数列求和的八种重要方法与例题

n n
n
n-1
n
n
n-1
n
2S =lg(xy) +lg(xy) + ...+lg(xy)
n
= 2n(n +1) S = n(n +1)
2.错位相减 当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求 数列{anbn}的前n项和适用错位相减
典例3:
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？
5.拆项分组求和法
6.并项求和法
深化数列中的数学思想方法：
热点题型1：递归数列与极限. 1
an 2 1 设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 an 1 4 a 1 n 4 1 记 bn a2 n 1 ，n＝l，2，3，…· ． 4
n为偶数
,
n为奇数
1
a1 1, 故b1
1 1 1 2
2;
3 1 13 20 a3 , 故b3 4; a4 , 故b4 . 3 1 4 20 3 4 2
7 1 8 a2 , 故b2 7 1 3 8 8 2
热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记 bn 1 (n1)。 an 2 (1)求b1、b2、b3、b4的值； (2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。 1 1 1 bn 得an , 代入递推关系8an1an 16an1 2an 5 0, 1 bn 2 an 1 a b bn 1 2 n n
{an+bn+cn}
等差
等比
错位相减 或裂项相消
并项求和
典型6：
2 2 2 2 2 1-2 +3 -4 +…+(2n-1) -(2n) =？
局部重组转化为常见数列
交错数列，并项求和
n 既{（-1） bn}型
练习10：
已知Sn
2)求Sn
n =-1+3-5+7+…+(-1) (2n-1),
1)求S20,S21
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知
n
Байду номын сангаас
lg(xy) 2 2.倒序相加法
n-1 1 n-1 n
S =lgx +lg(x ·y)+ ...+lg(x·y )+lgy , (x > 0,y > 0) 求S .
S =lgx +lg(x ·y)+...+lgy
S =lgy +lg( y ·x)+ ...+lgx
S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
=20
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向：
1.转化为等差或等比数列的求和
2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型）
若无通项，则须先求出通项
方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
令bn an 2, 1 2 则bn bn 1 2 1 1 2 bn 2 2 2 1 1 22 bn 1 2 2
2 2
1 2
又b0=－1
1 2 2n1
n b02
数列求和
几种重要的求和思想方法：
1.倒序相加法.
2.错位相减法.
3 拆项 . 法： . 4.裂项相消法：
倒序相加法:
如果一个数列{an}，与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和（都 相等，为定值），可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加，就得到 一个常数列的和，这一求和的方法称 为倒序相加法.
（I）求a2，a3； （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； b1 b2 b3 bn ) ． （III）求 lim( n
热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记 bn 1 (n1)。 an 2 (1)求b1、b2、b3、b4的值； (2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
1
2 4 6 3 4 0,即bn 1 2bn , bn 1bn bn 1 bn 3 Sn 1 (b1 b2 bn ) n
1 (1 2n ) 5 3 n 4 2 1 2 3 {bn }是首项为 , 公比q 2的等比数列 3 3 1 n 4 1 n 1 n 4 (2 5n 1) bn 2 , 即bn 2 (n 1). 3 3 3 3 3
（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列， 并证明你的结论；
b1 b2 b3 bn ) （III）求 lim( ． n
（ I ） a2 ＝ a 1 +
1 1 1 1 1 = a+ ，a3= a2= a+ 4 8 4 2 2
热点题型1：递归数列与极限. 1 an n为偶数 2 1 a 设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 n 1 a 1 n为奇数 4 n
2n 变式2：通项改为 2 4n - 1
1 1 1 1 = + （ ) 2 4 2n -1 2n + 1
2
分裂通项法： 把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这 一求和方法称为分裂通项法. （见到分式型的要往这种方法联想）
4 4 4 2 bn 1 2(bn ), b1 0, 3 3 3 3
2
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
1 an 1 an (4 an ). 已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01， 2 (nN)
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an 用数学归纳法证明： 1 3 a 0 1, a1 a 0 (4 a0 ) , 1°当n=1时， 2 2 ∴ 0 a0 a1 2 ； 1 a a 2 k 2°假设n=k时 k 1 有成立， 令 f ( x) 2 x(4 x)
拆项分组求和: 典例5：
数列{an}的通项an=2n+2n-1，
求该数列的前n项和.
同类性质的数列归于一组，目的 是为便于运用常见数列的求和公式.
分组求和法： 把数列的每一项分成两项，或把数 列的项“集”在一块重新组合，或把整 个数列分成两部分，使其转化为等差或 等比数列，这一求和方法称为分组求和 法.
1 bn 2
2n 1
,
2n 1
1 即an 2 bn 2 2
1 an 1 an (4 an ). 已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01， 2 (nN)（2）求数列{an}的通项公式an 1 1 an 1 an (4 an ) [(an 2) 2 4], 2 2
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
2(an1 2) (an 2)2
1 记 bn a2 n 1 4
4
,
，n＝l，2，3，…· ．
（I）求a2，a3； （II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； b1 b2 b3 bn ) ． （III）求 lim( n
1 1 1 1 1 因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ ) 4 2 4 2 4 1 = bn, (n∈N*) 2 1 1 所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列 4 2
f(x)在[0，2]上单调递增 f (ak 1 ) f (ak ) f (2),
1 1 1 ak 1 (4 ak 1 ) ak (4 ak ) 2 (4 2), 2 2 2
也即当n=k+1时
ak ak 1 2 成立， 所以对一切 n N , 有ak ak 1 2
热点题型1：递归数列与极限. 1 an n为偶数 2 1 设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 an 1 a 1 n为奇数 4 n
1 记 bn a2 n 1 4
4
,
，n＝l，2，3，…· ．
1 b1 (1 n ) b1 1 2 lim(b1 b2 bn ) lim 2(a ) n n 1 1 4 1 1 2 2
错位相减法： 如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列对 应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法.
既{anbn}型
等差 等比
典例4： 4、裂项相消 1 1 1 1+ + + …+ =? 1×2 2×3 n(n + 1) 1 变式1：通项改为 n( n + 2) 1 1 1
= 2 n ( n+2 )