高一数学向量运其运算单元检测人教版知识精讲.doc
高一向量知识点总结及例题
高一向量知识点总结及例题引言：向量是高中数学中的一个重要概念，也是数学研究和实际应用中的重要工具。
在高一阶段，学生开始接触和学习关于向量的基本概念、运算规则以及一些重要的定理和例题。
本文将对高一阶段的向量知识点进行总结，并通过一些例题进行实际运用，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、向量的基本概念1. 向量的表示方法：向量通常用一个有方向和大小的线段表示，可以用一个点表示，也可以用有箭头的线段表示。
在坐标系中，向量也可以表示为一个有序数对。
2. 向量的模：向量的模表示向量的长度，通常用||AB||表示。
在坐标系中，向量的模可以通过坐标计算公式求得。
3. 向量的方向角：向量的方向角表示与坐标轴正方向的夹角，在0°到360°之间，通常用α表示。
4. 向量的共线与平行：若两个向量的方向相同或相反，且模相等，则它们共线；若两个向量的方向相同或相反，则它们平行。
二、向量的运算规则1. 向量的加法与减法：向量的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。
即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)，a*(B + C) = a*B + a*C。
2. 向量的数量积：向量的数量积又称内积或点乘，可用来判断向量的夹角和共线性。
数量积的结果是一个实数，等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
三、向量的重要定理1. 向量的长度平方定理：向量的长度平方等于向量的数量积与自身的数量积的乘积。
即||A||^2 = A·A。
2. 向量的垂直定理：若两个非零向量数量积为0，则它们垂直。
四、例题1. 已知向量AB = (3, 4)，向量AC = (5, -2)，求向量BC的模。
解：向量BC = 向量AC - 向量AB = (5, -2) - (3, 4) = (2, -6)。
向量BC的模为√(2^2 + (-6)^2) = √40 = 2√10。
2. 在直角坐标系中，已知向量OA = (2, 3)，则向量OA的模为多少？解：向量OA的模为√(2^2 + 3^2) = √13。
高一数学向量运其运算单元检测人教版
高一数学向量运其运算单元检测人教版【同步教育信息】一 本周教学内容：向量及其运算单元检测【模拟试题】一 选择题：1 在 ABCD 中，化简AB BD AC 2-+等于（ ） A 0B BD 2C DB 2D AC 22 在ABC ∆中，设b AC a AB ==,，若BC AD 2=，则DC DB +（用a 、b 表示）等于（ ） A b a 35-B b a 53+-C b a 35+-D b a 53-3 )0(||||||≠+=-b b a b a ，成立的充要条件是（ ） A a 与b 不共线 B a 与b 共线 C )0(≥=λλb aD )0(≤=λλb a4 下列命题中，正确的是（ ） A 若||||b a =，则b a =或b a -=B 若a 与b 共线，则存在唯一实数λ，使b a λ=C 若0)()(22=-+-c b b a ，则c b a ==D 若0=⋅b a ，则022=⋅b a5 把函数)(x f y =的图象按)1,2(-=a 平移得到函数)1lg(2+=x y 的图象，则)(x f 的解析式是（ ）A 1]1)2lg[(2-++=x y B 1]1)2lg[(2-+-=x y C 1]1)2lg[(2+++=x yD 1]1)2lg[(2++-=x y6 已知A 分BC 所成的比为32-，则B 分AC 所成的比是（ ）。
A 2 B 21 C 2- D 21-7 已知)3,2(),1,(),1,3(C x B A --三点共线，则的值等于（ ） A 7- B 8- C 9- D 10-8 已知)3,1(),0,2(),3,0(-C B A ，与AC AB 2+同向的单位向量是（ ） A （0，1） B )1,0(- C )1,1(- D )1,1(-9 已知1||,4||==b a ，a 与b 的夹角为θ，4|2|=-b a ，则θ等于（ ）。
A 43arccosB 41arccosC 43arccos -πD 41arccos -π10 矩形ABCD 中，BC BF AB AE 21,21==，设b AD a AB ==,，当DE EF ⊥时，||b a 等于（ ）A 1B 2C2D3二 填空题：11 已知)5,0(),1,3(=-=OB OA ，且AB BC OB AC ⊥,//，则C 点的坐标是 。
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量考点二空间向量的线性运算空间向加法a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB→量的线性运算减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →；当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c)＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .考点三共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．考点四共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .【题型归纳】题型一：空间向量的有关概念1．给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11=AC AC ；③a b =是向量a b =的必要不充分条件；④若空间向量,,m n p 满足,∥∥m n n p ，则∥m p ．其中正确的命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．02．给出下列命题①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >；④零向量没有方向；⑤对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+．其中正确命题的序号为（）A ．①②③B ．⑤C ．④⑤D ．①⑤3．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若||||a b =，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB ，CD 满足AB CD >，则AB CD >D ．相等向量其方向必相同题型二：空间向量的线性运算（加减法）4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是面对角线1A B 与11B D 的中点，若DA a =，DC b =，1DD c =，则MN =（）A ．()12c b a +-B ．()12a b c +-C ．()12a c -D ．()12c a -5．空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅=（）A ．12B ．1C ．2D ．226．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（）A ．12a -2132b c+B ．-211322a b c++C ．12a 12b +-23cD ．2233a b +-12c题型三：空间两个向量共线的有关问题7．已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）.A ．A ､B ､DB ．A ､B ､CC ．B ､C ､DD ．A ､C ､D8．已知空间中两条不同的直线,m n ，其方向向量分别为,a b →→，则“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的（）A ．.充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中正确的是（）.A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//C B D A D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a bλ=题型四：空间共面向量定理10．已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OCM OA =-+C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OCA =--11．下列结论错误的是（）.A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ､b 是两个不共线的向量，且c a b λμ=+r r r(R λμ∈、且0λμ⋅≠)，则{}a b c ，，构成空间的一个基底D ．若OA ､OB ､OC 不能构成空间的一个基底，则O ､A ､B ､C 四点共面12．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；③若三个向量,,a b c r v v 两两共面，则向量,,a b c rv v 共面；④已知空间的三个向量,,a b c rv v ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++u r rv v ．其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【双基达标】一、单选题13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①()1AB BC CC ++；②()11111AA A D D C ++；③()111AB BB B C ++；④()11111AA A B B C ++.其中运算的结果为向量1AC uuu r的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．①若A ､B ､C ､D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=；②a b a b -=+是a ､b 共线的充要条件；③若a ､b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ､B ､C ，若OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r（其中x ､y ､z ∈R ），则P ､A ､B ､C 四点共面.其中不正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．415．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝m OA ＋n OB ，其中m ＋n ＝1，则（）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足113AP AB AA λ=+（[]0,1λ∈）若平面//BDP 平面11B CD ，则实数λ的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．2317．如图，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，设AB a →=，AD b →=r ，AA c →'=，则下列与向量A C →'相等的表达式是（）A ．a b c -++B ．a b c--+C ．a b c --D ．a b c+-r r r 18．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，则MN =（）A ．111222OB OC OA+-B ．111222OA OC OB--C ．111222OB OC OA++D ．111222OA OC OB+-19．已知空间四边形ABCD 中，AB a =，CB b =，AD c =uuu r r，则CD 等于（）A ．a b c +-B ．a b c --+C ．a b c -++D ．a b c-+-20．下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量；④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.其中错误的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．421．在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OB 上，且3OM MB =，N 为AC 的中点，则NM =（）A ．131242a b c-+-B ．121232a b c-++C ．131242a b c++D ．121232a b c-+22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r点P 在1AC 上，且1:2:3A P PC =，则AP =（）．A ．233555a b c++B ．322555a b c++C ．223555a b c-++D ．322555a b c--【高分突破】一：单选题23．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若23AE x AB yBC z AP =++，则x y z ++等于（）A ．1B ．1112C ．116D ．224．已知正方体1111ABCD A B C D -中，11114AE A C =，若1()AE x AA y AB AD =++，则（）A ．1x =，12y =B ．12x =，y =1C ．1x =，13y =D ．1x =，14y =25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 在AC 上，且12AM MC =，N 在1A D 上，且12A N ND =．设AB a =，AD b =，1AA c =，则MN =A ．111333a b c-++B ．1133a b c+-C ．112333a b c--D ．1133a b c-++26．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++，若M ，A ，B ，C 共面，则λ=（）A ．712B ．13C ．512D ．1227．在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 是侧面11CDD C 的中心，且1AM x AA y AD z AB =-+，则,,x y z 的值分别为（）A ．12，1，12-B ．12，1-，12-C ．12-，1，12D ．12，1-，1228．已知点P 为三棱O -ABC 的底面ABC 所在平面内的一点，且()12OP OA mOB nOC m n R =+-∈，，则m n ，的值可能为（）A ．112m n ==-，B ．112m n ==，C ．112m n =-=-，D ．312m n =-=-，29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，设1,,AB a AA c BC b ===，则下列向量与BM 相等的是（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122a b c-+30．空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC AD =--，则实数x的值为()A ．13B ．13-C ．23D ．23-31．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c-+D ．1122a b c--+32．如图，在空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-D ．221332a b c+-二、多选题33．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且3AP PN =，23ON OM =，设OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式成立的是（）A ．1122OM b c =-B ．1133AN b c a=+-C ．113444AP b c a=--D ．111444OP a b c=++34．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量35．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有A ．AB BC CD++B ．11111AA B C D C ++C ．111AB C C B C -+D ．111AA DC B C ++36．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件的是（）A ．2OM OA OB OC=--B ．OM OA OB OC =+-C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++三、填空题37．