高考数学分类汇编-极坐标与参数方程

高考数学分类汇编-极坐标与参数方程题型160 极坐标方程化直角坐标方程1. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B. ()π2θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π2θρ=∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 2.(天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,则CP = .3. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = . 4.（湖北理16）在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与员O 相切,则椭圆C 的离心率为 ． 5.（福建理21）在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为π4⎫⎪⎭,直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为)(sin ,cos 1为参数a a y a x ⎩⎨⎧=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系.6.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________.7.（2014 天津理 13）在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AOB △是等边三角形,则a 的值为___________.8.（2014 陕西理 15）C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是 .9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 .11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）.A.B.C.D.12.（2014 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上,C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直,根据（1）中你得到的参数方程,确定D 的坐标.13.（2015陕西理23）在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为ρθ=． (1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标． 13.解析 （1）由2sin ρθρθ=⇒=,从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(2) d ==, 所以当0t =时,d 取得最小值,此时P 点的直角坐标为()3,0.14.（2015北京理11）在极坐标中,点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭到直线()cos 6ρθθ+=的距离为 .14. 解析 极坐标中的点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中的点为(,极坐标方程()cos 6ρθθ+=对应的直角坐标系方程为60x +-=,根据点到直线的距离公式13612d+-==.15.（2015广东理14）已知直线l的极坐标方程为2sin4ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭点A的极坐标为74Aπ⎛⎫⎪⎝⎭,则点A到直线l的距离为．15.解析依题已知直线:2sin4lρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭74Aπ⎛⎫⎪⎝⎭可化为直线:10l x y--=和点()2,2A-,所以点()2,2A-与直线l的距离为:2d==．故应填2．16.（2015湖北理16）在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0ρθθ-=,曲线C的参数方程为1,1x tty tt⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) ,l与C相交于A,B两点,则||AB=.16．解析因为()sin3cos0ρθθ-=,所以sin3cos0ρθρθ-=,所以30y x-=,即3y x=；由11ttx ty t-+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t得224y x-=.联立方程组2234y xy x⎧=⎪⎨-=⎪⎩,解得22xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即22A⎛⎝⎭,22B⎛⎫--⎪⎪⎝⎭,故AB==17.（2015湖南理16（Ⅱ））已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求||||MA MB ⋅的值. 17.解析 2. (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=. ①将 222y x +=ρ,x =θρcos 代入①式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x . ②(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入②,得018352=++t t . 设这个方程的两个实根分别为21,t t ,则由参数t 的几何意义即知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t18.（2015江苏21（C ））已知圆C的极坐标方程为2sin 404ρθπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,求圆C的半径．18.解析由题意得sin 422θθθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以()22sin cos 40ρρθθ+--=,即22sin 2cos 40ρρθρθ+--=,从而222240x y y x ++--=,即()()22116x y -++=,故圆C．19.（2016北京理11）在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点, 则 AB =__________.19. 2 解析 解法一:在平面直角坐标系中,题中的直线圆的方程分别是2210,2x x y x -=+=.可得,A B 两点的坐标(,)x y ,即为方程组221(1)1x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩的解,用代入法可求得,A B两点的坐标分别为111,1,2222⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以由两点的距离公式可求得2AB =.解法二:直线的直角坐标方程为10x -=,圆的直角坐标方程为22(1)1x y -+=. 圆心()1,0在直线上,因此AB 为圆的直径,所以2AB =.20.（2016全国丙卷23）在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.20. 分析 （1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线1C 的参数方程普通方程,利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=代入曲线1C 的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点P 的坐标,然后利用点到直线的距离公式建立()PQ d α=的三角函数表达式,然后求出最值与相应的点P 坐标即可.