积分变换-第1讲_傅里叶变换(1)

本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
- 12 -
在工程计算中, 无论是电学还是力学，经常要和随 时间而变的周期函数 fT(t) 打交道。例如：
t
具有性质fT(t +T)=fT(t), 其中T 称作周期, 而 1/T 代表单位时间振动的次数, 单位时间通常 取秒, 即每秒重复多少次，单位是赫兹(Herz, 或Hz)。
引言
F ( ) f (t ) K (t , )dt
a b
A中的函数 f (t )
B中的函数 F ( )
f (t ) 称为象原函数，F ( ) 称为 f (t )的象函数，在一 定条件下，它们是一一对应且变换可逆。
-5-
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
m 1
2

T 2
m 1 n

2
T 2
2 T2 即 an T f T (t ) cos nt dt T 2
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
T an T cos nt dt an 2 2
T 2
2
- 23 -
引言
象原函数 (方程的解)
Fourier逆变换
象函数
解代数方程
微分,积分 方程
Fourier变换
象函数的 代数方程
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
-6-
第1章 傅里叶变换
Fourier积分 Fourier变换 Fourier变换的性质 卷积与相关函数 多重Fourier变换 Fourier变换的应用
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
-7-
第1节 Fourier积分
一.Fourier级数
二.非周期函数的Fourier展开 三.Fourier积分定理
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2p 其中 , T
2 a0 T fT (t )d t T 2
T 2
2 T2 an T f T (t ) cos nt d t ( n 1, 2, ) T 2
2 T2 bn T fT (t )sin nt d t (n 1,2, ) T 2
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
Xiaoming Huang, BJTU
-2-
第 1 讲
傅里叶变换(1)
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
-3-
引言
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数变成 另一个函数的变换.
F ( ) f (t ) K (t , )dt
T 2
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
,)
- 16 -
一. Fourier级数 1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
则称函数满足Dirichlet条件. 注：这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数。
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 17 -
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
- 18 -
不满足Dirichlet条件的例子:
- 21 -
a0 fT (t ) ( an cos nt bn sin nt ) 2 n 1
(1.1)
为求出a0 , 计算[ f T ,1],即

T 2
T 2
f T (t ) d t
T 2
T T a0 2 2 T dt+ ( an T cos nt dt bn T sin nt d) 2 2 2 2 n 1 a0 T 2 2 T2 即 a0 T f T ( t ) d t T 2
f ( t ) tg t 存在第二类间断点；
1 f ( t ) sin( ) 在靠近 0 处存在无限多个极值点； t
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足Dirichlet条件. 实际上不连续函数都 是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似 一些函数, 使得思维简单一些.
- 25 -
3. Fourier级数的复指数形式
a0 fT (t ) ( an cos nt bn sin nt ) 2 n 1 a0 e j nt e j nt e j nt e j nt an j bn 2 n 1 2 2 a0 an j bn j nt an j bn j nt e e 2 n 1 2 2
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 22 -
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即

T 2 T 2

a0 f T (t ) cos nt dt T cos nt dt 2 2
T 2
am T cos mt cos nt dt bm T sin mt cos nt dt
a
b
其中，K (t , ) 是一个确定的二元函数，称为积分变 换的核。
当 K (t , ) e jt 时
Fourier变换 Laplace变换
-4-
当 K (t , ) e st 时
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 11 -
三、Fourier 级数或变换的应用领域
信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系 统的监控等；
研究偏微分方程，比如求解热力学方程的 解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。 概率与统计，量子力学等学科。
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 10 -
二、傅立叶的两个最主要论点：
“周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和” — 傅里叶的第一个主要论点。
“非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” — 傅里叶的第二个主要论点。
为了应用上的方便, 我们常需要将Fourier级数的三 角形式转化为复指数形式.
e e 由cos j , 2 jj jj jj jj e e e e sin j j 2j 2 得:
jj
jj
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即

T 2
T 2
f T (t ) sin nt dt T

T 2
2
a0 sin nt dt 2
T 2 2
am T cos mt sin nt dt

bm T sin mt sin nt dt
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
- 19 -
2. Fourier 级数的三角形式
说明:
1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况. 2. 并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 14 -
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 13 -
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(t+j)
其中 A 称为振幅，=2p/T 称为角频率，j 称为初 相角。
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和 cost的线性组合 Asin(t+j)=asint+bcost
m 1
2
m 1 n
T 2
T bn T sin nt dt bn 2 2
T 2
2
2 T2 即 bn T fT (t )sin nt d t T 2
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 24 -
3. Fourier级数的复指数形式
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
- 26 -
a0 an jbn j nt an jbn j nt fT (t ) e e 2 n1 2 2
- 15 -
预备知识：三角函数系的正交性

T 2 T 2
cos n t d t T sin n t dt 0 ( n 1, 2, 3,
2
T 2
)
T 2 T 2
sin n t cos m t dt 0 ( n, m 1, 2, 3,
) ,)
T n=m ( n, m 1, 2, 3, T2 sin n t sin m t dt= 2 0 n m T T n=m 2 ( n, m 1, 2, 3, T2 cos n t cos m t dt= 2 0 n m
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
- 20 -
任何满足Dirichlet 条件的周期函数 fT(t), 在连续点 处可表示为三角级数的形式如下:
a0 f T (t ) ( an cos nt bn sin nt ) 2 n 1 (1.1)
《复变函数与积分变换》(课程编号: 70L148Q)
(Complex Functions and Integral Transform)
复变函数与积分变换
Xiaoming Huang
xmhuang@bjtu.edu.cn
北京交通大学理学院
-1-
本课程第二部分(8学时)
积分变换
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
-8-
一、傅立叶 (Jean Baptiste Joseph Fourier) 简介 法国数学家及物理学家。 1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。 最早使用定积分符号，改进符 号法则及根数判别方法。 傅立叶级数（三角级数）创始 人。
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
-9-
一、傅立叶 (Jean Baptiste Joseph Fourier) 简介
主要贡献
1、在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎 科学院呈交《热的传播》论文， 推导出着名的热传导方程， 并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数 形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷 级数。 2、1822 年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀 加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的 最早例证之一，对19 世纪数学和理论物理学的发展产生深 远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。