《切线长定理》教案
数学切线长定理的教案范例解析与评价
一、教学目标1.理解数学切线长定理的概念以及应用。
2.熟练掌握数学切线长定理的求解方法。
3.能够与其他知识点进行联想，将数学切线长定理融入到实际应用中。
二、教学重点1.数学切线长定理的概念及应用。
2.数学切线长定理的求解方法。
三、教学难点1.如何将数学切线长定理运用到实际生活中。
四、教学过程1.引入（10分钟）本节课将学习数学切线长定理，这是一条很有用的数学公式，它可以解决许多现实生活中的问题。
例如，我们在开车时，经常需要知道车速，但有的时候车速表会坏掉，这时我们就可以用数学切线长定理来求解车速。
2.知识讲解（30分钟）1）概念及公式数学切线长定理是指：在一个圆上，一条与切线相交且途经圆心的弦等于圆的直径。
即：在一个圆上，切线与弦相交，途径圆心的弦等于直径。
公式表示为：2d = AB其中，d为圆的直径，AB为弦长。
2）求解方法在实际应用中，我们经常需要用到数学切线长定理来求解一些问题。
求解方法如下：Step 1：将切点A与圆心O连线，并延长过圆心O，交于弦上点B。
Step 2：根据数学切线长定理公式，2d = AB，求出弦长AB。
Step 3：根据已知条件，代入公式求解。
3.案例分析（30分钟）1）案例一现有一个圆的半径为5 cm，一条切线与该圆相交，交点离圆心距离为3 cm，求切线长。
Step 1：将切点与圆心连线，并延长连线至与弦相交于B点，连接OA，OA = 5 cm，OB = 3 cm。
Step 2：由切线原理得AB = 2 × OA = 10 cm。
Step 3：得切线长为10 cm。
2）案例二一辆车从A处以40 km/h的速度行驶，碰到前方的一街口，在那里停下来了。
由于速度表坏掉了，司机只好用数学切线长定理来求出车速。
这个街口是一个大圆，司机开车的时候正好到达圆周上的一个点B，如下图所示。
切线与圆心O相交于点A，弦BC长为48m，求A点处的车速。
Step 1：AB = 48 m，OB = R。
切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)
切线长定理教案(优秀教案)-(含多款)教案切线长定理教案一、教学目标1.让学生理解切线长定理的概念和意义，掌握切线长定理的证明和应用方法。
2.培养学生的几何思维能力，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
3.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
二、教学内容1.切线长定理的概念和意义2.切线长定理的证明方法3.切线长定理的应用三、教学重点与难点1.教学重点：切线长定理的概念、证明和应用。
2.教学难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
四、教学方法1.采用启发式教学方法，引导学生自主探究切线长定理的证明和应用。
2.利用多媒体教学手段，展示切线长定理的直观图形，帮助学生理解定理。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践操作中掌握切线长定理的应用。
五、教学过程1.导入新课通过生活中的实例，如圆规作图等，引出切线长定理的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解切线长定理的概念和意义（1）切线的定义：与圆相切，且与圆的半径垂直的直线。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
3.证明切线长定理（1）构造图形，连接圆心与切点，利用圆的半径相等，证明切线长相等。
（2）通过几何画板演示证明过程，让学生直观感受定理的正确性。
4.切线长定理的应用（1）讲解切线长定理在几何作图中的应用，如求圆的切线、等分弦等。
（2）讲解切线长定理在解决实际问题中的应用，如求圆的直径、周长等。
5.课堂练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固切线长定理的应用。
6.总结与拓展（1）总结切线长定理的概念、证明和应用方法。
（2）拓展切线长定理的相关知识，如圆的切线方程、切线长定理的推广等。
7.课后作业布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和讨论情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2.作业完成情况：检查学生的作业，了解学生对切线长定理的掌握程度。
初中切线长定理教案 切线长定理教案教学反思3篇
初中切线长定理教案切线长定理教案教学反思3篇第1篇：学校切线长定理教案1、教材分析(1)学问结构(2)重点、难点分析重点：及其应用.因再次体现了圆的轴对称*，它为*线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等供应了理论依据，它属于工具学问，常常应用，因此它是本节的重点.难点：与有关的*和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的学问，是代数与几何的综合题，同学往往不能很好的把学问连贯起来.2、教法建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织同学自主观看、猜想、*，并深刻剖析的基本图形;对重要的结论准时总结;(2)在教学中，以"观看猜想*剖析应用归纳'为主线，开展在老师组织下，以同学为主体，活动式教学.教学目标1.理解切线长的概念，把握;2.通过对例题的分析，培育同学分析总结问题的习惯，提高同学综合运用学问解题的力量，培育数形结合的思想.3.通过对定理的猜想和*，激发同学的学习爱好，调动同学的学习乐观*，树立科学的学习态度.教学重点:是教学重点教学难点:的敏捷运用是教学难点教学过程设计:(一)观看、猜想、*，形成定理1、切线长的概念.如图，p是⊙o外一点，pa，pb是⊙o的两条切线，我们把线段pa，pb叫做点p到⊙o的切线长.引导同学理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观看利用电脑变动点p的位置，观看图形的特征和各量之间的关系.3、猜想引导同学直观推断，猜想图中pa是否等于pb.pa=pb.4、*猜想，形成定理.猜想是否正确。