解析 （1）1C 的普通方程为2213x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意,可设点P的直角坐标为),sin αα,因为2C 是直线,所以PQ 的最小值,即为P 到2C 的距离()d α的最小值,()π23d αα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭.当且仅当()π2π6k k α=+∈Z 时,()d α取得最小值,最小值为,此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21.（2017天津理11）在极坐标系中,直线4cos 106ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.21.解析直线14sin 102ρθθ⎫++=⎪⎪⎝⎭化直角坐标方程为210y ++=,由圆22sin 2sin ρθρρθ=⇒=,得其直角坐标方程为222x y y +=,即()2211x y +-=,则圆心()0,1到直线的距离31=4d r ==<,知直线与圆相交,得它们的公共点的个数为2.22.（2017北京理11）在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为()1,0,则AP 的最小值为___________.22. 解析 由22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,化为普通方程为222440x y x y +--+=, 即()()22121x y -+-=,由圆心为()1,2,P 为()1,0,则AP 最小值为1.故选D.23.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值．23．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，,则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,解得4cos ρθ=,化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠.（2）联结AC ,易知AOC △为正三角形,||OA 为定值．所以当高最大时,AOB △的面积最大,如图所示,过圆心C 作AO 垂线,交AO 于点H ,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大,max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2=.题型161直角坐标方程化为极坐标方程1.(广东理14）已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1 处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为 ．2. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B. ()π2θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π2θρ=∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 3.（2014 湖南理 11）在平面直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线:C 2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且2AB =,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是________.4.（2014 江西理 11）（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段()101y x x =-的极坐标方程为（ ）. A.1cos sin ρθθ=+,02θπ B. 1cos sin ρθθ=+,04θπ C.cos sin ρθθ=+,02θπD. cos sin ρθθ=+,04θπ 5.（2015全国Ⅰ理23）在直角坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C ,2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标为()4θρπ=∈R ,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN △的 面积.5.解析 （1）因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）解法一:3C 的直角坐标系方程为y x =,所以2C 的圆心到直线3C 的距离2d ==,所以MN ==所以212C MN S=△122=． 解法二:将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=, 解得1ρ=2ρ=,所以12ρρ-=即MN =2C 的半径为1,所以2C MN △的面积为12．6.（2016全国甲理23）在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为()22625x y ++=. （1）以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，，（t 为参数）,l 与C 交于A B 、两点,AB =求l 的斜率.6.解析（1）整理圆的方程得2212110x y x +++=,由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．（2）解法一:将直线l 的参数方程代入圆C :2212110x y x +++=化简得,212cos 110t t α++=,设,A B 两点处的参数分别为12,t t ,则121212cos ,11t t t t α+=-⎧⎨=⎩,所以12||||AB t t =-===,解得23cos 8α=,l 的斜率tan 3k α==±. 解法二:设:l y kx =,其中tan k α=,如图所示,圆心到到l的距离d ===,故k ==. 题型162 参数方程化普通方程1. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = .2. (湖南理9） 在平面直角坐标系xOy 中,若,:()x t l t y t a =⎧⎨=-⎩为参数过椭圆3cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩,（ϕ 为参数）的右顶点,则常数a 的值为 . 3.（湖北理16）在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴）中,直线l与圆O的极坐标方程分别为sin24mπρθ+=（m为非零数）与bρ=．若直线l经过椭圆C的焦点,且与员O相切,则椭圆C的离心率为．4.(福建理21）在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为π4⎫⎪⎭,直线l的极坐标方程为πcos4aρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭,且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为)(sin,cos1为参数aayax⎩⎨⎧=+=,试判断直线l与圆C的位置关系.5.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C:22149x y+=,直线l:222x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）.（1）写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30︒的直线,交l于点A,求PA的最大值与最小值.6.