如果两个向量,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是___________.38．已知非零向量1e ，2e 不共线，则使12ke e +与12e ke +共线的k 的值是________．39．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB ＋12BC －32DE －AD 化简的结果为________.40．已知点M 在平面ABC 内，并且对不在平面ABC 内的任意一点O ，都有1133AM xOA OB OC =++，则x 的值为_______．41．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且12MN ON =，34AP AN =，用向量OA ，OB ，OC 表示OP ，则OP =_______．四、解答题42．在空间四边形ABCD 中，连结AC ､BD ，BCD 的重心为G ，化简1322AB BC DG AD +--.43．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：（1）1AB BA +；（2）111AB B C C C ++；（3）AM BM CB --；（4）112AA AB AM +-．44．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.45．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===，,,0,0AC AD m AB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案详解】1．B【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与11AC 的方向相同，模也相等，则11AC AC=，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当n 为零向量时，零向量与任何向量都平行，则,m n 不一定平行．故选B ．2．B【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；对于⑤，a b a b +≤+为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．综上，正确的命题只有⑤，故选：B .3．D【详解】A 中，对于非零向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行或重合；B 中，||||a b =只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小；D 中，由相等向量的定义知：方向必相同；故选：D.4．D【详解】因为点M ，N 分别是面对角线1A B 与11B D 的中点，DA a =，DC b =，1DD c =，所以11MN MB BB B N=++111111 22A B BB B D =++()()111122A A AB BB BC CD =++++()()1122c b c a b =-+++--()12c a =-故选:D.5．A【详解】空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，所以四边形ABCD 构成的四面体ABCD 是正四面体，四个面是等边三角形，因为E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，所以//AC FG ，1//2AC FG ，()1122GE GB BE BC BD BA =+=-++，12GF CA =，所以()()1144GE GF BC BD BA CA BC CA BD CA BA CA ⋅=-+-⋅=-⋅+⋅-⋅()14BC CA BD BA BC BA CA ⎡⎤=-⋅+⋅--⋅⎣⎦()14BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅()1cos120cos 60cos 60cos 604BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅1111112222422222⎛⎫=--⨯+⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.6．B解：因为2OM MA =，所以2233OM OA a ==,N 为BC 的中点，则()111222ON OB OC b c =+=+，()2121132322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++.故选：B.7．A【详解】因为242BD BC CD a b AB =+=+=，所以//BD AB ，又,BD AB 有公共点B ，所以A ､B ､D 三点共线，故选项A 正确；显然,AB BC 不共线，所以A 、B 、C 三点不共线，故选项B 错误；显然,BC CD 不共线，所以B 、C 、D 三点不共线，故选项C 错误；因为48AC AB BC a b =+=-+，所以,AC CD 不共线，从而A 、C 、D 三点不共线，故选项D 错误.故选：A.8．B【详解】由,R a b λλ→→∀∈≠可知，a 与b 不共线，所以两条不同的直线,m n 不平行，可能相交，也可能异面，所以“,R a b λλ→→∀∈≠”不是“直线,m n 相交”的充分条件；由两条不同的直线,m n 相交可知，a 与b 不共线，所以,R a b λλ→→∀∈≠，所以“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的必要条件，综上所述：“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的必要不充分条件.故选：B.9．CA 中，若0b =，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故//C B D A 正确；D 中，若0b =，0a ≠，则不存在λ，使a b λ=.故选：C10．B【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-，即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面.对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面.故选：B.11．C【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B 正确；C 选项，∵满足c a b λμ=+r r r ，∴a ，b ，c 共面，不能构成基底，故C 错误，D 选项，因为OA ､OB ､OC 共起点，若O ，A ，B ，C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D 正确，故选C .12．A【详解】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面才成立，故④错．故选:A ．13．D【详解】①：()111AB BC CC AC CC AC ++=+=，故①正确；②：()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=，故②正确；③：()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=，故③正确；④：()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=，故④正确.所以4个式子的运算结果都是1AC ，故选：D.14．C【详解】①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a ､b 同向时，应有a b a b +=+，故错误；③中a ､b 所在直线可能重合，故错误；④中需满足1x y z ++=，才有P ､A ､B ､C 四点共面，故错误.故选：C15．A【详解】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋n OB →，即OP OA →→-＝n (OB OA →→-)，即AP n AB →→=，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .故选：A16．D【详解】如下图，由正方体性质知：面11//B CD 面1BDA ，要使面//BDP 面11B CD，∴P 在面1BDA 上，即1,,P B A 共面，又113AP AB AA λ=+，[]0,1λ∈，∴113λ+=，可得23λ=.故选：D17．D【详解】由题意：A C A A AB BC AA AB AD c a b a b c→→→→→→→'''=++=-++=-++=+-故选：D.18．A【详解】在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，()()11112222111111222222MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC OA OB OC OA ∴=+=++=+-+-=++-=+-故选：A ．19．C【详解】由向量的运算法则，可得CD CB BA AD CB AB AD a b c =++=-+=-++.故选：C.20．C【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确.0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误.由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C21．A 【详解】()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-.故选：A22．B【详解】因为1:2:3A P PC =，可得1125A P A C =，根据空间向量的运算法则，可得111125AP AA A P AA A C =+=+112()5AA AC AA =+-1111323232322()()555555555AA AC AA AB BC AA AB AD AA AB BC =+=++=++==++，又由1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r ，所以322555AP a b c =++.故选：B.23．B【详解】因为()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE=++=++=++-，所以2AE AB BC AP =++，所以111222AE AB BC AP =++，所以111,2,3222x y z ===，解得111,,246x y z ===，所以11111++24612x y z ++==，故选：B.24．D【详解】由空间向量的运算法则，可得11111111()44AE AA A E AA AC AA AB AD =+=+=++，因为1()AE x AA y AB AD =++，所以11,4x y ==.故选：D.25．A【详解】解：因为M 在AC 上，且12AM MC =，N 在1A D 上，且12A N ND =，所以13AM AC =，1123A N A D =，在平行六面体1111ABCD ABCD -中，AB a =，AD b =，1AA c =，所以AC a b =+u u u r r r ，1A D b c =-，所以11111233MN MA AA A N AC AA A D =++=-++12()()33a b c b c =-+++-111333a b c =-++，故选：A ．26．A因为M ，A ，B ，C 共面，则11146λ++=，得712λ=.故选：A【点睛】本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.27．D【详解】如图，在正方体中，AM AB BC CM =++，BC AD =，()()111122CM CD CC AB AA =+=-+，所以()112AM AB AD AB AA =++-+11122AB AD AA =++,所以12x =，1y =-，12z =故选：D28．C 【详解】()12OP OA mOB nOC m n R =+-∈，，且P ，A ，B ，C 共面，∴11122m n m n +-=⇒-=，只有1 12m n =-=-，符合，故选：C.29．A【详解】因为1,,AB a AA c BC b ===，如图，依题意，有()11111111111122BM BA AA A M BA AA A C BA AA B C B A =++=++=++-()111111122222BA AA BC BA AB BC AA a b c =++-=-++=-++．故选：A30．C【详解】因为空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，则AB m AC n AD =+，又点P 为该平面外一点，则()PA PB m PC PA nAD -=-+，所以(1)m PA PB mPC nAD +=++，又5133PA PB xPC AD =--，由平面向量的基本定理得：513x -=，即23x =，故选：C ．31．A 如图，由空间向量的线性运算可得：()1111111111111222B M B B BM A A BD A A B D c A D A B =+=+=+=+-，()111222c b a a b c =+-=-++，故选：A32．B【详解】由题，在空间四边形OAB ，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则1122ON c b =+．所以211322MN ON MO a b c =+=-++故选：B【点睛】本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.33．BD【详解】由已知得，23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1133OB OC OA =+-1133b c a =+-，分析各个选项：对于A ，利用向量的四边形法则，11112222OM OB OC b c =+=+，A 错；对于B ，利用向量的四边形法则和三角形法则，得23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1133OB OC OA =+-1133b c a =+-，B 对；对于C ，因为点P 在线段AN 上，且3AP PN =，所以，411333AN AP b c a ==+-，所以，311114333444AP b c a b c a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，C 错；对于D ，113444OP OA AP a b c a =+=++-111444a b c =++，D 对故选：BD34．ACD∵O 为正方体的中心，∴1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+，同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∴A 、C 正确；∵OB OC CB -=uu u r uuu r uu r ，1111OA O A D D =-，∴OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∴B 不正确；∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-，∴()11OA OA OC OC -=--，∴D 正确.故选：ACD35．BCD【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA AD DC AC ++=++=，故正确；C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=，故正确；D ．111111111AA DC BC AA AB BC AC ++=++=，故正确.故选：BCD.36．BD【详解】当MA m MB n MC =+时，可知点M 与点,,A B C 共面，所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++，所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++，所以11111OA mOB nOC m n OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-，不妨令11x m n -=+-，1m y m n =+-，1n z m n =+-，且此时1x y z ++=，因为()()21101+-+-=≠，()1111++-=，111111236++=≠，1111236++=，由上可知：BD 满足要求.故选：BD.37．由空间向量共面定理可得，若向量,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是存在实数对(),x y ，使p xa yb =+.故答案为：存在实数对(),x y ，使p xa yb =+.38．