2014-2015年湖北省咸宁市高一下学期数学期末试卷及参考答案(a卷)

2014-2015学年湖北省咸宁市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）湖北省咸宁市2014-2015学年度下学期期末考试高一数学（A）1．（5分）sin的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．2．（5分）为了得到函数的图象，只需要把函数y=3sin2x的图象上所有的点（）A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b4．（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（）A．B．C．D．6．（5分）不等式＜x+a（a＞0）的解集是（）A．{x|﹣＜x＜a}B．{x|x＞0或x a}C．{x|﹣a≤x≤﹣a或0≤x＜a}D．{x|0＜x≤a}7．（5分）设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确是（）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m⊥α，m∥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β8．（5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n﹣1）…的前n项和为（）A．2n﹣1 B．n•2n﹣n C．2n+1﹣n D．2n+1﹣2﹣n9．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．10．（5分）数列{a n}的通项a n=n（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．15 B．20 C．25 D．3911．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列12．（5分）有一个长方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，装的水占恰好占其容积的一半；α表示水平的桌面，容器一边BC紧贴桌面，沿BC将其翻转使之略微倾斜，最后水面（阴影部分）与其各侧棱的交点分别是EFGH（如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是M，翻转过程中水和容器接触面积为S，则下列说法正确的是（）A．M是棱柱，S逐渐增大B．M是棱柱，S始终不变C．M是棱台，S逐渐增大D．M是棱台，S积始终不变二、填空题：（共4小题，每小题5分．共20分）13．（5分）不等式|3x﹣1|＜5的解集是．14．（5分）若关于x，y的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k的值为．15．（5分）若α∈（0，），cos（﹣α）=2cos2α，则sin2α=．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①当CQ=时，S为等腰梯形；②当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；③当＜CQ＜1时，S为六边形；④当CQ=1时，S的面积为．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）解关于x的不等式：（a是常数且a＞0）18．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长．19．（12分）已知等比数列{a n}中，S n为前n项和且a1+a3=5，S4=15，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=log2a n，求b n的前n项和T n的值．20．（12分）已知一个四棱锥P﹣ABCD的三视图（正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角形的正方形）如下，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置都有BD⊥AE，证明你的结论．21．（12分）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s．（1）设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）．22．（12分）若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{a n}的通项公式；（3）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．2014-2015学年湖北省咸宁市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）湖北省咸宁市2014-2015学年度下学期期末考试高一数学（A）1．（5分）sin的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：sin=sin（5π+）=﹣sin=﹣．故选：C．2．（5分）为了得到函数的图象，只需要把函数y=3sin2x的图象上所有的点（）A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移【解答】解：为了得到函数=3sin2（x﹣）的图象，只需要把函数y=3sin2x的图象上所有的点向右平移个单位即可，故选：B．3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．4．（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【解答】解：根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，故③④正确．故选：C．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可知=∴==sinA∵sinA≠0∴sinB=故选：B．6．（5分）不等式＜x+a（a＞0）的解集是（）A．{x|﹣＜x＜a}B．{x|x＞0或x a}C．{x|﹣a≤x≤﹣a或0≤x＜a}D．{x|0＜x≤a}【解答】解：∵＜x+a（a＞0），∴，解得0＜x≤a．故选：D．7．（5分）设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确是（）A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．若m⊥α，m∥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【解答】解：A直线垂直于一个平面的两条相交直线，直线才和平面垂直，所以A不正确．B若直线垂直平面，则和直线平行的直线也垂直于这个平面，所以B正确．C和一个平面都平行的两条直线可能平行或异面或直线相交，所以C不正确．D垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能相交，所以D错误．故选：B．8．（5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n﹣1）…的前n项和为（）A．2n﹣1 B．n•2n﹣n C．2n+1﹣n D．2n+1﹣2﹣n【解答】解：∵1+2+22+…+2n﹣1==2n﹣1∴数列的前n项和为：1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n﹣1）=（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）=21+22+23+…+2n﹣n==2n+1﹣2﹣n故选：D．9．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即x2﹣x﹣a2+a+1＞0∵任意实数x成立，故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0∴，故选：C．