积分变换-第1讲_傅里叶变换(1)
微积分中的积分变换
积分变换是微积分中的重要概念，通过积分变换可以将一个函数从一个域变换到另一个域，为解决各种数学和物理问题提供了强大的工具。
在积分变换中，常用的有傅里叶变换、拉普拉斯变换和洛朗变换等。
1.傅里叶变换傅里叶变换是一种将函数从时域变换到频域的方法。
给定一个函数f(x)，其傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫[−∞，+∞]f(x) e^(-iωx)dx在傅里叶变换中，ω 是频率，在频域中表示一个周期，而F(ω) 是函数在频域中的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将一个函数在时域中的性质转化为频域中的性质，例如信号的频谱分析、滤波器设计等都离不开傅里叶变换的应用。
2.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将函数从时域变换到复平面上的方法。
给定一个函数f(t)，其拉普拉斯变换定义为：F(s) = ∫[0，∞]f(t) e^(-st)dt在拉普拉斯变换中，s 是一个复变量，表示一个点在复平面上的位置，而 F(s) 是函数在复平面上的表示。
通过拉普拉斯变换，我们可以将一个函数的微分方程转化为代数方程，在控制论、电路分析等领域有广泛的应用。
3.洛朗变换洛朗变换是一种将函数从时域变换到复平面上的方法。
给定一个函数f(t)，其洛朗变换定义为：F(z) = ∑[-∞，+∞]f(n) z^(-n)在洛朗变换中，z 是一个复变量，表示一个点在复平面上的位置，而 F(z) 是函数在复平面上的表示。
通过洛朗变换，可以将一个离散的序列转化为复平面上的函数，广泛应用于信号处理和系统分析等领域。
总结起来，积分变换是将函数从一个域变换到另一个域的方法，通过傅里叶变换、拉普拉斯变换和洛朗变换等方法，可以将函数的特性在时域、频域或复平面上进行分析。
积分变换在数学和物理领域中有着广泛的应用，为解决各种问题提供了强大的工具。
熟练掌握积分变换的应用方法和性质，将有助于我们深入理解微积分的原理和应用。
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傅里叶变换
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傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以 以其名字来命名以示纪念。
目录
1 中文译名 2 应用 3 概要介绍 4 基本性质
4.1 线性性质 4.2 平移性质 4.3 微分关系 4.4 卷积特性 4.5 帕塞瓦尔定理 5 傅里叶变换的不同变种 5.1 连续傅里叶变换 5.2 傅里叶级数 5.3 离散时间傅里叶变换 5.4 离散傅里叶变换 5.5 在阿贝尔群上的统一描述 5.6 时频分析变换 5.7 傅里叶变换家族 6 常用傅里叶变换表 6.1 函数关系 6.2 平方可积函数 6.3 分布 6.4 二元函数 6.5 三元函数 7 参见 8 参考资料 9 外部链接
另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F(−ω) = F*(ω)成立.
傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。 对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
其中 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
目录基本性质41线性性质42平移性质43微分关系44卷积特性45帕塞瓦尔定理傅里叶变换的不同变种51连续傅里叶变换52傅里叶级数53离散时间傅里叶变换54离散傅里叶变换55在阿贝尔群上的统一描述56时频分析变换57傅里叶变换家族常用傅里叶变换表61函数关系62平方可积函数63分布64二元函数65三元函数外部链接中文译名fouriertransform或transformedefourier法文有多个中文译名常见的有傅里叶变换傅立叶变换付立叶变换傅利葉轉換傅氏轉換及傅氏變換等等
数学物理方法_傅里叶积分变换
sin ntdt (利用正交性)
2
[ak
cos kt sin ntdt bk
sin kt sin ntdt] bn,
k 1
则
1
bn
f (t)sin ntdt
(n 1,2,3,).
得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.
周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
a0
2
n1
an
cos nt
bn
sin nt
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
0
同理可证 : sin kt sin nt dt 0
(k n )
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
11d t 2
cos2 nt dt
sin2 nt dt
cos2 nt 1 cos 2nt , sin2 nt 1 cos 2nt
0
(n 1, 2,
)
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
a0
2
n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?
f (t) 条件?