±1【详解】若12ke e +与12e ke +共线，则()1212ke e e ke λ+=+因为非零向量1e ，2e 不共线，所以1k k λλ=⎧⎨=⎩，即21k =，所以1k =±，故答案为：±139．0【详解】如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则DF 必经过点E ，则32DF DE =，∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.故答案为：0.40．23-由题设，1133AM OM OA xOA OB OC =-=++，∴11(1)33OM x OA OB OC =+++，又,,,A B C M 共面，∴111133x +++=，可得23x =-.故答案为：23-41．111444OA OB OC ++【详解】由题意OP ()33132132=444434432OB OC OA AN OA ON OA OA OM OA ++=+-=+⨯=+⨯⨯=111444OA OB OC ++故答案为：111444OA OB OC ++42．0【详解】设E 为BC 的中点，则12BC BE =，又G 为BCD △的重心，则32DG DE =，所以()()130.22AB BC DG AD AB BE DE AD AB BE AD DE AE AE +--=+--=+-+=-=43．（1）11AB BA AA +=．（2）111111111AB B C C C A B B C C C AC ++=++=．（3）AM BM CB AM MB BC AC --=++=．（4）1102AA AB AM BM AB MA AB BM MA +-=++=++=．44．设1,,AB a AD b AA c ===，∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F A C =，而11A D AD b ==∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-.∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--,∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线.45．证明：（1）,0AC AD m AB m =+≠，∴A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∴E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD km AB k AD m AB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.。
高一数学平面向量的坐标运算及线段的定比分点人教版知识精讲
高一数学平面向量的坐标运算及线段的定比分点人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容平面向量的坐标运算及线段的定比分点【典型例题】[例1] 设两非零向量1e 和2e 不共线（1）若21e e +=，2182e e +=，)(321e e -=，求证：A 、B 、D 三点共线（2）试确定K ，使21e e K +和1e +2e K 共线解：（1）)(3)82()(212121e e e e e e -++++=++=)(621e e +=6=，故//，所以A 、B 、D 三点共线（2）21e e K +和21e K e +共线，则存在λ，使21e e K +)(21e K e +=λ即 )1()(21=-+-e K e K λλ，又由1e 与2e 为不共线向量，则0=-λK 且01=-K λ，解得1±=K[例2] 已知)2,1(=，)2,3(-=（1+-（2）当K 为何值时，b a K +与b a 3-共线解：（1）由)4,2()2,3()2,1(-=-+=+)0,4()2,3()2,1(=--=-b a524)2(22=+-=+-40422=+=（2）由)22,3(+-=+K K b a K ，)4,10(3-=-b a010)22()4()3(3//=⋅+--⋅-⇔-+K K b a b a K31-=⇔K 此时)34,310(-=+K 与3-反向共线 [例3] 已知向量)2,12(-++-=y x y x a ，)2,2(-=b（1）若与共线，求x 、y 的值。
（2）若=，求x 、y 的值。
解：（1）由//)12(+-⇔y x 02)2()2(=⋅-+--y x0212=-+++-⇔y x y x 31=⇔x ，y 为任意值R ∈λ（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇔⎩⎨⎧-=-+=+-⇔=313122212y x y x y x b a [例4] 已知)5,4(A ，)2,1(B ，)1,12(C ，)6,11(D ，试求AC 与BD 交点的坐标。
高一向量知识点总结及题型归纳
高一向量知识点总结及题型归纳一、向量的基本概念及表示方法向量是数量和方向共同决定的物理量，常用箭头表示。
记作→AB 或者AB。
二、向量的性质1. 向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同。
2. 零向量：长度为0的向量，记作→0。
3. 负向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量。
4. 平行向量：方向相同或者相反的两个向量。
5. 对于平行向量→a和→b，存在实数k，使得→a=k→b，即两个向量与一个非零实数的乘积仍然是平行的。
6. 共线向量：在同一直线上的向量。
7. 单位向量：长度为1的向量。
三、向量的运算1. 向量的加法：按照三角形法则进行，即把两个向量头尾相连形成一个三角形，以三角形第三个顶点为和向量的起点，起点与末端为和向量的末端。
2. 向量的减法：-→AB=→BA。
即减去一个向量与加上一个负向量的结果。
3. 数乘：即给向量的长度乘以一个实数，得到新的向量。
四、向量的线性运算1. 两个向量的线性组合：使两个向量分别乘上一个实数，然后相加。
2. 线性相关与线性无关：对于向量组V={→a1,→a2,...,→an}，如果存在一组不全为零的数k1,k2,...,kn，使得k1→a1+k2→a2+⋯+kn→an=→0成立，则向量组线性相关；否则，线性无关。
3. 线性组合：对于向量组V={→a1,→a2,...,→an}和一组实数k1,k2,...,kn，V的线性组合即为k1→a1+k2→a2+⋯+kn→an。
五、向量的数量积1. 数量积定义：→a⋅→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。
2. 数量积的性质：- 结合律：(k→a)⋅→b=k(→a⋅→b)=→a⋅。
k→b- 分配律：→a⋅(→b+→c)=→a⋅→b+→a⋅→c- 对于平行向量，→a⋅→b=|→a||→b|六、向量的空间几何意义1. 向量共线：→a与→b共线，当且仅当存在实数k，使得→a=k→b。
2. 向量垂直：→a与→b垂直，当且仅当→a⋅→b=0。
人教版高中数学选择性必修一讲义1.1 空间向量及其运算(精炼)(解析版)
1.1 空间向量及其运算（精炼）【题组一 概念的辨析】1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中:①若向量,a b 共线,则向量,a b 所在的直线平行;②若向量,a b 所在的直线为异面直线,则向量,a b 一定不共面;③若三个向量,,a b c 两两共面,则向量,,a b c 共面;④已知空间的三个向量,,a b c ,则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x,y,z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【正确答案】A【详细解析】平行向量就是共线向量,它们的方向相同或相反,未必在同一条直线上,故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内,故②错,三个向量两两共面,这三个向量未必共面,如三棱锥P ABC -中,,,PA PB PC 两两共面,但它们不是共面向量,故③错．根据空间向量基本定理,,,a b c 需不共面,故④错．综上,选A ．2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）A ．若a b =,则a ,b 的长度相等,方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量,则a b =C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中,一定有AB AD AC +=【正确答案】B【详细解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向相同或相反,所以A 错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B 正确. 对于C,减法结合律指的是()()a b c a b c --=--,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C 错误.对于D 满足AB AD AC +=的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D 错误.综上可知,正确的为B,故选:B3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题:①若空间向量,a b 满足a b =,则a b =;②空间任意两个单位向量必相等;③对于非零向量c ,由a c b c ⋅=⋅,则a b =;④在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中假．命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【正确答案】D 【详细解析】对于①,空间向量,a b 的方向不一定相同,即a b =不一定成立,故①错误;对于②,单位向量的方向不一定相同,故②错误;对于③,取()0,0,0a =,()1,0,0b =,()0,1,0c =,满足0a c b c ⋅=⋅=,且0c ≠,但是a b ≠,故③错误;对于④,因为a b ⋅和b c ⋅都是常数,所以()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅表示两个向量,若a 和c 方向不同则()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅不相等,故④错误.故选:D.4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论:①空间任意两个共起点的向量是共面的;②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量;③空间向量的加法满足结合律:()()a b c a b c ++=++;④首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上:__________.【正确答案】①③④【详细解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,则3点共面,可知两向量共面,①正确; ②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误;③中,空间向量加法满足结合律,③正确;④中,由向量加法的三角形法则可知④正确.故正确答案为:①③④【题组二 空间向量的线性运算】1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点,M N 分别是面对角线A 1B 与B 1D 1的中点,若DA =a ,DC =b ,1DD =c ,则MN =（ ）A ．1()2c b a +- B ．1()2a b c +- C ．1()2a c - D ．1()2c a - 【正确答案】D【详细解析】根据向量的线性运算 11MN MA A N =+ 1111122BA AC =+=()()111111122BA AA A B B C =+++()()1122b c b a =-++- ()12c a =-所以选D 2．（2020·全国高二）在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且2AF FD =,E 为BC 中点,则EF 等于（ ）A ．112223EF AC AB AD =+- B ．112223EF AC AB AD =--+ C ．112223EF AC AB AD =-+ D ．112223EF AC AB AD =-+- 【正确答案】B【详细解析】()1211223223EF EB BA AF AB AC AB AD AC AB AD =++=--+=--+.故选:B 3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示,在空间四边形OABC 中,OA a OB b OC c ==＝，，,点M 在OA 上,且2,OM MA N =为BC 中点,则MN =（ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221b 332a c -+- 【正确答案】B 【详细解析】由向量的加法和减法运算:12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++. 故选:B4．（2020·山东德州.高二期末）如图,平行六面体1111ABCD A B C D -中,AC 与BD 的交点为M ,设AB a =,AD b =,1AA c =,则下列选项中与向量1MC 相等的是（ ）A ．1122a b c --- B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -- D ．1122a b c +- 【正确答案】B【详细解析】如图所示,11MC MC CC =+,12M C C A =,AC AB AD =+,AB a =,AD b =,1CC c =, ()1111121122212MC AB CC AB AD AD b CC a c ∴=++=++++=, 故选:B ．5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图,在空间四边形ABCD 中,E ,M ,N 分别是边BC ,BD ,CD 的中点,DE ,MN 交于F 点,则1122AB AC EF ++=（ ）A ．ADB ．AFC ．FAD ．EM 【正确答案】B【详细解析】E 是边BC 的中点,∴1122AB AC AE +=;∴1122AB AC EF AE EF AF ++=+=; 故选:B ． 6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体1111ABCD A B C D -中,12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++,则实数x,y,z 的值分别为( )A ．1,32,323B ．2,31,323C ．2,32,313D ．2,31,223【正确答案】C【详细解析】12,A M MC =112,3A M AC ∴= ()111,AC AC AA AB AD AA -==+- 1112222,3333A M AC AB AD AA ∴=+-= 111221333AM AA A M AB AD AA +∴=+=+,221333x y z ==∴=，，.故选:C. 7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图,已知空间四边形OABC ,其对角线为,OB AC ,,M N 分别是对边,OB AC 的中点,点G 在线段MN 上,2MG GN =,现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ,设OG xOA yOB zOC =++,则,,x y z 的值分别是（ ）A ．111333x y z ===，， B ．111336x y z ===，， C ．111363x y z ===，， D ．111633x y z ===，， 【正确答案】D 【详细解析】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN =+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=,13y =,13z =故选:D 8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,已知下列各式:①(AB ＋BC )＋CC 1;②(1AA ＋11A D )＋11DC ;③(AB ＋1BB )＋11B C ;④(1AA ＋11A B )＋11B C .其中运算的结果为1AC 的有___个. 【正确答案】4【详细解析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断:①(AB ＋BC )＋1CC ＝AC ＋1CC ＝1AC ;②(1AA ＋11A D )＋11DC ＝1AD ＋11DC ＝1AC ; ③(AB ＋1BB )＋11B C ＝1AB ＋11B C ＝1AC ;④(1AA ＋11A B )＋11B C ＝1AB ＋11B C ＝1AC . 所以4个式子的运算结果都是1AC .