积分变换第1讲
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积分变换-1 傅立叶变换
1-2 傅立叶变换
傅里叶正弦积分公式： 2 f (t ) f ( ) sin d sin td 0 0 傅里叶正弦变换式（正弦变换）：
Fs ( ) f (t ) sin tdt 0 傅里叶正弦逆变换式：
f (t )
a bn n a n cos n t bn sin n t a n2 bn2 cos n t sin n t a2 b2 a n2 bn2 n n
an a b
2 n 2 n
sin n
bn a b
2 n 2 n
cos n
[解]
sin x g ( x) 2 1 x
1-2 傅立叶变换
傅里叶变换的物理意义——频
谱 1 非正弦的周期函数的频谱 2 非周期函数的频谱
1-2 傅立叶变换
1非正弦的周期函数的频谱
a0 f T (t ) (a n cos n t bn sin n t ) 2 n 1
1-2 傅立叶变换
1, 0 t 1 [例5]求函数 f (t ) 0, t 1 的正弦变换和余
弦变换。 [解] Fs ( ) Fs [ f (t )] ˆ
0
f (t ) sin tdt |
1 0
sin tdt
0
1
cos t
1 cos
1-1 傅立叶积分公式
如果 f T (t ) 是以T为周期的周期函数，并且在 T T , 上满足狄利克雷（Dirichlet）条件： 2 2 T T 即函数在 2 , 2 上满足： 1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、 至多只有有限个极值点。 T T 那么 f T (t ) 在 2 , 2 上的连续点t处，可以展开 成傅里叶级数。若t是的间断点，则 1 f T (t ) [ f (t 0) f (t 0)] 2
数理方法-第一章-积分变换
−l −1 i kπx f (x) = e l , 1 + k2 π2 k=−∞
2.1. 傅立叶级数
41
2.1.3 有限区间上函数的傅立叶级数展开
在很多物理问题中，物理量f (x) 是被限制在物理系统之内的，即f (x) 是定义在一个有 限区间[0, l] 上的， 它并不是周期函数。为了运用上一节所讨论过的傅立叶级数方法来研究问 题，我们需要对此有限区间上的函数进行拓展，人为地构造出一个新的周期函数，而这个新 的周期函数在我们所讨论关心的区间[0, l]上与原来所要研究的函数f (x)完全一致。 以上这段话给出了用傅里叶级数方法来研究有限区间函数的一般性和方法。 单从这段话 看，似乎对于有限区间函数的延拓有许多不同的途径和方法。但，一个限定在有限区间上的 函数必然有其相应的边界条件， 这个边界条就极大地限制了我们进行周期函数延拓的途径并 最终确定了函数延拓的方案。 最常用最基本的函数的延拓有奇延拓和偶延拓两种， 分别对应于函数f (x) 的两中不同的 边界条件。 我们首先来讨论奇延拓的情形。对函数f (x)进行奇延拓所需满足的边界条件： f (x) 为定 义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin
kπx , x ∈ [0, l] l kπx dx. l (2.18)
bk
=
2 l
ˆl F (x) sin
0
另一种基本的也是常见的延拓是偶延拓， 而进行偶延拓的条件为： f (x) 为定义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f ′ (0) = f ′ (l) = 0
0
bk =
] kπx πA [ 1 − (−1)k , dx = l k
于是， 我们就得：
2.1. 傅立叶级数
41
2.1.3 有限区间上函数的傅立叶级数展开
在很多物理问题中，物理量f (x) 是被限制在物理系统之内的，即f (x) 是定义在一个有 限区间[0, l] 上的， 它并不是周期函数。为了运用上一节所讨论过的傅立叶级数方法来研究问 题，我们需要对此有限区间上的函数进行拓展，人为地构造出一个新的周期函数，而这个新 的周期函数在我们所讨论关心的区间[0, l]上与原来所要研究的函数f (x)完全一致。 以上这段话给出了用傅里叶级数方法来研究有限区间函数的一般性和方法。 单从这段话 看，似乎对于有限区间函数的延拓有许多不同的途径和方法。但，一个限定在有限区间上的 函数必然有其相应的边界条件， 这个边界条就极大地限制了我们进行周期函数延拓的途径并 最终确定了函数延拓的方案。 最常用最基本的函数的延拓有奇延拓和偶延拓两种， 分别对应于函数f (x) 的两中不同的 边界条件。 我们首先来讨论奇延拓的情形。对函数f (x)进行奇延拓所需满足的边界条件： f (x) 为定 义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin
kπx , x ∈ [0, l] l kπx dx. l (2.18)
bk
=
2 l
ˆl F (x) sin
0
另一种基本的也是常见的延拓是偶延拓， 而进行偶延拓的条件为： f (x) 为定义在区间[0, l] 上的函数， 如满足
f ′ (0) = f ′ (l) = 0
0
bk =
] kπx πA [ 1 − (−1)k , dx = l k
于是， 我们就得：
第六章积分变换法1nx
重复以上过程便可以得到证明
（6）积分性质
x 1 F f d F f x x0 i
（7）卷积定理
F f1 x f 2 x F f1 x F f 2 x
其中：
二、傅立叶变换：
由
1 f x 2
f e i d ei x d
令：
G f x e
i x
dx
（1）
则：
1 f x 2
G e d
i x
（2）
为此，我们定义：（1）式为傅立叶变换，（2）式为傅立叶逆 变换
它表明函数f（x）沿 x 轴位移 x0，相当于它的傅立叶变换乘以因 子
f x x0 e
i ( x x0 )
d ( x x0 )
ei x0 。同样，傅立叶逆变换也具有类似的位移性质，即
（3）延迟性质
F e
证明：由定义有
i0 x
f x G 0
证明：由定义和分部积分法有
F f ' x
f x e
f ' x ei x dx
i x i x f x i e dx
因为当 | x | 时， f x 0
，因此
F e
i0 x
i0 x i x f x e f x e dx i 0 x f x e dx G 0
（4）相似性质 : 设 a 为不为零的常数
（6）积分性质
x 1 F f d F f x x0 i
（7）卷积定理
F f1 x f 2 x F f1 x F f 2 x
其中：
二、傅立叶变换：
由
1 f x 2
f e i d ei x d
令：
G f x e
i x
dx
（1）
则：
1 f x 2
G e d
i x
（2）
为此，我们定义：（1）式为傅立叶变换，（2）式为傅立叶逆 变换
它表明函数f（x）沿 x 轴位移 x0，相当于它的傅立叶变换乘以因 子
f x x0 e
i ( x x0 )
d ( x x0 )
ei x0 。同样，傅立叶逆变换也具有类似的位移性质，即
（3）延迟性质
F e
证明：由定义有
i0 x
f x G 0
证明：由定义和分部积分法有
F f ' x
f x e
f ' x ei x dx
i x i x f x i e dx
因为当 | x | 时， f x 0
，因此
F e
i0 x
i0 x i x f x e f x e dx i 0 x f x e dx G 0
（4）相似性质 : 设 a 为不为零的常数
