科学计算方法9(迭代法收敛性证明)
计算方法-迭代法讲义
计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ， 从而有： Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角 矩阵的D-1是非常 容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法 雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,
7.2 迭代法及其收敛性
k4.1045
1/ 2
表 7.2.1 用不动点迭代法计算例7.2.1的结果
0 (a) 1.5 -0.625 6.447 -378.2 5.3697e7 -1.547e23 (b) 1.5 0.912871 2.454577 (c) (d) (e) 1.5 1.5 1.5 1.241638702 1.333333333 1.365079365 1.424290116 1.305205188 1.387624336 1.332682451 1.370291856 1.344991115 1.362217505 1.350582520 1.358732441 1.355350555 1.354767869 1.355301399 1.355384418 1.355301398 1.355288480 1.355303407 1.355301085 1.355301446 1.355301390
*
k
xk x L x0 x L max x0 a , b x0 ,
* k * k
从而 7.2.4 成立.
再由 7.2.3 , 对m k 1, 我们有
x m x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k Lm 1 x1 x0 Lm 2 x1 x0 Lk x1 x0 Lk x1 x0 1 L L2 Lm k 1 .
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.
gauss-seidel迭代法收敛判断
Gauss-Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，该算法在科学计算和工程领域被广泛应用。
在使用该算法时，我们需要考虑其收敛性，以确保结果的准确性和可靠性。
下面我们将介绍Gauss-Seidel迭代法收敛判断的相关内容。
1. 收敛性定义在使用迭代法求解线性方程组时，迭代算法的收敛性是一个非常重要的问题。
一个迭代算法如果能够在有限步内得到一个接近于真实解的近似解，就称为收敛。
否则，如果迭代算法无法收敛或者收敛速度非常慢，就需要考虑改进算法或者选择其他更适合的算法。
2. Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近法，它通过不断地逼近线性方程组的解来求得近似解。
这种迭代算法的优点是简单易行，适用于各种情况。
然而，它的收敛性需要进行严格的判断。
3. 收敛条件对于Gauss-Seidel迭代法，我们可以使用以下收敛条件来进行判断：a) 对角占优条件：如果线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，那么Gauss-Seidel迭代法一定收敛。
b) 正定条件：如果线性方程组的系数矩阵是正定的，即所有的特征值都是正的，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
c) 非奇异条件：如果线性方程组的系数矩阵是非奇异的，即行列式不为0，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
4. 不收敛的情况尽管Gauss-Seidel迭代法在很多情况下能够收敛，但也存在一些情况下它不收敛的情况。
当线性方程组的系数矩阵不满足对角占优条件、正定条件或者非奇异条件时，Gauss-Seidel迭代法就可能不收敛。
此时，我们需要考虑改进算法或者选择其他更适合的迭代算法。
5. 收敛速度除了考虑Gauss-Seidel迭代法的收敛性外，还需要关注其收敛速度。
一般来说，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度相对较快，特别是在满足对角占优条件、正定条件或非奇异条件的情况下。
然而，如果在实际使用中发现收敛速度较慢，也可以考虑使用加速方法如SOR方法等来提高收敛速度。
37第七节 迭代法及其收敛性
x(k) x qk x(1) x(0) 1q
证 因 (B)||B||=q<1, 所以迭代格式收敛, 且有 设 lim x (k) =x*，由 x(k+1) = Bx(k) + f ， 得 x* = Bx* + f ，则
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又 || Bk|| ||B||k ，有 lim||Bk||=0 ， 故 lim B k =0，由1）知，迭代格式收敛。