故正确答案为:4.9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体ABCD 中,E 、G 分别是CD 、BE 的中点,若记→→=AB a ,AD b →→=,AC c →→=,则AG →=______.【正确答案】111244a b c →→→++ 【详细解析】在四面体ABCD 中,E 、G 分别是CD 、BE 的中点,则AG AB BG →→→=+12AB BE →→=+11()22AB BC BD →→→=+⨯+1()4AB AC AB AD AB →→→→→=+-+-111442AB AC AD AB →→→→=++- 111244AB AD AC →→→=++.故正确答案为:111244a b c →→→++. 10．（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,若点F 是侧面CD 1的中心,且1AF AD mAB nAA =+-则m ,n 的值分别为( )A ．12,－12B ．－12,－12C ．－12,12D ．12,12【正确答案】A 【详细解析】由于11111()222AF AD DF AD DC DD AD AB AA =+=++=++,所以11,22m n ==-.故选:A 【题组三 空间向量的共面问题】1．（2020·涟水县第一中学高二月考）,,,A B C D 是空间四点,有以下条件: ①11OD OA OB OC 23=++; ②111234OD OA OB OC =++; ③111OD OA OB OC 235=++; ④111OD OA OB 236OC =++, 能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______【正确答案】④ 【详细解析】对于④111OD OA OB 236OC =++,1111236++=,由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面,①②③不满足共面定理的条件.故正确答案为:④2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，,且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++,若,,,P A B C 四点共面,则x y z ++=______．【正确答案】1【详细解析】因为,,,P A B C 四点共面,三点A B C ，，不共线,所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--因为OP xOA yOB zOC =++,因为O 是任意一点,故,,OA OB OC 可不共面,所以1,,x m n y m z n =++=-=-,故1x y z ++=.故正确答案为:13．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,有如下关系:623OP OA OB OC =++,则（ ）A ．四点O ,A ,B ,C 必共面 B ．四点P ,A ,B ,C 必共面C ．四点O ,P ,B ,C 必共面D ．五点O ,P ,A ,B ,C 必共面【正确答案】B 【详细解析】因为623OP OA OB OC =++,所以()()23OP OA OB OP OC OP -=-+-, 即23AP PB PC =+,根据共面向量基本定理,可得AP ,PB ,PC 共面,所以,P ,A ,B ,C 四点共面．故选:B ．4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,有如下关系:623OP OA OB OC =++,则（ ）A ．四点O ,A ,B ,C 必共面 B ．四点P ,A ,B ,C 必共面C ．四点O ,P ,B ,C 必共面D ．五点O ,P ,A ,B ,C 必共面【正确答案】B 【详细解析】由已知得111632OP OA OB OC =++,而1111632++=,∴四点P 、A 、B 、C 共面． 故选:B ．5．（2020·四川阆中中学高二月考（理））O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点（ ） A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断 【正确答案】C【详细解析】因为OP =111326OA OB OC ++,且1111326++=,所以,,,A B C P 四点共面. 6．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知A 、B 、C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++B ．111333OM OA OB OC =++ C ．1123OM OA OB OC =++ D ．2OM OA OB OC =--【正确答案】B 【详细解析】若111333OM OA OB OC =++, 故可得1111110333333OM OA OM OB OM OC -+-+-=即1110333AM BM CM ++=, 则AM BM CM =--,故AM AM AB AM AC =-+-+ 整理得1133AM AB AC =+ 又因为,AB AC 共面,故可得,,AM AM AM 共面,而其它选项不符合,即可得,,,A B C M 四点共面.故选:B.7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知O 为空间任意一点,若311488OP OA OB OC =++,则,,,A B C P 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【正确答案】B【详细解析】由若 OP a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅＝ ,当且仅当1a b c ++= 时,P A B C ，，， 四点共面． 311488OP OA OB OC =++ , 而 311 1 488++= 故P A B C ，，， 四点共面,故选B 【题组四 空间向量的数量积】1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图,平行六面体1111ABCD A B C D -中,11AB AD AA ===,1120BAD BAA ∠=∠=︒,160DAA ∠=︒,则1AC =（ ）A ．1B ．2CD 【正确答案】D【详细解析】11AC AB AD AA =++,2221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA ∴=+++⋅+⋅+⋅1111112112112112222⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1AC ∴=故选:D2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图,平行六面体1111ABCD A B C D -中,5AB =,3AD =,17AA =,3BAD π∠=,114BAA DAA π∠=∠=,则1AC 的长为_____．【详细解析】平行六面体1111ABCD A B C D -中,5AB =,3AD =,17AA =,3BAD π∠=,114BAA DAA π∠=∠=,11AC AB BC CC =++,()211221AC AC AB BC CC ==++2221112cos2cos2cos344AB BC CC AB BC BC CC AB CC πππ=+++⋅+⋅⋅+⋅12594925323725798222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+1198AC AC ∴==3．（2020·全国高二课时练习）如图,M N 、分别是四面体OABC 的棱OA BC 、的中点,P Q 、是MN 的三等分点．（1）用向量OA ,OB ,OC 表示OP 和OQ ．（2）若四面体OABC 的所有棱长都等于1,求OP OQ 的值． 【正确答案】（1）111633OP OA OB OC =++,111366OQ OA OB OC =++（2）1336.【详细解析】（1）AB OB OA =-,BC OC OB =- ∴1111()2222MN MA AB BN OA AB BC OA OB OA OC OB =++=++=+-+- 111222OA OB OC =-++121111111232333633OP OM MP OA MN OA OA OB OC OA OB OC∴=+=+=-++=++111111111232666366OQ OM MQ OA MN OA OA OB OC OA OB OC ∴=+=+=-++=++（2）四面体OABC 的所有棱长都等于1,各面为等边三角形,,,,3OA OB OB OC OC OA π∴<>=<>=<>=,OB ,OC111111()()633366OP OQ OA OB OC OA OB OC ∴=++++222111111111++++++1818183636918918OA OB OC OA OB OA OC OB OA OB OC OC OA OC OB =++11111111113++++++18181872721836183636=++= 4.．（2020·全国高二课时练习）如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都等于1,1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =,AB b =,AC c =,用向量a ,b ,c 表示1BC ,并求出1BC 的长度; （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值． 【正确答案】（1）1BC a c b =+-;（2【详细解析】解:（1）111111111BC BB BC BB AC A B a c b =+=+-=+-, 又11cos 11cos602a b a b BAA ⋅=∠=⨯⨯︒=, 同理可得12a cbc ⋅=⋅=, 则221||()2222BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=．（2）因为1AB a b =+, 所以221||()23AB a b a b a b =+=++⋅=,因为211()()1AB BC a b a c b a a c a b ba cb b ⋅=+⋅+-=+⋅-⋅+⋅+⋅-=,所以111111cos ,6||||2AB BC AB BC AB BC ⋅<>===．则异面直线1AB 与1BC5．（2020·全国高二课时练习）如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ︒∠=∠=,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________【正确答案】6【详细解析】三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ︒∠=∠=,设棱长为1,则111cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=,1111cos602AB AA ︒⋅=⨯⨯=, 1111cos602AC AA ︒⋅=⨯⨯=. 又11AB AB AA =+,11BC AA AC AB =+-,所以()()1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-22111111*********AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅=+-++-= 而()222111123ABAB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=,()2111BC AA AC AB =+-==所以111111cos 62AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>===⋅. 故正确答案为 6.如图3122所示,在空间四边形OABC 中,OA ,OB ,OC 两两成60°角,且OA ＝OB ＝OC ＝2,E 为OA 的中点,F为BC 的中点,试求E ,F 间的距离．图3122【正确答案】2【详细解析】EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝－12OA →＋12OB →＋12OC →,所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝⎛⎭⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝⎛⎭⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2. ∴|EF →|＝2,即E ,F 间的距离为 2.7.如图,已知线段AB ⊥平面α,BC ⊂α,CD ⊥BC ,DF ⊥平面α,且∠DCF ＝30°,D 与A 在α的同侧,若AB ＝BC ＝CD ＝2,求A ,D 两点间的距离．【正确答案】22【详细解析】∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →,∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD →＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8,∴|AD →|＝22,即A ,D 两点间的距离为2 2.。
1.1 空间向量及运算(精讲)(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一
1.1空间向量及运算（精讲）考点一空间向量概念辨析【例1-1】（2023湖南）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足a b = ，则a b = ；④若空间向量,,m n p 满足,m n n p == ，则m p = ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.【例1-2】（2023·黑龙江哈尔滨）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量；④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量．正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE = 与1OA +12OD OF = 不是一对相反向量，错误；②OB -11OC C B = 与OC -11OB B C = 不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++ 是一对相反向量,正确；④OC -OA AC = 与OC 1-111OA AC = 不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个故选：A【一隅三反】1.（2023·山东济南）下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．方向相反的两个向量是相反向量B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量,AB CD 满足AB CD > ，则AB CD > D ．相等向量其方向必相同【答案】D【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A 错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B 错误；向量不能比较大小，故C 错误；相等向量其方向必相同，故D 正确；故选：D.2．（2023·山东潍坊）（多选）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB AD AA ===，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（）A ．单位向量有8个B ．与AB相等的向量有3个C ．与1AA 的相反向量有4个D ．向量11111,,A D A B CC 共面【答案】ABC【解析】由题可知单位向量有11111111,,,,,,,AA A A BB B B CC C C DD D D 共8个，故A 正确；与AB 相等的向量有1111,,A B D C DC共3个，故B 正确；向量1AA 的相反向量有1111,,,A A B B C C D D 共4个，故C 正确；因为11CC AA = ，向量11111,,A D A B AA 有一个公共点1A ，而点111,,A B D 都在平面1111D C B A 内，点A 在平面1111D C B A 外，所以向量11111,,A D A B CC不共面，故D 错误.故选：ABC.3．（2022·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______.