积分变换公式
重积分的积分变换和积分替换
重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。
在微积分中，一类重要的积分就是重积分。
和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。
近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。
本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。
一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。
积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。
在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。
1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。
通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。
球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。
一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。
例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。
那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。
接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。
最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。
柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。
柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。
微积分基本定理与积分变换
微积分基本定理与积分变换微积分是数学的重要分支之一，其核心概念之一就是微积分基本定理和积分变换。
本文将详细介绍微积分基本定理的原理和应用，并探讨积分变换在实际问题中的作用。
1. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心概念之一，由牛顿与莱布尼茨在17世纪分别独立发现。
其表述如下：定理1：对于连续函数f(x)，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个定理实际上是积分与求导的逆运算，意味着我们可以通过求导的方式来确定函数的不定积分。
基于微积分基本定理，我们可以解决各类函数的积分计算问题。
2. 第一类微积分基本定理第一类微积分基本定理是微积分基本定理的一个重要应用，也被称为牛顿-莱布尼茨公式。
它给出了确定函数F(x)的定积分的方法。
定理2：若f(x)是连续函数，则∫[a,b]f'(x)dx = F(b) - F(a)。
这个定理意味着我们可以通过求函数的原函数来确定其定积分。
这对于解决各类实际问题具有重要意义，比如计算曲线下的面积、求解物体的质量和重心等。
3. 第二类微积分基本定理第二类微积分基本定理是微积分基本定理的另一个重要应用。
它将定积分与不定积分联系在一起，可以用于积分计算和函数的性质分析。
定理3：对于连续函数f(x)，设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(x)|[a,b] = F(x)|[a,b] - F(x)|[a,b]。
这个定理将定积分转化为函数的不定积分，并通过原函数在区间[a,b]两端求值的差来确定。
利用这个定理，我们可以对函数在特定区间上的积分性质进行研究，比如函数值的大小、连续性等。
4. 积分变换积分变换是微积分的一个重要应用领域，它通过对函数进行积分的方式转换函数本身或者函数的性质，从而简化问题或者获得更有用的信息。
常见的积分变换包括拉普拉斯变换和傅里叶变换。
拉普拉斯变换将函数从时域转换到频域，广泛应用于信号与系统分析、控制系统等领域。
拉氏积分变换L
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f
拉普拉斯积分变换
由位移性质得
L eat
sin kt
k (s a)2
k2
27
5. 延迟性质 若 L f (t) F(s)，又t 0 时 f (t) 0 则对于任一非负实数 τ 有
L f (t τ ) esτ F (s),
或
L1 esτ F (s) f (t τ )
证
L f (t τ )
f (t τ ) est dt
此性质使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为F(s)的 代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t) coskt 的拉氏变换。
解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t) k 2 cos kt
由微分性质有
L k 2 cos kt L f (t) s2 L f (t) sf (0) f (0)
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
8
例3 求正弦函数 f (t) sin kt（k为实数）的拉
氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
