科学计算方法11(插值方法)
插值方法
插值方法
n次插值
为了计算函数值或分析函数的性态，必 须首先由实验或观测数据找出函数关系 的一个近似表达式.插值与逼近就是用简 单函数为各种离散数据建立连续的数学 模型，使其既能达到精度要求，又使计 算量尽可能小.插值与逼近理论是数值计 算的最基本内容.
插值的概念
已知函数y=f(x)在n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为y0, y1, …, yn ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi) ＝yi (i=0,1,…n) (1) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数 f(x)的插值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为插值节点，称(1)为插值条件.
( x x1 ) l0 ( x) ( x0 x1 )
其中
( x x0 ) l1 ( x) ( x1 x0 )
抛物插值（二次插值）
已知函数y=f(x)在三个互异点x0, x1, x2上的函数值分别 为y0, y1, y2，构造求一个二次式L2(x)，满足条件: L2(x0)= y0 ，L2(x1)= y1 ，L2(x2)= y2. 二次Lagrange插值多项式为 L２(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x)
已知
100 10,
121 11,
144 12
，试利用插
值法近似计算
115
.
分析 由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange 插值，也可利用三点二次Newton插值，它们所得结 果相同. 解 利用三点二次Lagrange插值.记 f ( x) x , x0 100, x1 121, x2 144, y0 10, y1 11, y2=12， 则f(x)的二次Lagrange插值多项式为
《拉格朗日插值法》课件
在数值分析中的应用
数值积分
01
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式逼近被积函
数，进而求得积分的近似值。
数值微分
02
利用拉格朗日插值法可以近似求得函数的导数值，用于数值微
分计算。
求解常微分方程
03
通过构造插值多项式，可以将常微分方程转化为代数方程组，
进而求解微分方程的近似解。
在数据拟合中的应用
重要性
拉格朗日插值法是数值分析中的基础方法之一，它为解决各种实际问题提供了重要的数学工具。通过 拉格朗日插值法，我们可以更好地理解和逼近数据，从而为进一步的数值分析和科学计算提供基础。
拉格朗日插值法的历史和发展
历史
拉格朗日插值法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出。在此之前，人们已经意识到可以通过已知的数 据点来逼近未知的函数值，但缺乏系统的数学方法。拉格朗日的插值法为这个问题提供了一个完整的解决方案， 并在随后的几个世纪中得到了广泛的应用和发展。
深入研究拉格朗日多项式的性质
拉格朗日多项式是拉格朗日插值法的基础，但其性质仍有许多未知之处。未来的研究可以深入探索拉格 朗日多项式的性质，以期为插值法的发展提供新的思路和方法。
THANK YOU
多项式形式
插值多项式的一般形式为 (L(x) = sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x))，其中 (l_i(x)) 是拉格朗日插值基函数。
求解插值多项式的系数
系数求解
通过已知的数据点和构造的插值多项 式，求解出多项式的系数。
求解方法
常用的求解方法是高斯消元法或追赶 法，通过求解线性方程组得到插值多 项式的系数。
《拉格朗日插值法》ppt课件
• 引言 • 拉格朗日插值法的基本概念 • 拉格朗日插值法的实现步骤 • 拉格朗日插值法的优缺点分析 • 拉格朗日插值法的应用实例 • 总结与展望
算术平均值和插入法
算术平均值和插入法算术平均值和插值法是数学和统计学中常见的概念和方法，用于描述和分析一组数据的集中趋势和插值估计。
算术平均值，也称为平均数，是描述一组数据集中趋势的统计量。
计算算术平均值的步骤是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。
例如，如果有一组数据：5, 7, 9, 11，那么它们的算术平均值为(5+7+9+11)/4=8。
算术平均值是一个常见的统计量，它可以用来代表一组数据的集中位置。
当数据集中趋势比较明显且分布相对均匀时，算术平均值可以很好地反映数据的整体特征。
然而，当数据集中趋势不明显或者存在极端值时，算术平均值可能会受到影响，不再准确地代表数据的中心位置。
插值法是一种用于估计数据的方法，在数学和统计学中有广泛的应用。
插值法基于已知的数据点，通过对数据点间的曲线进行插值，来估计未知数据点的数值。
插值法可以用于估计缺失数据、预测趋势和填补噪声等场景。
常见的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。
线性插值是一种简单且常用的插值方法，它假设两个数据点之间的变化是线性的。
多项式插值是通过使用多项式函数来拟合数据点，以便估计未知数据点的数值。
样条插值是通过使用分段多项式函数来拟合数据点，以减少插值的误差。
插值法的应用非常广泛。
例如，在气象学中，可以使用插值方法来估计气温、降雨量等数据点之间的数值。
在金融学中，可以使用插值方法来估计资产价格、股票收益率等未知数据点。
在地理学和地图制作中，可以使用插值方法来估计地形、海拔等未知区域的数值。
总结来说，算术平均值和插值法是数学和统计学中常见的概念和方法。
算术平均值可以用来描述一组数据的集中趋势，插值法可以用来估计未知数据点的数值。
这些方法在各个学科和领域中都有广泛的应用，为我们研究和分析数据提供了有力的工具。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
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5
