．小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．（1）求MA的长度；（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）9．如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．10．我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里称为平面密铺）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形．探究用同一种正多边形进行平面密铺．例如：如图1，用三个同种类型（大小一样、形状相同）的正六边形地砖可以平面密铺．（1）请问仅限于同一种类型的多边形进行密铺，哪几种能平面密铺？（填序号）；①正三角形②正四边形③正五边形④正八边形探究用两种边长相等的正多边形进行平面密铺．例如：如图2，二个正三角形和二个正六边形可以平面密铺．（2）限用两种边长相等的正多边形进行平面密铺，以下哪几种是可行的？A．正三角形和正方形B．正方形和正八边形C．正方形和正五边形D．正八边形和正六边形E．正三角形和正十二边形F．正三角形和正五边形（3）继续推广到用三种不同的正多边形进行平面密铺，请写出符合题意的不同组合．例如：①正三角形、正方形、正六边形；②正三角形、正九边形、正十八边形；③；④．（4）如果用形状，大小相同的如图3方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．11．小芳家进行装修，她在材料市场选中了一种漂亮的正八边形的地砖，可建材行的服务员告诉她，仅一种正八边形的地砖是不能密铺地面的，随又向她推荐各种尺寸、形状、花色的其他地砖，供小芳搭配选用的有：菱形的、正方形的、矩形的、正三角形的、平行四边形的、各种三角形的、等腰直角三角形的、正六边形的、正五边形的、五角星形状的等等，小芳顿时选花了眼，你能帮忙筛选一下吗？如果小芳不选正八边形的地砖，她还可以有哪些选择？（列举2种即可）．12．正在改造的人行道工地上，有两种铺设路面材料：一种是长为acm、宽为bcm的矩形板材（如图1），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图2）．（1）用多少块如图2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？（只要写出一个符合条件的答案即可），并写出新正方形的面积；（2）现用如图1所示的四块矩形板材铺成一个大矩形（如图3）或大正方形（如图4），中间分别空出一个小矩形和一个小正方形．①试比较中间的小矩形和中间的小正方形的面积哪个大？大多少？②如图4，已知大正方形的边长比中间小正方形的边长多20cm，面积大3200cm2．如果选用如图2所示的正方形地砖（边长为20cm）铺设图4中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可直接密铺（缝隙忽略不计）呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图2的地砖？13．请你利用平移或镶嵌的方法，在下面的网格中设计一个精美的图案．14．某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．15．如图是以正八边形为“基本图形”构成的一种密铺图案．图中间的四边形是什么四边形，请说说你的理由．16．问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角．问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+，整理得：2x+3y＝8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：_______；结论2：_______．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_______；验证3：_______；结论3：_______．17．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第1次铺2块如图①；第2次把第1次铺的完全围起来，如图②，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图③：（1）依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为．（2）依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为．（3）依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为．18．如图1，四边形ABCD是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形，为了节省材料，他准备在剩余的六块砖中如图2所示①②③④⑤⑥、挑选若干块进行铺设，请你在下列网格纸上帮他设计3种不同的铺法示意图．在图上画出分割线，标上地砖序号即可．19．某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求的值．20．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．