逻辑联结词很全
简单的逻辑联结词全称量词及存在量词
方法感悟
方法技巧 1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题 语句中,字面上未出现“或”与“且”字,此 时应从语句的陈述中搞清含义,从而分 清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地,若 两个命题属于同时都要满足的为“且”, 属于并列的为“或”.
2.逻辑联结词中,较难理解含义的是“或”, 应从以下两个方面来理解概念：(1)逻辑 联结词中的“或”与集合中的“或”含义的 一致性.(2)结合实例,剖析生活中的“或”与 逻辑联结词中的“或”之间的区别.生活中 的“或”一般指“或此或彼只必具其一,但 不可兼而有之”,而逻辑联结词中的“或” 具有“或此或彼或兼有”三种情形.
【误区警示】 在求m的取值范围时,一 是不注意端点值,二是由p,q的真假列关 于m的不等式不正确.
互动探究 2.在本例中,若将条件“p或q为真,p且q为 假”,改为“p且q为真”,结果如何?
解：p 且 q 为真,则 p、q 同时为真,
m>2
则
,∴2<m<3.故 m 的取值范围为
1<m<3
2<m<3.
(4)p：∃x0∈N,x20－2x0＋1≤0.
分析命题所 【思路分析】 含量词
明确命题是全称命题还 对命题否定
→ 是存在性命题
→ 并判断真假
【解】 (1)¬p：存在一个实数 m0,使方程 x2＋m0x－1＝0 没有实数根.因为该方程的 判别式 Δ＝m20＋4>0 恒成立,故¬p 为假命题. (2)¬p：所有的三角形的三条边不全相等.
3.含命有题一个量词的命命题题的的否否定 定
∀x∈M,p(x)∃x0∈M,¬_p_(_x__0_)______
∀x∈M,¬p(x)
∃x0∈M,p(x0)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
5 例1、已知命题p : x R, 使得 sin x ；命题q：x R, 2 C ________ 都有x 2 x 1 0, 下列结论中正确的是 __________D A.命题" p q" 是真命题 B.命题" p q" 是真命题 C.命题" p q" 是真命题 D.命题" p q" 是真命题
“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等. 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、
r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
3、全称命题与特称命题的改写
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x)
① 是真命题的为________.①p∨q;②p∧q.
5、已知命题P :" x [0,1]，a e x，命题q :" x R， x 2 4 x a 0" 若命题p q是真命题，则实数a的 C 取值范围是 __________ __ A.( 4,) B.[1,4] C.[e,4] D.( ,1]
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x， 有p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
2、短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通 常叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有
1.如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q” 是假命题,那么( C ) A. 命题p与命题q都是假命题 B. 命题p与命题q都是真命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(优质试题·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(优质试题·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q) B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[专题训练]1．(优质试题·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q) B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[专题训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p 或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为真命题”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2， 由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以m 的取值范围为(－2,0)． 答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)． 答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0， 所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]． 答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(优质试题·西安摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴x x －1>0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”． 2．下列命题中，假命题的是( ) A ．∀x ∈R,21－x >0B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a 的图象经过第四象限D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(优质试题·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q)C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题．4．(优质试题·湘东五校联考)下列说法中正确的是( ) A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件 B ．命题p ：∀x ∈R,2x >0，则非p ：∃x 0∈R,2x 0<0 C ．命题“若a >b >0，则1a <1b ”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定是非p ：∃x 0∈R,2x 0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b ，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(优质试题·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(非p )∨q 为真命题B ．p ∧(非q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则非p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定。
常用的逻辑联结词
3.如果命题“p或q”是真命题, “非p”是假命题, 则( ) A.命题p一定是假命题 B.命题q一定是假命题 C.命题q一定是真命题 D.命题q是真命题或者假命题
例题讲解
例1 分别写出由下列命题构成的“ｐ∨ｑ”“ｐ ∧ｑ”“﹁ｐ”的形式。 （1）ｐ：π是无理数， ｑ：ｅ不是无理数；
（1）“ｐ∨ｑ”： π是无理数或ｅ不是无 理数， “ｐ∧ｑ”： π是无理数且ｅ不是无理数， “﹁ｐ”： π不是无理数。
p 且q
真
真假
真
真
真
假假
真
假
假
真真
真
假
假
假真
假
假
【拓展提升】“且”命题的联结形式与真假判断 (1)逻辑联结词“且”联结的是两个命题,不能简单联结两 个命题的条件或结论,否则就会出错,如p:对角线相等的四 边形为矩形,q:对角线互相平分的四边形为矩形.若p∧q叙 述为“对角线相等且互相平分的四边形为矩形”,该命题 为真命题,事实上,由于p,q都是假命题,所以p∧q应是假命 题. (2)用逻辑联结词“且”联结简单命题p,q所得的新命题 p∧q,也称为复合命题,其真假与简单命题的真假有直接的 联系:若p,q都真,则p∧q为真;若p,q不都真(至少一个为假), 则p∧q为假.
【拓展提升】“或”命题的联结形式与真假判断 (1)逻辑联结词“或”联结的是两个命题,不能简单联结两 个命题的条件或结论.叙述时要验证简单命题的真假以及 新命题的真假. (2)用逻辑联结词“或”联结简单命题p,q所得的新命题 p∨q,也称为复合命题,其真假与简单命题的真假有直接的 联系:若p,q都假,则p∨q为假;若p,q不都假(至少一个为真), 则p∨q为真.