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6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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27
fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
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26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
计算方法 插值法 牛顿插值 拉格朗日插值
y = 0; for(j=0;j<11;j++) { y=y+l1[j]*f[j]/l2[j]; } double h=5.0/(1+m*m); //精确值 double r=fabs(y-h); cout<<"近似值 y="<<y<<"\t 精确值 h="<<h<<"\t 误差 r="<<r<<endl; //for(int i=0;i<11;i++) //System.out.println("l1["+(i-5)+"]="+f[i]); m= m+0.2; } return 0; }
continue; else{ l1[k]=l1[k]*(m-x[p]); l2[k]=l2[k]*(x[k]-x[p]); } } } //多项式的每一项相加 for(int j=0;j<11;j++){ y=y+l1[j]*f[j]/l2[j]; } double h=5.0/(1+m*m); //精确值 double r=Math.abs(y-h); System.out.println(" 近似值 y="+y+" 精确值 h="+h+" //for(int i=0;i<11;i++) //System.out.println("l1["+(i-5)+"]="+f[i]); m= m+0.2; } } }
插值法的原理与应用
插值法的原理与应用1. 插值法的概述插值法是一种数值分析方法，用于在给定数据点集合上估计未知数据点的值。
该方法基于已知数据点之间的关系，通过建立一个插值函数来逼近未知数据点的值。
插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。
2. 插值法的原理插值法的基本原理是在已知数据点上构造一个逼近函数f(x)，使得在该函数上的任意点x上的函数值等于对应的已知数据点。
常见的插值方法有多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。
2.1 多项式插值多项式插值是一种简单而常用的插值方法，它假设插值函数f(x)是一个多项式函数。
通过选择合适的插值点和多项式次数，可以得到对给定数据集的良好逼近。
多项式插值的基本原理是通过求解一个关于插值点的线性方程组，确定插值多项式的系数。
然后，使用插值多项式对未知数据点进行逼近。
2.2 样条插值样条插值是一种光滑的插值方法，它通过使用分段多项式函数来逼近曲线或曲面。
样条插值的基本原理是将要插值的区间分成若干个小段，每个小段上都使用一个低次数的多项式函数逼近数据点。
为了使插值曲线光滑，相邻小段上的多项式函数需要满足一定的条件，如连续性和一阶或二阶导数连续性。
2.3 径向基函数插值径向基函数插值是一种基于径向基函数构造插值函数的方法，它的基本思想是通过使用径向基函数，将数据点映射到高维空间中进行插值。
径向基函数插值的基本原理是选择合适的径向基函数和插值点，将数据点映射到高维空间中，并使用线性组合的方式构造插值函数。
然后，使用插值函数对未知数据点进行逼近。
3. 插值法的应用插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景。
3.1 信号处理在信号处理中，经常需要通过对已知数据点进行插值来估计未知数据点的值。
例如，通过插值法可以从离散采样数据中恢复连续信号，并进行进一步的分析和处理。
3.2 机器学习在机器学习中，插值法可以用于对缺失数据进行估计。
通过对已知数据点进行插值，可以填补缺失的数据，以便进行后续的模型训练和预测。
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l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2 ) x1 x2 )
l2 ( x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
二次插值函数: P(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
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19/60
拉格朗日方法
插值条件:P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
P(x )=y 2020/10/6 n
n
a0 a1 xn an xnn yn
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范德蒙(Vandermonde)矩阵
1
x0
A
1
x1
1 xn
x0n
x1n
xnn
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13/60
已知函数表求满足:
P(x0)=y0 和 P(x1)=y1 的线性函数 P(x)。
x y
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4/60
趣例4: 工业设计
先是雷诺和雪铁龙工作的 Paul de Casteljau 和Pierre Bézier, 随后美国通用汽 车的其它人一起推动了现在称为三次样条和Bézier 样条的建立。样条是通过很少 的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法。
参考: /
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P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1