（1）试分别确定A、B是什么正多边形？（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）；（3）判断你所画图形的对称性（直接写出结果）．21．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）（3）．请你仿照此方法解决下面问题：（1）研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，求出x和y的值（2）按图（4）中给出两个边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的示意图．（画正三角形时必须用尺规作图）22．有下列正多边形：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正十二边形，从中任选二种或二种以上的图形结合在一起作平面镶嵌（每种图形可重复使用）．请你设计4种符合上述条件的平面镶嵌方案，并指出每一种设计方案所用到的正多边形的序号（不需要作出平面镶嵌图形）．23．（1）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形？（2）某学校想用地砖铺地，学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为（1）中的所求值]，如果单独用这种地砖能密铺吗？（3）如果不能，请你自己只选用一种同（2）边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能，请你画出一片密铺的示意图．24．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．25．我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°•x+120°•y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．26．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．27．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料辅成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．现在，问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．28．如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料，用这种四边形的木板可以进行镶嵌吗？请说明理由．29．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．思考：（1）用全等的正五边形材料能够密铺地面吗？（2）用边长相同的m个正三角形和n个正方形材料组合密铺地面应满足的方程是，此时m、n的值存在吗？若存在，请画出密铺地面的示意图．（3）在边长相同的正三角形、正方形、正六边形材料中，哪几种材料组合能够密铺地面？30．如图所示的两种瓷砖，如果只能用这两种瓷砖铺地，请你给出一个设计，使得铺出来的地面美丽大方．31．某广场地面图案的一部分如图所示，图案的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正六边形的地砖密铺，环绕正六边形的那些正三角形和正方形为第一层，环绕第一层的那些正三角形和正方形为第二层，这样从里到外共铺了10层，每一层的外边界构成一个多边形，（注：多边形是由一些线段首尾顺次连接的封闭平面图形，各条线段是多边形的边；正六边形的各边长相等．）已知中央正六边形地砖的边长为0.6米，试写出外边界所成多边形的周长y与层数n之间的函数解析式；并求第十层外边界所成多边形的周长．32．用正十二边形、正六边形、正方形这三种多边形结合在一起能否镶嵌地面？怎样镶嵌？33．（1）用同一种特殊的多边形（如三个角都相等的等边三角形，四个角都相等的正方形等）能否铺满平面？有哪几种情况？（2）用同一种一般四边形能否铺满平面？说明理由．34．王老师正准备装修新买房屋的地面，到一家装修公司去看地砖，结果王老师看中边长相等的正方形和正八边形的两种地砖的质量，你能帮助王老师用这两种正多边形镶嵌成一个平面图形（草图）吗？并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形，说明你的理由．35．某房间的地面由三种正多边形的地砖铺成，且每一个顶点处三种正多边形地砖各有一块，设这三种多边形地砖的边数分别是x、y、z，求++的值．36．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．一块地板由三种正多边形的小木板镶嵌而成，这三种正多边形的边数分别为a，b，c，求证：++＝．37．某公园准备用如图所示的材料给一块矩形的场地铺地面（1）请设计一种用材料a铺满地面的方案；（2）请设计一种用材料b铺满地面的方案；（3）同时用a、b两种材料能否铺满地面？38．正三角形，正四边形可以铺满地面，但正十二边形和正八边形均不能铺满地面．试问，（1）正三角形和正十二边形的结合能否铺满地面？如果可以，举例说明；如果不行，说明理由．（2）由正四边形和正八变形组合呢？39．用若干块边长为20cm的正三角形瓷砖和一块边长为20cm正六边形的瓷砖铺成一边长为1.2m的正六边形的地面，则需要这样的正三角形瓷砖多少块？