数列求和trd

精锐教育学科教师辅导讲义年 级 高一 辅导科目 数学 课 时 数 3 学员姓名学 科 教 师闫艳艳 上课时间2012.2.21课 题 数列求和1教学目标1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．教学内容一．知识梳理1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236nk n n n kn =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等二、典型例题（一）利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n n n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得：nnxx x x S +⋅⋅⋅+++=32 =xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n ∴1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n ＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f变式训练：1数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n2.⑴等比数列 ,222132，，，中的第5项到第10项的和为： ⑵等差数列{}n a 的前n 项和为18，前n 2项为和28，则前n 3项和为【解题思路】⑴可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ， 由10765,,,,a a a a 成等比数列求解；⑵利用等差数列的性质求解.【解析】⑴利用等比数列前n 项和公式求解. 由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S ⑵利用等差数列的性质求解.{}n a 是等差数列，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n S n n S n n S n n n n 3,3,2,2,,32三点共线.∴3023228321822833=⇒--=--n n S nn n n S n n n n . 【方法提炼】利用等差（等比）数列的有关性质解题，可以简化运算.（二）、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nx n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=--。

∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S …………② ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S1122212+---=n n n ∴ 1224-+-=n n n S变式训练：1.若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .【解题思路】利用等比数列前n 项和公式的推导方法求和，一般可解决形如一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.【解析】 n n n S 3)12(35333132⋅-++⨯+⨯+⨯= ， ①∴14323)12(3533313+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n S ②①-②，得14323)12(32323232312+⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=-n n n n S14323)12()3333(231+⋅--+++++⨯=n n n 63)22(1-⋅-=+n n .∴ n S 33)1(1+⋅-=+n n .2.求数列)0()12(,5,3,112≠--a a n a a n ，的前n 项和n S .【解析】12)12(531--++++=n n a n a a S ① ①a ⨯得，n n a n a a a aS )12(5332-++++= ② ①-②得，n n n a n a a a S a )12(2221)1(12--++++=-- 当1=a 时，2n S n =；当1≠a 时，n n n a n aa a S a )12(1)1(21)1(1----+=-- ∴21)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 3.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足)(22+∈-=N n n a S n n （1）求证：数列}2{+n a 为等比数列；（2）若数列}{n b 满足n n n T a b ),2(log 2+=为数列}2{+n n a b 的前n 项和，求证：.21≥n T解析：（1）当,22,n a S N n n n -=∈+时① 则当)1(22,211--=∈≥--+n a S N n n n n 时， ② ①—②，得2221--=-n n n a a a ，即221+=-n n a a,222),2(2211=++∴+=+∴--n n n n a a a a当n=1时，2,22111=-=a a S 则42}2{1=++∴a a n 是以为首项，2为公比的等比数列（2）证明：22,2242111-=∴=⋅=+++-n n n n n a a1122212,12log )2(log +++=+∴+==+=n n n n n n n a b n a b,212322132+++++=n n n T ③ 2142212232221+++++++=n n n n n T④③—④，得22143221211)211(4141212*********++++---+=+-++++=n n n n n n n T 12212323,234321212141+++++-=∴+-=+--+=n n n n n n T n n 当,0212223,2111>+=+++-=-≥++-n nn n n n n n T T n 时 21,}{1=≥∴∴T T T n n 为递增数列【方法提炼】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法.（三）倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S…………. ①将①式右边反序得：1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S ……② 又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ，①+②得：)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5变式训练：1.求和n nn n n n C n C C C C W )13(10743210++++++=2.设221)(x x x f +=，求：⑴)4()3()2()()()(213141f f f f f f +++++；⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ 【解题思路】观察)(x f 及⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的特点，发现1)1()(=+x f x f .【解析】 221)(x x x f +=，∴1)1()(=+x f x f . ⑴441)4()3()2()()()(213141=⨯=+++++f f f f f f⑵原式2009)12010(1=-⨯=（四）分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得： S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= 2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2)2()1(2++n n n变式训练：1.求数列 ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和2.数列()()()211,12,122,,122,n -++++++的前n 项和等于（ ）A ．n n -+12B ．221--+n nC ．12--n nD ．22--n n（五）裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a nnnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n-+=++=111，则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n )1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n ∴数列{b n }的前n 项和：)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立例2. 计算：变式训练 1.求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S n2.求和：)13)(23(11071741411+-++⨯+⨯+⨯n n ；3.在数列}{n a 中，9,11=++=n n S n n n a 项和若其前，则项数n 为（ ）A ．9B ．10C ．99D ．100【方法提炼】数列的常见拆项有：111)1(1+-=+n n n n ；n n n n -+=++111； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++)2)(1(1)1(121)2)(1(1n n n n n n n ； )!1(1!1)!1(+-=+n n n n .（六）合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵)180cos(cos n n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 （合并求和） [例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++，由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++=)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值。