（2014 江苏理21）[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为122xy⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）,直线l与抛物线24y x=相交于A,B两点,求线段AB的长．7.（2014 福建理21）B.（本小题满分7分）选修4—4:极坐标与参数方程已知直线l的参数方程为24x a ty t=-⎧⎨=-⎩,（t为参数）,圆C的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin4cos4yx,（θ为常数）.（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.8.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________.9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________.10.（2014 北京理 3）曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A.在直线2y x =上B.在直线2y x =-上C.在直线1y x =-上D.在直线1y x =+上11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）.A.B.C.D.12.（2015重庆理15）已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=3π5π0,44ρθ⎛⎫><< ⎪⎝⎭,则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.12.解析 由直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-=t ty tx (11为参数）,得直线方程为02=+-y x ①由235cos 240,ππρθρθ⎛⎫=><< ⎪44⎝⎭,得()()22cos sin 4ρθρθ-=,故422=-y x ②联立式①,式②⎩⎨⎧=-=+-40222y x y x ,解得交点坐标为()2,0-,所以交点的极坐标为()2,π． 13.（2015全国Ⅱ23）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,0t ≠）,其中0πα<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,3:C ρθ=（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 的最大值.13.分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,联立即可求解；.（2）先确定曲线1C 的极坐标方程()0θαρρ=∈≠R,,进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B的极坐标为(),αα,由此可得:2sin AB αα=-π4sin 43α⎛⎫=- ⎪⎝⎭．解析 （1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为:220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠,其中0πα<． 因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα,B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-π4sin()43α=-,当5π6α=时,AB 取得最大值,最大值为4． 命题意图 考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化,并能求出距离的最值. 14.（2015福建理21（2））在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴）中,直线l()sin 4m m θπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭R ．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值．14.分析 本小题主要考查极坐标与直角坐标系的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想．解析 （1）消去参数t ,得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=．sin 4m θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得sin cos 0m ρθρθ--=,所以直线的直角坐标方程为0x y m -+=． （2）依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2,2=,解得3m =-±．15.（2016江苏21 C ）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为()1122x t t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,椭圆C 的参数方程为()cos 2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,求线段AB 的长．15. 解析解法一（求点）:直线l 0y --=,椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,联立22014y y x --=⎨+=⎪⎩,解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此167AB ==．解法二（弦长）:直线l方程化为普通方程为y =-椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,不妨设()11,A x y ,()22,B x y ,联立得2244y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消y 得27610x x --=,3628640∆=+=>恒成立, 故12126717x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12AB x =-167==． 解法三（几何意义）:椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=,直线恒过点()1,0,该点在椭圆上,将直线的参数方程()1122x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入椭圆的普通方程,得22141422t t ⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得27404t t +=,故10t =,2167t =-,因此12167AB t t =-=．16.（2017江苏21 C ）在平面坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数）,曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值．16.解析 直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C 上,设()22P s ,从而点P 到直线l 的距离224s d +==,当s =,min 5d =． 因此当点P 的坐标为()4,4时,曲线C 上点P到直线l ． 17.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）,直线l 的参数方程为()41x a tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数.（1）若1a =-,求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 求a .17.