40．用一个正方形，一个正五边形，一个正十二边形能否镶嵌成平面图案？说明理由．41．一底角为60°的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等，同时使用这两种图形能否铺满平面？若能，请设计一个图案；若不能，请说明理由．42．请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．43．用一种正多边形拼成平整、无隙的图案，你能设计出几种方案？画出草图．44．如图，足球是由正五边形皮块（黑色）和正六边形．皮块（白色）缝成的．如果取下一黑两白两两相邻的三块皮块，能不能将这三块皮块连在一起铺平？为什么？45．某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．（1）如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有．（填序号）①正方形②正五边形③正六边形④正八边形⑤任意三角形⑥任意四边形（2）如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？（3）如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？46．如图，它是地板厂家加工地板时剩的边角余料，问用同一种任意四边形的木板可以进行镶嵌吗？请说明理由．47．如图，请复制并剪出若干个纸样，通过拼图解答以下问题．（1）这种图形能密铺平面吗？如果你认为能，请用这种图形组成一幅镶嵌图案．（2）若AB＝4cm，AD＝BC＝1.5cm，由20个这种图形组成的镶嵌图形面积有多大？48．现有大小、形状完全相同且足够多的四边形大理石下脚料，能用这些大理石铺设地面吗？请用所学的数学知识说明理由．49．如图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成．请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度？50．试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案．华师大新版七年级下学期《9.3 用正多边形铺设地面》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图所示，有一边长为米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的正方形方砖密铺而成．（1）图中黑白方砖共有32块；（2）求一块方砖的边长．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）设一块方砖的边长为a，构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）观察图象可知黑白方砖共有16+9+7＝32（块），故答案为32．（2）设一块方砖的边长为a．由题意：4×a＝8，∴a＝2，∴一块方砖的边长为2米．【点评】本题考查平面镶嵌、正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法去进行探究．探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．第三类：选正六边形．（仿照上述方法，写出探究过程及结论）探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第四类：选正三角形和正方形在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成个周角．根据题意，可得方程60x+90y＝360整理，得2x+3y＝12．我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌第五类：选正三角形和正六边形．（仿照上述方法，写出探究过程及结论）第六类：选正方形和正六边形，（不写探究过程，只写出结论）探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．（不写探究过程，只写结论），【分析】根据题意列出二元一次方程或三元一次方程，求出方程的正整数解，即可得出答案．【解答】解：第五类：设x个正三角形，y个正六边形，则60x+120y＝360，x+2y＝6，正整数解是或，即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形（或4个正三角形和1个正六边形）的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；第六类：设x个正方形，y个正六边形，则90x+120y+＝360，3x+4y＝12，此方程没有正整数解，。
2024春七下第九章多边形9-3用正多边形铺设地面作业新版华东师大版
150°)＝12.
利用指定正多边形设计密铺方案
7.某校学习小组在探究用两种边长相等的正多边形做平面密
铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形
或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重
叠的平面图形，如图①②③，请你仿照此方法解决下面的
问题：
A.内角的度数都是整数
B.边数是3的整数倍
C.内角能整除180°
D.内角能整除360°
