黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题(含答案)
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二(上)10月月考数学试卷(文科)
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1. 下列语句不是命题的有（）①x2−3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1＝5；④5x−3>6．A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】命题①和命题④无法判断其真假，命题②为疑问句，所以只有③为命题．【解答】①x2−3＝0，无法判断真假，故①不是命题；②由命题的概念知，命题不能是疑问句，故②不是命题；③3+1＝5，这个语句不成立，因为这个语句能判断真假，故③是命题；④5x−3>6，无法判断真假，故④不是命题．2. 命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是（）A.若A∪B≠A，则A∩B≠BB.若A∩B＝B，则A∪B＝AC.若A∩B≠A，则A∪B≠BD.若A∪B＝B，则A∩B＝A【答案】A【考点】四种命题的定义【解析】对所给命题的条件和结论分别否定，即：A∪B≠A和A∩B≠B，作为否命题的条件和结论．【解答】“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题：“若A∪B≠A则A∩B≠B”3. 双曲线x2−3y2＝9的焦距为（）A.√6B.2√6C.2√3D.4√3【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】化双曲线的方程为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c．【解答】双曲线x2−3y2＝9的标准方程为x29−y23=1，可得a ＝3，b =√3，c =√9+3=2√3， 则双曲线的焦距为2c ＝4√3，4. 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答． 【解答】甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，结合选项甲⇐丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．5. 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 四种命题的真假关系 不等式的概念与应用 【解析】先看原命题，∵ 若ac 2>bc 2，则c ≠0，∴ a >b ，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可． 【解答】 解：原命题：，∵ 若ac 2>bc 2，则c ≠0，∴ a >b ，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；逆命题：若a >b ，则ac 2>bc 2，不正确，∵ a >b ，∴ 关键是c 是否为0，∴ 逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，∴ 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题． 故选B6. 已知椭圆x 25+y 2m =1的离心率e =√105，则m 的值为（ ） A.3 B.253或 3C.√5D.5√153或√15【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】当m>5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m−5，e2=c2a⇒m当0<m<5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5−m，e2=c2a2⇒m；【解答】当m>5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m−5，e2=c2a =25⇒m=253；当0<m<5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5−m，e2=c2a2=25⇒m＝3；7. 下列命题中的假命题是()A.∀x∈R，2x−1>0B.∀x∈N∗，(x−1)2>0C.∃x∈R，lgx<1D.∃x∈R，tanx=2【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y＝tanx的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为(0, +∞)，∴任意x∈R，均可得到2x−1>0成立，故A项正确；∵当x∈N∗时，x−1∈N，可得(x−1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，∴任意x∈N∗，使(x−1)2>0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0<1，∴存在x∈R，使得lgx<1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R，∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确.综上所述，只有B项是假命题.故选B.8. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(2, 2)平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A.x+4y＝0B.x+4y−10＝0C.x+4y−6＝0D.x−4y−10＝0【答案】B【考点】直线与椭圆结合的最值问题设这条弦与椭圆x 236+y 29=1交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由中点坐标公式知x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝4，把A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)代入x 2+4y 2＝36，得{x 12+4y 12=36x 22+4y 22=36，4(x 1−x 2)+16(y 1−y 2)＝0，k =y 1−y 2x 1−x 2=−14，由此能求出这条弦所在的直线的方程． 【解答】 设这条弦与椭圆x 236+y 29=1交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由中点坐标公式知x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝4， 把A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)代入x 2+4y 2＝36， 得{x 12+4y 12=36x 22+4y 22=36， ①-②，得4(x 1−x 2)+16(y 1−y 2)＝0，∴ k =y 1−y 2x 1−x 2=−14，∴ 这条弦所在的直线的方程y −2=−14(x −2)，即x +4y −10＝0．9. 设f(x)＝x 2−4x(x ∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分的条件是（ ） A.x <0 B.x <0或x >4 C.|x −1|>1 D.