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三、迭代法的收敛速度
考察误差向量
e(k) =x(k) -x＊=Bk ·e(0)
设B有n个线性无关的特征向量及相应的特征值为
1 ,2 , ,n ,
1 , 2 , , n
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2） 由1)知，迭代格式收敛 lim Bk=O ， 即lim||Bk||=0 ，从而存在 k ，使 || B k || <1，由谱半径 的性质有
[( B )]k = (B k ) ||B k ||<1，
故得
( B )<1，
因(B)=inf{||B||}且(B)<1，存在 >0及使 || B || ( B )+ <1，
取对数得 定义3 称
k s ln10
ln (B)
R(B) ln (B)
为迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛速度。 由此看出，当(B)<1愈小，速度R(B)就愈大，
所需要的迭代次数也就愈少。
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定理 2 若 ||B||=q<1，则对任意x(0) 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ，且有误差估计式
牛顿迭代法收敛条件
牛顿迭代法收敛条件牛顿迭代法是数值计算的一种重要的技术，是一种利用牛顿迭代法求解非线性方程组的有效方法。
牛顿迭代法的实现不仅要求计算出一个收敛的迭代结果，还要通过特定条件来证明这个收敛结果。
考虑到这项技术的重要性，它的收敛条件也受到了广泛的关注与研究。
一、牛顿迭代法收敛性的定义在计算机科学和应用中，牛顿迭代法是一种迭代方法，用于计算方程组的解，其中包括非线性方程组。
求解这类方程组的迭代计算不是在停止点处终止，而是要求迭代收敛的条件，这就是收敛性的定义。
收敛性是指在迭代计算过程中，特定的算法和条件下迭代序列必须向某个点收敛，而不是把它的值无限接近某一值，或者只在特定的时间段内能收敛，而不是收敛到特定点。
二、牛顿迭代法收敛性的判定牛顿迭代法收敛性的判定分为两种，一是函数收敛条件，二是牛顿迭代法本身的收敛条件。
1.函数收敛条件牛顿迭代法收敛的函数收敛条件要求函数在一定范围内的变化率不能无限逼近某个值，即认为一个函数在某一范围内的值收敛了，收敛的标准是函数在收敛范围内的变化率小于某一阈值。
2.牛顿迭代法本身的收敛条件牛顿迭代法本身的收敛条件就是给定一个序列，该序列必须在一定条件下收敛，这个条件是这些给定的序列必须严格满足强半正定矩阵上的平方和半正定矩阵性质，以及有足够多的解。
三、牛顿迭代法收敛性的应用1.牛顿迭代法在求解非线性方程的应用牛顿迭代法在计算机科学和应用中用于求解非线性方程组的解，其特点是快速收敛、算法简单、可以实现精确的解等。
当特定的非线性方程组的求解要求接近精确解时，利用牛顿迭代法可以获得满足收敛性要求的精确解。
2.牛顿迭代法在最优化问题中的应用牛顿迭代法也是用于解决最优化问题的一种有效方法，如求解最小化最大化目标函数，求解最优化问题的极小值或极大值等。
与传统最优化算法相比，牛顿迭代法具有计算快、收敛性强等优点，经常被用于解决最优化问题，从而获得较为精确的最优解。
3.牛顿迭代法在深度学习算法的应用牛顿迭代法在深度学习算法中也有重要的应用，例如误差反向传播算法(Error Back propagation, EBP)中就采用了牛顿迭代法。
迭代法和其收敛性
(1) xk1 xk2 xk 3, g(x) x2 x 3,
g(x) 2x 1, g(x*) g( 3) 2 3 1 1.
3
3
(2)
xk 1
xk
,
g(x)
, x
g( x)
3 x2
,
g( x*)
1.
(3)
xk 1
xk
1 4
( xk2
3),
g(x)
x
1 4
(x2
3),
g(x) 1 1 x, g(x*) 1 3 0.134 1.
上g存(x在) [a, b]
因 a g，(x)下列b设
及 g(a) ，a定 g(b) b
义函数
f (x) g (x) x.
显然 f (x) C，[a且, b满] 足
f (a) g (a) a 0, f (b)
g(b) b，由0 连续函数性质可知存在
x使* (a, b)
f (x*) ， 0即
L xk1 x * Lk x0 x *.
因 0 L，故1 当 k时序列 收敛{到xk } .
x*
再证明估计式（2.5），由李普希兹条件有
xk1 xk g(xk ) g(xk1) L xk xk1 .
（2.6）
反复递推得
xk 1 xk Lk x1 x0 .
于是对任意正整数 p有
g在(x区) 间3x2 中
[1,2] g(x) 1
10.3 局部收敛性与收敛阶
上面给出了迭代序列 {在xk区} 间 上[旳a, b收]敛性， 一般称为全局收敛性. 定理旳条件有时不易检验，实际应 用时一般只在不动点 x *旳邻近考察其收敛性，即局部收 敛性.
定义7.2.1 设 有(x不) 动点 ，假x *如存在 旳某x个* 邻域 R : x x ，* 对任意 ，迭x0 代（R 2.2）产生旳序列 {xk }，R且收敛到 ，x则*称迭代法（2.2）局部收敛.