2.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，
彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形
的镶嵌.工人师傅不能用形状、大小完全相同的一种地砖在
平整的地面上镶嵌的是( C )
A.等边三角形
B.正方形
C.正五边形
的；D是由正三角形、正方形、正六边形镶嵌而成的.
5.(母题：教材P91习题T2) 小李家铺地面，已有正三角形的
地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，用这
两种地砖铺地面，则小李不应购买的地砖形状是( C )
A.正方形
B.正六边形
C.正八边形
D.正十二边形
【点拨】
(−)×°
正八边形的每个内角为
华师版七年级下
第9章
多边形
9.3用正多边形铺设地面
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1
D
5
2
C
6
3B7源自4DC用正多边形密铺包括用相同的正多边形密铺和用多种正
多边形密铺两种情况，能密铺的条件是这些正多边形围绕一
点拼在一起的几个内角的和为360°.
知识点1用相同的正多边形密铺
七年级数学下册3《用正多边形铺设地面》同步练习华东师大版
《用正多边形铺设地面》基础训练1.下列正多边形的地砖中,不能铺满地面的正多边形是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形2.用一种正多边形能铺满地面的条件是( )A.内角都是整数度数B.边数是3的整数倍C.内角度数能整除360°D.内角度数能整除180°3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面的是( )A.正三角形和正方形B.正方形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形4.小芳家房屋装修时,选中了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她,只用正八边形地砖是不能铺满地面的,便向她推荐了其他几种形状的地砖.你认为要使地面铺满,应选择另一种形状的地砖是( )5.下列图案中,是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种铺设而成的是( )6.若用三种正多边形地砖铺设地面,一个顶点处已有一块正方形地砖和一块正六边形地砖,则还需一块正_________边形地砖.7.如图,某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成,图中图形的尖角∠ABC=_________.8.已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点铺满地面,正多边形A的一个内角的度数是正多边形B的一个内角的度数的.(1)试分别确定正多边形A、B是什么正多边形;(2)画出这5个正多边形铺满地面的图形(画一种即可).9.哪两种正多边形正好能铺满地面?(至少写出两对)培优提升1.只用下列图形中的一种,能够铺满地面的是( )A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形2.下列所给边长相同的正多边形的组合中,不能铺满地面的是( )A.正方形和正六边形B.正三角形与正方形C.正三角形与正六边形D.正三角形、正方形、正六边形3.用一种正多边形地砖铺地,使它铺成无缝隙、不重叠的图案,顶点处最多能有正多边形地砖( )A.5块B.6块C.7块D.8块4.小亮家客厅地面准备用边长相等的正三角形和正六边形地砖进行密铺,则在同一顶点处,正三角形地砖和正六边形地砖分别有( )A.3块,2块B.2块,2块C.4块,2块D.2块,2块或4块,1块5.用m个正方形和n个正八边形可铺满地面,则m,n满足的关系式是( )A.2m+3n=8B.3m+2n=8C.m+2n=6D.m+n=46.一个正六边形花坛的周围用正三角形地砖和正方形地砖铺路,假设按如图所示方式铺设,由花坛中心向外铺10层,则铺设整个路面所用的正三角形地砖和正方形地砖的总数是_______块.7.用边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形进行密铺,每个交叉点只允许用五个图形进行密铺,有_______种铺法.8.如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分,图中α的大小是.9.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角恰好组成一个周角时,就能拼成一个既不留空隙,又不互相重叠的平面图形,我们称之为铺满一个平面.用一种或几种正多边形铺满平面有多种方案,如:6个正三角形,记作(3,3,3,3,3,3);3个正六边形,记作(6,6,6);又如(3,3,6,6)(表示2个正三角形和2个正六边形的组合).请你再写出除了以上所列举以外的三种方案:. 10.如图①,四边形ABCD是一位师傅打算用地砖铺设的地板图形,他准备从如图②所示的六块地砖中挑选若干块进行铺设,请你在如图③④⑤所示的网格纸上帮他设计三种不同的铺法示意图.在图③④⑤上画出分割线,标上地砖序号即可.11.图②是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成的.