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数
点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.
假设
，则由式（1.5）可得
于是
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
由此可知：
①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于
它们各自辐角的和；
②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐
显然z和 是关于实轴
图1.6
页 退出
复变函数与积分变换
例1.6设 解因为
所以
，试求Re z，lm z和
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复变函数与积分变换
例1.7求证:若|a|=1，则
证由
得
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复变函数与积分变换
例1.8设复数
满足条件
求证
是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.
页 退出
复变函数与积分变换
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定义1.4设 为一点集，
如果对
，点集
是无穷点
集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E′；若
,但
则称z0为E的孤立点；若
，使得
，则称z0为E的外点.
定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域
内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.
求其第三个顶
点.
解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转
得另一个向量，其终点就是所
求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得
图1.3
图1.4
页 退出
复变函数与积分变换
所以 类似可得
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积分变换第1讲
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
数理方法-第一章-积分变换
2.1. 傅立叶级数
39
我们再来看这组三角函数族
cos kπx kπx , sin , k = 0, 1, 2, · · · , ∞, l l (2.8)
它们其实构成了周期为2l的函数所构成的函数空间上的一组正交完备的基底。它们的正交性 前面已经看到。对于其完备性，数学上有严格的证明，我们这里限于篇幅将不对此进行严格 的论述， 但我们不妨进行一个形象的讨论。 首先是函数的2l周期性： 为了将任一个2l周期函数 的周期性完全地反映出来，我们必须要求这个函数基底成员的周期长度包含所有的可能性， 即对于任意个整数k， 都能在这个函数基底中找到一个成员， 它的周期为2l/k；另一方面是函 数的奇偶性：任何一个函数都可分解为奇函数部分和偶函数部分，因此这个函数基底也必须 完整地体现出这个奇偶性。从这两点来看， （2.8）式中的三角函数族完整地体现了这两点， 它 包含了完整的2l周期性及函数的奇偶性， 因此， 从这个角度， 我们大致可以一种不太严格的方 式理解和明了这个三角函数基底的完备性。
−l
k=1
其中的展开系数分别为
1 a0 = 2l 1 ak = l 1 l ˆl f (x) sin
−l
1 f (x)dx 2l
ˆl Adx =
0
A , 2 kπx dx = 0, l
ˆl
−l
kπx 1 f (x) cos dx = l l kπx 1 dx = l l
∞
ˆl A cos
0
ˆl A sin
f (x) =
∞ ∑ k=−∞
(2.10)
ck e
i kπx l
,
1 ck = 2l
ˆl
f (x) e−i
kπx l
积分变换第一章
变换域分析
从本章开始由时域转入变换域分析
频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为j 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z
傅里叶变换
首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶 级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面 的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组 合。
单位时间振动的次数,单位是赫兹(Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
实际上,所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
2
w 为 求 出 a n ,计 算 [ f T ,c o s n t ] ,即
T
2 T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 T 2
nwtd t
T
am
2 cos
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nwt d t(n
1, 2,
2
)
bn
2 T
T
2 T
fT (t) sin nwt d t(n
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
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T
2 T
fT (t) d t
2
精品课件
15
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 T
f T ( t ) cos
2
ntd t
T 2
a0
cos
2 T 2
ntd t
T
am
2 cos
T
m t cos
ntd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m t cos
ntd t
m 1
Tl im fT(t)f(t)
精品课件
35
f(t)
O
t
fT1(t)
O
t
fT2(t)
精品课件
36
由公式
fT (t )
1 T
n
T 2 T 2
f T ( ) e j n
d
e
j
nt
可知
f (t )
lim
T
1 T
n
T 2 T 2
f T ( ) e j n
d
e
j
nt
当 n 取一切整数时 , n 所对应的点便均匀分
1 8
1 e j nt dt
1
1
1
e j nt
1 e j n e j n
8 j n
1 8 j n
1 sin n 4 n
1 sinc( 4
n)
(n
0,1,2, )
精品课件
30
则在T=8时,
cn 14sinc(n) (n0,1,2,)
n
nn2
8
n
4
,再将cn以竖线标在频率
w
精品课件
2, 只有有限个极值点
这两个条件实际上就是要保证函数是可积函 数.