|x −2|>3 【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】利用不等式的解法、充要条件的判定方法即可得出． 【解答】由f(x)＝x 2−4x >0，解得x >4，或x <0． 由|x −1|>1，解得x <0或x >2． 由|x −2|>3，解得x <−1或x >5．∴ f(x)>0的一个必要而不充分的条件是|x −1|>1，10. 下列命题中正确的是（ ）A.若命题p:∃x ∈R ，x 3−x 2+1<0，则命题￢p:∀x ∈R ，x 3−x 2+1>0B.“a ＝1”是“直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直”的充要条件C.若x ≠0，则x +1x ≥2D.函数f(x)=2sin(2x +π6)图象的一条对称轴是x =π6 【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用直接写出特称命题的否定判断A ；由充分必要条件的判定方法判断B ；利用基本不等式求出x ≠0时，x +1x 的范围判断C ；把x =π6代入函数解析式求得f(π6)＝2说明D 正确． 【解答】若命题p:∃x ∈R ，x 3−x 2+1<0，则命题￢p:∀x ∈R ，x 3−x 2+1≥0，故A 错误； 由a ＝1，可得直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直，反之，直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直，得a ＝±1，∴ “a ＝1”是“直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件，故B 错误； 若x ≠0，则x +1x ≥2或x +1x ≤−2，故C 错误；∵ f(π6)=2sin(2×π6+π6)=2，∴ 函数f(x)=2sin(2x +π6)图象的一条对称轴是x =π6，故D 正确．11. 存在实数x ，使不等式sinx +cosx >m 成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−√2,+∞) B.(√2,+∞) C.(−∞,−√2) D.(−∞,√2) 【答案】 D【考点】三角函数的最值 【解析】将左边看成关于x 的函数，然后求其最大值，要使原不等式有解，只需m 小于左边的最大值即可． 【解答】令t ＝sinx +cosx ，x ∈R ， 则t =√2sin(x +π4)，易知−√2≤√2sin(t +π4)≤√2；要使sinx +cosx >m 有解，只需m <√2即可； 所以m 的取值范围是(−∞, √2)．12. 已知椭圆x 28+y 22=1上一点A(2, 1)和该椭圆上两动点B 、C ，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，则直线BC 的斜率k( ) A.k >12或k <−12 B.k =−12C.k =12 D.k 的值不确定【答案】 C【考点】 椭圆的离心率 【解析】 由点A(2, 1)在椭圆x 28+y 22=1上，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，联立方程，求出B ，C 点的坐标，代入斜率公式，可得答案． 【解答】∵ 点A(2, 1)在椭圆x 28+y 22=1上，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，∴ 设直线AB 的方程为：y −1＝k 1(x −2)，直线AC 的方程为：y −1＝k 2(x −2)＝−k 1(x −2)，即直线AB 的方程为：y ＝k 1(x −2)+1，直线AC 的方程为：y ＝−k 1(x −2)+1， 将y ＝k 1(x −2)+1，代入x 28+y 22=1得：(4k 12+1)x 2−(16k 12−8k 1)x +16k 12−8k 1+4=0，由A 的横坐标为2，结合韦达定理可得B 点的横坐标为：16k 12−8k 14k 12+1−2=8k 12−8k 1−24k 12+1，则B 点的纵坐标为−4k 12−4k 1+14k 12+1，即B 点坐标为：(8k 12−8k 1−24k 12+1, −4k 12−4k 1+14k 12+1)，同理可得：C 点的坐标为：(8k 12+8k 1−24k 12+1, −4k 12+4k 1+14k 12+1)故BC 的斜率k =−4k 12+4k 1+14k 12+1−−4k 12−4k 1+14k 12+18k 12+8k 1−24k 12+1−8k 12−8k 1−24k 12+1=12，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知p:3<m <5，q ：方程x 2m−2+y 2m−5=1表示双曲线，则p 是q 的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】 充分不必要 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】结合双曲线的方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】 若方程x 2m−2+y 2m−5=1表示双曲线， 则(m −2)(m −5)<0，解得2<m <5， 即q:2<m <5， ∵ p:3<m <5，∴ p 是q 的充分不必要，已知双曲线过点(2√3,2)，且渐近线方程为y =±√22x ，则该双曲线的标准方程为________． 【答案】 x 24−y 22=1 【考点】双曲线的离心率 【解析】由题意可设双曲线的方程为y 2−12x 2＝m(m ≠0)，代入点(2√3, 2)，解方程可得所求双曲线的标准方程． 【解答】渐近线方程为y =±√22x ，可设双曲线的方程为y 2−12x 2＝m(m ≠0)，代入点(2√3, 2)，可得m ＝4−12×12＝−2， 则双曲线的方程为y 2−12x 2＝−2，即x 24−y 22=1，在平面直角坐标系中，点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限的充要条件是________<3或−1<m <32 ．【答案】 2<m 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据题意，分析可得{2m +3−m 2>02m−32−m <0 ，解可得m 的取值范围，反之验证即可得答案． 【解答】根据题意，若点(2m +3−m 2,2m−32−m )在第四象限，则有{2m +3−m 2>02m−32−m<0 ，解可得：2<m <3或−1<m <32，反之，当2<m <3或−1<m <32时，有{2m +3−m 2>02m−32−m<0 成立，则点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限，故点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限的充要条件是2<m <3或−1<m <32，设F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|，若cos∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为________√22．【答案】√22．【考点】椭圆的离心率【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k．∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．【答案】“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）【考点】命题的真假判断与应用【解析】按照四种命题的形式，写出命题，然后判断真假即可．