请仔细观察这个美丽的图案,风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度?参考答案【基础训练】1.【答案】C2.【答案】C解：用一种正多边形能铺满地面的条件是360°是正多边形的一个内角度数的整数倍,即内角度数能整除360°.故选C.3.【答案】A解：正多边形的组合能否铺满地面,关键是看位于同一顶点处的几个角的度数之和能否为360°.若能,则说明能铺满地面;反之,则说明不能铺满地面.4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】十二7.【答案】18°解：∵正五边形的每个内角是180°-360°÷5=108°,∴∠ABC=(360°-3×108°)÷2=36°÷2=18°.8.解:(1)设正多边形B的一个内角的度数为x,则正多边形A的一个内角的度数为x,由题意得3x+2×x=360°,解得x=60°,所以x=90°,所以正多边形A为正方形,正多边形B为正三角形.(2)所画图形如图.解：(2)题答案不唯一.9.解:3个正三角形,2个正方形;2个正三角形,2个正六边形.解：答案不唯一.【培优提升】1.【答案】C解：先分别求出各个正多边形的每个内角的度数,再利用铺满地面应符合内角度数能整除360°进行判断.2.【答案】A解：A.正方形的每个内角是90°,正六边形的每个内角是120°,设在同一顶点处有m个正方形,n个正六边形,则有90°m+120°n=360°,显然n取任何正整数时,m均不是正整数,∴不能铺满地面,符合题意;B.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,∵3×60°+2×90°=360°,∴能铺满地面,不符合题意;C.正三角形的每个内角是60°,正六边形的每个内角是120°,∵2×60°+2×120°=360°或4×60°+1×120°=360°,∴能铺满地面,不符合题意;D.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,正六边形的每个内角是120°,∵60°+2×90°+120°=360°,∴能铺满地面,不符合题意.故选A.3.【答案】B解：当用正三角形地砖铺地时,顶点处地砖的块数最多,最多有=6(块).4.【答案】D解：正三角形和正六边形的每个内角分别为60°、120°.设有m块正三角形地砖,n块正六边形地砖,则有60m+120n=360,得m=6-2n.当n=1时,m=4;当n=2时,m=2.故选D.5.【答案】A6.【答案】660解：分析题图知,铺10层需正方形地砖6×10=60(块).从正六边形花坛的每个角铺出去的都是正三角形地砖,并且从第二层开始每层所需的正三角形地砖数比前一层多2块,所以铺10层,从每个角铺出去的正三角形地砖有1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(块).从而需600块正三角形地砖.故共需地砖660块.7.【答案】2解：如果是一种图形的密铺,每个内角应是360°÷5=72°,边数应是360°÷(180°-72°),不是整数,∴不存在.两种图形的密铺有:正三角形和正方形;正三角形和正六边形;正方形和正八边形;正三角形和正十二边形.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,∵3×60°+2×90°=360°,∴正三角形和正方形符合用五个图形进行密铺;正六边形的每个内角是120°,正三角形的每个内角是60°,∵120°+4×60°=360°,∴正三角形和正六边形符合用五个图形进行密铺;正方形的每个内角是90°,正八边形的每个内角为180°-360°÷8=135°,∵90°+2×135°=360°,∴不符合用五个图形进行密铺;正三角形的每个内角是60°,正十二边形的每个内角是180°-360°÷12=150°,∵60°+2×150°=360°,∴不符合用五个图形进行密铺.三种图形的密铺:一个交叉点放五个图形,度数最小为3×60°+90°+120°=390°>360°,∴不符合用五个图形进行密铺.四种图形的密铺:较小的四个内角的和已是405°,∴不存在.五种图形的密铺更不可能.综上,共有2种铺法.8.【答案】120°9.【答案】(4,4,4,4),(3,4,4,6),(3,3,3,3,6)解：答案不唯一.10.解:如图所示.解：答案不唯一.11.解:①如图所示,易知∠3=∠4,如题图所示,5个风筝形组成一个正十边形,所以∠1=(10-2)×180°÷10=144°,∠2=360°÷5=72°.风筝形是个四边形,内角和是360°,所以∠3=∠4=(360°-144°-72°)÷2=72°;②如题图所示,镖形中的∠5和风筝形中的∠1的度数和为360°,∠7和∠8都是风筝形中的∠1的补角,所以∠5=360°-144°=216°,∠7=∠8=180°-144°=36°.如题图所示,镖形和两个风筝形组成一个更大的风筝形,所以∠6=72°.即在风筝形砖中,有一个是钝角,是144°,其他三个角都是72°;在镖形砖中,有两个角相同,都是36°,有一个角是216°,另一个角是72°.。
七年级数学下册 9.3《用正多边形铺设地面》9.3.2 用多种正多边形同步练习 (新版)华东师大版-