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
1的傅立叶变换
1的傅立叶变换傅立叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学和工程等领域。
它的出现极大地推动了这些领域的发展，并为我们认识事物的本质提供了重要依据。
本文将简要介绍傅立叶变换的基本原理和应用。
傅立叶变换是将一个复杂的函数分解为若干个较简单的正弦和余弦函数频率谱的线性组合。
通过将函数在频域上进行分解，我们可以分析和改变函数的频率成分。
这种变换的优势在于，它将函数表达从时域转移到了频域，使得一些问题在频域下的处理更加直观和方便。
傅立叶变换的基本原理可以用数学公式来表示。
对于一个连续时间函数f(t)，其傅立叶变换F(ω)定义如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt其中，ω代表频率，j为虚数单位，e为自然对数的底。
傅立叶变换的结果F(ω)表示了函数f(t)在频率ω处的分量。
傅立叶变换不仅适用于连续时间函数，对于离散时间函数也有相应的离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）。
离散傅立叶变换可以将离散序列转换为频谱，在数字信号处理中得到了广泛应用。
傅立叶变换的应用十分广泛。
首先，它在信号处理领域中被广泛应用于频谱分析和滤波。
通过傅立叶变换，我们可以将一个信号的频率成分可视化，并进行频率域滤波来消除噪声和干扰。
此外，傅立叶变换也可以用于压缩算法，如JPEG图像压缩和MP3音频压缩。
其次，傅立叶变换在图像处理中也有重要的地位。
通过对图像进行傅立叶变换，我们可以获得其频谱信息，从而实现图像的滤波、增强和去噪等操作。
傅立叶变换在图像压缩中也有重要应用，如JPEG压缩算法就是基于傅立叶变换的。
傅立叶变换还在物理学和工程领域中有广泛应用。
在物理学中，它常被用于光学、电磁学和量子力学等领域中的波动现象的分析。
在工程学中，傅立叶变换广泛应用于通信系统、控制系统和声音处理中。
总结起来，傅立叶变换是一种重要的数学工具，通过将函数在时域上的表示转移到频域上，实现了对函数频率成分的分析与处理。
积分变换主要公式超强总结 (1)
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
傅里叶积分变换性质
傅里叶积分变换性质
傅里叶积分变换(Fourier integral transform，FIT)是一种重要的数学变换，它可以
将复杂的数学函数拆分为由实部和虚部构成的复数函数，它把时间域中信号变换到频域中，从而为我们提供了一种非常强大的数学工具，用于分析数学问题。
傅里叶积分变换基本性质包括幅度和相位变换，它们都是分析复杂信号的基本方法，幅度变换可以将信号变换到频域，而相位变换则将时间域的图形变换到频域的形式，以提取不同频率的信号。
这是因为傅里叶定理指出，任何正弦波都可以由多个单一频率的正弦和余弦波的和解析出来，综合这些元素形成一个复杂的信号。
傅里叶积分变换具有许多特殊的优点。
首先，它可以极大地减少计算量，并且可以非常精确地变换一种复杂的数学函数。
其次，傅里叶积分变换也可以被用来分析“抗锯齿”(antialiasing)过程中使用的低通滤波器，用于优化传播信号中最大信号强
度和最小噪声强度之间的比值。
最后，傅里叶积分变换可以在多维空间中表示许多非常强大的信号处理函数，它们可以准确地重建不同的模式。
因此，傅里叶积分变换是一种非常有用的数学变换，它在多维数学函数，信号模式分析，信号滤波，计算概率等方面都有广泛应用。
它使我们能够准确地分析复杂信号，从而使我们在涉及分析数学问题时更加有效，从而为我们分析问题提供了更多的帮助。
傅里叶积分与变换
ˆ ˆ (ω ) = F[ f (ω )] = 2π f ( −t ) ˆ 称f 为 傅氏 对称公式
两个傅里叶变换对 ⎧ f (t ) ↔ fˆ (ω ) ⎪ ⎨ ⎪ fˆ (t ) ↔ 2π f ( −ω ) (由 对称公式 ) ⎩
例 题 2：
(1).求 矩 形 脉 冲 函 数 的 傅 氏 变 换 ⎧1, | t |≤ a , ( a为 正 常 数 ) f (t ) = ⎨ ⎩ 0, | t |> a (2).用 傅 氏 积 分 公 式 证 明
由 傅 氏 积 分 定 理 有 +∞ 1 −1 ˆ ( ω ) e jω t d ω ˆ (ω ) ] = F [ f ∫−∞ f 2π + ∞ β − jω 1 jω t = ∫−∞ β 2 + ω 2 e d ω 2π
=
∫ π
1
+∞
0
β cos ω t + ω sin ω t dω 2 2 β +ω
jω t
dω
ˆ (3).f (t )称为象原函数,f (ω )称为象函数
(4).在不考虑间断点的取值时,f (t )与 ˆ f (ω )在傅里叶变换下是一一对应的, ˆ 称f (t )与f (ω )构成一个傅里叶变换对,
ˆ (ω) 记为 f (t ) ↔ f
注：
(1).积分定理中出现f (t )的广义积分, 均按照柯西主值意义下取值,即
∞
a0 ∞ ⎛ nπ t nπ t ⎞ + bn sin f (t ) = + ∑ ⎜ an cos ⎟ l l ⎠ 2 n=1 ⎝ 1 l 其中系数a0 = ∫ f (τ )dτ , l −l
(1.1)
1 l nπτ 对n = 1,2,L，an = ∫ f (τ )cos dτ , l −l l