①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②a b = 是向量a b = 的必要非充分条件；③向量a 、b 相等的充要条件是a b a b⎧=⎪⎨⎪⎩ ④若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB DC = 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.【答案】②④【解析】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误；根据相等向量的概念可知，若a b = ，则a b = ，但a b = ，有可能a 、b 的方向不同，故a b = 是向量a b=的必要非充分条件，②正确；当a 、b 为相反向量时，显然满足a b a b⎧=⎪⎨⎪⎩ ，故③错误；因为A 、B 、C 、D 是不共线，所以由AB DC = ，可知AB DC =且AB DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则由平行四边形的性质可得AB DC = ，故④正确.故答案为：②④考点二空间向量的线性运算【例2-1】（2023·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是BC 、1CC 的中点，G 为ABC 的重心，则GF = （）A ．1121332AB AC AA -++ B ．1121332AB AC AA ++ C ．1211332AB AC AA -+- D ．1121332AB AC AA -+ 【答案】A【解析】由题意可得：GF GE EF =+u u u r u u u r u u u r 11213AE BC =+u u u r u u u u r 11)()11(322AB AC BC BB =+++⨯u u u r u u u r u u u r u u u r 1111()662AB AC AC AB BB =++-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1121332AB AC BB =-++u u u r u u u r u u u r 1121332AB AC AA =-++u u u r u u u r u u u r .故选：A.【一隅三反】1．（2023春·高二单元测试）若,,,A B C D 为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（）A ．22AB BC CD DC+++ B ．2233AB BC CD DA AC++++ C ．AB DA BD++ D ．AB CB CD AD-+- 【答案】A【解析】对于A ，()()()22AB BC CD DC AB BC BC CD CD DC AC BD +++=+++++=+ ；对于B ，()()223323330AB BC CD DA AC AB BC CD DA AC AC CA ++++=++++=+= ；对于C ，0AB DA BD DA AB BD DB BD ++=++=+= ；对于D ，()()0AB CB CD AD AB AD CD CB DB BD -+-=-+-=+= .故选：A.2．（2023北京）已知正方体ABCD A B C D -''''，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF 等于（）．A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++ D ．111366AA AB AD '++ 【答案】D 【解析】如图所示，由于12AF EF =，故13AF AE = ，AE AA A E ''=+ ，12A E A C '''= ，A C A D A B ''''''=+ ，A D AD ''= ，A B AB ''= ，∴11111()32363AA AF AE A C AA A B A D ⎛⎫''''''''=+=++ ⎪⎝=⎭ ()1113611366AA AB AA AB AD AD '=++'=++ ，故选：D ．3．（2023春·广东广州）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.(1)1CB BA + ；(2)112AC CB AA ++ ；(3)111122AA B B AC CB --- .【答案】(1)11CB BA CA += ，图中表示见解析(2)112AC CB AA AM ++= ，图中表示见解析(3)1111122AA B B AC CB BA ---= ，图中表示见解析【解析】（1）解：11CB BA CA += .（2）解：因为M 是1BB 的中点，所以112BM BB = ，又11AA BB = ，所以112AC CB AA AB BM AM ++=+= .（3）解：111122AA B B AC CB ---()()111112AA BB AC CB AA AB BA =+-+=-= 考点三空间向量的共线共面问题【例3-1】（2023·山东）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =- ，则一定共线的三点是（）A ．、、AB CB ．BCD 、、C ．A B D 、、D ．A C D 、、【答案】C【解析】567224BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+ 2(2)2a b AB =+=，又AB 与BD 过同一点B ，∴A 、B 、D 三点共线．故选：C ．【例3-2】（2023云南）下列条件能使点M 与点,,A B C 一定共面的是（）A ．OM OA OB OC =-- B ．OM OA OB OC =++ C ．12OM OA OB OC =--+ D ．3OM OA OB OC=--+ 【答案】D 【解析】设OM xOA yOB zOC =++ ，若1x y z ++=，则点,,,M A B C 共面．对于A ，OM OA OB OC =-- ，由于11111--=-≠，故A 错误；对于B ，OM OA OB OC =++ ，由于11131++=≠，故B 错误；对于C,12OM OA OB OC =--+ ，由于1311122--+=-≠，故C 错误；对于D ，3OM OA OB OC =--+ ，由于1131--+=，得,,,M A B C 共面，故D 正确.故选：D.【例3-3】（2023春·江苏宿迁）已知向量1e ，2e 不共线，12AB e e =+ ，1228AC e e =+ ，1235AD e e =- ，则（）A ．AB 与AC 共线B ．AB 与CD 共线C ．A ，B ，C ，D 四点不共面D ．A ，B ，C ，D 四点共面【答案】D【解析】对于A ，1128≠ ，∴不存在实数λ，使得AB AC λ= 成立，∴AB 与AC 不共线，A 错误；对于B ， 1228AC e e =+ ，1235AD e e =- ，∴1213CD AD AC e e =-=- ，又11113≠-，∴不存在实数λ，使得AB CD λ= 成立，∴AB 与CD 不共线，B 错误；对于C 、D ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则有1212(2)(8)35AD xAB y AC x y e x y e e e =+=+++=- ，2385x y x y +=⎧∴⎨+=-⎩，即17343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故17433AD AB AC =- ，故A ，B ，C ，D 四点共面，C 错误，D 正确.故选：D.【一隅三反】1．（2023·江苏）满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是()A ．AB BC AC+= B ．AB BC AC -= C ．AB BC= D ．AB BC = 【答案】C 【解析】对于空间中的任意向量，都有AB BC AC += ，说法A 错误；若AB BC AC -= ，则AC BC AB += ，而AC CB AB += ，据此可知BC CB = ，即,B C 两点重合，选项B 错误；AB BC = ，则A 、B 、C 三点共线，选项C 正确；AB BC = ，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有A 、B 、C 三点共线，选项D 错误；本题选择C 选项.2．（2023春·辽宁鞍山）在下列条件中，能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A ．2OM OA OB OC=-- B ．111532OM OA OB OC =++ C ．0MA MB MC ++= D ．0OM OA OB OC +++= 【答案】C 【解析】空间向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++ ，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=；对于A ，因为21101--=≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面；对于B ，因为11131153230++=≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面；对于C ，MA MB MC =-- ，则MA ，MB ，MC 为共面向量，所以M 与A ，B ，C 一定共面；对于D ，因为0OM OA OB OC +++= ，所以OM OA OB OC =--- ，因为11131---=-≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面．故选：C ．3．（2023春·甘肃）下面关于空间向量的说法正确的是（）A ．若向量,a b 平行，则,a b 所在直线平行B ．若向量,a b 所在直线是异面直线，则,a b 不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB ，CD 不共面D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB ，AC ，AD 不共面【答案】D【解析】向量,a b 平行，,a b 所在直线可以重合，也可以平行，A 错误；可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC 错误；显然AB ，AC ，AD 是空间中有公共端点A ，但不共面的三条线段，所以向量AB ，AC ，AD 不共面，D 正确.故选：D4．（2023春·上海闵行）已知、、A B C 是空间中不共线的三个点，若点O 满足230OA OB OC ++= ，则下列说法正确的一项是（）A ．点O 是唯一的，且一定与、、ABC 共面B ．点O 不唯一，但一定与、、A BC 共面C ．点O 是唯一的，但不一定与、、A B C 共面D ．点O 不唯一，也不一定与、、A B C 共面【答案】A【解析】由空间向量的知识可知,,a b c 共面的充要条件为存在实数,x y ，使a xa yb =+r r r ，因为230OA OB OC ++= ，所以23OA OB OC =--u u u r u u u r u u u r ，所以,,OA OB OC 共面，所以,,,O A B C 四点共面，因为230OA OB OC ++= ，所以()()+20OA OC OB OC ++= ，点O 唯一.故选：A.考点四数量积【例4-1】（2023·北京通州）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，1AA =1AD =60BAD ∠=︒，145BAA ∠=︒，AC 与BD 相交于点O .(1)求AB AD ⋅ ；(2)求1DAA ∠；(3)求1OA 的长.【答案】(1)4；(2)4π；【解析】（1）cos 42cos 604AB AD AB AD BAD ⋅=∠=⨯⨯︒= .（2）因为1111ABCD A B C D -为平行六面体，所以四边形11AA DD 为平行四边形，11A D ∥AD ，112A D AD ==，在三角形11AA D 中，1AA =，112AD =，1AD =所以11cos2D A A ∠==-，所以1134D A A π∠=，又11A D ∥AD ，所以14DAA π∠=.（3）由题意知，111122OA AB AD AA =--+ ，则22221111111114184244222OA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅-⋅-⋅=+++⨯⨯⨯4222-⨯⨯3=，所以1OA = 【一隅三反】1．（2023黑龙江）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160DAB A AD ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=，点M 棱11D C 上，且11112D M D C =.(1)用1AA ，AD ，AB 表示BM ；(2)若BD AN ⊥，求λ；(3)若23λ=，求证：//BM 平面1ANB .【答案】(1)112AB AD AA -++1(3)证明见解析【解析】（1）解：11BM BA AD DD D M =+++ 112AB AD AA AB =-+++ 112AB AD AA =-++ 即112BM AB AD AA =-++ （2）解：因为BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴111()()BD AN AD AB AA A D λ⋅=-⋅+ 1()()AD AB AA AD λ=-⋅+1111cos 60cos30cos 60022AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλ=⋅+⋅-⋅-⋅=︒+-︒-︒== ．1λ∴．（3）解：过点N 作11//NG A B ，交11B C 于点G ，连接,BG MG ，则//BG AN ，BG ⊄平面1ANB ，AN ⊂平面1ANB ，所以//BG 平面1ANB ，因为11123A N A D =，令113A D =，则12A N =，132MC =，11GC =，所以11111A N GC A B MC =，所以111A NB GM C ∽，所以111C MG A B N ∠=∠，又1C MG MGN ∠=∠，111B NG A B N ∠=∠，所以1B NG MGN ∠=∠，所以1//MG B N ，MG ⊄平面1ANB ，1NB ⊂平面1ANB ，所以//MG 平面1ANB ，因为BG MG G = ，,BG MG ⊂平面BMG ，所以平面//BMG 平面1ANB ，BM ⊂平面BMG ，所以//BM 平面1ANB；2．（2023·福建）如图，正四面体V ABC -的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M.（1）求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；（2）求,DM AO .【答案】（1）证明见解析；（2）π4.【解析】设VA a = ，VB b = ，VC c = ，正四面体的棱长为1，（1）因为()()211323VD VB BD VB BA BC VB VA VB VC VB =+=+⨯+=+-+- ()()1133VA VB VC a b c =++=++ ，()()1115266AO VO VA VD VA a b c a b c a =-=-=++-=+- ，()()1115266BO VO VB VD VB a b c b a c b =-=-=++-=+- ，()()1115266CO VO VC VD VC a b c c a b c =-=-=++-=+- ，所以()()()211551893636AO BO b c a a c b a b a ⋅=+-⋅+-=⋅- 1π1811cos 90363⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AO BO ⊥ ，即AO BO ⊥.同理，AO CO ⊥，BO CO ⊥，所以AO ，BO ，CO 两两垂直.（2）()()11122326DM DV VM a b c c a b c =+=-+++=--+ ，所以12DM === ，又AO == ()()211111225996636364DM AO a b c b c a a ⋅=--+⋅+-=⨯=⨯= ，所以14cos ,2DM AO DM AO DM AO ⋅===⋅ ，又,[0,π]DM AO ∈ ，所以π,4DM AO = .3．（2023·吉林延边）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，1160A AD A AB ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a = ，AD b = ，1AA c = ．（1）用a ，b ，c 表示BM ．（2）求BM 的长．（3）求BM 与AC 所成角的余弦值．【答案】（1）1()2BM c b a =+- ；（2）2；（3）23【解析】（1）由题意得1111111111111()()222BM BB B M AA B D AA A D A B c b a =+=+=+-=+-（2）因为90DAB ∠=︒，所以0a b ⋅= ，1cos ,1212a c a c a c ⋅=<>=⨯⨯= ，1cos ,1212b c b c b c ⋅=<>=⨯⨯=所以1122BM c b =+-=2=（3）AC a b =+，所以AC a b =+==所以cos ,BM AC BM AC BM AC ⋅<>= 2211112222233c a c b b a b a b a ⋅+⋅+⋅+--⋅== ，所以BM 与AC 所成角的余弦值为23。