【解答】“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2√13．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．【答案】①焦点在x轴上，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，c=√13设双曲线为x2m2−y2n2=1，m＝a−4，∵ee =73，易得a＝7，m＝3∵椭圆和双曲线的焦距为2 √13，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29−y24=1②焦点在y轴上，椭圆方程为y249+x236=1，双曲线方程为y29−x24=1【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．【解答】①焦点在x轴上，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，c=√13设双曲线为x2m2−y2n2=1，m＝a−4，∵ee =73，易得a＝7，m＝3∵椭圆和双曲线的焦距为2 √13，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29−y24=1②焦点在y轴上，椭圆方程为y249+x236=1，双曲线方程为y29−x24=1已知p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a>0；q：实数x满足x−3x−2≤0．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】当a＝1，(x−1)(x−3)<0，解得1<x<3，由x−3x−2≤0解得2<x≤3，∵p，q均正确，∴2<x<3，故实数x的取值范围为(2, 3)，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a<x<3a，∴{a≤23a>3，解得1<a≤2，故实数a的取值范围(1, 2]．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化简命题p，q，命题p与q都为真命题，即可得出．（2）求出￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，即可解出．【解答】当a＝1，(x−1)(x−3)<0，解得1<x<3，由x−3x−2≤0解得2<x≤3，∵p，q均正确，∴2<x<3，故实数x的取值范围为(2, 3)，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a<x<3a，∴{a≤23a>3，解得1<a≤2，故实数a的取值范围(1, 2]．已知椭圆E的焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为√32．（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线l:y=12x+m与椭圆E相交于A，B两点，且弦AB中点横坐标为1，求m值．【答案】椭圆E的焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴长为2，离心率为√32，可得{2b =2ca =√32a 2=b 2+c2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；由{y =12x +mx 24+y 2=1 ，得x 2+2mx +2(m 2−1)＝0， △＝(2m)2−8(m 2−1)>0，得m 2<2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝−2m ，∴ −2m ＝2，得m ＝−1，符合题意． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由b ＝1，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，可得椭圆方程；（2）联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得m 的值． 【解答】椭圆E 的焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a+y 2b =1(a >b >0)，短轴长为2，离心率为√32，可得{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；由{y =12x +mx 24+y 2=1 ，得x 2+2mx +2(m 2−1)＝0， △＝(2m)2−8(m 2−1)>0，得m 2<2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝−2m ，∴ −2m ＝2，得m ＝−1，符合题意．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c, 0)，(0, b)的直线的距离为12c ．(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x +2)2+(y −1)2=52的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程． 【答案】解：(1)经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程为bx +cy −bc =0， 则原点到直线的距离为： d =√b 2+c 2=12c ，即为a =2b .e =ca =√1−b 2a 2=√32； (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2， 由题意可得圆心M(−2, 1)是线段AB 的中点， 则|AB|=√10，易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y =k(x +2)+1，代入可得(1+4k 2)x 2+8k(1+2k)x +4(1+2k)2−4b 2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2，x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 曲线与方程 【解析】（1）求出经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（2）由（1）知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2=3，即可得到椭圆方程． 【解答】解：(1)经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程为bx +cy −bc =0， 则原点到直线的距离为： d =√b 2+c 2=12c ，即为a =2b .e =ca =√1−b 2a =√32； (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2， 由题意可得圆心M(−2, 1)是线段AB 的中点， 则|AB|=√10，易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y =k(x +2)+1，代入可得(1+4k 2)x 2+8k(1+2k)x +4(1+2k)2−4b 2=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2，x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．设椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，左顶点到直线x +2y −2＝0的距离为4√55． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由； (Ⅲ)在（2）的条件下，试求△AOB 面积S 的最小值． 【答案】（本小题满分1 （1）由已知，√5=√5⇒a ＝2因为e =c a=√32⇒c =√3⇒b 2=a 2−c 2=1故所求椭圆的方程为x 24+y 2=1（2）法一：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1＝x 2，y 1＝−y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 12−y 12＝0又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l:y ＝kx +m ． 联立{y =kx +mx 2+4y 2=4 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0 所以x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0， 且y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 故(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2＝0⇒(1+k 2)4m 2−41+4k 2+mk −8km1+4k 2+m 2=0化简得5m 2＝4(1+k 2)， 故点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯法二：（若设直线方程为l:x ＝my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论） 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1＝−x 2，y 1＝y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即−x 12+y 12＝0 又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x ＝my +c ．联立{x =my +cx 2+4y 2=4 得：(m 2+4)y 2+2cmy +c 2−4＝0 所以y 1+y 2=−2cmm 2+4,y 1y 2=c 2−4m 2+4，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝y 1y 2+(my 1+c)(my 2+c) ＝(1+m 2)y 1y 2+mc(y 1+y 2)+c 2＝0⇒(1+m 2)c 2−4m 2+4−2c 2m 2m 2+4+c 2=0化简得5c 2＝4(1+m 2)，故点O 到直线AB 的距离为d =√1+m2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯(Ⅲ)法一：当直线OA 、直线OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S ＝1； 当直线OA 、直线OB 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为−1k ，由{y =kx x 2+4y 2=4 得{x 12=41+4k 2y 12=4k 21+4k 2 ，同理{x 22=4k 2k +4y 22=4k 2+4⋯⋯ 故S △AOB =12|OA|⋅OB|=12√1+k 2|x 1|⋅√1+1k 2|x 2|=2√(1+k 2)2(1+4k 2)(k 2+4) 令1+k 2＝t(t >1)，则S ＝2√t 24t 2+9t−9=2√1−9t 2+9t+4=2√1−9(1t −12)2+254故45≤S <1综上，△AOB 面积S 的最小值为45．法二：由(Ⅱ)，①当直线l 的斜率不存在时，S =12⋅4√55⋅2√55=45，②当直线l 的斜率存在时，5m 2＝4(1+k 2)，且点O 到直线AB 的距离为d =2√55，|AB|=√1+k2⋅√(x12212=√1+k2⋅√(−8km1+4k2)2−4(4m2−4)1+4k2＝2⋅√4k2+1−m2(1+4k2)2＝4√1+k2⋅√16k2+15(1+4k2)2故S=12|AB|⋅d=45√(k2+1)(16k2+1)(1+4k)，令1+4k2＝t(t≥1)，则S=25√4t2+9t−9t2=25√−9t2+9t+4=25√−9(1t−12)2+254，因为0<1t ≤1，故45≤S≤1．综上，△AOB面积S的最小值为45．【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率圆锥曲线的综合问题椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)利用距离公式求出a，离心率求出c，得到b后即可求出椭圆方程．(Ⅱ)法一：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l的斜率不存在时，求解点O到直线AB的距离．②当直线l的斜率存在时，设其方程为l:y＝kx+m．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合数量积，求出m，k关系式，然后求解距离即可．法二：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l的斜率为0时，求解点O到直线AB的距离，②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x＝my+c．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及数量积，求解距离即可．(Ⅲ)法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S＝1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为−1k，利用平方差法以及弦长公式表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值．法二：由(Ⅱ)，①当直线l的斜率不存在时，求出面积；②当直线l的斜率存在时，求出写出以及点到直线的距离，得到面积的表达式，利用二次函数的性质求解面积的最值．【解答】（本小题满分1（1）由已知，√5=√5⇒a＝2因为e=ca =√32⇒c=√3⇒b2=a2−c2=1故所求椭圆的方程为x24+y2=1（2）法一：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1＝x 2，y 1＝−y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 12−y 12＝0又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯ ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l:y ＝kx +m ． 