16/60
P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1
l0( x)
x x1 , x0 x1
l1( x)
x x1
x0 x0
1
x x1 1
x0 x1
P( x) y0 (1 ) y1
P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1 ln ( x) yn
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9/60
线性插值函数
(x0 ，y0)
(x1，y1) P(x)
x0
可见 是过
和
x1
两点的直线。
10
抛物插值函数
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线,故称为抛物插值。
11
考虑区间[a , b]上(n+1)个点a ≤x0＜x1＜···＜xn≤b。
如果 P(x)=a0 + a1x +···+ anxn
求函数 P(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足:
P(x0)=y0 , P(x1)=y1, P(x2)=y2
P(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 x x0 x1
y0 P( x0 ) 1 y0 0 y1 0 y2 l0(x) 1
0
y1 P( x1 ) 0 y0 1 y1 0 y2
满足 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
插值条件
则称 P(x) 为 插值多项式, 称 x0, x1, ···, xn为 插
值节点。
由插值条件
P(x0)= y0 P(x1)=y1 ············
a0 a1 x0 a0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
x0 y0
过两点直线方程
P(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
P(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
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x1 y1
14/60
The voyage of discovery is not in seeking new landscapes but in having new eyes.
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5/60
趣例5: 游戏与电影
Ref:20h2t0t/1p0:/6///art/movies/462393-special-effects-dawnplanet-apes/
6/60
数据和插值函数
如果一个函数P(x)满足P(xi) =yi (i=0,…, n), 那么 函数P(x)插值了一系列数据点(x0,y0 ), ···(xn,yn )， 其中P(x)称为插值函数,点x0 , ···,xn称为插值节点。
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8/60
已知函数表求满足:
x
P(x0)=y0和P(x1)=y1 y
的线性函数 P(x)
x0 y0
x1 y1
过两点直线方程
P(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
引例 求 115 的近似值 真实值: 10.7238
115 10 11 10 (115 100) 10.7143 121 100
---- Marcel Proust
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15/60
P(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
记
l0( x)
x x1 , x0 x1
l1( x)
x x1
x0 x0
x
x0
x1
l0(x) 1
0
l1(x) 0
1
y0 P( x0 ) 1 y0 0 y1, y1 P( x1 ) 0 y0 1 y1
趣例1: 图像放大
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1/60
2020/10/6
2/60
趣例2: 图像修复
2020/10/6
Non-damaged
Damaged
3/60
趣例3: 数据可视化
/talks/david_mccandless_the_beauty_of_data_vis ualization?language=zh-cn
y2
P( x 2020/10/6 1
)
0 y0
0 y1
1 y2
l1(x) 0 l2(x) 0
1 0
x2 0 0 1
18/60
x x0 x1 x2 l0(x) 1 0 0 l1(x) 0 1 0 l2(x) 0 0 1
l0 (
x)
(x ( x0
x1 )( x1 )(
x x2 ) x0 x2 )
P(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
函数是描述自然界客观规律的重要工具。
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7/60
插值函数类的选择:
选择多项式函数的理由: 计算方面多项式函数是计算机最基本的函 数, 计算多项式函数的值只需用加和乘运算, 且 积分和微分均非常方便。 理论方面多项式函数简单明了的数学性质。 有一个简单的原理可以说明什么时候存在给定 次数的插值多项式。
I=imread('yao.png'); J=imread(ha=1:-0.01:0
K=alpha*I+(1-alpha)*J; pause(0.3),imshow(K,[]) end
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二次插值问题
已知函数表 x
x0
x1
x2
y
y0
y1
y2