用多种正多边形（时间：45分钟总分：100分）考点导航：1.体会多种正多边形可以组合在一起拼地板;2.理解多种正多边形组合在一起拼地板的原理;3.本节是中考考查的热点.一、耐心选一选，你会开心（每题4分，共28分）1．在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（）A 、①③④B 、②③④C 、①②③D 、①②④2．下列都是边长为a 的正多边形，①正三角形②正五边形③正六边形④正八边形，其中与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌平面的是()A 、①②B、②③C、①③D、①④3．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是( )Ａ、正方形 Ｂ、正六边形 Ｃ、正十二边形 Ｄ、正十八边形4．能铺满地面的正多边形组合是（）A 、正三角形和正八边形B 、正五边形和正十边形C 、正方形和正八边形D 、正六边形和正八边形5．用正三角形与正六边形铺满地面，设在一个顶点周围有m 个正三角形，有n 个正六边形，则m n ，满足关系式（）A 、2312m n +=B 、8m n +=C 、26m n +=D 、26m n +=6.一幅美丽的图案,在某个顶点由四个边长相等的正多边形密铺而成,其中的三个分别是正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（）A 、正三边形B 、正四边形C 、正五边形D 、正六边形.7.下列说法中,正确的个数为()(1)一个正五边形和两个正十边形的组合能够铺满地面;(2)能够铺满地面的正多边形组合只能是正三角形、正方形和正六边形之间的组合；FH A C BK (3)用一种正多边形铺满地面只能是正三角形、正方形或正六边形;(4)用梯形形状的地砖也有可能铺满地面.A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个二、精心填一填，你会轻松（每题4分，共20分）8．用三块正多边形的木块铺底,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边数都是8,则第三块木板的边数应是______________.9．某陶瓷市场现出售的有边长相等的正三角形、正方形、正五边形的地板砖，某顾客想买其中的两种．．镶嵌着铺地板，则他可以选择的是． 10.如图是某广场地面的一部分,地面的中央是一块正六边形的地砖,周围用正三角形和正方形的地砖密铺,从里向外共12层不包括中央的正六边形地砖).每一层的外边界都围成一个多边形,若中央的正六边形地砖的边长为,则第12层边界所围成的多边形的周长是____.11.请欣赏如下图所示的图案,并观察每一种图案是由哪几种正多边形拼接而成.(1)图由_________________拼接而成;(2)图由_____________________拼接而成;(3)图由__________________拼接而成;12.如图,有一个凸十一边形，它由若干个边长为１的正三角形和边长为１的正方形无重叠、无间隙地拼成，这个十一边形的周长是_________,.___________________,=∠=∠FGH ABC三、细心做一做，你会成功 13铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．(20分)(1)请根据下列图形，填写表中空格：(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?(3)从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形，说明你的理由．14.我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点．．．．拼在一起的几个多边形的内角的和为360时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如图用x 个正三角形，y 个正六边形进行平面密铺，可得60120360x y +=，化简得26x y +=．因为x y ，都是正整数，所以只有当22x y ==，或4x =，1y =时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1），（2），（3）．（１）请你仿照上面的方法研究用边长相等的x 个正三角形和y 个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致．．画出密铺后图形的示意图．．．（只要画出一种图形即可）；（２）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．(27分)（５） （１） （２）（3） （4）参考答案11.(1)正六边形、正四边形、正三角形（2）正三角形、正四边形、正十二边形（3）正六边形、正四边形、正三角形和正十二边形12.13,150°,120°13.(1)略(2)正三角形、正方形和正六边形（3）正三角形和正六边形可镶嵌成一个平面图形,所有的搭配如图2所示.14.(1）用x 个正三角形，y 个正方形进行镶嵌，可得6090360x y +=，即2312x y +=．因为x y ，都是正整数，所以只有当32x y ==，时上式才成立．即用三个正三角形和两个正方形可以进行平面密铺．拼法如图（1），（2）：（2）正确图形如图（3）所示．（1） （2）（3）。
七年级数学下册9.3用正多边形铺设地面课后拓展训练华东师大版(new)
9。
3用正多边形铺设地面1。
在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫,坐垫的图案如图9-65所示，若要选择一块布料使其与如图9-65所示的图案拼接且符合原来的图案模式，则需选图9-66中的（）2。