1.4 空间向量应用(精讲)(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一
1.4空间向量的应用（精讲）考点一直线的方向向量【例1-1】（2023春·江西）若)1,0(,2P -，()3,1,1Q 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（）A ．()1,2,3B ．()1,3,2C ．()2,1,3D ．()3,2,1【答案】C 【解析】依题意，直线l 的一个方向向量为3111( )( )( 0 21)23PQ -=-= ，，，，，，，其他三个均不合要求.故选：C ．【例1-2】（2022秋·高二单元测试）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，且直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，则a b +=（）A ．0B ．1C ．32D ．3【答案】D 【解析】因为直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，所以()1,2,3AB a b =--- ，又直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，所以//AB m ，所以AB m λ= ，所以()()1,2,32,,3a b λλλ---=-，所以21233a b λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，解得123232a b λ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以3a b +=.故选：D 【一隅三反】1．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】由题知：()1,2,3AB y z =--- ，因为//m AB ，所以213123y z -==---，解得33,22y z ==，所以0y z -=.故选：A2（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知点()1,1,2M ---，()2,2,1N 都在直线l 上，写出一个直线l 的方向向量：a = .【答案】()3,3,3(答案不唯一)【解析】()3,3,3MN = ，因为点()1,1,2M ---，()2,2,1N 都在直线l 上，所以()()3,3,3R,0tMN t t t =∈≠ 都是直线l 的方向向量，则可取()3,3,3a = .故答案为：()3,3,3.3．（2022·高二课时练习）若向量(,2,1)a x =- ，(1,,2)b y =- 都是直线l 的方向向量，则x y +=．【答案】92-/ 4.5-【解析】因为a ，b 都是直线l 的方向向量，所以//a b ．因此2112x y -==-，解得142x y =-=-，，所以92x y +=-．故答案为：92-.考点二平面的法向量【例2-1】（2023广东湛江）已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（）A ．()1,1,1-B ．()1,1,1-C ．()1,1,1D ．()1,1,1-【答案】C【解析】因为()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C ，所以()()1,1,0,1,0,1AB AC =-=- ，设平面ABC 的一个单位法向量为(),,n x y z = ，则00AB n x y AC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可得x y z ==，经检验，仅()1,1,1符合题意．故选：C ．【例2-2】（2022·高二课时练习）四边形ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠= ，SA ⊥平面ABCD ，2SA AB BC ===，1AD =，建立适当的空间直角坐标系，并求平面SAB 和平面SCD的法向量．【答案】作图见解析，(1,0,0)AD = 是平面SAB 的一个法向量，(2,1,1)n =- 是平面SCD 的一个法向量．【解析】因为，SA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,SA A S B A A D⊥⊥又90ABC ∠= ，//AD BC ，所以AB AD⊥所以以A 为原点，以AD ，AB ，AS 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,0,2)A D C S ，所以(1,0,0)AD = 是平面SAB 的一个法向量．因为(2,2,2)SC =- ，(1,0,2)SD =- 设平面SCD 的一个法向量(,,)n x y z = ，则22202220n SC x y z x y x z n SD x z ⎧⋅=+-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=-=⎩⎪⎩，取1z =，得2,1x y ==-，所以(2,1,1)n =- 是平面SCD 的一个法向量．【一隅三反】1．（2023云南）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，ADPCD 的一个法向量.【答案】(01,【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz ，则P (0，0，1)，C (10)，所以PC ＝(11)即为直线PC 的一个方向向量.设平面PCD 的一个法向量为n＝(x ，y ，z ).因为D (00)，所以PD ＝(01).则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即00x z z ⎧-=⎪-=令y ＝1，则z0x =，则(n = 所以平面PCD的一个法向量为(n = .2．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6AD =，13AA =，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD ；(2)平面11ACC A ；(3)平面1ACD ．【答案】(1)1(0,0,3)DD = (2)(1,3,0)m = (3)(1,3,2)n = 【解析】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(6,0,0),(0,2,0),(0,0,3),(6,0,3),(0,2,3)D A C D A C ，所以1(0,0,3)DD = ，因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD为平面ABCD 的一个法向量，所以平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,3)DD = ，（2）设平面11ACC A 的法向量为(,,)m x y z = ，因为1(6,2,0),(0,0,3)AC AA =-= ，所以162030m AC x y m AA z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，则(1,3,0)m = ，所以平面11ACC A 的一个法向量为(1,3,0)m = ，（3）设平面1ACD 的法向量为(,,)n a b c =，因为1(6,2,0),(6,0,3)AC AD =-=- ，所以1620630n AC a b n AD a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1a =，则(1,3,2)n = 所以平面1ACD 的一个法向量为(1,3,2)n = 3．（2023山东）如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝AD ＝DC ，底面ABCD 为正方形，E为PC 的中点，点F 在PB 上，问点F 在何位置时，PB 为平面DEF 的一个法向量?【答案】F 为线段PB 的一个三等分点（靠近P 点）．【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设DA ＝2，则0,0,0,0,0,2,0,2),()(),001,1,2,,(),()2(0D P C E B ，∴(2,2,2)PB =- ，(0,1,1)DE = ,∵()2021210PB DE ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，∴PB DE ⊥ ，设(,,)F x y z ，PF PB λ= ，∴(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，，，∴(2,2,22)F λλλ-，∴2,2,22.()DF λλλ=- ∵PB DF ⋅ ＝0，∴()442220λλλ+--=，∴13λ=，∴F 为线段PB 的一个三等分点(靠近P 点)．考点三空间向量证平行【例3-1】（2023·北京）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=- ，则l //αC ．若两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =- ，则//αβD ．若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，则1u t +=【答案】ACD【解析】因为两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，所以a b =- ，所以,a b 共线，又直线1l ，2l 不重合，所以12//l l ，故A 正确；因为直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=- 且53a μ=- ，所以l α⊥，故B 不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =- ，则有212n n =- ，所以//αβ，故C 正确；平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，所以()(),,1,1,11,1,0B B A C --== 又向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，所以1111010100AB n AB n u t u BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⊥=⎩⎪⎪⎩⎩ 则1u t +=，故D 正确，故选：ACD.【例3-2】（2023·上海）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ⊥底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：//CE 平面PAB.【答案】证明见解析【解析】】因为在底面ABCD 内，π2BAD ABC ∠==∠，所以//BC AD ，连接OC ，因为O 为AD 的中点，12BC AD =，所以BC AO =，所以四边形ABCO 是平行四边形，所以OC //AB ，又因为π2BAD ∠=，所以OC AD ⊥，因为PO ⊥底面ABCD ，,OC AD ⊂底面ABCD ，所以,PO OC PO AD ⊥⊥，所以以O 为原点，分别以,,OC OD OP 为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系，因为侧面PAD 为等边三角形，112AB BC AD ===，所以()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C，(P ，()0,1,0D ，因为E 是PD的中点，所以10,22E ⎛ ⎝⎭，所以11,22CE ⎛=- ⎝⎭ ，()1,0,0AB =，(AP = ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0AB n x AP n y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩ ，令1z =，得()0,n = ，因为0022CE n == ，所以CE n ⊥ ，又因为CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB .【例3-3】（2023·广西）如图所示，正四棱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F ．求证：平面//BDE 平面11B D F.【答案】证明见解析【解析】以A 为原点，AB ，AD ，1AA所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则(1B ,0,0)，(0D ,1,0)，(0E ,0,2)，1(1B ,0,4)，1(0D ,1,4)，(1F ,1,2)，1(0,1,2)DE FB ==- ，1//DE FB ∴，同理11//BD B D ，DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，BD ⊄ 平面11B D F ，11B D ⊂平面11B D F ，//BD ∴平面11B D F ，又,,DE BD D DE BD ⋂=⊂平面BDE∴平面BDE 与平面11B D F 平行．【一隅三反】1．（2023·福建福州）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC .,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB .【答案】证明见解析【解析】如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N ，若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =- ，因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD PA ⊥，又因为AD AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD = ，所以0MN AD ⋅= ，即AD MN ⊥，又因为MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .2．（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，12AA =，F 是棱AB 的中点．求证：平面11//AA D D 平面1FCC .【答案】证明见解析【解析】因为4,2AB BC CD ＝＝＝，F 是棱AB 的中点，所以BF BC CF ==，所以BCF △为正三角形.因为ABCD 为等腰梯形，4,2AB BC CD ＝＝＝，所以60BAD ABC ∠=∠= .取AF 的中点M ，连接DM ，则DM AB ⊥，所以DM CD ⊥.以D 为原点，1,,DM DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()112,,),,0,0,00,0,21,00),1,0,2,00,2,D D A F C C ，所以()1002D ,,D ＝，)1,0DA =- ，)1,0CF =- ，()10,0,2CC = ，所以11//DD CC ，//D C A F ，又11,DD CC 不重合，,DA CF 不重合，所以11//DD CC ，//DA CF ，因为1,CC CF ⊂平面1FCC ，1,DD DA ⊄平面1FCC ，所以1//DD 平面1FCC ，//DA 平面1FCC ，又1DD DA D ＝，1,DD DA ⊂平面11AA D D ，所以平面11//AA D D 平面1FCC 考点四空间向量证垂直【例4-1】（2023·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1DD BD 、的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：1EF B C ⊥．【答案】证明见详解【解析】证明：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体棱长为1，,E F 分别是1DD BD 、的中点，所以()()()()111,1,1,0,1,0,0,0,,1,1,0,0,0,02B C E B D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1111,,,1,0,1222EF B C ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ，由()()11111010222EF B C ⎛⎫⋅=⨯-+⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭ ，所以1EF B C ⊥ ，即1EF B C ⊥.