早期代数思维的培养：小学阶段“数与代数”教学的应有之义

早期代数思维的培养：小学阶段“数与代数”教学的应有之义作者：章勤琼谭莉来源：《江苏教育》2013年第17期2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标实验稿》）中将―数与代数‖作为四个内容领域之一，这是我国历史上首次将―数（算术）‖与―代数‖的学习作为一个教学内容。

仅就文本而言，这体现出加强算术与代数之间的联系的理念，即，这种处理旨在强调―从算术向代数的过渡‖，其实这也是义务教育整体性与一贯性的必然反映。

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）中也延续了这种理念与要求。

然而，正如有的研究者所指出的那样：这种整体性与一贯性可能只是体现在这些制度文本的形式和表面，而非丰富和内在的教学现实。

因此，在教学实践中，算术与代数的教学普遍存在着独立甚至割裂现象，而这种现象势必导致学生在进入初中之后不能很好地理解代数的本质。

本文将探讨在小学阶段―数与代数‖的教学中，培养学生早期代数思维的可能性与现实性。

一、从计算教学到早期代数思维的培养我国传统小学计算教学非常强调计算的准确性与迅速性。

那么，除了快速准确地得到答案之外，在计算教学中还应强调什么样的教育价值呢？代数在当今世界扮演的角色跟阅读与写作在以前工业社会中的角色一样。

也就是说，代数已被看作公民必备素质的一部分。

然而，在现实中往往存在一种现象，不少学生在小学阶段数学成绩很突出，但进入中学之后，却逐渐出现学习困难的情况。

这种状况通常发生在需要学习越来越多的代数的时候。

学生在中学代数学习时出现巨大困难的最主要原因是其在小学阶段从未有过类似的学习与思考经验：对他们而言，小学阶段的数学学习经历就是大量的计算练习。

因此，代数对他们而言更像是一门全新的学科，而小学所学习的计算程序与规则却难以适用于越来越复杂的代数表达式及其关系。

学生在进入中学学习代数时所遇到的这种陌生感与困难是无可避免的吗？小学阶段是否可以为他们做些适当的准备，以使其消除这些陌生感与困难？上世纪末直到本世纪，越来越多的研究表明传统教学中算术与代数的割裂带有强烈的人为性。

这种算术学习与代数学习的分离使得学生在以后年级中学习代数更加困难。

美国在本世纪初提出了―人人学代数‖的口号，并明确规定在小学阶段就需要为学生后续的代数学习做好准备。

值得注意的是，这里提出的并不是要求在小学阶段就学习真正形式上的代数符号或表达式，而是要为代数的学习做好准备，或者说需要发展学生更好的代数思维。

代数思维的核心是由关系或结构描述的，其目的是发现（一般化的）关系、明确结构，并把它们联接起来。

最重要的是对以下关键思想的理解：算式的结构；等式；根据具体的运算运用等式进行抵消；数的变换以及一般化。

本世纪初，新西兰曾组织过一个主题为―学生数字运算的代数性质‖的研究，运用―‗47+25‘可以通过47增加3、25减去3得到‗50+22‘‖等算式例子，认为―学生在运用这种策略解决不同的算式问题时，就表现出了对其中数字间关系的理解，学生显示出在不依靠字母或符号的情况下也可以实施一般化的策略，这为学生代数思维的发展奠定了基础‖。

有研究者在谈到这类策略时，使用―关系性思维‖这个词语，认为―将关系性思维整合进小学课程的一个基础目标就是促使学生能在后续的学习中转换到正式的代数学习，在算术与代数之间不存在明确的界限‖。

也有研究者提出需要用―准变量表达式‖来发展学生的代数思维。

虽然研究者使用的名词可能有所不同，但如今对算术与代数之间不存在明确的界限的看法已经成为共识，而需要在小学阶段就为学生的代数学习做好准备也已经成为各国数学课程的要求。

在此，并非说小学生就需要学习正式的代数，使用代数符号与表达式，而是指在学习数与数量关系的时候，需要加强对数与式之间的关系与结构的理解，强调数与代数之间的关联。

最近十年，在全球范围内兴起了一股研究―早期代数思维（early algebraic thinking）‖或―早期代数化（early algebraization）‖的热潮，研究者认为―早期代数思维需要超越对算术与计算熟练程度的精通，而去关注隐含的更深层的数学结构。

早期代数思维的发展需要一些特定思维方式的发展，包括分析数量之间的关系，识别结构，学习变化、概括、问题解决、建模、验证、证明以及预测。

早期代数思维的学习不仅是发展理解数学关系的一种新工具，更是思维的一种新习惯‖。

相应地，在很多国家的小学数学课程中都强调了发展早期代数思维的重要性。

比如美国的《学校数学课程的原则与标准》（NCTM，2000）规定代数学习的4个目标分别为：（1）理解模式、关系和函数；（2）使用代数符号表征并分析数学情境与结构；（3）使用数学模型表征并理解数量关系；（4）分析不同背景下的变化。

而且美国在小学阶段的所有年级都有对发展代数思维的要求。

而在《澳大利亚国家课程：数学》（ACARA，2012）中对―数与代数‖这一部分内容的总体说明指出：―数与代数是一起发展的，因为在学习中两者是互相促进的。

学生运用数感与策略进行数数并表征数字，他们探索数的大小与性质，他们运用各种策略进行计算并理解不同运算之间的关系，认识模式并理解变量与函数的概念，建立对数系的理解来描述关系与一般化。