10．（5分）数列{a n}的通项a n=n（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．15 B．20 C．25 D．39【解答】解：∵cos2﹣sin2=，∴a n=n•，∴S3k=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…（a3k﹣2+a3k﹣1+a3k）=（﹣+3）+（﹣+6）+…+（﹣+3k）=++…+=k，∴S30=×=15，故选：A．11．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b 1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．12．（5分）有一个长方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，装的水占恰好占其容积的一半；α表示水平的桌面，容器一边BC紧贴桌面，沿BC将其翻转使之略微倾斜，最后水面（阴影部分）与其各侧棱的交点分别是EFGH（如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是M，翻转过程中水和容器接触面积为S，则下列说法正确的是（）A．M是棱柱，S逐渐增大B．M是棱柱，S始终不变C．M是棱台，S逐渐增大D．M是棱台，S积始终不变【解答】解：由面面平行的性质定理可知：EH∥FG．由条件可知：EH∥AD，AD∥BC，∴EH∥AD∥BC∥FG，又底面ABFE∥底面DCGH，∴ABFE﹣DCGH为棱柱，而在旋转的过程中，水和容器接触面积为S=S AEHD+S BFGC=为定值．故选：B．二、填空题：（共4小题，每小题5分．共20分）13．（5分）不等式|3x﹣1|＜5的解集是（﹣，2）．【解答】解：不等式|3x﹣1|＜5，等价于不等式﹣5＜3x﹣1＜5，求得﹣＜x＜2，故答案为：（﹣，2）．14．（5分）若关于x，y的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k的值为2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：直线kx﹣y+1=0，过定点B（0，1），∵k＞0，∴当直线kx﹣y+1=0与直线x+2y=0垂直时，满足平面区域是直角三角形区域，k•（﹣）=﹣1，解得k=2．故答案为：2．15．（5分）若α∈（0，），cos（﹣α）=2cos2α，则sin2α=．【解答】解：cos（﹣α）=（cosα+sinα）=2cos2α，即cosα+sinα=4cos2α，两边平方得：（cosα+sinα）2=16cos22α，即1+sin2α=16（1﹣sin22α），解得：sin2α=或sin2α=﹣1，∵α∈（0，），∴2α∈（0，π），∴sin2α=﹣1不合题意，舍去，则sin2α=．故答案为：16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S．则下列命题正确的是①②④（写出所有正确命题的编号）．①当CQ=时，S为等腰梯形；②当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；③当＜CQ＜1时，S为六边形；④当CQ=1时，S的面积为．【解答】解：如图对于①，当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，所以①正确；对于②，当CQ=时，如图，延长DD 1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故②正确；对于③由②可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故③错误；对于④，当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF=••=，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）解关于x的不等式：（a是常数且a＞0）【解答】解：a＞0原不等式可化为，⇔⇔（x﹣1）（ax ﹣1）＜0，（x﹣1）（x﹣）＜0，∴①当1＜a时，原不等式的解集为：（，1）．②当0＜a＜1时，原不等式的解集为（1，）．③当a=1时，原不等式的解集为∅．18．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长．【解答】（1）解：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为=π，最大值为．（2）∵f（）=sinA，即sin=sinA，∴sinA=sin∵A是锐角，∴A=，∵S=AB•AC•sinA=，∴AC=3由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA=7∴BC=．19．（12分）已知等比数列{a n}中，S n为前n项和且a1+a3=5，S4=15，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=log2a n，求b n的前n项和T n的值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则有题意可得q≠1．由a1+=5，=15，解得q=2，a1 =1．∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）∵b n=log2a n =（n﹣1），∴b n的前n项和T n =[0+1+2+3+…+（n﹣1）]=×=．20．（12分）已知一个四棱锥P﹣ABCD的三视图（正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角形的正方形）如下，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置都有BD⊥AE，证明你的结论．【解答】解：（1）由三视图可知，PC⊥面ABCD，且PC=2，底面ABCD是正方形，故体积；（6分）（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，理由如下：（8分）连接AC，则AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C点，故BD⊥面PAC，因为E是PC上的动点，所以AE在平面PAC内，所以BD⊥AE不论E在何位置都正确．（12分）21．（12分）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s．（1）设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）．【解答】解：（1）依题意，有PA﹣PB=1.5×8=12（km）．PC﹣PB=1.5×20=30（km）∴PB=（x﹣12）（km），PC=30+（x﹣12）=（18+x）（km）．在△PAB中，AB=20km=同理，在△PAC中，∵cos∠PAB=cos∠PAC，∴解之，得（2）作PD⊥a，垂足为D在Rt△PDA中，．答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km22．（12分）若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{a n}的通项公式；（3）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，∴S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S1•S4=S22，∴，∴∵公差d不等于0，∴d=2a1∴；（2）∵S2=4，∴2a1+d=4，又d=2a1，∴a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．（3）∵∴…=要使对所有n∈N*恒成立，∴，∴m≥30，∵m∈N*，∴m的最小值为30．。