解析 （1）当1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程为2219x y +=.联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则点P 到l的距离d ==,其中3tan 4ϕ=．依题意得max d 解得16a =-或8a =.18.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x ty kt=⎧⎨=⎩（t为参数）,直线2l 的参数方程为2x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3cos sin 0l ρθθ+=：,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径．18．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ①()21:2l y x k=+ ② ⨯①②,消k 可得224x y -=,即点P 的轨迹方程为224x y -=()0y ≠.⑵将极坐标方程转化为一般方程3:0l x y +=,联立2204x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,解得ρ=,即M．题型163 普通方程化参数方程——暂无 1. (陕西理15C ）C.（坐标系与参数方程选做题）如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆220x y x +-= 的参数方程为 .x2. (全国新课标卷理23）选修4——4；坐标系与参数方程已知动点P Q ，都在曲线2cos 2sin x C :y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数）上,对应参数分别为βα=与2πM α= （0<<2πα）,M 为PQ 的中点.（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 3. (辽宁理23）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为π4sin cos 4ρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数）,求a b ，的值. 4.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线,交l 于点A ,求PA 的最大值与最小值.5.（2014 辽宁理 23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 题型164 参数方程与极坐标方程的互化 1.（江西理15）(1)（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 ．2.（2016全国乙理23）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数,0a >）.在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=.（1）说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .2.解析 （1）将1C 化为直角坐标方程为()2221a x y +-=,从而可知其表示圆． 令cos x ρθ=,sin y ρθ=,代入得极坐标方程22s 2in 10a ρρθ+-=-．（2）将1C ,2C 化为直角坐标方程为22212:10y y C x a +-+-=,222:40C x y x +-=．两式相减可得它们的公共弦所在直线为24210x y a -+-=.又12,C C 公共点都在3C 上,故3C 的方程即为公共弦24210x y a -+-=. 又3C 为0θα=,0tan 2α=,即为2y x =,从而可知1a =．第2节 不等式选讲（选修4-5）题型165 含绝对值的不等式 1.（江西理15）(2)（不等式选做题）在实数范围内,不等式211x --的解集为 ． 2.(福建理21）设不等式()2x a a *-<∈Ν的解集为A ,且A A ∉∈21,23.（1）求a 的值；（2）求函数2)(-++=x a x x f 的最小值.3.（2014 重庆理 16）若不等式2121222x x a a -++++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是____________.4.（2014 湖南理 13）若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则a =________.5.（2014 江西理 11）（1）（不等式选做题）对任意,x y ∈R ,111x x y y -++-++的最小值为（ ）.A.1B.2C.3D.46.（2014 陕西理 15）A.（不等式选做题）设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,的最小值为 .7.（2014 新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5:不等式选讲 设函数()1f x x x a a=++-()0a >. （1）证明:()2f x ；（2）若()35f <,求a 的取值范围.8.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设函数()211f x x x =-+-,()21681g x x x =-+,记()1f x 的解集为M ,()4g x 的解集为N . （1）求M ； （2）当x MN ∈时,证明:()()2214x f x x f x +⎡⎤⎣⎦. 9.（2014 福建理 21）（本小题满分7分）选修4—5:不等式选讲 已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . （1）求a 的值；（2）若r q p ，，为正实数,且a r q p =++,求证:2223p q r ++. 10.（2015重庆理16）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5,则实数a =_______. 10.解析 当1a >-时,端点值为,1a - ． （1）当1x-时,()()12321f x x a x x a =--+-=-+-；（2）当1x a -<<时,()()1221f x x a x x a =++-=-++； （3）当x a 时,()()12321f x x x a x a =++-=-+；如图所示:-1a由图易知:()min 15f a a =+=,解得6a =-（舍）或4=a ,所以4a =． 当1a <- 时,端点值为,1a - . （1）当xa 时,()()12321f x x a x x a =--+-=-+-；（2）当1a x <<-时,()12()21f x x x a x a =--+-=--； （3）当1x - 时,()()12321f x x x a x a =++-=-+；如图所示:a-1由图易知:()min 15f a a =+= ,解得4=a （舍）或6a =-,即6a =-. 当1a =-时,()31f x x =+,()()min 10f x f =-=,与题意不符,舍. 综上所述:6a =-或4.11.（2015陕西理24）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (1)求实数a ,b 的值；(2)求11.解析 （1）由||x a b +<⇒b a x b a --<<-所以2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得31a b =-⎧⎨=⎩. （2）[]222112333t t ⎡⎤++-+⎢⎥ ⎝⎢⎥⎣⎦412163⨯=, +4t ,+t 的最大值为4,当1t 时取等号. 12.（2015山东理5） 不等式152x x ---<的解集是( ) ． A.()4-∞B ．(),1-∞C ．()1,4D ．()1,512.