数值计算方法 迭代法的收敛性与稳定性 - 迭代法的收敛性与稳定性
稳
(2) G-S迭代法收敛 (G) 1 ，其中G (D L)1U .
定
性
(3) SOR迭代法收敛 (L ) 1 ，其中L (D L)1[(1 )D U].
一阶定常迭代法的基本定理
8 x1 3 x2 2 x3 20,
例4
考察用Jacobi方法解方程组
33,
的收敛性.
迭
代 法 的
n2
个数列极限存在且有
lim
k
a(k ij
)
aij
(i, j 1, 2,
记为 lim(k ).
, n) ，则{ Ak }称收敛于 A
收 敛 性
定理1
lim
k
Ak
A lim k
Ak
A
0,其中||·||为矩阵的任意一种
与 算子范数.
稳
定 性
定理2
lim
k
Ak
A
x
Rn
都有 lim k
迭 代
6
x1
3 x2
12 x3
36.
法
因为方程组的矩阵A 及迭代矩阵J 为
的
收
8 3 2
0
3 / 8 2 / 8
敛
A 4 11 1, J D1(L U ) 4 / 11 0 1 / 11 .
性 与
6 3 12
6 / 12 3 / 12 0
稳 定
得迭代矩阵 J
的特征方程为
2 必存在一种范数 . ，使得
A ( A) 1 ( A) 1
2 lim A k 0
k
而 Ak A k ，于是
lim Ak ＝lim A k 0
k
k
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法原理牛顿迭代法是一种用来求解方程近似解的方法，它是由伟大的数学家牛顿提出的。
牛顿迭代法的原理非常简单，但却非常有效，被广泛应用于科学计算、工程技术和金融领域。
本文将详细介绍牛顿迭代法的原理及其应用。
首先，我们来看一下牛顿迭代法的基本思想。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的根，即找到使得f(x)=0的x值。
假设我们已经有一个近似解x0，我们希望通过一些计算，得到一个更接近真实根的近似解x1。
那么，牛顿迭代法的思想就是利用函数f(x)在点x0处的切线来逼近真实根的过程。
具体来说，我们可以通过切线与x轴的交点来得到新的近似解x1，然后以x1为起点，再次利用函数f(x)在x1处的切线来得到更接近真实根的近似解x2，如此循环下去，直到满足我们的精度要求为止。
接下来，我们来具体推导一下牛顿迭代法的数学原理。
假设我们要求解方程f(x)=0，我们已经有一个近似解x0，那么我们可以利用函数f(x)在点x0处的切线来得到新的近似解x1。
根据切线的定义，我们可以得到切线方程为：f'(x0)(x-x0) + f(x0) = 0。
其中f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
由于我们希望找到使得f(x)=0的x 值，因此我们可以将上述方程改写为：x = x0 f(x0)/f'(x0)。
这就是牛顿迭代法的迭代公式。
通过不断地使用这个迭代公式，我们可以逐步逼近真实根，直到满足我们的精度要求为止。
牛顿迭代法的收敛性是其最重要的性质之一。
在一定的条件下，牛顿迭代法可以保证收敛到方程的根。
具体来说，如果我们选择一个足够接近真实根的初始值x0，并且函数f(x)在x0附近具有连续的一阶导数，那么牛顿迭代法就可以保证收敛到方程的根。
这使得牛顿迭代法成为了一种非常有效的求解方程近似解的方法。
除了求解方程的近似解外，牛顿迭代法还被广泛应用于优化问题和数值微分方程的求解中。
在优化问题中，我们可以利用牛顿迭代法来求解函数的极值点，从而得到最优解。
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是否可以不写出迭代矩阵就直接判断迭代法的收敛？
6/20
统一的不动点框架
➢迭代法构造
x (x)
➢收敛条件(局部vs全局)
x M 1Nx M 1b, 其中A M N
x*为( x)的不动点,( x)
在x*的某邻域N (x* )连续
且 | ( x* ) | 1, 则迭代法
对任意x(0) N (x* )收敛
➢中止准则
| x(k ) x* | L | x(k ) x(k1) | 1 L
则(I B)-1 = B j , j0
从而迭代序列x(k)收敛到(I B)1 f 。
3/20
谱半径小于1是迭代收敛的充要条件,但它不 易计算,所以在实际使用中通常并不好用。
由性质(B) B ,我们有如下推论 :
推论4.1 若||B||<1,则对任意的f和任意的初始向量 x(0)迭代法 x(k+1) =Bx(k) +f 收敛。
1/20
定理4.1 对任意的f和任意的初始向量x(0)迭代法 x(k+1) =Bx(k) +f 收敛的充分必要条件是
(B) 1