【例4-2】（2023山西）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1B C 的中点.证明：(1)平面1//A BD 平面11B CD ；(2)MN ⊥平面1A BD .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()12,0,2A ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()10,0,2D .设平面1A BD 的法向量为(),,m x y z = ，∵()12,0,2DA = ，()2,2,0DB = ，()112,2,0D B = ，()10,2,2D C =- ，∴1220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，∴令=1x -，则()1,1,1m =- ，设平面11B CD 的法向量为(),,n a b c = ，∴111220220n D B a b n D C b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，∴令1a =-，则()1,1,1n =- ，∴//m n u r r ，∴平面1//A BD 平面11B CD.（2）∵M ，N 分别为AB ，1B C 的中点，∵()2,1,0M ，()1,2,1N ，∴()1,1,1MN =- ，∴//MN m ，∴MN ⊥平面1A BD .【例4-3】（2023新疆）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 和侧面11AA B B 都是正方形且互相垂直，M 为1AA 的中点，N 为1BC 的中点.求证：(1)//MN 平面111A B C ；(2)平面1MBC ⊥平面11BB C C .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）由题意，知1,,AA AB AC 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以1,,AA AB AC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形11AA C C 的边长为2，则()000A ，，，1(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,2,0)B ，(0,0,2)C ，1(2,0,2)C ，(1,0,0)M ，(1,1,1)N .由题意知111AA A B ⊥，111AA A C ⊥，又因为11111A C A B A = ，1111,A C A B ⊂平面111A B C ，所以1AA ⊥平面111A B C .因为1(2,0,0)AA = ，(0,1,1)MN = ，所以10MN AA = ，即1MN AA ⊥.又因为MN ⊄平面111A B C ，故//MN 平面111A B C .（2）设平面1MBC 与平面11BB C C 的法向量分别为1111(,,)n x y z = ，1222(,,)n x y z = .因为(1,2,0)MB =- ，1(1,0,2)MC = ，所以111·0·0n MB n MC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即11112020x y x z -+=⎧⎨+=⎩，令12x =，则平面1MBC 的一个法向量为1(2,1,1)n =- .因为1(2,0,0)BB = ，11(0,2,2)B C =- 可得21211·0·0n BB n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即22220220x y z =⎧⎨-+=⎩，令21y =，则平面11BB C C 的一个法向量为2(0,1,1)n = .因为122011(1)10n n =⨯+⨯+-⨯= ，所以12n n ⊥ ，所以平面1MBC ⊥平面11BB C C .【一隅三反】1．（2023春·高二课时练习）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒.求证：1AB AC ⊥.【答案】证明见解析.【解析】因为1AA ⊥平面90ABC BAC ∠=︒，，AB ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥AB ，AB AC ⊥，因为11AC AA AC =+ ，所以()1110AC AA AC AB AB AB AC AB AA ⋅=+⋅=⋅+⋅= ，所以，1AB AC ⊥ ，即1AB AC ⊥.2．（2022·高二课时练习）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，224AB AD CD ===，AD CD ⊥，//AB CD ，M 为CE 的中点．(1)求证：//BM 平面ADEF ；(2)求证：BC ⊥平面BDE ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）解法一：证明：取DE 中点N ，连结AN ，MN ，由三角形中位线性质可得//MN CD 且12MN CD =，又因为//AB CD 且12AB CD =，所以//MN AB 且MN AB =，所以ABMN 是平行四边形，所以//BM AN ，又AN ⊂平面ADEF ，BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ．解法二：证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，又DC ⊂平面ABCD ，所以DE DC ⊥．如图，以D 为原点，以DA ，DC ，DE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()2,2,00,4,00,0,00,0,20,2,1B C D E M ，，，，．因为(2,0,1)BM =- ，易知(0,1,0)n =' 为平面ADEF 的一个法向量．因此0BM n '⋅= ，所以BM n '⊥ ．又BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ．（2）解法一：证明：因为BD =，BC =4CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥．因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以DE BC ⊥．又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ．解法二：由（1）可得(2,2,0)DB = ，(0,0,2)DE = ，(2,2,0)BC =- ．设平面BDE 的一个法向量(,,)n x y z =，则22020n DB x y n DE z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得10y z =-=，，所以(1,1,0)=- n 是平面BDE 的一个法向量．因此2BC n =- ，所以BC ⊥平面BDE ．考点五空间角【例5-1】（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值.【答案】(1)见详解【解析】（1）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD所以PA BD ⊥，又PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（2）设AC BD O＝因为60,2BAD PA AB ∠=︒==，所以1,BO AO CO ==以O 为坐标原点,射线,OB OC 分别为x 轴,y 轴的正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图：则(0,2),(0,(1,0,0),P A B C ，所以2),(0,PB AC =-= ，设PB 与AC 所成角θ，所以cos ||PB AC PB AC θ⋅= ‖4=，即PB 与AC【例5-2】（2023黑龙江）如图所示，在直角梯形ABCD 中，,,2BC AD AD CD BC ⊥=∥，3,AD CD ==边AD 上一点E 满足1DE =.现将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，如图所示.(1)求证：1A C BE ⊥；(2)求1A E 与平面1ACD所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)7【解析】（1）证明：在图1中，连接CE ，因为AD CD ⊥，故2CE ===，2BE ===,2AE AD DE =-=,2AB ===；∴四边形ABCE 为菱形，连接AC 交BE 于点O ，则AC BE⊥∴在图2中，111,,,,AO BE OC BE AO OC O AO OC ⊥⊥⋂=⊂平面1AOC ，BE ∴⊥平面1AOC ，1AC ⊂平面1AOC ，1BE A C ∴⊥，即1A C BE ⊥.（2） 平面1A BE ⊥平面BCDE ，面1A BE Ç面BCDE BE =，1AO ⊂平面1A BE 且1AO BE ⊥，1AO ∴⊥平面BCDE ，OC ⊂Q 平面BCDE ，1A O OC ∴⊥，即1,,OB OC OA 两两垂直，以1,,OB OC OA分别为x 轴､y 轴､z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(()()13,,,1,0,02A C D E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，((111,1,0,,2A C A E A E ==-=，3,2CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =r ，则103022n AC n CD x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令1x =-，则(n =-，n = 设1A E 与平面1ACD 所成的角为θ，π[0,2θ∈，故1117sin cos ,A E n A E n A E nθ⋅=〈〉=== ，cos 7θ∴=，1A E ∴与平面1ACD 所成角的余弦值为7.【例5-3】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，正四棱锥P ABCD-的体积为83，点M 为PC 的中点，点N 为BD 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求二面角P BM N --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)15【解析】（1）在正四棱锥P ABCD -中，连接AC ，四边形ABCD 为正方形∴AC BD N ⋂=N ∴为AC 的中点又 点M 为PC 的中点∴MN 为APC △的中位线∴//MN AP又 MN ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，∴//MN 平面PAD .（2）以N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -，如图所示，因为正四棱锥P ABCD -的体积为83，所以正四棱锥P ABCD -的体积182233PN =⨯⨯⨯=，所以2PN=()()(0,0,2),,,2P C B M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(),,0,2BM BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，(),,2BM NB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ,设平面BMP 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则1100n BM n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110220x z z ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩，令11z =，则11x y ==所以1(n = .设平面BMN 的一个法向量为2222(,,)n x y z = ,则2200n BM n NB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x z ⎧-+=⎪=，令2z =222,0x y ==，所以2(2,n = .设二面角P BM N --的所成的角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 所以二面角P BM N --的余弦值为【一隅三反】1．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面ABC 为等边三角形，D 为弧AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AB 和DE 所成角的余弦值为（）A ．23B ．3C ．4D ．14【答案】C 【解析】解法一：如图1，取AC 中点F ，连接,EF DF ，O 为AB 的中点，连接,,,OD CO OE OF ，易知CO ⊥底面OAB ，因为CO ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥底面OAB .又平面ABC ⋂底面OAB AB =，⊥DO AB ，所以DO ⊥平面ABC .因为EO ⊂平面ABC ，所以DO OE ⊥.同理可得，DO OF ⊥.设底面半径为r ，EF r =，DE DF ===.因为,E F 分别为,CB CA 的中点，所以//EF AB ，则在DEF 中，DEF ∠或其补角等于异面直线AB 和DE 所成的角.所以222cos24DE EF DF DEF DE EF +-∠==⋅.解法二：如图2，O 为AB 的中点，连接,OD CO ，易知CO ⊥底面OAB ，因为CO ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥底面OAB .又平面ABC ⋂底面OAB AB =，⊥DO AB ，所以DO ⊥平面ABC .以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()1,0,0D，10,,22E ⎛ ⎝⎭，所以()0,2,0AB =，11,2DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，记所求角为θ，则cos 4AB DE AB DEθ⋅=⋅ .故选：C.2．（2023春·河南焦作·高二统考期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,8AB AA AD ===，1A D 交1AD 于点O．(1)证明：//BO 平面11B CD ；(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】（1）证明：如图所示，连接1,A B BD ，因为11//BC A D 且11BC A D =，所以四边形11BCD A 为平行四边形，所以11//A B CD ，又因为1CD ⊂平面11B CD ，1A B ⊂/平面11B CD ，所以1//A B 平面11B CD ，同理可证11//BD B D ，且BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，因为1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD ，又因为BO ⊂平面1A BD ，所以//BO 平面11B CD ．（2）解：以A 为坐标原点，直线1,,AB AD AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()14,0,4B ，()4,8,0C ，()10,8,4D ，所以()4,0,0AB = ，()10,8,4B C =- ，()114,8,0B D =- ．设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z = ，则111840480n B C y z n B D x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取1y =，可得2,2x z ==，所以平面11B CD 的一个法向量为()2,1,2n = ，设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ，则4201022sin cos ,433AB n AB n AB nθ⋅⨯+⨯+⨯====⨯ ，故直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值为23．3．（2023春·江苏南通·高二统考阶段练习）如图，三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，线段BC 的中点为M ，AB AC =，且AB AC ⊥.