数列求和的八种重要方法与例题 PPT

（I）a2＝a1+
1 4
= a+ 1
4
，a3=
1 2
a2=
1 a+
2
1 8
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
a n 1
1
2
an
an 1
4
n为偶数 n为奇数
,
记 bn
a2 n 1
1 4
，n＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
= 1( 1 - 1 ) n ( n + 2 )
2 n n+2
变 式 2： 通 项 改 为2n2 4n2 -1
=1+1（ 1 - 1 ) 2 4 2n-1 2n+1
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数项之和，这 一求和方法称为分裂通项法. （见到分式型的要往这种方法联想）
S = l g y n + l g ( y n - · 1x ) + . . . + l g x n 2 S = l g ( x y ) n + l g ( x y ) n + . . . + l g ( x y ) n
=2n(n+1) S=n(n+1)
2.错位相减
当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求 数列{anbn}的前n项和适用错位相减
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S=lgxn+lg(xn-· 1 y)+... +lg(x· 1 yn-1)+lgyn,
(x>0, y>0) 求S .
S = l g x n + l g ( x n - 1 · y ) + . . . + l g y n
拆项分组求和: 典例5：
数列{an}的通项an=2n+2n-1， 求该数列的前n项和.
同类性质的数列归于一组，目的 是为便于运用常见数列的求和公式.
分组求和法：
把数列的每一项分成两项，或把数
列的项“集”在一块重新组合，或把整
个数列分成两部分，使其转化为等差或
等比数列，这一求和方法称为分组求和
法.
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
5.拆项分组求和法 6.并项求和法
{an+bn+cn} 错位相减
等差
等比 或裂项相消
并项求和
典型6：
1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？
局部重组转化为常见数列
交错数列，并项求和 既{（-1）n bn}型
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
2
2
热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
1
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记b n
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
a1
1,故b1
1 1 1
2;
2
a2
78,故b2
7
1 1
8 3
2
an
an 1
4
n为偶数 n为奇数
,
1
记 bn a2n1 4 ，n＝l，2，3，…·．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 lni m (b1b2b3 bn) ．
lni m (b1b2 bn)lni m b1(11 121n)1 b112(a1 4)
82
a33 4,故 b33 114;a41 23 0,故 b4230. 42
热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记b n
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
1 an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
{ b b n b n n1 4 3 } 4 3 是 4 3 首 1 3 项 2 2 (为 n b ,即 n2 3 b ,n 公 4 3 )比 ,1 3q b 2 1 n 2 的 4 3 3 4等 ( n 比 2 3 1 数 ).列 0 , 1313(11(2n22n )5n
典例3:
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？
错位相减法： 如果一个数列的各项是由一
个等差数列与一个等比数列对 应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法.
既{anbn}型
等差
等比
典例4：4、裂项相消
1+ 1 + 1 +…+ 1 =?
1×2 2×3
n(n+1)
变式 1：通项改为
1
b b n n 4 1 bn a n 1 b 1 2 n 6 得 1 a n b 3 nb 1 n 0,1 2 即 ,代 bn 入 1递 推 2b 关 n系 8 4 3 a n , 1 a Sn n 1 a6 12na bn (n b1 1 122 bba n2n 15 0 b,n ) n
数列求和的八种重要方法与例题
几种重要的求和思想方法：
1.倒序相加法.
2.错位相减法.
3 拆. 项 法：
. 4.裂项相消法：
倒序相加法:
如果一个数列{an}，与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和（都 相等，为定值），可采用把正着写和 与倒着写和的两个和式相加，就得到 一个常数列的和，这一求和的方法称 为倒序相加法.
深化数列中的数学思想方法：
热点题型1：递归数列与极限. 1
设 记数bn列{aan2}n的1 首 14项a1=，a≠n＝14 l，，2且，3a，n1…·．a2n
an 1
4
n为偶数
,
n为奇数
（I）求a2，a3；（II）判断数列{bn}是否为等比数列， 并证明你的结论；
（III）求 lni m (b1b2b3．bn)
（III）求 lni m (b1b2b3 bn) ．
11
11
1
因为bn+1＝a2n+1－
1
4
=2
a2n－ 4
=2
(a2n－1－4
)
=
2
b－ 4 , 公比为 2 的等比数列
热点题型1：递归数列与极限.
设数列{an}的首项a1=a≠
1 ，且 4
a n 1
1