需要*.组织同学分析*方法.关键是作出帮助线oa，ob，要*pa=pb.想一想：依据图形，你还可以得到什么结论?opa=opb(如图)等.：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.5、归纳：把前面所学的切线的5条*质与一起归纳切线的*质6、的基本图形讨论如图，pa，pb是⊙o的两条切线，a，b为切点.直线op交⊙o于点d，e，交ap于c(1)写出图中全部的垂直关系;(2)写出图中全部的全等三角形;(3)写出图中全部的相像三角形;(4)写出图中全部的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻讨论和熟悉是在学习几何中关键，它是敏捷应用学问的基础.(二)应用、归纳、反思例1、已知：如图，p为⊙o外一点，pa，pb为⊙o的切线，a和b是切点，bc是直径.求*：ac⊙op.分析：从条件想，由p是⊙o外一点，pa、pb为⊙o的切线，a，b是切点可得pa=pb，apo=bpo，又由条件bc是直径，可得ob=oc，由此联想到与直径有关的定理"垂径定理'和"直径所对的圆周角是直角'等.于是想到可能作帮助线ab.从结论想，要*ac⊙op，假如连结ab交op于o，转化为*caab，opab，或从od为⊙abc的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来*，可获得多种*法.*法一.如图.连结ab.pa，pb分别切⊙o于a，bpa=pbapo=bpoopab又⊙bc为⊙o直径acabac⊙op(同学板书)*法二.连结ab，交op于dpa，pb分别切⊙o于a、bpa=pbapo=bpoad=bd又⊙bo=dood是⊙abc的中位线ac⊙op*法三.连结ab，设op与ab弧交于点epa，pb分别切⊙o于a、bpa=pbopab=c=pobac⊙op反思：老师引导同学比较以上*法，激发同学的学习爱好，培育同学敏捷应用学问的力量.例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.(分析和解题略)反思：(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要*质，请同学记住结论.(2)圆内接四边形的*质：对角互补.p120练习：练习1填空如图,已知⊙o的半径为3厘米，po=6厘米，pa，pb分别切⊙o于a，b，则pa=_______，apb=________练习2已知：在⊙abc中，bc=14厘米，ac=9厘米，ab=13厘米，它的内切圆分别和bc，ac，ab切于点d，e，f，求af，ad和ce的长.分析：设各切线长af，bd和ce分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x,y，z的方程组，解方程组便可求出结果.(解略)反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和之外，还要用到解方程组的学问，是一道综合*较强的计算题.通过对本题的讨论培育同学的综合应用学问的力量.(三)小结1、提出问题同学归纳(1)这节课学习的详细内容;(2)学习用的数学思想方法;(3)应留意哪些概念之间的区分?2、归纳基本图形的结论3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.(四)作业教材p131习题7.4a组1.(1)，2，3，4.b组1题.探究活动图中找错你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?在图2中，p1a为⊙o1和⊙o3的切线、p1b为⊙o1和⊙o2的切线、p2c为⊙o2和⊙o3的切线.提示：在图1中，连结pc、pd，则pc、pd都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点o应在圆上.在图2中，设p1a=p1b=a，p2b=p2c=b，p3a=p3c=c，则有a=p1a=p1p3+p3a=p1p3+c①c=p3c=p2p3+p3a=p2p3+b②a=p1b=p1p2+p2b=p1p2+b③将②代人①式得a=p1p3+(p2p3+b)=p1p3+p2p3+b，a-b=p1p3+p2p3由③得a-b=p1p2得p1p2=p2p3+p1p3p1、p2、p3应重合，故图2是错误的。
《切线长定理》教案
《切线长定理》教案教学目标1、使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力.2、使学生了解切线长的概念和切线长定理.会根据切线长的知识解决简单的问题.教学重、难点重点：1、切线的性质定理和判定定理概念.2、切线长定理概念.难点：1、理解运用切线的判定定理解决问题.2、切线长定理的应用.教学过程一、切线长定理(一)观察、猜想、证明，形成定理1、切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，P A，PB是⊙O的两条切线，我们把线段P A，PB叫做点P到⊙O 的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用PPT来展示P的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．3、猜想引导学生直观判断，猜想图中P A是否等于PB．P A＝PB．4、证明猜想，形成定理．猜想是否正确.需要证明．组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明P A＝PB．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？∠OP A＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．