科学计算方法19(数值微分)
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值微分方法
数值微分方法是一种用于求解函数微分问题的数值计算方法。
它通过在给定区间内选择一些离散点，并对这些点进行插值和逼近，来近似地求解函数的微分。
最常见的数值微分方法是差分法。
这种方法将函数的定义域划分为一系列小区间，并在这每个小区间上选择一个点，然后使用这些点的差分来近似函数的微分。
差分法的精度取决于选取的点数和区间的大小。
另一种常见的数值微分方法是中心差分法，它使用两个相邻的点之间的差的平均值来近似函数的微分。
这种方法比单纯的差分法更精确，但计算成本也更高。
除了差分法，还有其他一些数值微分方法，如样条插值法、最小二乘法、高斯积分法等。
这些方法各有优缺点，应根据具体的问题和要求选择合适的方法。
数值微分方法在科学计算、工程设计、经济学、生物学等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，数值微分方法被用于模拟物体的运动和力学的相互作用；在经济学中，数值微分方法被用于预测市场的变化和制定经济政策；在生物学中，数值微分方法被用于研究生物系统的动态变化和演化。
数值微分三点公式
数值微分三点公式
数值微分是一种在数学、计算机科学和工程学中广泛使用的技术，它用于在给定函数的某一点处计算其导数。
如果函数的解析式未知或难以求解，那么数值微分就成为了一种非常有用的工具。
数值微分的基本思想是使用数值方法来近似计算函数的导数。
常见的数值微分方法包括三点公式、五点公式等。
本篇文章主要介绍数值微分中的三点公式。
三点公式是指使用函数在某一点和其相邻的两个点的值来近似
计算函数的导数。
具体而言，三点公式有前向差分、后向差分和中心差分三种形式。
前向差分公式的形式如下：
$f'(x_0) approx frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ 后向差分公式的形式如下：
$f'(x_0) approx frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h}$ 中心差分公式的形式如下：
$f'(x_0) approx frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}$ 其中，$h$为步长，取值越小，计算结果越精确，但计算量也越大。
在实际应用中，需要根据具体问题来选择合适的步长。
需要注意的是，三点公式只能用于计算一阶导数，对于高阶导数的计算需要使用更复杂的数值方法。
总之，数值微分是一种非常重要的技术，在科学和工程学中有着广泛的应用。
熟练掌握数值微分的方法和技巧，对于解决实际问题具
有重要意义。
数学的数值微分
数学的数值微分数值微分是数学中研究函数变化率的一部分，它主要通过近似计算来确定函数在某一点的导数值。
数值微分在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在科学计算、工程技术和金融领域。
本文将介绍数学的数值微分的概念、计算方法及其应用。
一、概念数值微分是利用数值方法来计算一个函数在给定点的导数值。
导数描述了函数在特定点的变化率，它的计算可以帮助我们理解函数的性质和行为。
然而，有些函数很难通过解析方法直接计算出导数，这时就需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
二、计算方法常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。
有限差分法是通过计算函数在给定点的前后两个点上的函数值来近似计算导数值。
其中，向前差分法使用函数在当前点和下一个点的差值来计算导数；向后差分法使用函数在当前点和上一个点的差值来计算导数；中心差分法使用函数在当前点前后两个点的差值来计算导数。
插值法通过将函数的曲线与一条或多条插值曲线拟合，然后计算插值曲线在给定点的导数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
三、应用数值微分在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些实际应用场景：1. 科学计算：数值微分在科学计算中具有重要作用，如物理学、化学和生物学等领域。
在物理学中，数值微分可以帮助计算物体在某一时刻的速度和加速度；在化学中，可以用来计算反应速率；在生物学中，可以用来研究细胞生长速率等。
2. 工程技术：数值微分在工程领域中有广泛的应用，如电路设计、信号处理和计算机图形学等。
在电路设计中，可以用来分析电路中的电流和电压变化；在信号处理中，可以用来计算信号的频率和相位；在计算机图形学中，可以用来计算图像的变化率。
3. 金融领域：数值微分在金融领域中也有重要的应用，如金融衍生品定价和风险管理等。
在金融衍生品定价中，可以使用数值微分来计算期权的Delta值和Gamma值；在风险管理中，可以用来计算投资组合的价值变动率。