用两种边长相等的正多边形铺地面，不能与正三角形共同使用的正多边形是（）A．正方形 B．正六边形C．正十二边形 D．正十八边形3.小明家准备选用两种形状的地板砖铺地面，现在家中已有正六边形地板砖，下列形状的地板砖能与正六边形的地板砖共同使用的是（）A．正三角形 B．正四边形C．正五边形 D．正八边形4。
只用下列一种正多边形，能铺满平面的是（）A．正五边形 B．正八边形C．正六边形 D．正十边形5.用正三角形单独铺地面，在一个顶点处需要（）A．3块 B．4块C．5块 D．6块6。
只用一种大小完全相同的正多边形地砖铺地面时，判断能否密铺的依据（）A．正多边形的材料 B．正多边形的边长C．正多边形的对角线长 D．正多边形的内角度数7。
能构成如图9-67所示图案的基本图形是图9-68中的（ )8.用三种边长相等的正多边形可以拼成一个平面，一个是正八边形，一个是正三角形，则另一个只能是______。
9。
用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图9-69所示的规律拼成若干个图案.（1）第4个图案中有白色地砖____块；（2）第n个图案中有白色地砖____块.参考答案1.C2。
D［提示：正方形每个内角为90°,正六边形每个内角为120°，正十二边形每个内角为150°，正十八边形每个内角为160°.]3。
A4。
C5.D6.D7。
D8。
正二十四边形[提示：正八边形的每个内角为135°，正三角形的每个内角为60°，则另一个多边形的每个内角为360°-135°—60°=165°,设多边形的边数为n,则165°n=180°（n-2)，解得n=24.］9。
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《用正多边形铺设地面》基础训练1.下列正多边形的地砖中,不能铺满地面的正多边形是( )A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形2.用一种正多边形能铺满地面的条件是( )A.内角都是整数度数B.边数是3的整数倍C.内角度数能整除360°D.内角度数能整除180°3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面的是( )A.正三角形和正方形B.正方形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形4.小芳家房屋装修时,选中了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她,只用正八边形地砖是不能铺满地面的,便向她推荐了其他几种形状的地砖.你认为要使地面铺满,应选择另一种形状的地砖是( )5.下列图案中,是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种铺设而成的是( )6.若用三种正多边形地砖铺设地面,一个顶点处已有一块正方形地砖和一块正六边形地砖,则还需一块正_________边形地砖.7.如图,某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成,图中图形的尖角∠ABC=_________.8.已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点铺满地面,正多边形A的一个内角的度数是正多边形B的一个内角的度数的.(1)试分别确定正多边形A、B是什么正多边形;(2)画出这5个正多边形铺满地面的图形(画一种即可).9.哪两种正多边形正好能铺满地面? (至少写出两对)培优提升1.只用下列图形中的一种,能够铺满地面的是( )A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形2.下列所给边长相同的正多边形的组合中,不能铺满地面的是( )A.正方形和正六边形B.正三角形与正方形C.正三角形与正六边形D.正三角形、正方形、正六边形3.用一种正多边形地砖铺地,使它铺成无缝隙、不重叠的图案,顶点处最多能有正多边形地砖( )A.5块B.6块C.7块D.8块4.小亮家客厅地面准备用边长相等的正三角形和正六边形地砖进行密铺,则在同一顶点处,正三角形地砖和正六边形地砖分别有( )A.3块,2块B.2块,2块C.4块,2块D.2块,2块或4块,1块5.用m个正方形和n个正八边形可铺满地面,则m,n满足的关系式是( )A.2m+3n=8B.3m+2n=8C.m+2n=6D.m+n=46.一个正六边形花坛的周围用正三角形地砖和正方形地砖铺路,假设按如图所示方式铺设,由花坛中心向外铺10层,则铺设整个路面所用的正三角形地砖和正方形地砖的总数是_______块.7.用边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形进行密铺,每个交叉点只允许用五个图形进行密铺,有_______种铺法.8.如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分,图中α的大小是.9.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角恰好组成一个周角时,就能拼成一个既不留空隙,又不互相重叠的平面图形,我们称之为铺满一个平面.用一种或几种正多边形铺满平面有多种方案,如:6个正三角形,记作(3,3,3,3,3,3);3个正六边形,记作(6,6,6);又如(3,3,6,6)(表示2个正三角形和2个正六边形的组合).