如图，点P为⊙O外一点，过点P作直线与⊙O相切．作法1．连接OP.2．以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A，.B.3．连接P A，PB.则直线P A，PB即为所作．已知：如图，四边形ABCD的边AB，.BCCD，.DA和⊙O分别相切于点E，.F，.G，.H.求证：AB+CD=DA+BC.证明∵AB，.BC，.CD，.DA都与⊙O相切，E，.F，.G，.H是切点，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.二、例题解析例1如课本第45页图2-13，点O是弧AB所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B.已知∠ACB=80°，OC=100m.求点C到⊙O的切线长(结果精确到1cm).例2如课本第46页图2-14，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B.延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和弧AB的长(精确到1cm).三、课堂小结通过本节课你学会了什么，引导学生进行课堂小结，因此得出：判定直线与圆的位置关系的方法有两种：(1)根据定义，定义法：由直线与圆的公共点的个数来判断；(2)根据性质，数量法：由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断．让学习了圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力，并能通过作简单的辅助线去解决某些问题.理解切线长定理，会灵活运用它解决问题.。
《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习
《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
切线长定理(教案、课后反思、导学案)
第3课时切线长定理【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.分析：OB与OA重合，OA是半径，∴OB也是半径.根据折叠前后的角不变，∴∠PBO=∠PAO=90°（即PB⊥OB），PA=PB，∠POA=∠POB；∠APO=∠BPO.而PB经过半径OB的外端点，∴PB是⊙O的切线.二、思考探究，获取新知1.切线长的定义及性质切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.由此我们得到切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【教学说明】这个定理要让学生分清题设和结论.题设：过圆外一点作圆的切线.结论：①过圆外的这一点可作该圆的两条切线.②两条切线长相等.③这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.2.三角形的内切圆思考如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？【教学说明】引导学生分析作图的关键，假设圆已经作出，圆心应满足什么条件，怎样根据这些条件确定圆心？圆心确定后，如何确定半径？教师引导，学生要互相讨论来解决这些问题.假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC 中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 三边相切.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边的距离相等.【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较.“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.分析：连接OA，设AO=x，在Rt△AOP中利用勾股定理求出x，由切线长定理知∠APO=12∠APB.求出∠APO就可得∠APB.解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形.设OA=x，则OC=x，在Rt△PAO中，OA2+PA2=OP2，∴x2+6232，解得3.∴33AOP=60°，∠APO=30°.∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°.∴⊙O的半径OA为3PA、PB的夹角为60°.【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题.例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.分析：∵I是内心.∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠ABC+∠ACB=2（∠IBC+∠ICB）.又∵∠BIC=100°，∴∠IBC+∠ICB=80°.∴∠ABC+∠ACB=160°.∴∠A=180°-160°=20°.【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题.四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题.【教学说明】教师引导学生完成课本练习.五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点.1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O 的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O 的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.3.