联立{y =kx +mx 2+4y 2=4 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0 所以x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0， 且y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 故(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2＝0⇒(1+k 2)4m 2−41+4k 2+mk−8km 1+4k 2+m 2=0化简得5m 2＝4(1+k 2)， 故点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯法二：（若设直线方程为l:x ＝my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论） 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1＝−x 2，y 1＝y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即−x 12+y 12＝0 又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x ＝my +c ．联立{x =my +cx 2+4y 2=4 得：(m 2+4)y 2+2cmy +c 2−4＝0 所以y 1+y 2=−2cm m 2+4,y 1y 2=c 2−4m 2+4，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝y 1y 2+(my 1+c)(my 2+c) ＝(1+m 2)y 1y 2+mc(y 1+y 2)+c 2＝0⇒(1+m 2)c 2−4m 2+4−2c 2m 2m 2+4+c 2=0化简得5c 2＝4(1+m 2)，故点O 到直线AB 的距离为d =√1+m 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯(Ⅲ)法一：当直线OA 、直线OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S ＝1； 当直线OA 、直线OB 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为−1k， 由{y =kxx 2+4y 2=4 得{x 12=41+4k 2y 12=4k 21+4k2，同理{x 22=4k2k 2+4y 22=4k 2+4⋯⋯ 故S △AOB =12|OA|⋅OB|=12√1+k 2|x 1|⋅√1+1k 2|x 2|=2√(1+k 2)2(1+4k 2)(k 2+4) 令1+k 2＝t(t >1)，则S ＝2√t 24t 2+9t−9=2√1−9t 2+9t+4=2√1−9(1t −12)2+254故45≤S <1综上，△AOB 面积S 的最小值为45．法二：由(Ⅱ)，①当直线l 的斜率不存在时，S =12⋅4√55⋅2√55=45，②当直线l 的斜率存在时，5m 2＝4(1+k 2)， 且点O 到直线AB 的距离为d =2√55，|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅√(−8km 1+4k 2)2−4(4m 2−4)1+4k 2＝4√1+k 2⋅√4k 2+1−m 2(1+4k 2)2＝4√1+k 2⋅√16k +15(1+4k 2)2故S =12|AB|⋅d =45√(k 2+1)(16k 2+1)(1+4k 2)2，令1+4k 2＝t(t ≥1)，则S =25√4t2+9t−9t 2=25√−9t2+9t+4=25√−9(1t−12)2+254，因为0<1t ≤1，故45≤S ≤1． 综上，△AOB 面积S 的最小值为45．。
黑龙江省大庆市铁人中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)
2019-2020学年度黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由得或，所以“”是“”的充分而不必要条件，选A。
考点：本题主要考查充要条件的概念，一元二次不等式的解法。
点评：典型题，充要条件的判断问题，已是高考考查的保留题型之一，往往具有一定的综合性。
充要条件的判断有：定义法、等价关系法、集合关系法。
2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。
为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A. 9B. 10C. 12D. 13【答案】D【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．考点：分层抽样方法【此处有视频，请去附件查看】3.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【答案】A【解析】①总体和样本容量都很小，用简单随机抽样；②容量较大，且有均衡的几部分构成，用系统抽样；③有差异较明显的三部分构成，用分层抽样。
黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 文
黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 文试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1.下列语句中不是命题的有（ ）①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->． A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④2. 命题“若A B A =U ，则A B B =I ”的否命题是（ ） A ．若A B A ≠U ，则A B B ≠I B ．若A B B =I ，则A B A =U C ．若A B B ≠I ，则A B A ≠U D ．若A B A ≠U ，则A B B =I3.双曲线2239x y -=的焦距为（ ） A ．6B ．26C ．23D ．434. 设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么 ( ) A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件5.命题“设a ，b ，c ∈R ，若22ac bc >，则a b >”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6.已知椭圆221(0)5x y m m+=>的离心率105e =，则m 的值为（ ）A ．3B ．253或3 C ．5 D ．515或15 7.下列命题中的假命题是（ ） A ．x ∀∈R ，120x -> B ．x ∀∈*N ，2(1)0x ->C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =8. 如果椭圆193622=+y x 的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ） A.B. C. D.9.设2()4()f x x x x =-∈R ，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x <B ．0x <或4x >C ．|1|1x ->D ．|2|3x ->10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题p ：，，则命题：，B. “1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件C. 若0≠x ，则21≥+xx D. 函数)62sin(2)(π+=x x f 图象的一条对称轴是6π=x11.存在实数x ，使不等式m x x >+cos sin 成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．),2(+∞-B ．),2(+∞C ．)2,(--∞D ．)2,(-∞12.