请你再写出除了以上所列举以外的三种方案: .10.如图①,四边形ABCD是一位师傅打算用地砖铺设的地板图形,他准备从如图②所示的六块地砖中挑选若干块进行铺设,请你在如图③④⑤所示的网格纸上帮他设计三种不同的铺法示意图.在图③④⑤上画出分割线,标上地砖序号即可.11.图②是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成的.请仔细观察这个美丽的图案,风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度?参考答案【基础训练】1.【答案】C2.【答案】C解：用一种正多边形能铺满地面的条件是360°是正多边形的一个内角度数的整数倍,即内角度数能整除360°.故选C.3.【答案】A解：正多边形的组合能否铺满地面,关键是看位于同一顶点处的几个角的度数之和能否为360°.若能,则说明能铺满地面;反之,则说明不能铺满地面.4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】十二7.【答案】18°解：∵正五边形的每个内角是180°-360°÷5=108°,∴∠ABC=(360°-3×108°)÷2=36°÷2=18°.8.解:(1)设正多边形B的一个内角的度数为x,则正多边形A的一个内角的度数为x,由题意得3x+2×x=360°,解得x=60°,所以x=90°,所以正多边形A为正方形,正多边形B为正三角形.(2)所画图形如图.解：(2)题答案不唯一.9.解:3个正三角形,2个正方形;2个正三角形,2个正六边形.解：答案不唯一.【培优提升】1.【答案】C解：先分别求出各个正多边形的每个内角的度数,再利用铺满地面应符合内角度数能整除360°进行判断.2.【答案】A解：A.正方形的每个内角是90°,正六边形的每个内角是120°,设在同一顶点处有m个正方形,n个正六边形,则有90°m+120°n=360°,显然n取任何正整数时,m均不是正整数,∴不能铺满地面,符合题意;B.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,∵3×60°+2×90°=360°,∴能铺满地面,不符合题意;C.正三角形的每个内角是60°,正六边形的每个内角是120°,∵2×60°+2×120°=360°或4×60°+1×120°=360°,∴能铺满地面,不符合题意;D.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,正六边形的每个内角是120°,∵60°+2×90°+120°=360°,∴能铺满地面,不符合题意.故选A.3.【答案】B解：当用正三角形地砖铺地时,顶点处地砖的块数最多,最多有=6(块).4.【答案】D解：正三角形和正六边形的每个内角分别为60°、120°.设有m块正三角形地砖,n块正六边形地砖,则有60m+120n=360,得m=6-2n.当n=1时,m=4;当n=2时,m=2.故选D.5.【答案】A6.【答案】660解：分析题图知,铺10层需正方形地砖6×10=60(块).从正六边形花坛的每个角铺出去的都是正三角形地砖,并且从第二层开始每层所需的正三角形地砖数比前一层多2块,所以铺10层,从每个角铺出去的正三角形地砖有1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(块).从而需600块正三角形地砖.故共需地砖660块.7.【答案】2解：如果是一种图形的密铺,每个内角应是360°÷5=72°,边数应是360°÷(180°-72°),不是整数,∴不存在.两种图形的密铺有:正三角形和正方形;正三角形和正六边形;正方形和正八边形;正三角形和正十二边形.正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,∵3×60°+2×90°=360°,∴正三角形和正方形符合用五个图形进行密铺;正六边形的每个内角是120°,正三角形的每个内角是60°,∵120°+4×60°=360°,∴正三角形和正六边形符合用五个图形进行密铺;正方形的每个内角是90°,正八边形的每个内角为180°-360°÷8=135°,∵90°+2×135°=360°,∴不符合用五个图形进行密铺;正三角形的每个内角是60°,正十二边形的每个内角是180°-360°÷12=150°,∵60°+2×150°=360°,∴不符合用五个图形进行密铺.三种图形的密铺:一个交叉点放五个图形,度数最小为3×60°+90°+120°=390°>360°,∴不符合用五个图形进行密铺.四种图形的密铺:较小的四个内角的和已是405°,∴不存在.五种图形的密铺更不可能.综上,共有2种铺法.8.【答案】120°9.【答案】(4,4,4,4),(3,4,4,6),(3,3,3,3,6)解：答案不唯一.10.解:如图所示.解：答案不唯一.11.解:①如图所示,易知∠3=∠4,如题图所示,5个风筝形组成一个正十边形,所以∠1=(10-2)×180°÷10=144°,∠2=360°÷5=72°.风筝形是个四边形,内角和是360°,所以∠3=∠4=(360°-144°-72°)÷2=72°;②如题图所示,镖形中的∠5和风筝形中的∠1的度数和为360°,∠7和∠8都是风筝形中的∠1的补角,所以∠5=360°-144°=216°,∠7=∠8=180°-144°=36°.如题图所示,镖形和两个风筝形组成一个更大的风筝形,所以∠6=72°.即在风筝形砖中,有一个是钝角,是144°,其他三个角都是72°;在镖形砖中,有两个角相同,都是36°,有一个角是216°,另一个角是72°.。