板块3 基础考点练透提速不失分 第1讲 集合、复数与常用逻辑用语(教师版)备战2020年高考理科数学二轮复习

第1讲 集合、复数与常用逻辑用语1.(2019·遵义模拟)已知i 为虚数单位，则复数1－3i1＋i 的虚部为( )A.－2B.－2iC.2D.2i答案 A解析 1－3i1＋i ＝(1－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2－4i 2＝－1－2i ，∴复数1－3i1＋i 的虚部是－2.2.(2019·全国Ⅰ)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,3,4,5}，B ＝{2,3,6,7}，则B ∩∁U A 等于() A.{1,6} B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}答案 C解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,3,4,5}，∴∁U A ＝{1,6,7}.又B ＝{2,3,6,7}，∴B ∩∁U A ＝{6,7}.3.(2019·全国Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( )A.{x |－4<x <3}B.{x |－4<x <－2}C.{x |－2<x <2}D.{x |2<x <3}解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}，∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.4.(2019·开封模拟)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D解析 由()1＋3i z ＝1＋i ，得z ＝1＋i 1＋3i ＝()1＋i ()1－3i ()1＋3i ()1－3i ＝1＋3＋()1－3i1＋3＝1＋34＋1－34i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34，1－34，在第四象限. 5.(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面答案 B解析 对于A ，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A 不正确；对于B ，根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确，对于C ，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C 不正确；对于D ，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D 不正确，综上可知选B.6.(2019·洛阳模拟)若复数z 为纯虚数，且(1＋i)z ＝a －i(其中a ∈R )，则|a ＋z |等于( )A. 2B. 3C.2D. 5解析 复数z 为纯虚数，(1＋i)z ＝a －i ，z ＝a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －1－(a ＋1)i 2， 根据题干得到a －12＝0且－a ＋12≠0⇒a ＝1， ∴z ＝－i ，|a ＋z |＝||1＋z ＝||1－i ＝ 2.7.(2019·佛山模拟)复数z 满足(z ＋i)(2＋i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A.2＋2iB.－2＋2iC.2－2iD.－2－2i 答案 A解析 由(z ＋i)(2＋i)＝5，得z ＝52＋i －i ＝5(2－i )(2＋i )(2－i )－i ＝5(2－i )5－i ＝2－2i ， ∴z ＝2＋2i.8.(2019·宜昌模拟)已知集合A ＝{x ∈R |y ＝3－x }，B ＝{x ∈R |x 2＋x －2<0}，则A ∩B 等于( )A.{x |1<x ≤3}B.{x |x <－2或1<x <3}C.{x |－2<x <1}D.{x |x <－2或1<x ≤3} 答案 C解析 ∵A ＝{}x |y ＝3－x ＝{}x |x ≤3， B ＝{}x |x 2＋x －2<0＝{}x |－2<x <1，∴A ∩B ＝{x |－2<x <1}.9.(2019·柳州模拟)已知集合A ＝{}()x ，y | y ＝x －1，B ＝{}()x ，y | y ＝－2x ＋5，则A ∩B 等于( )A.{}(2，1)B.{}2，1C.{}()1，2D.{}－1，5 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y ＝－2x ＋5，解得x ＝2，y ＝1， 故A ∩B ＝{}(2，1).10.(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知命题p ：幂函数的图象必经过点()0，0和点()1，1；命题q ：函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52.下列命题为真命题的是( ) A.p ∧qB.(﹁p )∧qC.﹁(p ∨q )D.p ∧(﹁q ) 答案 B解析 幂函数y ＝x －1不经过原点，故命题p 为假命题.x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4， 由于x 2＋4≥2而函数y ＝t ＋1t ()t ≥2在[)2，＋∞上是增函数，最小值为2＋12＝52， 故x 2＋5x 2＋4的最小值为52， 此时x ＝0.故命题q 为真命题.故p ∧q ，﹁(p ∨q )，p ∧(﹁q )为假命题，(﹁p )∧q 为真命题.11.(2019·湖北八校联考)下列有关命题的说法正确的是( )A.∃x 0∈(0，π)，使得2sin x 0＋sin x 0＝2成立. B.命题p ：任意x ∈R ，都有cos x ≤1，则﹁p ：存在x 0∈R ，使得cos x 0≤1.C.命题“若a >2且b >2，则a ＋b >4且ab >4”的逆命题为真命题.D.若数列{}a n 是等比数列，m ，n ，p ∈N *则a m ·a n ＝a 2p 是m ＋n ＝2p 的必要不充分条件. 答案 D解析 对于A 选项，由2sin x＋sin x ＝2，得sin 2x －2sin x ＋2＝0，其判别式Δ＝4－8＝－4<0，此方程无解，故A 选项错误.对于B 选项，全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，cos x 0≤1应改为cos x 0>1，故B 选项错误.对于C 选项，原命题的逆命题是“若a ＋b >4且ab >4，则a >2且b >2”，如a ＝1，b ＝5，满足a ＋b >4且ab >4但不满足a >2且b >2，所以为假命题.对于D选项，若a n ＝1，则{a n }为等比数列，a 1·a 2＝a 23，但1＋2≠2×3；另一方面，根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .所以a m ·a n ＝a 2p 是m ＋n ＝2p 的必要不充分条件.12.(2019·长沙长郡中学模拟)定义两个实数间的一种新运算：x *y ＝lg(10x ＋10y )，x ，y ∈R .对任意实数a ，b ，c ，给出如下结论：①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②a *b ＝b *a ；③(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )，其中正确的是( )A.②B.①②C.②③D.①②③答案 D解析 根据运算法则，可知(a *b )*c ＝lg(10a ＋10b ＋10c )，a *(b *c )＝lg(10a ＋10b ＋10c )， 所以(a *b )*c ＝a *(b *c )，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a *b ＝b *a ，故②正确；(a *b )＋c ＝lg(10a ＋10b )＋c ，(a ＋c )*(b ＋c )＝lg(10a ＋c ＋10b ＋c )＝lg [10c (10a ＋10b )]＝lg(10a ＋10b )＋c ，所以(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )，故③正确.所以正确的是①②③.13.已知i 为虚数单位，且复数z 满足(z －i )(1＋i )2＋i＝2i ，则||z ＝________. 答案 17 解析 由(z －i )(1＋i )2＋i＝2i ， 得z ＝2i ()2＋i 1＋i ＋i ＝－2＋4i 1＋i＋i ＝()－2＋4i ()1－i ()1＋i ()1－i ＋i ＝2＋6i 2＋i ＝1＋4i ， ∴|z |＝12＋42＝17. 14.若命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 ∵命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋a <0”是假命题，则命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋a ≥0”是真命题，则Δ＝1－4a ≤0，解得a ≥14，则实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.15.(2019·江淮名校联考)已知p ：||x －a <3，q ：()2－x ()x －3>0，若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________.答案 []0，5解析 p ：A ＝{}x | a －3<x <a ＋3，q ：B ＝{}x | 2<x <3，由题意知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，p ⇏q ， 于是B A ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －3≤23≤a ＋3(等号不同时成立)⇒0≤a ≤5. 16.设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是________.答案 ①④解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知①正确；当a ＝1，b ＝2，12∉Z 不满足条件，故可知②不正确；对③，当M 中多一个元素i(i 为虚数单位)，则会出现1＋i ∉M ，所以M 不是一个数域，故可知③不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确.。