精品课件
6
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
精品课件
第一类间断点
7
不满足狄氏条件的例:
f(t)= tgt
存在第二类间断点
f(t)= sin1t()
在靠近 0处存在着无限多个极值点
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的
31
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn 81sinc(n) (n0,1,2,)
n
nn2
16
n
8
,再将cn以竖线标在频率图
w
精品课件
32
一般地, 对于周期T
1
cn T
T
2 T
fT (t )e j nt dt
2
1 1 e j nt dt T 1
1
1
e j nt
1 e j n e j n
其中
a0
2 T
T
2 T
fT (t) d t
2
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nt d t
(n 1,2,)
2
bn
2 T
T 2 T 2
fT (t) sin nt d t
(n 1,2,)
精品课件
18
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
由 cos
e j
e j
, sin
e j j
e j
f(t)
1
-1 o
1
t
精品课件
23
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f4(t) f (t 4n),
n
2
T
2
4
,
2
n
n
n
2
f4(t)
1 1 3
t
T=4
精品课件
24
则
cn
1 T
T
2 T
fT (t )e j nt dt
2
1 4
2 2
f 4 (t )e j nt dt
,n
1,2,3,
fT (t) c0
cne jnt
c e jnt n
cne jnt
n 1
n
精品课件
20
给定fT(t), cn的计算如下:
c 0
a0 2
1 T
T
2 T
fT (t) d t
2
当 n
1时 c n
an
jb n 2
1 T
T
2 T
fT (t ) cos
nt d t
2
j 1 T
1 4
1 e j nt dt
1
1
1
e j nt
1 e j n e j n
4 j n
1 4 j n
1 sin n 2 n
1 sinc( 2
n)
(n
0 , 1, 2 , )
精品课件
25
sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sinc( x) sin x x
严格讲函数在 x 0处是无定义的 ,但是因为
T
2 f 2 (t) d t T 2
:
T
即 2 f ( t ) g ( t ) d t T 2
这样可令
T
T
2 f 2 ( t ) d t 2 g 2 ( t ) d t
T
T
2
2
cos [ f , g ] 是 f , g 间的夹角余弦
,
f g
则如果 [ f , g ] 0 称为 f 与精品g课正件交 .
Tj n
1 Tj n
2 T
sin n n
2 T
sinc( n )
(n
0 , 1, 2 , )
精品课件
33
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间
隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则
总是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f(t)
看作是周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作 是由无穷多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率
lim sin x 1 x0 x 所以定义 sinc( 0) 1, 用不严格的形式就写作
sin x
1, 则函数在整个实轴连续
x x0
精品课件
26
sinc函数的图形:
sinc(x)
x
精品课件
27
前面计算出
cn 12sinc(n) (n0,1,2,)
n
nn2
T
n
2
,可将cn以竖线标在频率
w
精品课件
精品课件
3
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数
sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
精品课件
4
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
积分变换
精品课件
1
傅里叶(Fourier)级 数展开
精品课件
2
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和
随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代
表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每 秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连
续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不
连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一
些.
精品课件
8
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成
一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也
构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间
28
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造 一周期为8的周期函数f8(t)
f8(t) f (t 8n),
n
2
T
2
8
,
4
n
n
n
4
f8(t)
-1 1
7
t
精T品=课8件
29
则
c n
1 T
T
2 T
fT (t )e j nt dt
2
1 8
4 4
f 8 (t )e j nt dt
T
1 2 12 dt T T 2
cosnt
T
2 cos2 nt dt
T 2
1cos2nt
dt
T
T 2
T 2
2
2
sinnt
T
2 sin2 nt dt
T 2
1cos2nt
dt
T
T 2
T 2
2
2
精品课件
14
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表
示为三角级数的形式如下:
10
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系 1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
cos nwt, sin nwt, ... 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt的 线性组合. 当nm时,
2
an
T
2 cos
T 2
2 ntd t
T an 2
即
an
2 T
T
2 T
f T ( t ) cos
2
ntd t