北京市东城区2011届十校联考(理科)

北京市东城区2011届十校联考（理科）考试时间：120分钟 试卷分值：150分注意：本试卷共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不予记分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．已知集合{}31|≥≤=x x x A 或，集合{}R k k x k x B ∈+<<=,1|，若φ=⋂B A C R )(，则k 的取值范围是( )A ．),3()0,(+∞⋃-∞B ．(][),30,+∞⋃∞-C ．(][),31,+∞⋃∞-D ． (1,2)2.已知复数122,32z i z i =+=+，则12z z z =在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．设l m n 、、为不同的直线，αβ、为不同的平面，有如下四个命题： ①若,l αβα⊥⊥，则l ∥β ② 若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ ③若,l m m n ⊥⊥，则l ∥n ④若,m n α⊥∥β且α∥β则m n ⊥ 其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ． 3D ．44．某器物的三视图如右图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为（ ） A ．4π B ．5π C ．8π D ．9π 5．若()mf x x ax =+的导函数为()21f x x '=+，则数列1()(*)()n N f n ∈的前n 项和为（ ） A ．21n n ++ B ．1n n - C ．1n n + D ．1n n+ 6．若34cos ,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上A ．2470x y -=B ．2470x y +=C ．7240x y +=D ．7240x y -=7．若1a >，设函数()4xf x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是（ ）A ．7(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．(4,)+∞D ．9(,)2+∞8．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 A ．108种 B ．60种 C ．48种D ．36种二、填空题（每小题5分，共30分）9．若命题“存在实数x ，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为 ．2-<a ，或2>a10．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 6．11．M 为椭圆2213x y +=上任意一点，P 为线段OM 的中点，求12PF PF ⋅的最小值 74-。

（改编）12．设向量()21,a a a =，()21,b b b =，定义一种向量积()2211,b a b a b a =⊗，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,2m ，⎪⎭⎫⎝⎛=0,3π，点P ()y x ,在x y sin =的图像上运动。

Q 是函数()x f y =图像上的点，且满足+⊗=（其中O 为坐标原点），则当2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()x f y =的值域是⎡-⎢⎣⎦（改编）13．已知数列{},1,2,,2011n a n =⋅⋅⋅，圆221:440,C x y x y +--=和圆2222011:220,n n C x y a x a y -+--=若2C 平分1C 的周长，则{}n a 的所有项和为 402214．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交 于点E ，则线段AE 的长为 4．三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）15．（本题满分13分）已知向量(sin ,1cos )m B B =+与向量(2,0)n =的夹角为3π，在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且2a =．（改编成）（I ）求角B 的大小；（Ⅱ）若sin B 是sin A 和sin C 的等比中项，求ABC ∆的面积。

16．（本题满分13分）某地高三十校联考数学第I 卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。

”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜， 试求出该考生：17．在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1CC 的中点． 求证：（I ）1AC ∥平面BDE ； （II ）1A E ⊥平面BDE ; （自编）（Ⅲ）若E 为1CC 上的动点，试确定E 点的位置使直线1AC 与平面BDE所成角的余弦值是3． 18．（本题满分13分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a R =+-∈EAC DA 1B 1C 1D 1（第17题图）A（I ）若函数()f x 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（II ）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （改编）（Ⅲ）当(]0,x e ∈时，证明：225(1)ln 2e x x x x ->+．19．已知焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为45，且过点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（题干自编） （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 分别切椭圆C 与圆:M 222x y R +=（其中35R <<）于,A B 两点，求AB 的最大值。

20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足1*117, 328 . ()n n n a a a n n N -+==+-∈某同学欲求{}n a 的通项公式，他想，如能找到一个函数()f n =12n A -⋅B n +⋅ C +()A B C 是常数、、，把递推关系变成1(1)n a f n +-+3[()]n a f n =-后，就容易求出{}n a 的通项了.（Ⅰ）请问：他设想的()f n 存在吗？{}n a 的通项公式是什么？ （Ⅱ）记123n n S a a a a =++++，若不等式223n n S n p ->⨯对任意*n N ∈都成立，求实数p 的取值范围.15．（本题满分13分）已知向量(sin ,1cos )m B B =+与向量(2,0)n =的夹角为3π，在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且2a =．（I ）求角B 的大小；（Ⅱ）若sin B 是sin A 和sin C 的等比中项，求ABC ∆的面积。