f
(t) t
F (s)ds
s
或
f
(t)
tL1
s
F
(s)ds
三角函数的积分变换与定积分计算
理论推导：定积分在物理理论推导中也有着重要的作用，例如在电 磁学和量子力学等领域中的应用。
定积分在经济学中的应用
计算经济成本和收益 分析经济现象和趋势 预测经济指标和未来发展 制定经济政策和计划
定积分在生物学中的应用
定积分表示函数图像与x轴 所夹的面积
定积分的性质
线性性质：定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以 分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
区间可加性：定积分的区间可加性，即对于函数在一个区间上的定积分， 如果将该区间分成若干个子区间，则定积分等于各个子区间的定积分之和。
积分常数：积分常数是一个确定的数，它表示函数在一个无穷区间上的定 积分。
探讨心理学中人类行为、决策制 定等问题的量化研究
定积分的跨学科应用价值
物理学中的应 用：计算物体 在流体中的运 动阻力、电磁 场中的电势和
电流等。
工程学中的应 用：优化设计、 控制工程、信 号处理等领域 中都有广泛的
应用。
经济学中的应 用：用于研究 供需关系、市 场均衡、投资 回报等问题。
生物学中的应 用：用于研究 种群增长、生 物循环等问题。
电磁学中的定积分应用
电磁学中的定积分应用：计算 电场和磁场分布
电磁学中的定积分应用：计算 电磁波的传播
电磁学中的定积分应用：计算 电磁感应现象
电磁学中的定积分应用：计算 电路中的电流和电压
定积分在物理问题中的重要性
描述物体运动规律：定积分可以用来描述物体的运动规律，例如速度、 加速度和位移等。
计算物理量：定积分可以用来计算物理量，例如功、力和能量等。
三角函数的定积 分公式： ∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C， 其中C为积分常 数
积分变换主要公式超强总结 (1)
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
涉及周期函数积分的变换公式
涉及周期函数积分的变换公式1、指数函数积分变换公式：$$\int e^{\alpha x}dx=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha}+C$$2、正弦函数积分变换公式：$$\int \sin{\alpha x}dx=-\frac{\cos{\alpha x}}{\alpha}+C$$3、余弦函数积分变换公式：$$\int \cos{\alpha x}dx=\frac{\sin{\alpha x}}{\alpha}+C$$4、正切函数积分变换公式：$$\int\tan{\alpha x}dx=\frac{\ln{\sec{\alpha x}}}{\alpha}+C $$5、反正切函数积分变换公式：$$\int\cot{\alpha x}dx=\frac{\ln{\sin{\alpha x}}}{\alpha}+C $$6、指数函数的指数函数积分变换公式：$$\int{a^x}dx=\frac{a^x}{\ln{a}}+C$$7、双曲正切函数积分变换公式：$$\int{\tanh{\alpha x}}dx=\frac{\ln{\cosh{\alpha x}}}{\alpha}+C $$8、双曲余切函数积分变换公式：$$\int{\coth{\alpha x}}dx=\frac{\ln{\sinh{\alpha x}}}{\alpha}+C $$这些涉及周期函数积分的变换公式可以用来解决积分问题。
以上所列的公式可以从多项式的积分变换公式推导而来。
具体的算法步骤如下：第一步：将待积分的函数在其中一个周期内进行三角函数的拆分；第二步：利用多项式的积分变换公式，求出函数三角函数拆分后的积分；第三步：最后，根据积分时不同周期内的转换关系，将每个周期离散积分求和，形成连续积分，最终求得函数的积分；通过这种方法，可以将一般的函数拆分为多个周期的函数，然后利用以上的几种涉及周期积分的变换公式，对每个周期的函数进行积分，从而求出原函数的积分，从而解决一些复杂的积分问题。
积分变换法
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
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拉普拉斯变换
逆变换 反演积分公式
f(t)
=
ℒ−1[F(s)]
=
1 2πj
β+j∞
∫ F(s)estds
β−j∞
(t > 0)
周期函数的拉普拉斯变换：f(t)在[0, +∞)内是以 T 为周期的函数
F(s)
=
1
1 − e−sT
T
∫ f(t)e−stdt
0
拉普拉斯变换性质
1.线性性质 ℒ[αf(t) + βg(t)] = αF(s) + βG(s);
位移性质
ℱ[f(t − t0)] = e−jωt0f̂(ω) ℱ−1[f̂(ω − a)] = ejatf(t)
相似性质
ℱ[f(at)]
=
1 |a|
f̂
ω (a)
微分性质
ℱ[f’(t)] = jωf̂(ω) ℱ[f (n)(t)] = (jω)nf̂(ω)
ℱ[−jtf(t)]
=
d dω
f̂(ω)
(−j)n
H(t)
↔
1 jω
+
πδ(ω)
ℱ[ejat] = 2πδ(ω − a) ℱ[cosat] = π[δ(ω + a) + δ(ω − a)] ℱ[sinat] = πj[δ(ω + a) − δ(ω − a)]
sgnt
=
{−11, ,
t>0 t<0
2/6
sgnt = 2H(t) − 1
ℱ[sgnt]
n
∑
k=1
Res[F(s)est,
sk]
5/6
常见拉氏变换：