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝cm4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.解：∵PA是⊙O的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y⊥WY,这个油桶底面半径是多少?解：设圆心为O，连接OW,O x.∵YW,Y x均是⊙O的切线，∴OW⊥WY,O x⊥x Y，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x .∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m.即这个油桶底面半径是1.65m.二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC.则ABC AOB BOC AOC S S S S =++ ()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG .∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。
切线长定理的教学设计
切线长定理的教学设计教学设计：切线长定理一、教学目标：1.理解切线长定理的概念和公式。
2.掌握应用切线长定理计算相关问题的方法。
3.培养学生的思维逻辑能力和数学推理能力。
二、教学准备：1.教师准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。
2.学生准备纸笔等学习工具。
三、教学过程：第一部分：导入新知1. 教师用一道具体问题引入切线长定理的概念，如：请思考，一个半径为5cm的圆，有一条线段与圆相切，线段长度为8cm，那么这条线段是圆的什么部分？学生思考后回答切线。
教师引导学生思考切线与圆的关系。
2.教师用黑板上的图形向学生展示切线的定义，并引导学生回答切线与圆的关系。
然后，教师引入切线长定理，并对定理进行介绍与解释。
3.教师向学生展示定理的证明过程，以加深学生对定理的理解。
第二部分：切线长定理的公式推导1.教师向学生讲解切线长定理的公式推导过程。
教师用黑板或投影仪展示推导过程，并引导学生一起完成。
2.学生逐步推导切线长定理的公式，教师进行指导和纠正。
3.学生站起来，互相核对答案，并与教师进行讨论。
第三部分：切线长定理的应用1. 教师通过实例向学生展示切线长定理的应用。
例如，给出一个半径为6cm的圆，线段与圆相切，线段长为10cm，让学生计算切线长。
2.学生用纸和笔在课本或练习册上计算问题。
教师巡视教室，指导学生解决问题。
3.学生互相核对答案并与教师讨论。
第四部分：练习与拓展1.教师提供一些练习题，学生在纸上进行计算。
2.教师引导学生思考一些拓展问题，如：当线段与圆相交、两个圆相切等情况下，如何应用切线长定理。
3.学生讨论解决拓展问题。
教师对解决方法进行总结和点评，引导学生发现问题的普遍解法。
第五部分：课堂小结1.教师对切线长定理进行小结，强调定理的重要性和应用范围。
2.教师提醒学生预习下一课时的内容。
四、教学反思：切线长定理是中学数学中的一个重要定理，教师在课堂上需要通过一道具体问题引入切线的概念，并引导学生之间的互动与讨论，以培养学生的思维能力和数学推理能力。
切线长定理教案
切线长定理教案【教案】主题：切线长定理教学目标：1. 了解切线长定理的概念和意义；2. 掌握切线长定理的计算方法；3. 能够应用切线长定理解决实际问题。
教学重难点：1. 理解切线长定理的概念和意义；2. 掌握切线长定理的计算方法；3. 运用切线长定理解决实际问题的能力。
教学准备：教师：黑板、粉笔、课件；学生：笔记本、铅笔、尺子。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 导入前一节课的知识，回顾角的概念和性质，并复习角的度量方式。
2. 引入本节课的主题：切线长定理。
二、引入（10分钟）1. 通过课件展示一个圆和一条切线的示意图，引发学生对切线的理解和认识。
2. 引导学生观察、发现并讨论切线与圆之间的性质和关系，引入切线长定理的概念。
三、讲授（15分钟）1. 清晰地介绍切线长定理的定义和公式，即“切线长的平方等于切线外部弦长和弦所对的圆心角的乘积”。
2. 通过示意图和具体的计算实例，讲解切线长定理的计算方法。
四、练习（20分钟）1. 由简单到复杂，给学生提供一些切线长定理的计算题目，让他们在课堂上进行个人或小组练习。
2. 引导学生分析和解决问题的思路，并鼓励他们应用切线长定理解决不同类型的问题。
五、拓展（10分钟）1. 引导学生思考和讨论如何应用切线长定理求解更复杂的问题，如圆内接四边形的边长、圆弧的长度等。
2. 提出一些拓展问题，让学生进一步思考和探索切线长定理在实际问题中的应用。
六、归纳总结（5分钟）1. 让学生回顾所学的知识点，加深对切线长定理的理解和记忆。
2. 强调切线长定理的重要性和应用价值。
七、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课的重点内容和要点，强调学生需要复习和巩固切线长定理的计算方法。
2. 布置课后作业，要求学生进一步练习和应用切线长定理解决问题。
教学反思：本节课通过引导学生观察和思考切线的性质和关系，引入切线长定理的概念，并通过具体实例讲解切线长定理的计算方法，达到了预期的教学目标。
课堂上给学生提供了足够的练习机会，让他们能够独立思考和解决问题。
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《切线长定理》教案
一、教材分析：本课内容选自九年数学上学期的切线长定理。
切线问题，首先条数由一条、两条再到三条，前置作业先让学生动手操作画一条切线，两条切线问题，从而发现切线长定理，然后进行三条切线问题的研究——即三角形的内切圆。
通过前置作业和课堂新授课让学生经历了从画到探到计算的全过程，使学生领略了“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的意境，领悟了“化多为少，化难为易，化新为旧”的研究问题的一般思路。