已知椭圆22182x y +=上一点(2,1)A 和该椭圆上两动点B 、C ，直线AB 、AC 的斜率分别为1k 、2k ，且120k k +=，则直线BC 的斜率k （ ）A ． 2121-<>k k 或B ． 21-=kC ． 21=k D ．k 的值不确定第II 卷 非选择题部分二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知:35<<p m ，:q 方程22125x y m m +=--表示双曲线，则p 是q 的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 14.已知双曲线过点(23,2)，且渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的标准方程为__________． 15．在平面直角坐标系中，点223(23,)2m m m m -+--在第四象限的充要条件是 ．16.设F 1，F 2分别是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos∠AF 2B=53，则椭圆E 的离心率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．18.（本小题满分12分）椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为213．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．19.（本小题满分12分） 已知p ：实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p ，q 均正确，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为32． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）直线1:2l y x m =+与椭圆E 相交于,A B 两点，且弦AB 中点横坐标为1， 求m 值．21.（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．22.（本小题满分12分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，左顶点到直线x +2y -2=0的距离为554． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 面积S 的最小值．铁人中学2018级高二学年上学期月考考试数学答案【答案】13.充分不必要； 14.22142x y -= 15. 32<<m 或231<<-m 16.22 17.解：“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题) 逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18.解：焦点在x 轴上，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，且c =． 设双曲线为22221(0,0)x y m n m n -=>>，4m a =-．因为73e e =双椭，所以73a m =，解得7a =，3m =． 236b =，24n =．所以椭圆方程为2214936x y +=，双曲线方程为22194x y-=．19.解（1）由()(3)0x a x a --<，0a >，得3a x a <<．当1a =时，13x <<，即p 正确时，实数x 的取值范围是13x <<．由32x x -≤-，得23x <≤，即q 正确时，实数x 的取值范围是23x <≤．所以实数x 的取值范围是23x <<．（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝不能推出p ⌝． 所以{|x x a ≤或3}{|2x a x x ≥≤Ü或3}x >，则02a <≤，且33a >，即12a <≤． 所以实数a 的取值范围是12a <≤．20.解（1）椭圆E 的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为，可得222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a =，1b =，所以椭圆方程为2214xy +=． （2）由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222(1)0x mx m ++-=， 22(2)8(1)0Δm m =-->，得22m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x m+=-，∴22m -=，得1m =-，符合题意．21.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）221123x y +=．试题解析：（Ⅰ）过点()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O 到直线的距离22bc d ab c ==+， 由12d c =，得2222a b a c ==-，解得离心率3c e a ==.（Ⅱ）由（1）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. 依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且10AB =. 易知，AB 不与x 轴垂直.设其直线方程为()21y k x =++，代入（1）得()()()22221482142140k xk k x k b +++++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则()12282114k k x x k++=-+，()22122421414k bx x k+-=-+.由124x x +=-，得()2821=414k k k +--+，解得12k =.从而21282x x b =-.于是()()222121212151410222AB x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭.由10AB =，得()210210b -=，解得23b =.故椭圆E方程为221123x y +=.22.解：（Ⅰ）由已知，⇒a =2…（1分）因为e ==1…（2分）故所求椭圆的方程为=1…（3分）（Ⅱ）法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1=x 2，y 1=-y 2， 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即x 12-y 12=0又因为点A （x 1，y 1）在椭圆上，故2=1，解得|x 1|=|y 1|=，此时点O 到直线AB 的距离为d =…（4分）②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l ：y =kx +m ．