ℒ[H(t)]
=
1 s
Re(s) > 0
ℒ−1
1 [s]
=
1
t>0
eat
↔
s
1 −
a
Re(s) > ������ ;
e−at
↔
s
1 +
a
Re(s) > −������ ;
ejωt
↔
s
1 − jω
Re(s) > 0
a
s
sinat ↔ s2 + a2 Re(s) > 0; ������������������������������ ↔ s2 + a2 Re(s) > 0
=
2 jω
ℱ[e−βtH(t)]
=
β
1 + jω
δ(at)
=
1 |a|
δ(t),
a≠0
δ(t2
−
a2)
=
1 2|a|
[δ(t
+
a)
−
δ(t
−
a)],
a≠0
傅立叶变换性质
线性性质 ℱ[αf(t) + βg(t)] = αf̂(ω) + βĝ(ω) ℱ−1[αf̂(ω) + βĝ(ω)] = αf(t) + βg(t)
f(0+) = lim f(t) = lim sF(s)
t→0+
s→∞
终值定理
f(+∞) = lim f(t) = lim sF(s) Re(s) > −������ 解析
t→+∞
s→0
幂函数的拉式变换
ℒ[tm]
=
Γ(m + 1) sm+1
Re(s) > 0
若当定理 s = β + Rej(θ+π2) 0 ≤ θ ≤ π
⋯
fn(t)]
=
1 (2π)n−1
f̂1(ω)
∗
f̂2(ω)
∗
⋯
∗
f̂n(ω)
δ(t − a) ∗ f(t) = f(t − a) δ(t − a) ∗ δ(t − b) = δ(t − a − b)
+∞
F(s) = ℒ[f(t)] = ∫ f(t)e−stdt
0
ℒ[f(t)] = ℱ[f(t)e−βtH(t)]
(e−jnω0t
−
ejnω0t)
f̂(ω)为f(t)的频谱密度函数，模|f̂(ω)|称为振幅频谱，简称频谱，φ(ω) = argf̂(ω)为相位频谱。
1/6
δ函数
(i)
δ(t − t0) = {0+∞
t = t0 t ≠ t0
+∞
(ii) ∫ δ(t − t0) dt = 1
−∞
δ函数的筛选性质
b
∫ δ(t − t0) φ(t)dt = φ(t0),
a
a < t0 < ������
δ函数性质 1.δ(t)是偶函数。 2.α(t)在t0邻域内连续
α(t)δ(t − t0) = α(t0)δ(t − t0)
海维赛函数
H(t) = {10,,
t≥0 t<0
H′(t) = δ(t)
+∞
∫ δ(n)(t − t0)φ(t)dt = (−1)nφ(n)(t0)
−∞
+∞
ℱ[δ(t − t0)] = ∫ δ(t − t0) e−jωtdt = e−jωt0
−∞
ℱ−1[δ(ω
−
ω0)]
=
1 2π
+∞
∫ δ(ω
−∞
−
ω0)ejωt
dω
=
1 2π
ejω0t
{δ(t
− t0) δ(t)
↔ ↔
e−jωt0 1
{ejω0t1↔↔22ππδδ(ω(ω−) ω0)
|ℱ[δ(t − t0)]| = |e−jωt0| = 1
ℱ[tnf(t)]
=
dn dωn
f̂(ω)
ℱ[tnf(t)]
=
jn
dn dωn
f̂(ω)
积分性质
ℱ
t
[∫ f(τ)dτ]
−∞
=
1 jω
f̂(ω)
+
πf̂(0)δ(ω)
卷积
+∞
f(t) ∗ g(t) = ∫ f(τ)g(τ − t)dτ
−∞
f∗g=g∗f
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
在区域Re(s)
≤
β内， lim
s→∞
F(s)
=
0，函数F(s)est沿半圆CR的积分存在
lim ∫ F(s)estds
R→∞ CR
展开定理
F(s)在复平面 s 上有限个奇点在Re(s) < ������内，设s → ∞时，F(s) → 0
f(t)
=
1 2πj
β+j∞
∫ F(s)
β−j∞
estds
=
象函数的导数
L[−tf(t)] = F′(s)
(−1)nℒ[tnf(t)] = F(n)(s)
4.积分性质
积分的象函数
t
1
ℒ
[∫
0
f(t)dt]
=
s
F(s)
tt
t
1
ℒ
[∫
0
dt
∫
0
dt
⋯
∫
0
f(t)dt]
=
sn
F(s)
象函数的积分
4/6
f(t)
∞
ℒ[
t
]=∫
s
F(s)ds
f(t)
∞
∞
∞
ℒ
[
tn
]
=
∫
s
ds ∫
s
ds ⋯ ∫
s
F(s)ds
位移性质
ℒ[eatf(t)] = F(s − a) a 是复常数
延迟性质
ℒ[f(t − τ)H(t − τ)] = e−sτF(s)
卷积与卷积定理
ℒ[f1(t) ∗ f2(t) ∗ ⋯ ∗ fn(t)] = F1(s)F2(s) ⋯ Fn(s)
初值定理与终值定理 初值定理
ℒ−1[aF(s) + βG(s)] = αf(t) + βg(t)
2.相似性质
1s ℒ[f(at)] = a F (a) a > 0
3.微分性质
导数的象函数
ℒ[f ′(t)] = sF(s) − f(0)
ℒ[f (n)(t)] = snF(s) − sn−1f(0) − sn−2f ′(0) − ⋯ − f (n−1)(0)
−∞
f(t)
=
1 2π
+∞
∫ f̂
−∞
(ω)ejωtdω
狄里克雷积分公式
+∞ sin ω
π
∫
0
ω dω = 2
ℱ [e−βt2 ]
=
π √β
e−ω4β2
对称公式 f(t) ↔ f̂(ω) f̂(t) ↔ 2πf(−ω)
欧拉公式
cosnω0t
=
1 2
(ejnω0t
+
e−jnω0t)
sinnω0t
=
j 2
积分变换
傅立叶级数
f(t)
=
a0 2
+
∞
∑(ancos
nπt l
+
bn
sin
nπt l)
n=1
1l
a0
=
l
∫ f(τ)dτ
−l
1l
nπτ
an
=
l
∫ f(τ)cos
−l
l
dτ
1l
nπτ
bn
=
l
∫ f(τ)sin