(1)证明：BC ⊥平面PAM ；(2)若2AC =，4AP =，求二面角A PC B --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】（1）法一：在ABC 中，AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以AM BC ⊥,因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥．因为AM ⊂平面AMP ，PA ⊂平面AMP ，AM PM M = ，所以BC ⊥平面PAM ．法二：如图，以{},,AB AC AP为基底建立空间直角坐标系．因为2AB AC ==，4AP =，线段BC 的中点为M ，所以()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,4A B C M P ，所以()()()()()2,2,,0,0,0,4,1,1,0,2,0,0,0,2,4BC AP AM AB PC =-====-．设平面PAM 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，由1100n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到11100z x y =⎧⎨+=⎩，解得10z =．令11x =，则11y =-，所以()11,1,0n =- ．易知，平面PAC 的一个法向量为()22,0,0n =，设平面PBC 的一个法向量为()3,,n x y z = ，则由3300n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到220240x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取2,1x y z ===，所以()32,2,1n = ．又因为()()11,1,0,2,2,0n BC =-=-，所以1//n BC ，所以BC ⊥平面PAM（2）在APC △中，过点A 作AD PC ⊥，垂足为D ，连接BD，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥,又因为AB AC ⊥，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，AC PA A ⋂=，所以BA ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以BA PC ⊥．又因为AD PC ⊥，AB ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，AB AD A ⋂=，所以PC ⊥平面ABD ，所以,PC AD PC BD ⊥⊥，所以ADB ∠为二面角A PC B --的平面角，在Rt PAC △中，2AC =，4AP =，所以PC =2PAC S PA AC AD PCPC ⨯== ．同理，在Rt BAD中，BD =所以2cos 3AD ADB BD ∠===．所以二面角A PC B --的余弦值23．法二，设二面角A PC B --的平面角为θ，则θ为锐角，则23232342cos cos ,233n n n n n n θ⋅=<>===⨯ ，所以二面角A PC B --的余弦值23．考点六空间距离【例6-1】（2023春·江苏淮安·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（）ABC．2D．4【答案】D【解析】如图建立空间直角坐标系，则()()10,0,1,0,1,0,1,,02P D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()10,1,1,1,,02PD DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，所以12,24DE PD DE PD PD -⋅==-，所以点E 到直线PD.故选：D.【例6-2】（2023·上海）如图是一棱长为1的正方体，则异面直线1A B 与11B D 之间的距离为（）ABC ．12D【答案】B【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，则11(1,1,0)D B = ，1(0,1,1)A B =- ，设(,,)n x y z = 与11D B 和1A B uuu r 都垂直，则11100D B n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00x y y z +=⎧⎨-=⎩，取(1,1,1)n =--r ，又因为11(1,0,0)D A = ，所以异面直线11D B 和1A B间的距离为11D A n n⋅== 故选：B.【例6-3】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为1BB的中点．(1)求点D 到平面1AD E 的距离为d ；(2)求1BC 到平面1AD E 的距离．【答案】(1)43(2)23【解析】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴如图建立空间直角坐标系，则()()()()()1200,220,000,002,2,2,1A B D D E ，，，，，，，，，所以()()1021202AE AD ==- ，，，，，，设平面1AD E 的一个法向量为()n x y z = ，，，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令22,1z x y =⇒==-，所以平面1AD E 所的法向量为()212n =- ，，，又()1002DD = ，，，所以点D 到平面1AD E的距离143n DD d n ⋅=== .（2）由（1）可得平面1AD E 的法向量为()212n =- ，，，∵()()1220022B C ，，，，，，∴()1202BC =- ，，，()()12210220BC n ∴⋅=⨯-+-⨯+⨯= ，1BC n ∴∴⊥ ，∴1//BC 平面1AD E ，所以1BC 到平面1AD E 的距离可以转化为点B 到平面1AD E 的距离，由()020AB = ，，，所以1BC 到平面1AD E的距离为123n AB d n ⋅=== .【例6-4】（2023秋·高二课时练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则平面11AB D 与平面1BDC 的距离为（）A BC ．3D 【答案】D 【解析】由正方体的性质：1AB ∥1DC ,11D B ∥DB ，1111AB D B B = ，1DC DB D = ，且1AB ⊂平面11AB D ，11D B ⊂平面11AB D ，1DC ⊂平面1BDC ，DB ⊂平面1BDC ，所以平面11AB D ∥平面1BDC ，则两平面间的距离可转化为点B 到平面11AB D 的距离．以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：由正方体的棱长为1，所以()1,0,0A ，()1,1,0B ，()11,0,1A ，()0,1,0C ，()11,1,1B ，()10,0,1D 所以()11,1,1CA =- ，()0,1,0BA =- ，()10,1,1AB = ，()111,1,0B D =-- ．连接1AC ，由()()()1101,1,10,1,1101111C A A B =⨯⋅=-+⋅-⨯+⨯= ，()()()()()11111,1,011111001,,1CA D B --=⨯-⋅+-⨯-+⨯=⋅=- ，所以1111111111,C AB AB B A CA CA B D CA D ⊥⊥⊥⇒⊥⇒ ，且1111AB B D B =I ，可知1CA ⊥平面11AB D ，得平面11AB D 的一个法向量为()11,1,1C n A ==- ，则两平面间的距离：3BA n d n ⋅=== ．故选：D.【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是a ，且AB AD ⊥，1160A AB A AD ∠=∠=︒，E 为1CC 的中点，则点E 到直线1AC 的距离为（）ABCD 【答案】A【解析】 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，不妨设AB d =，AD b =，1AA c =．11AC AB AD AA d b c =++=++,112C E c =-，d b c a ===，2110,22d b d c b c a a a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，所以1AC d b c =++=，112C E a =，()()2111122AC d b c d C E c c a c b c c -=-⋅⋅⋅⋅=+++=-+⋅，所以E 到直线1AC的距离为d ===，故选：A2．（2023·湖南）在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中．平面1AB C 与平面11A DC 之间的距离为（）AB ．1CD 【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则1(1,0,0)A ，1(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，(1,0,1)A ，所以1(1,0,1)DA =- ，1(0,1,1)DC =- ，(1,0,0)AD =- ，设平面11AC D 的一个法向量(,,)m x y z = ，则1100m DA x z m DC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1z =得11x y =⎧⎨=⎩，故(1,1,1)m = ，显然平面1//AB C 平面11A DC ，所以平面1AB C 与平面11A DC之间的距离AD m d m⋅===故选：A3．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是线段1BC 上靠近点B 的一个三等分点，D 是1AC的中点．(1)证明：1A D //平面1AB E ；(2)若16AA AB ==，求点1A 到平面1AB E 的距离．【答案】(1)证明见解析【解析】（1）取线段1C E 的中点G ，连接11,,AG DG A B ，记11A B AB F ⋂=，连接EF ，因为D ，G 分别是1AC ，1EC 的中点，所以//DG AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，DG ⊂/平面1AB E ，所以DG //平面1AB E ，由题意可知四边形11ABB A 是矩形，则F 是1A B 的中点，因为E 是BG 的中点，所以1//EF AG ，因为EF ⊂平面1AB E ，1AG ⊂/平面1AB E ，所以1AG //平面1AB E ，因为1,DG A G ⊂平面1A DG ，且1DG A G G ⋂=，所以平面1A DG //平面1AB E ，因为1A D ⊂平面1A DG ，所以1A D //平面1AB E ；（2）取棱BC 的中点O ，以O 为原点，分别以OB ，AO 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为16AA AB ==，所以1(0,A -，(0,A -，1(3,0,6)B ，(1,0,2)E ，则1(0,0,6)A A =-，1AB = ，1(2,0,4)B E =-- ，设平面1AB E 的法向量为(,,)n x y z =，则11360240n AB x z n B E x z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令2x =，则0,1y z ==-，所以(2,0,1)n =- ，故点1A 到平面1AB E的距离15A A n d n ⋅===．。
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高一数学向量运其运算单元检测人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
向量及其运算单元检测
【模拟试题】
一. 选择题：
1. ABCD 中，化简2-+等于（ ） A. 0
B. 2
C. 2
D. 2
2. 在ABC ∆中，设==,，若2=，则+（用、表示）等于（ ） A. 35-
B. 53+-
C. 35+-
D. 53-
3. )(||||||≠+=-，成立的充要条件是（ ） A. 与不共线 B. 与共线 C. )0(≥=λλ
D. )0(≤=λλ
4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若||||=，则=或-=
B. 若与共线，则存在唯一实数λ，使λ=
C. 若0)()(22=-+-，则==
D. 若0=⋅，则02
2=⋅
5. 把函数)(x f y =的图象按)1,2(-=平移得到函数)1lg(2+=x y 的图象，则)(x f 的解析式是（ ）
A. 1]1)2lg[(2
-++=x y B. 1]1)2lg[(2
-+-=x y C. 1]1)2lg[(2+++=x y
D. 1]1)2lg[(2
++-=x y
6. 已知A 分所成的比为3
2
-
，则B 分所成的比是（ ）。
A. 2 B. 21 C. 2- D. 2
1
-
7. 已知)3,2(),1,(),1,3(C x B A --三点共线，则x 的值等于（ ） A. 7- B. 8- C. 9- D. 10-
8. 已知)3,1(),0,2(),3,0(-C B A ，与AC AB 2+同向的单位向量是（ ） A. （0，1）
B. )1,0(-
C. )1,1(-
D. )1,1(-
9. 已知1||,4||==，a 与b 的夹角为θ，4|2|=-，则θ等于（ ）。
A. 4
3
arccos
B. 4
1arccos
C. 4
3arccos
-π D. 4
1arccos
-π 10. 矩形ABCD 中，2
1
,21==
，设==,，当DE EF ⊥时，|
|b 等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
二. 填空题：
11. 已知)5,0(),1,3(=-=，且⊥,//，则C 点的坐标是 。
12. 已知))(,(),2,3(R k k k ∈=-=，||t -=；当=k 时，t 有最小值，最小值是 。
13. 已知)0,5(),1,1(),3,4(C B A ，BD AD 5
3
=，则=CD 。
14. 已知)2,1(),1,1(-=-=，
（1）若k k -=+=,，且⊥，则=k 。
（2）若m m -=+=2,2，且⊥-)(，则=m 。
15.
（1）把函数x y 2log =的图象按)4,3(=a 平移到F '，则F '的函数解析式为 。
（2）将函数)(x f y =的图象按)1,1(-=平移得到函数x y 3=的图象，则)(x f 的解析式为 。
（3）将函数12sin +=x y 将a 平移得到函数3)6
2si n(
--=π
x y 的图象，则
=a 。
三. 解答题：
16.
与b 17. DF =18. ,3(-19. 在F '
试题答案
一.
1. B
2. A
3. D
4. C
5. C
6. A
7. B
8. B 9. B
10. C
二. 11. )429,
3(- 12. 21 2
25
13. )6,2
7
(
14. （1）2
37
3±- （2）29
15. （1）4)3(log 2+-x （2）131+=+x y
（3）)4,12
(
-π
三. 16.
由⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅+=-⋅+0)2()2(0
)()2(b a b a ⎪⎩
⎪⎨⎧⋅=⋅=⇒25422
⇒⎪
⎭
⎪
⎬⎫
∈=⋅=⇒],0[1010|
|||cos πθθ又b a 1010arccos =θ 17. ∵)10(<<=a a
∴E 点在DC 上，设==,，则,不共线，
a a +=+=+=，-=-=
∵λμ==,
∴)(),(a -=+=λμ 又∵=+
∴)()(a +=-+μλ
∵、不共线 ∴⎩
⎨⎧==-)2()1(1μλμλa
将（2）代（1）得μμ=-a 1；1)1(=+μa
∵10<<a ∴a
a
a +=+=111λμ
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=a a a 111μλ 18. 解：设),(y x D )1,1(--=y x AD
)7,3(++=y x CD )1,10(2-=-AB BC ，)3,2(-=AB
⇒⎪⎭⎪
⎬⎫=---⋅-⇔-=⋅+--+⇔0)10)(1(1)1(2//0
2)7()3)(3(//y x AB BC AD y x CD AB )2,9(2
9-⇒⎩⎨⎧=-=D y x 19. 解：设),(y x P 为F 上任意点平移后变为),(y x P '''
平移公式⎩
⎨⎧+='-='42
y y x x
由)2,0(A 在F '上，则点)4,2(在F 上
又由)213
,21(-B 为F 与F '交点 则点)213,21(-与点)25
,23(均在F 上，由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
++=+-=++=4
422349
252141213244c b a c b a c b a c
b a F ⇒解析式即4422
+-=x x y。