四、总结数值微分是数学中研究函数变化率的一部分，通过近似计算来确定函数在某一点的导数值。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是描述自然界中众多现象和规律的重要数学工具。
然而，许多微分方程是很难或者无法直接求解的，因此需要使用数值解法来近似求解。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它将微分方程转化为差分方程，通过计算离散点上的导数来逼近原方程的解。
欧拉方法的基本思想是利用当前点的导数值来估计下一个点的函数值。
具体步骤如下：首先，将自变量区间等分为一系列的小区间。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据导数的定义，计算每个小区间上函数值的斜率。
最后，根据初始函数值和斜率，递推计算得到每个小区间上的函数值。
2. 龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种常用的高阶精度数值解法。
它通过进行多次逼近和修正来提高近似解的准确性。
相比于欧拉方法，龙格-库塔方法在同样的步长下可以获得更精确的解。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据当前点的导数值，使用权重系数计算多个中间点的函数值。
最后，根据所有中间点的函数值，计算出当前点的函数值。
3. 改进欧拉方法（改进的欧拉-克罗默法）改进欧拉方法是一种中阶精度数值解法，介于欧拉方法和龙格-库塔方法之间。
它通过使用两公式递推来提高精度，并减少计算量。
改进欧拉方法相对于欧拉方法而言，增加了一个估计项，从而减小了局部截断误差。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，利用欧拉方法计算出中间点的函数值。
最后，利用中间点的函数值和斜率，计算出当前点的函数值。
总结：微分方程的数值解法为我们研究和解决实际问题提供了有力的工具。
本文介绍了欧拉方法、龙格-库塔方法和改进欧拉方法这几种常见的数值解法。
选择合适的数值解法取决于微分方程的性质以及对解的精确性要求。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择最合适的数值解法，并注意控制步长以尽可能减小误差。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值积分与数值微分21599
b
a
f ( x)dx I n Ak f ( xk ) 至少具有n次代数精度，
k 0
n
所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：
b
a
lk ( x)dx I n Aj lk ( x j ) Ak
n
j 0
n
所以 I n Ak f ( xk ) 为插值型的求积．
b a 1i n
则称求积公式是收敛的． 中，由于计算 f(xk) 定义 在求积公式a f ( x)dx Ak f ( xk )
b n
可能产生误差，实际得到 fk 即： f ( xk ) fk k n n 记 I n ( f ) Ak f ( xk )，I n ( f ) Ak f k 如果对任
由书中表知，当 n 8 时柯特斯系数出了负值，所以
(n) (n) C C k k 1 k 0 k 0 n n
故 n 8 时Newton-Cotes 公式不适用。
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
二、偶数阶求积公式的代数精度
n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。 证明： 当n 为偶数时，由于有 f ( n1) ( x) ( xn1 )( n1) (n 1)!
余项
b
余项 R[ f ]
b a 4 (4) h f ( ) , 180
( a, b) , h
ba 2
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
n = 4: C
(4) 0
7 (4) 16 (4) 2 (4) 16 (4) 7 , C1 , C2 , C3 , C4 柯特斯公式 90 45 15 45 90
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
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0.2506
Hale Waihona Puke 2h0.2f ( x)= x2 , f (2) 0.2500
f ( x)= f ( x h) f ( x) h f ( )
h
2
f ( x)=
f ( x h)
f ( x h) h2
f ( )
2h
6
8/37
例2. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式
f ( x h) f ( x) hf ( x) h2 f (2) ( x)+ h3 f (3) ( x)+ h4 f (4)( x) h5 f (5) ( x)
2
3!
4!
