数学中的归纳类比(填空)
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比
§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。
数学-观察、猜想与证明专题复习
第八章《观察、猜想与证明》专项练习专练一：观察猜想知识点一：观察与实验1.观察是获得感性认识的重要途径，可以得到一些结果；但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证。
正如恩格斯所说：“单凭观察所得的经验，是决不能充分证明必然性的。
”2.实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动。
知识点二：归纳与类比1.不完全归纳法：以上规律是从几个特殊的情况中归纳出来的。
我们可以根据这个规律去解决类似的问题，这种根据一些（但不是全部）特殊情况归纳出一般性结论的方法，叫做不完全归纳法。
2.类比就是结局问题方法、步骤是相同的，但是细节的内容必须依照前面学过的知识内容，由课本上的例子可知：解一元一次不等式和解一元一次方程的步骤相同，但是不等式在两边同乘以一个负数时，必须改变不等号的方向，而方程不存在这样的问题。
知识点三：猜想与证明1.通过观察、实验、归纳、类比可以得出猜想，这是认识事物的有效途径之一。
2. 通过观察、实验、归纳、类比、猜想得出的结论还需要通过证明来确认它的正确性。
3.证明：就是由已知条件和前面所学的知识通过推理得到结论的一个过程，要有因有果。
例题分析1．为迎接2008年北京奥运会，孝感市某中学课外科技小组的同学们设计制作了一个电动智能玩具，玩具中的四个动物小鱼、小羊、燕子和熊猫分别在1、2、3、4号位置上（如图1），玩具的程序是：让四个动物按图中所示的规律变换位置，第一次上、下两排交换位置；第二次是在第一次换位后，再左、右两列交换位置；第三次再上、下两排交换位置；第四次再左、右两列交换位置；按这种规律，一直交换下去，那么第2 008次交换位置后，熊猫所在位置的号码是（）（A）1号（B）2号（C）3号（D）4号2．探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2 004到2 005再到2 006，箭头的方向是（）3．我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制数1 101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+1×20=13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为_______．4．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片________张；（2）第n个图案中有白色纸片________张．5．人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级、…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21、…．那么小聪上这9级台阶共有________种不同方法．6．德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是：__________．7．如图，每一个图形都是由小三角形“△”拼成的：……⑴⑵⑶⑷观察发现，第10个图形中需要个小三角形，第n个图形需要个小三角形。
归纳推理、类比推理
归纳推理、类比推理第三周归纳推理、类比推理一、归纳推理(一)归纳推理：以个别或特殊性知识为前提，推出一般性结论的推理。
它包括完全归纳和不完全归纳，两者的区别在于前者考察了一类中的每一个对象，而后者只考察了一类中的部分对象。
其逻辑结构：S1是(不是)P S1是(或不是)PS2是(不是)P S2是(或不是)PS3是(不是)P S3是(或不是)P…………Sn是(不是)P Sn是(或不是)PS1、S2、S3……Sn是S类的全部对象S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象所以，所有的S是(不是)P 所以，所有的S都是(或不是)P根据前提中是否考察了事物对象与其属性之间的内在联系，不完全归纳推理分为简单枚举法和科学归纳法。
1.简单枚举归纳推理又叫做简单枚举法，它是根据一类事物对象中部分对象具有(或不具有)某种属性，推出该类对象全体都具有(或不具有)这种属性的推理。
其逻辑形式是：S1是(不是)PS2是(不是)PS3是(不是)P……Sn是(不是)P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且没有出现反例)———————————————————————————所以，所有的S是(不是)P2.科学归纳法科学归纳推理又叫做科学归纳法，它是根据一类对象中的部分对象与其属性之间的联系具有必然性，推出该类对象的全部都具有这种属性的推理逻辑结构式S1是PS2是PS3是P……Sn是P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且S与p之间有必然联系)——————————————————所以，所有的S是P(二)因果联系：事物之间引起和被引起的关系。
因果联系的特征有：不能颠倒的先因后果、一个原因可以引起多个结果、一个结果也可以由不同原因引起。
求因果方法：五种基本方法。
1.求同法，即寻求被研究的事物现象出现在若干不同场合，是否具有某种共同原因的方法，其特点是异中求同。
形式结构：场合先行情况被研究现象(1) A、B、C a(2) A、D、E a(3) A、F、G a………………………————————————————所以，A与a有因果联系。
2019中考数学专题复习之归纳类比思想专项训练题一(附答案详解)
____________________________________________________________________________________________
（1）根据规律填空：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=；
（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；
（3）试确定22017+22016+…+2+1的个位数字．
7．阅读与探究:
在第六章《实数》中，我们学习了平方根和立方根.下表是平方根和立方根的部分内容.