证: 必要性, 设迭代法产生的序列{x(k)}收敛, 记 x*是该序列的极限点, 则x* =B x*+f。
x(k1) x*
B( x(k) x* ) B2 ( x(k1) x* ) Bk1( x(0) x* )
11/20
Demo:
n=1000; A=diag(-3*ones(n,1))+diag(ones(n-1,1),1)+ diag(ones(n-1,1),-1); b=ones(n,1); x0=zeros(n,1);nmax=100; tol=10^(-5); omega=1.2;
10/20
定理 方程组 Ax=b 中, 若 A 是对称正定矩阵,则
Gauss-Seidel迭法收敛。
定理 方程组 Ax=b 中, 若 A 是实对称正定矩阵,则
Jacobi迭法收敛？（反例）
1 0.4 0.4 x1 1
0.4
1
0.8
x2
2
0.4 0.8 1 x3 3
(B) 1.0928203 1
|am,m |
=|a + +a +a + +a | x1 m1 xm
xm1 m ,m1 xm
xm 1 m,m1 xm
xn m ,n xm
|am1|+ +|am,m-1|+|am,m1|+ +|am,n|
= |amj |
9/20
jm
定理 若Ax=b的系数矩阵 A 是严格对角占优矩阵,则
Gauss-Seidel迭代收敛。
对任意的f 和任意的初始 向量x(0)迭代法收敛的充
分必要条件是(B) 1和
充分条件是||B|| 1
|| x(k ) x* || || B || || x(k) x(k1) || 1 || B ||
7/20
9 x1 x2 x3 7 x1 10x2 x3
8
x1 x2 15x3 13
引子
D2
J2
1
J
k 2
k
k k1
k
D3
J3
1
k
1
J
k 3
Ck1 k1 k
Ck2 Ck1
k k
2 1
k
引理1 矩阵B Rnn ,则lim Bk 0的充分必要条件 k
是 ( B)
1, 其中 ( B )= max 1 k n
|
k
|
为矩阵B的
谱半径,1,2 , ,n是矩阵B的特征值。
x1 x1
2x2 2x3 7 x2 x3 8
2 x1 2 x2 x3 13
A=[9 -1 -1;-1 10 -1;-1 -1 15]; %%triu(X,K) is the elements on and above the %%K-th diagonal of X L = -tril(A,-1);U = -triu(A,1);
因为对于任意的x(0)成立, lim Bk 0 (B) 1 k 2/20
充分性
x(k1) Bx(k ) f B2 x(k1) Bf f B3 x(k2) B2 f Bf f
k
Bk1 x(0) B j f j0
(B) 1 lim Bk 0 k
而 (I B)(I B B2 Bk ) I Bk1,
||
x(1)
x(0)
||
证 x(k+1)–x* =B(x(k) – x* )
|| x(k+1) – x* || = ||B(x(k) – x*) || ≤ ||B|| || x(k) – x* ||
5/20
||x(k) – x* ||= || (x(k) – x(k+1) ) + (x(k+1) –x* ) || ≤ ||x(k) – x(k+1)|| + ||x(k+1) –x*|| ≤ ||x(k) – x(k+1)|| +||B|| ||x(k) –x*||
由 || x(k) x(k1) |||| B |||| x(k1) x(k) ||
|| x(k) x* || || B || || x(k) x(k1) ||
1 || B ||
| xn x* || xn xn1 xn1 x* | | xn xn1 | | xn1 x* || xn xn1 | L | xn x* |
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定理4.2 设x*为方程组 Ax=b 的解若||B||<1,则对 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 有
(1) || x(k ) x* || || B || ||||
x(k)
x* ||
|| B ||k 1 || B ||
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严格对角占优矩阵
n
定义 A=(aij)n×n,
角占优阵。
如果 | aii
|
| aij
j 1 ji
|,
则称A为严格对
定理 若Ax=b的系数矩阵 A 是严格对角占优矩阵,则
Jacobi迭代收敛。
设为D1(L U )的一个特征值,选择特征向量x满足
存在m满足
xm
=max i
xi
由D1(L U )x x知(L U )x Dx。