解析 令15y x x =---,则4,526,154,1x y x x x ⎧⎪=-<⎨⎪-<⎩,所以原不等式同解于如下三个不等式组的解集的并集:① 542x ⎧⎨<⎩；②15262x x <⎧⎨-<⎩③142x <⎧⎨-<⎩,解①得:x ∈∅,解②得:14x <；解③得:1x <．综上所述,原不等式的解集为{}4x x <．故选A ．评注 本题也可数形结合,而快捷的方法则是取特殊值验证． 13.（2015全国Ⅰ24）已知函数()12f x x x a =+--,0a >. （1）当1a =时,求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 13.解析 （1）当1a =时,()1f x >,即12110x x +--->． 当1x-时,不等式化为40x ->,无解；当11x -<<时,不等式化为320x ->,解得213x <<； 当1x 时,不等式化为20x -+>,解得12x <．综上所述,当1a =时,()1f x >的解集为2,23⎛⎫⎪⎝⎭．（2）0a >,()12,1312,112,x a x f x x a xa x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩,如图所示,函数()f x 的图像与x 轴所围成三角形的三个顶点为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭,()21,0B a +,(),1C a a +, ()2213ABC S a =+△,即()22163a +>,解得2a >, 所以a 的取值范围是()2,+∞．14. ( 2015福建理21（3）) 已知0a >,0b >,0c >,函数()f x x a x b c =++-+ 的最小值为4． (1)求a b c 的值;(2)求2221149a b c 的最小值． 14.分析 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．解析 （1）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++,当且仅当ax b -时,等号成立．又0a >,0b >,所以a b a b +=+,所以()f x 的最小值为a b c ++．又已知()f x 的最小值为4,所以4a b c ++=． 当32x -时,化简得332x +,解得13x -,故13x -； 当32x <-时,化简得32x --,解得5x-,故5x -．故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭. 15.(2015江苏21（D ）) 解不等式232x x ++． 15. 解析 当32x -时,化简得332x +,解得13x -,故13x -；当32x <-时,化简得32x --,解得5x-,故5x -．故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭．16.（2016上海理1）设x ∈R ,则不等式31x -<的解集为 ． 16. 解析 由题意131x -<-<,即24x <<,则解集为()2,4．故填()2,4． 17.（2016全国甲理24（1））已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集.求M ；17. 解析 （1）当12x <-时,()112222f x x x x =---=-<,所以112x -<<-；当1122x -≤≤时,()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时,()22f x x =<,所以112x <<．综上可得,{}|11M x x =-<<．18.（2016全国乙理24）已知函数()123f x x x =+--. （1）在如图所示的图形中,画出()y f x =的图像； （2）求不等式()1f x >的解集.18. 解析 由题意得3233212414()x f x x x x x x ⎧-+⎪⎪⎪=--<-<-⎨⎪⎪⎪⎩，，，．其图像如图所示.（2）当1x <-时,41x ->,解得5x >或3x <,故1x <-； 当312x -<时,321x ->,解得1x >或13x <,故113x -<或312x <<； 当32x时,441x x -+=->,解得5x >或3x <,故323x <或5x >． 综上所述,该不等式的解集为()()1,1,35,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．评注 或者可以由图形观察大致结果,但不能替代解题过程．19.（2016全国丙卷24）已知函数()|2|f x x a a =-+ （1）当2a =时,求不等式()6f x 的解集； （2）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时,()()3f x g x +,求a 的取值范围.19. 解析 （1）当2a =时,()222f x x =-+.解不等式2226x -+≤,得13x -≤≤. 因此, ()6f x ≤的解集为{}13x x -≤≤. （2）当x ∈R 时,得()()212f x g x x a a x +=-++-212x a xa-+-+≥1a a =-+,所以当x ∈R 时,()()3f x g x +≥等价于13a a -+≥. ①当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解； 当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[)2,+∞.20.（2017全国1卷理科23）已知函数()2–4f x x ax =++,()11g x x x =++-.（1）当1a =时,求不等式()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[]–11，,求a 的取值范围. 20.解析 （1）当1a =时,()24f x x x =-++为开口向下,对称轴为12x =的二次函数,()211121121x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-⎨⎪-<-⎩，，，,当(1,)x ∈+∞时,令()()f x g x ,即242x x x -++,解得x ⎛∈ ⎝⎦. 当[]11x ∈-，时,令()()f x g x ,即242x x -++,解得[]1,1x ∈-． 当()1x ∈-∞-，时,令()()f x g x ,即242x x x -++-,解得x ∈∅． 综上所述,()()f x g x的解集为1⎡-⎢⎣⎦．（2）依题意得242x ax -++≥在[]11-，上恒成立,即220x ax --≤在[]11-，恒成立,则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩,解得11a -． 故a 取值范围是[]11-，． 21.（2017全国3卷理科23）已知函数()12f x x x =+--． （1）求不等式()1f x 的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +的解集非空,求m 的取值范围．21．解析 （1）()12f x x x =+--可等价为()3,121,123,2x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩.由()1f x ,可得①当1x -时显然不满足题意； ② 当12x -<<时,211x -,解得1x ；③ 当2x 时,()31f x =恒成立.综上,()1f x 的解集为{}1x x .⑵不等式()2f x x x m -+等价于()2f x x x m -+,令()()2g x f x x x =-+,则()g x m 的解集非空只需要()max g x m ⎡⎤⎣⎦.而()2223,131,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩.①当1x -时,()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时,()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；④ 当2x 时,()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上所述,()max 54g x =⎡⎤⎣⎦,故54m .