平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根或二次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的平方根.
解决问题：
（1）若x＞0时，x＋ 有最小值为，此时x＝；
（2）如上图，已知点A在反比例函数y （x＞0）的图像上，点B在反比例函数y （x＞0）的图像上，AB∥y轴，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C．求四边形ABCD周长的最小值
（3）学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为100平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有5米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如下图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏L米，自行车棚长为x米．L是否存在最小值，如果存在，那么当x为何值时，L最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由．
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.
归纳与类比
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
我珍视类比胜过任 何别的东西，它是我 最信赖的老师，它能 揭示自然界的秘密。
德国天文学家开普勒（ Kepler，
1571-1630）
“即使在数学里，发 现真理的主要工具也 是归纳和类比．”
法国数学家 拉普拉斯 （Laplase,1749-1827)
例3：传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一 块黄铜板，板上插着三根神针，传说主神再创世 时，在其中一根神针上，从下到上放下了由大到 小的64片金片。并言，将此64片金片移动到第三 根上时，世界末日就到了。其移动的规则是： 1）每次只许移动一片金片； 2) 金片只能在三根神针上存放； 3) 大金片任何时候不能放在小金片上面。 于是从此开始有一个僧侣24小时不间断地（允许 换班）移来移去。问题显然是：什么时候是世界 末日呢？
an 1 2(an 1 1) ∴数列 an 1 是以1位首项，2为
公比的等比数列．
an 2 1
n
an 1 2
n
当n=64时， a64 回到故事中，
2 1
64
=18446744073709551615．
归纳与类比课件 (2)
)
B．an＝2n－1 D．an＝2n－1＋1
工
第六章
不等式 推理与证明
2．下列说法正确的是( A．合情推理就是归纳推理
)
B．合情推理的结论不一定正确，有待证明
C．演绎推理的结论一定正确，不需证明
D．类比推理是从特殊到一般的推理
答案： B
工
第六章
不等式 推理与证明
3．下面几种推理是合情推理的是(
①由圆的性质类比出球的有关性质；
答案：
f3(x)＝
x 1－22x
fn(x)＝
x － (n∈N＋) 1－2n 1x
工
第六章
不等式 推理与证明
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律，
可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比 结构． 2．类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定 理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
D．－g(x)
解析：
观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－
x)＝－g(x)，故选D. 答案： D
工
第六章
不等式 推理与证明
2．(2009· 浙江卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8－S4， S12－S8，S16－S12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前 n T16 项积为 Tn，则 T4，________，________， 成等比数列． T12
性．类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．
类比推理的一般步骤： (1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似
特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 (猜想)；(3)检
归纳、类比、演绎推理问题求解策略——高中数学解题基本方法系列讲座(12)
归纳、 类比、 演绎推理问题求解策略
———高中数学解题基本方法系列讲座 （12）
■ 北京市第十二中学 高慧明
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断 的思维过程， 它包括合情推理与演绎推理， 合情推理又包括 归纳推理和类比推理， 归纳推理是由某类事物的部分对象具 有某些特征， 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理， 或者由个别事实概括出一般结论的推理， 由部分到整体、 归纳推理由个别到一般的推理类比； 推理是由两类对象具有 某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类 对象也具有这些特征的推理， 它是由特殊到特殊的推理； 演 绎推理从一般性的原理出发， 推出某个特殊情况下的结论． 演 绎推理是由一般到特殊的推理． 高考中归纳推理和类比推理常 以客观题形式出现， 演绎推理常和其他知识交汇， 以解答题 形式出现.