“﹁ｐ”： 方程 x2 2x 1 0 实数根。
(完整版)常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p qp∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。
13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
p
或
q
为真命题，p
且
q
为假命题．求
c
的取值范围．
解：由命题 p 知：0＜c＜1.由命题 q 知：2≤x＋1x≤52
要使此式恒成立，则 2＞1c，即 c＞12.
又由 p 或 q 为真，p 且 q 为假知，p、q 必有一真一假，
当 p 为真，q 为假时，c 的取值范围为 0＜c≤12. 当 p 为假，q 为真时，c≥1.
A．不存在 x0∈R,2x0>0
B．存在 x0∈R,2x0≥0
C．对任意的 x0∈R,2x≤0
D．对任意的 x∈R,2x>0
解析:特称命题:“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是全称命题“对任意的 x∈R,2x>0”．
答案：D
反思感悟：善于总结，养成习惯 对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定：(1)全(特)称命题的否定与一般命 题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存 在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可．(2)
形；④2x＋1(x∈R)是整数；⑤对所有的 x∈R，x>3；⑥对任意一个 x∈Z,2x2＋1 为
奇数．
其中假命题的个数为
()
A．1 B．2 C．3 D．5
答案：B 4．下列命题的否定错误的是
()
A．p：能被 3 整除的数是奇数；綈 p：存在一个能被 3 整除的数不是奇数
B．p：任意四边形的四个顶点共圆；綈 p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意义/能正 确地对含有一个量词的命题进行否定
03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
知识网络
命题 四种命题
原命题：若p则q
互否 互逆
命题及 其关系
四种命 题的相 互关系
逆命题：若q则p
互否
互为逆否
等价关系
否命题：若p则q
互逆
逆命题：若q则p
常 用 逻 辑 用 语
充分条件 必要条件 充要条件
充分条件
p ⇒q
必要条件 充要条件 且∧
p ⇐q p ⇔q p∧q
根据含有逻辑联结词的命题的真假,求参数的取值范围
【例 3】 设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等式
( 1 )| x 1| ≥ a 的 解 集 为 ∅ ， 命 题 q ： 函 数 f(x) ＝ 2 lg[ax 2 (a 2) x 9 ] 的定义域为 R，若命题“p∨q”为真， 8
“p∧q”为假，求 a 的取值范围.
解：①若 p 正确，则由 0 ( 1 )| x1| ≤ 1 ，得 a>1.
2
②若 q 正确，则 ax ＋(a－2)x＋ 8>0 解集为 R. 8 8 9 当 a＝0 a＝0 时，－2x＋9>0 不合题意，舍去； 时，－2x＋ >0 9 当 a＝0 时，－2x＋不合题意，舍去； 8 当 >0 8 不合题意，舍去； 8 a>0a>0 a>0 1
命题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
忆一忆知识要点
(1)含有一个量词的命题的否定 命题的否定 ∃x0∈M , ￢p(x0) ∀x∈M, ￢p(x)
全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否定是全称命题. (2) p或q, p且q的否定
p⋀q 的否定 p⋁q 的否定
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A．p或q为假，p且q为假，﹁p为真 B．p或q为真，p且q为假，﹁p为真
C．p或q为假，p且q为假，﹁p为假
D．p或q为真，p且q为假，﹁p为假 【答案】 D
第一章 集合与常用逻辑用语 二、全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ∀ ”
表示． 存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ∃ ” 表示． (2)含有全称量词的命题，叫做 全称命题 ，“对M中任意一 个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ∀x∈M，p(x) ．
第一章
集合与常用逻辑用语
考点关注 简单的逻辑 联结词
考纲要求
考纲解读
1. 带有逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 1. 了解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 非 ” 的命题的判断和其否定的 “且”、“非”的含义． 判断，全称命题、特称命题的 2. 理解全称量词与存在 否定及判断是考查的重点． 2.多以选择题、填空题的形式 量词的意义． 出现，而考查的形式是把其与 3.能正确地对含有一个 其他知识结合，在知识的交汇 量词的命题进行否定. 处命题，都是中档题.
【答案】 B
第一章
集合与常用逻辑用语
2．(2013· 石家庄质检)已知命题 p1：∃x∈R，x2＋ x＋ 1＜0； p2：
∀x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是(
A．﹁p1∧﹁p2 C．﹁p1∧p2 B．p1∨﹁p2 D．p1∧p2
)
【解析】 ∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x2 ＋x＋1＜0无解，故命题p1为假命题，﹁p1为真命题；由x2－1≥0， 得 x≥1 或 x≤ － 1 ， ∴ ∀x∈[1,2] ， x2 － 1≥0 ，故 p2 为真命题，所以 ﹁p1∧p2为真命题，故选C.
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点评：“充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条 件、既不充分条件也不必要条件”反映了条件p和结论q之 间的因果关系，在进行具体判断时，要注意：(1)确定条 件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推结论，结论推 条件；(3)确定条件是结论的什么条件．
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有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤14；
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如果 p 正确，且 q 不正确，有 0≤a<4， 且 a>14，∴14<a<4； 如果 q 正确，且 p 不正确， 有 a<0 或 a≥4，且 a≤14，所以 a<0. 综上，实数 a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．
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点评：“P和Q中有且仅有一个为真命题”等价于“P正确且Q 不正确”或“P不正确且Q正确”，所以应先求出P和Q分别正 确时的范围，再用集合间的关系来运算．一般的，“有且仅 有一个”问题可以通过数轴上方的单层覆盖来确定；“两个 命题都成立”问题可以通过数轴上方的双层覆盖来确定．
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【例2】给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成 立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中 有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 解 对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1>0 恒成立⇔a＝0
或aΔ><00⇔0≤a<4；
关于 x 的方程 x2－x＋a＝0
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