题型166 不等式的证明1. (全国新课标卷理22）选修4——5；不等式选讲 设a b c ，，均为正数,且1a b c ++=,证明:（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a--≥.2.（2014 新课标1理24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若0a >,0b >,且ab ba =+11. （1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ,使得632=+b a ？并说明理由.3.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设函数()211f x x x =-+-,()21681g x x x =-+,记()1f x 的解集为M ,()4g x 的解集为N . （1）求M ； （2）当x MN ∈时,证明:()()2214x f x x f x +⎡⎤⎣⎦. 4.（2014江苏理）D ．[选修4-5:不等式选讲]（本小题满分10分）已知0x >,0y >,证明:()()22119x yxy xy ++++．5.（2014 福建理 21）（本小题满分7分）选修4—5:不等式选讲 已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . （1）求a 的值；（2）若r q p ，，为正实数,且a r q p =++,求证:2223p q r ++. 6.（2016江苏21 D ）设0a >,13a x -<,23ay -<,求证:24x y a +-<． 6. 解析 证明:由13a x -<可得2223ax -<,故22422233a ax y x y a +--+-<+=.7.（2016全国甲理24）已知函数11()22f x x x =-++,M 为不等式()2f x <的解集. （1）求M ；（2）证明:当a b M ∈，时,1a b ab +<+.7.解析 （1）当12x <-时,()112222f x x x x =---=-<,所以112x -<<-；当1122x -≤≤时,()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时,()22f x x =<,所以112x <<．综上可得,{}|11M x x =-<<．（2）当()11a b ∈-，，时,有()()22110a b -->,即22221a b a b +>+, 则22+2+1a b ab >222a ab b ++,则()()221ab a b +>+,即1a b ab +<+.8.（2016浙江理8）已知实数,,a b c （ ）.A.若221a b c a b c +++++≤,则222100a b c ++< B.若221a b c a b c ++++-≤,则222100a b c ++<C.若221a b c a b c ++++-≤,则222100a b c ++< D.若221a b c a b c ++++-≤,则222100a b c ++<8. D 解析 举反例排除法:对于选项A,可以令()222,a b a b c a b +=+=-+,例如令10,110a b c ===-,则22101011010101101+-++-≤=0,但是()2221010110100++->,所以选项A 不正确；对于选项B,可以令20,0c a b =+=,例如令10,100,0a b c ==-=,则221010*********-++--≤,但是()222101000100+-+>,所以选项B 不正确；对于选项C,可以令20,0a b c +==,例如令100,100,0a b c ==-=,则22100100010010001-++--≤=0,但是()2221001000100+-+>,所以选项C 不正确.故选D.9.（2016全国丙理21）设函数()cos 2(1)(cos +1)f x a x a x =+-,其中0a >,记()f x 的最大值为A . （1）求()f x '； （2）求A ；（3）证明2.f x A '（） 9. 解析 (1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---. （2）当1a时,()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤.因此32A α=-.当01a <<时,将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--.令()()2211gt at a t =+--,则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值,()1g a -=,()132g a =-,且当14at a-=时,()g t 取得极小值,极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 令1114a a --<<,解得13a >-且15a >,所以15a >. （i ）当105a<时,()g t 在()1,1-内无极值点,()1g a -=,()123g a =-,()()11g g -<,所以23A a =-.（ii ）当115a <<时,在同一坐标中画出函数y x =,32y x =-,2618x x y x++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像.由图,我们得到如下结论当115a <<时,2618a a A a ++=.综上,2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩. （3）由（1）得()()2sin21sin 21f x a x x a a α'=---+-. 当105a <时,()()1242232f x a a a A '+-<-=； 当115α<<时,131884a A a =++,所以()12f x a A '+<；当1a ≥时,()31642f x a a A '--=.所以()2f x A '；综上所述有()2f x A '.题型167 函数单调性在证明不等式中的应用1.（2016全国甲理21（1））讨论函数2()e 2x x f x x -=+的单调性,并证明当0x >时,(2)e 20;x x x -++> 1. 解析 证明:由已知得,函数的定义域为由已知得, 2x ≠-.因为()2e 2x xf x x -=+,所以()()()22224e e 222xx x x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭.因为当x ∈()()22-∞--+∞，，时,()0f x '>,所以()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增, 所以当0x >时,()2e 0=12x x f x ->-+,所以()2e 20xx x -++>.题型168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无 1.（2017江苏21 D ）已知,,,a b c d 为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明:8ac bd +．1.解析 由柯西不等式可得()()()22222ac bd a b c d +++,因为224a b +=,2216c d +=,所以()264ac bd +,因此8ac bd +．2.（2107全国2卷理科23）已知0a >,0b >,332a b +=,求证:（1）()()554a b a b ++；（2）2a b +．2．解析 （1）由柯西不等式得()()()2255334a b a b a b ++=+=≥,=即1a b ==时取等号．（2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+,所以()38a b +≤,即2a b +≤,当且仅当1a b ==时等号成立．。