他们认识相等并解决方程与不等式，应用数与代数技能进行调查，解决问题并就各自的推理进行交流。

‖我国的《课标实验稿》指出，第2学段是中小学衔接的关键，在该学段目标中强调―增进学生对运算意义的理解……应避免繁杂的运算……‖。

而在两个具体目标中，则强调了逆运算与理解等式性质的重要性：其中―数的运算‖目标5提到―在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系‖；在―式与方程‖目标3中提到―理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程（如3x+2=5，2x-x=3）‖。

而在《课标（2011年版）》中，更是在第1学段―数的认识‖中就要求―理解符号的含义，能用符号和语言描述万以内数的大小‖；在―数的运算‖部分要求―结合具体情境，体会整数四则运算的意义‖。

美国、澳大利亚与我国在小学阶段都强调数与代数这一内容的学习，在课程标准中虽然表述有所不同，但都强调学生早期代数思维的发展，即将数与运算的学习看作是早期的代数学习，而不仅仅强调计算。

还有，都强调了学生对于等式、结构、概括化等关键思想的发展。

二、教学实践中的若干探索早期代数思维并不是一个独立的教学主题，它跟计算的学习是整合在一起的，可以使计算的学习更加容易而且丰富。

比如在小学一年级―10的分解与组合‖这一教学主题中，往往会利用如下的教学情境——―教室中有10位小朋友，请问有几位男生几位女生？‖教师通常会引导学生说出不同的组合，从10位男生0位女生、9位男生1位女生一直到0位男生10位女生，以此完成对10的可能的分解与组合的所有情况。

事实上，如果教师能在这样的教学设计上再深入一点，在列出男生女生组合的所有情况后，引导学生观察其变化的规律，帮助学生发现在总人数为10的情况下，有―9+1=8+2=……‖这么多种不同的组合。

进而，在所有组合的比较中可以发现，若男生数量减少了1，则女生数量必然需要增加1，以确保总人数不变。

通过这样的教学，学生能较容易理解加法算式的结构以及其中数与数之间的关系。

在减法算式中也不乏这样的例子，比如在让学生思考类似于―小明今年8岁，爸爸现在比小明大29岁，15年后爸爸比小明大几岁？‖这样的问题时，除了要求学生理清其中的数量关系得到正确的答案外，更重要的是要帮助学生形成这样的意识：减法算式的结构与加法算式不同，当被减数与减数同时增加（或减少）相同的数时，差是不变的。

因此，15年以后，由于爸爸跟小明的年龄分别增加的岁数都是相同的，他们相差的岁数也是相同的，此题不需要计算就可以得到答案，甚至连小明今年8岁这个条件都可以不用。

可以进一步讨论在任意年以后的情况，从15拓展到一般化的模式。

若用△和□分别代替爸爸和小明的年龄，就是―△-□=（△+15）-（□+15）=（△+○）-（□+○）=29‖，这一表达式虽然没有包含字母，但其中已完全体现了代数的结构与关系。

澳大利亚有研究者指出在计算教学中可以使用―皮特的算法‖这样的情境，皮特在计算―32-5‖时，使用了―32+5-10‖的方法。

让学生评价皮特的算法，找出其中包含的数学原理，并思考这一方法是否总是有用，这样的思考是由具体的计算技巧向一般化的数学模式的升华。

这一问题的巧妙之处还在于接下来的变式，让学生利用―皮特的算法‖来计算―73-6‖，看学生是将其转化成―73+4-10‖还是―73+6-10‖，以此来检验学生将―32-5‖转化为―32+5-10‖是已经认识到了因为―5+5=10‖，所以可以将―-5‖转化成―+5-10‖。

或许只是凑巧，学生对这一模式的认识是减去一个数，可以加上这个数再减去10。

至此，可能有教师会说，上述方法无非就是另一种形式的―凑整‖，而我们的学生在小学阶段的学习中经常会用―凑十‖―凑百‖的方法来使得计算简便。

―皮特的算法‖跟―凑整‖在形式上好像有类似的地方，实质却大不相同，凑整更多强调的是一种技巧，其目的仅是为使计算更加快速，不强调发现其中所包含的数学模式，不是数学学习中强调的通式通法，更没有上升到对算式的结构与关系的一般化的探讨的高度。

而以―皮特的算法‖为例，早期代数思维的运用也能使计算简便，但最终目的不是为了快速计算，而是要帮助学生理解数的关系与结构，使学生认识到这些关系与结构是适合所有数的，而不仅仅是某些特殊的数。

甚至有些时候，还可以―凑不整‖。

比如在计算―3000-1275‖时，由于被减数的每一位都要退位，对于低年级学生而言非常繁琐。

但如果学生有这样的意识，认识到减法算式存在这样一种结构，被减数跟减数都是可以改变的，只要保持某种关系，差就不会改变。

因此可以对该算式进行变换，被减数与减数都减少1，变成―2999-1274‖，变换之后的算式的差与原算式相同，而且避免了所有的退位。

因此，早期代数思维的培养应该成为小学阶段计算教学的最终目标与归宿，而―凑整‖只是其中的某种技巧与应用。

早期代数思维同样也适用于乘法与除法，比如在计算―7.5’0.5‖时，可以将被除数与除数同时扩大10倍，转化成―75’5‖而商不变。

有教师会认为―7.5’0.5‖就是―7.5’■‖，直接转化成―7.5×2‖似乎要更简便些。

而且除以一个分数，等于乘以这个分数的倒数，几乎所有的小学生都知道这一规则，并能熟练运用，这样的题目还要去考虑乘法算式的什么结构是不是显得有点舍近求远甚至画蛇添足？可问题在于，为什么―除以一个分数等于乘以这个分数的倒数‖这一规则能够成立，我们似乎并未深究。

事实上，这一规则之所以成立，正是基于对乘法算式的结构以及两个因数之间的关系的深入探讨得到的：7.5’0.5=7.5’■=（7.5×2）÷（■×2）=7.5×2。