15．（本题满分13分） 解：（I ）解∵①2sin m n B ⋅=…………………………………………1分1sin 22m n ⋅=⨯=3分∴2sin B =化简得：22cos cos 10B B +-=………4分∴cos 1B =-（舍去）或1cos 2B = ………………………5分又∵(0,)B π∈ ∴3B π=………………………6分（II ）由sin B 是sin A 和sin C 的等比中项 得2sin sin sin B A C =…………7分由正弦定理得 2b ac = …………8分 又由余弦定理得22222222cos 2cos3b ac ac B a c ac a c ac π=+-⋅=+-⋅=+- …………9分故222,()0,2ac a c ac a c a c =+--===得得…………11分 故△ABC 为正三角形 …………12分故ABC S ∆= …………13分16．（本题满分13分）某地高三十校联考数学第I 卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。

”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜， 试求出该考生： （I ）得40分的概率 （II ）得多少分的可能性最大？（Ⅲ）所得分数ξ的数学期望 解：（I ）某考生要得得40分， 8道题必须全部做对， 其余3题中，有一道做对的概率为12，有一道题目做对的概率为13， 有一道做对的概率为14………………1分 所以所得40分的概率为111123424P =⋅⋅= ………………4分（II ）依题意，该考生得分的范围为{}25,30,35,40 得25分做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为112312344P =⋅⋅=……5分 得30分是做对5题，其余3题只做对1题， 所以概率为21231131211123423423424P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=………………7分 得35分是做对5题，其余3题做对2题，所以概率为311312111112342342344P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=………………9分 得40分是做对8题，，所以概率为4124P =所以得30分的可能性最大 ………………10分由（Ⅲ）（II ）得ξ的分布列为：ξ25 30 35 40P14 1124 14 124所以11111730525303540304244242412E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅== ………………13分 17．在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1CC 的中点． 求证：（I ）1AC ∥平面BDE ；（II ）1A E ⊥平面BDE ; （Ⅲ）若E 为1CC 上的动点，试确定E 点的位置使直线1AC 与E A 1B 1C 1D 1平面BDE所成角的余弦值是3． 17．（I ）证明：连接AC ，设ACBD O =．由条件得ABCD 为正方形，故O 为AC 中点．E 为1CC 中点，∴1//OE A C ．………………2分OE ⊂平面BDE ，AC 1⊂/1AC ⊄平面BDE ．∴1AC ∥平面BDE ．………………4分（II ）连接1B E , 设AB a =，则在1BB E ∆中，1BE B E ==，12BB a =．22211BE B E BB +=．∴B 1E ⊥BE ．由1111ABCD A BC D -是正四棱柱得11A B ⊥平面11BB CC ，∴11A B ⊥BE ．………………6分1111B E A B B =∴BE ⊥平面11A B E ．∴1A E BE ⊥．同理1A E DE ⊥．BEDE E = ∴1A E ⊥平面BDE ．………………8分（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，取AB =1则12AA =∴(0,0,0)D ,1(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,1,0)A A B C .设(0,1,)E λ∴ ()11,1,2AC =--,(1,1,0),(0,1,)DB DE λ== (9)设平面BDE 的法向量(,,)n x y z -则00n DE y z n DB x y λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，则11,1,(1,1,)z x n λλ==∴=-…………10分设直线1AC 与平面BDE 所成角为,α则 11sin AC n AC n α-⋅===⋅……11分由题设知1cos sin 33αα=∴=， 2115,41250(322λλλλ=∴-+=∴==舍去）……………12分E 为1CC 靠近C 的四等分点。