5!
f ( x h) f ( x) hf ( x) h2 f (2) ( x) h3 f (3) ( x)+ h4 f (4)( x) h5 f (5) ( x)
2
3!
4!
5!
F (h)= f ( x h) f ( x h) =f ( x) h2 f (3) ( x) h4 f (5) ( x)
2
6
24
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x) h2 f ( x) h3 f (4)(2 ) h4
2
6
24
二阶导数近似
f ( x)=
f ( x h) 2 f ( x) h2
f ( x h) h2 12
f（4）( )
6/37
回顾 介值定理 (Intermediate Value Theorem)
重温微积分 微分(Differentiation) 积分(Integration)
微积分中蕴含的对立统一思想
微积分基本定理
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
1/37
f ( x)= sin3( xtan x cosh x)
x x1 x2 ·········· xm y y1 y2 ·········· ym
7/37
例1. 取h=0.1,分别用两点前向差分公式和两点中心差
分公式近似f(x)=1/x在x=2处的导数。
误差0.0119
f ( x)
f ( x h)
f
(x)
=
1 2.1
1 2
=
0.2381
h
0.1
误差0.0006
f ( x)
f ( x h)
f ( x h)
1 2.1
1 1.9
=
Donald Knuth (图灵奖得主)
Integrals as Sums and Derivatives as Difference. Gilbert Strang (SIAM Fellow)
Reference. Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives
2h
6
5!
F (h / 2)=
f ( x h / 2) h
f ( x h / 2)
f
(
x)
6
h2 22
f
(3) ( x)
h4 5! 24
f (5)(x)
F1 ( h)
4
F
(
h 2
)
F
(
h
)
41
=f
( x)
O(h4 )
F1(h) 4 / 3F(h / 2) 1 / 3F(h)
9/37
是否可以进一步外推
F (h)= f ( x h) f ( x h) =f ( x) h2 f (3) ( x) h4 f (5) ( x) h6 f (7) ( x)
2h
6
5!
7!
F (h / 2)=
f ( x h / 2) h
f ( x h / 2)
f
(
x)
6
h2 22
f
(3) (
x)
h4 5! 24
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间端 点处取值不同时,即：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。那么 不论C是A与B之间的怎样一个数,在闭区间[a,b]内 至少有一点ξ,使得 f(ξ)=C 。
A f (4) (1 ), B f (4)(2 ),( A B) / 2介于A和B之间。 则f (4) ( )=( A B) / 2, 2 f (4)( ) ( A B)=f (4)(1 ) f (4)(2 )。
2
6
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x) h2 f (2 ) h3
2
6
一阶导数近似: 两点中心差分公式
f ( x)=
f ( x h)
f ( x h) h2
f ( )
2h
6
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x) h2 + f ( x) h3 + f (4)(1 ) h4
如果误差是O(hn ),我们就称公式是n阶近似。
f ( x h) f ( x) hf ( x) h2 f ( )
2
一阶导数近似:一阶后向差分公式
f ( x)= f ( x) f ( x h) h f ( )
h
2
5/37
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x) h2 + f (1 ) h3
3/37
回顾: Taylor公式
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 (n)!
)
(
x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
f ( x0 h)
f ( x0 )
f ( x0 )h
f ( x0 ) h2 2!
f (n) ( x0 ) hn f (n1) ( ) hn1
(n)!
(n 1)!
4/37
f ( x h) f ( x) hf ( x) h2 f ( )
2
一阶导数近似:一阶前向差分公式
f ( x)= f ( x h) f ( x) h f ( )
h
2
前向差分公式是近似一阶导数的一阶方法。一般地
f
(5) ( x)
h6 7! 26
f (7)(x)
F1(h)
4
F
(
h 2
)F
(
h)
41
=f
( x)
h (122 ) 4
函数复杂或给定离散的观察数据, 如何计算微 分、或者导数呢？
2/37
回顾
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
Science is knowledge which we understand so well that we can teach it to a computer; and if we don't fully understand something, it is an art to deal with it.