发的三条线段， 长度相等， 两两夹角为 120°； 二级分形图是
在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来
１ 3
的线段， 且这两条线段与原线段两两夹角为 120°， …依此规
律得到 n 级分形图．
一级分形图
二级分形图
三级分形图
n 级分形图中共有 ________ 条线段． 【分析】 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知， 一级分形图有 3＝(3×2－3) 条线段， 二级分形图有 9＝(3×22－3) 条线段， 三级分形图中有 21＝(3×23－3) 条线段， 按 此规律 n 级分形图中的线段条数 an＝(3×2n－3) (n∈N*)． 【点评】 (1) 归纳是依据特殊现象推断出一般现象， 因而 由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围； (2) 归纳的前 提是特殊的情况， 所以归纳是立足于观察、 经验或试验的基 础之上的； (3) 归纳推理所得结论未必正确， 有待进一步证 明， 但对数学结论和科学的发现很有用．
数学归纳法
数学归纳法数学归纳法是指根据归纳的原则和方法，按照事物发展和变化有目的地将一些数学问题进行有效地归类，进而达到“从现象到本质”的过程。
归纳法是指根据数学知识本身产生、发展、变化的规律，总结出一些数学规律或结论，用以指导自己进行抽象思维和具体运算，达到抽象概括并联系生活实际的目的。
数学归纳法包括：归类法、类比法、归纳法。
归类法：可以从数组或数列中把不同的变量归类出来，并对每个变量采取与变量相对应的顺序或层次归入其属性之中作为标准。
类比法：可以对每一个与各个数学分支有关的数学问题进行类比分析，然后得出各数学分支之间以及与之相关的其他数学分支之间进行类比，并对这些分类与各数学分支之间的关系进行推理，得出各种数学结论。
归纳法在教育教学中很重要，但对数学知识没有太多认识意义或者不懂得怎样运用归纳方法找到有效信息，是不能很好地解决数学问题的。
归纳法：在教学中运用较为广泛的一种方法。
在教学过程中要根据实际情景，合理地运用归纳方法收集知识、处理问题、解决问题等过程。
归纳主要包括两个方面：一是按照事物特点进行汇总与归类；二是根据所要考察的知识点选择相应的方法加以进行。
1.汇总与归类首先，根据数学概念、公式和基本法则，将其归纳到一个有一定逻辑顺序结构和一定组织形式的总目录，然后对这些目录加以处理，整理出一个数组或者数列，使之便于操作、便于学习应用。
其次，要综合考虑一些因素导致某一元素有其独特属性，在进行相应的分类。
这就是所谓的“按属性分类”，它包括三个方面：一是每个元素都有一个基本的属性；二是各元素有自己独特的属性类型；三是其独特的属性类型与其他元素之间存在着密切的关系。
最后要注意分类的层次性和关联性。
分类首先要对各元素的属性性质做出概括（即归纳）和确定。
其次为不同类别之间建立起合理的逻辑顺序与逻辑层次（即类别）。
但在汇总和归类过程中要注意两点：一是根据一定原则、方法、事物发展演变态势进行汇总或归类；二是必须建立起合理系统且有逻辑层次结构形式和各种不同类别之间是否存在着相互关联关系。
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数学中的归纳类比
1．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点
()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案第2012棵树种植点
的坐标应为______________．
2．根据下面一组等式：
1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,
s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=
…………
可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+=__________．
3．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”： 1 3 7
22 32 42
3 5 9 1 7 25
23 3 33 9 43 27
5 11 29
仿此，若3
m 的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为________． 4．已知实数数列{}n a 中，1a =1，6a =32，2
12
n n n
a a a ++=，把数列{}n a 的各项排成如右图的三角形状。
记(,)A m n 为第m 行从左起第n 个数，则若()50
(,),2A m n A n m •=，则m n +=________．
5.观察下列各式：2
2
1,3,a b a b +=+=3
3
4
4
5
5
4,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010
a b +=
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
⋅ ⋅ ⋅
第9题
6.的，此表中，数列1，3，7，13，21，…的通项公式为_____；编码51共出现_______次. 7、观察下列等式: 212(1)1x x x x ++=++,
22234(1)1232x x x x x x ++=++++,
2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,
242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++, L L
由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++L 则2
a =__________．
8．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：
211122S n n =+， 322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++，
5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅
可以推测，A B -=__________．
9．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*
()n a n N ∈的前12项，如下表
所示：按如此规律下去，则200920102011a a a ++=__________．
10.在等差数列中，若100a =，则有
121219n n a a a a a a -+++=+++L L （19,n n N *<∈且）成立。
类比上述性质，在等比数列{}n b 中，
若91b =，则有
1 1 1 1 1 1 … 1
2
3
4
5
6 …1 1 3 5
7 9 11 …1 1 4 7 10 13 16 …
1 5 9 13 17 21 (1)
6
11 16 21
26
…1 … …1 1… … … 1…
…。