重点分析：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．
难点分析：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．
二、教学目标：
（1）、知识技能目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
（2）、数学思考目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。
（3）、解决问题目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
（4）、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
三、教学重点：理解切线长定理
四、教学难点：应用切线长定理解决问题
五、教学实施过程：
活动一 :切线长定义
1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。
（线段的长叫做切线长）
（2）定义中的“线段”具有什么特征？
①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。
3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以
PA）
图 1 图2
（2）已知：如图
2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一
条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）
（3）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一
P P
定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学。
活动二：切线长定理：
1、探索问题1：从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，那么线段PA 和PB, ∠1和∠2之间有何关系？ 探索步骤：
（1）前置作业图1中度量线段PA 和PB 的长度；猜想：线段PA 和PB ，∠1和∠2之间的关系；
（2）由（1）得出定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
（3）证明猜想；
（4）在图中还能得出哪些结论？并把它们归类； （5）归纳辅助线做法。
2、剖析定理： （1）、指出定理的题设和结论；
（2）用符号语言表示定理：
∵ OA ⊥AP ，OB ⊥BP. A,B 为切点。
∴ PA=PB ， ∠1=∠2. 活 动 三:切线长定理的应用
例1：如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠P 的度数；（2）当OA=3时，求AP 的长．
Ex:1、填空：如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ， （1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿. （2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿；
（3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿；PD=＿＿；
2.如图，PA 、PB 分别切于点A 、B ，若P=700
，则∠C 的大小为＿＿＿
3. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径,∠APB=500
,则∠PAB= ， ∠CAB= ＿
ex 1 图 ex 2 图
ex3 图
P
B
·
O A
1
2 3 4 O D
B A P
A B
O
C P
B
A
C
O
活 动 四:内切圆画图
1、下图1是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
图1 图2
2. 上图2， 假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相
切，这个圆的圆心到三角形各边的距离都等于半径，如何找到圆心？
3、展示前置作业5，回答内切圆相关问题
活 动 五:内切圆相关应用
例2 ： 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm ，
CA=13cm ，求AF 、BD 、CE 的长.
1、已知：如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AD=4，BE=5，CF=6，则△ABC 的周长是＿＿；
（3）若AB=4，BC=5，AC=6，则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.
2. 如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，
（1）若∠ OBC=40o ，∠ OCB=80o
，则，∠ A=________度．
(2)若∠ A=50o
，则∠BOC=____________度．
(3) 若∠BOC =120o
，则∠ A=____________度．
A
C
O
C B ·
C
A B E
D
F O
3. 如图3,△ABC 的内切圆半径为r ， △ABC 的周长为l ，求△ABC 的 面积.（提示：设内心为O ，连接OA 、OB 、OC.）
活 动 六：小结
1、切线长概念
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。
4、内切圆画法和相关性质．
作业：试卷
谢谢!
张美玉
2014.10.31
C
A B · O D M N
r r r。