联立得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-4=0…（5分）所以x 1+x 2=-，，…（6分）由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，且y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+mk （x 1+x 2）+m 2…（7分）故（1+k 2）x 1x 2+mk （x 1+x 2）+m 2=0⇒（1+k 2）=0化简得5m 2=4（1+k 2），…（8分）故点O 到直线AB 的距离为d =综上，点O 到直线AB 的距离为定值…（9分）法二：（若设直线方程为l ：x =my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1=-x 2，y 1=y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故=0，即-x12+y12=0又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故2=1，解得|x1|=|y1|=，此时点O到直线AB的距离为d=…（4分）②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l：x =my+c．联立得：（m2+4）y2+2cmy+c2-4=0…（5分）所以y1+y2=-，…（6分）故=0⇒x1x2+y1y2=y1y2+（my1+c）（my2+c）=（1+m2）y1y2+mc（y1+y2）+c2=0⇒（1+m2）=0…（8分）化简得5c2=4（1+m2），故点O到直线AB的距离为d=综上，点O到直线AB的距离为定值…（9分）（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，由得，同理…（10分）故S△AOB=令1+k2=t （t＞1），则S=2故≤S＜1…（11分）综上，△AOB面积S的最小值为．…（12分）法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，S=，②当直线l的斜率存在时，5m2=4（1+k2），且点O到直线AB的距离为d =，|AB |===4=4故S=，…（10分）令1+4k2=t（t≥1），则S =，因为0＜≤1，故≤S≤1．…（11分）综上，△AOB面积S的最小值为．…（12分）。
黑龙江省大庆市铁人中学高二数学上学期开学考试试题
2016—2017高二开学质量检测（数学理）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每个题5分，共60分）1. 已知全集{}{}x y x B y y A R U x ln ,12,==+===，则B A C U ⋂)( =（ ） A ．φ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<121x xC ．{}1<x xD ．{}10≤<x x 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上， 则cos2θ=（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ． 45- 3.方程33=+x x的解所在的区间为 （ ）A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）4．若R b a ∈,,则下列恒成立的不等式是( )A.ab b a ≥+2B.2≥+b a a bC.22222⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a D ．4)11)((≥++b a b a (a ＋b)5.要得到)322sin(π-=x y 图像, 需要将函数x y 2sin =的图像（ ） A.向左平移23π个单位 B.向右平移23π个单位C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π个单位6.已知直线1l ：02=+-a y ax ，2l ：0)12(=++-a ay x a 互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣17.已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+= A. 16 B. 2213 C. 322 D. 13188．在△ABC 中，若2cos sin sin 2A C B =，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝C D ．A ＝B ＝C9．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x 则x y 的取值范围是.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 .B ),6[]59,(+∞⋃-∞ .C (][)36-∞+∞U ，， .D [36]，10．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点， 若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( ) A ．90° B ．45° C ．60° D．30° 11．定义np p p n+++Λ21为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=L （ ） A ．817 B ．919C ．1021D ．112312.分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3，则（ ）A.321V V V +=B. 232221V V V +=C.错误!未找到引用源。
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）第一次月考数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知命题p：∃x0∈R，使得e x0⩽0；命题q：a，b∈R，若|a−1|=|b−2|，则a−b=−1.下列命题为真命题的是()A. pB. ¬qC. p∨qD. p∧q3.命题“若x<0，则x<1”的否命题是()A. 若x<0，则x≥1B. 若x<1，则x<0C. 若x≥1，则x≥0D. 若x≥0，则x≥14.命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知焦点在y轴上的椭圆方程为x210−m +y2m−1=1，若该椭圆的焦距为2√6，则m为()A. 172B. 8 C. 52D. 107.椭圆E的短半轴长为3，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为()A. 513B. 35C. 45D. 12138.点P是椭圆x2100+y264=1上一点，F1，F2为椭圆两焦点，若∠F1PF2=90°，则△PF1F2面积为()A. 64B. 36C. 36(2−√3)D. 36√339.椭圆E的左右焦点为F1，F2，E上一点P到F1距离的最大值为7，最小值为1，则椭圆E的离心率的算术平方根为()A. 12B. √22C. √32D. 1710.平面内动点P到两点A、B距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(−2,0)，B(2,0)，λ=12，则此阿波尼斯圆的方程为()A. x2+y2−12x+4=0B. x2+y2+12x+4=0C. x2+y2−203x+4=0 D. x2+y2+203x+4=011.已知椭圆x2+y24=1和点A(12,12),B(12,1)，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为()A. [−2,−1]B. [−4,−2]C. [−4,−1]D. [−1,−12]12.给出下列四个结论：①若a、b∈[0,1]，则不等式a2+b2≤1成立的概率为π4；②由曲线y=x3与y=3x所围成的封闭图形的面积为0.5；③已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，若P(ξ≤5)=m，则P(ξ≤1)=1−m；④(√x+2√x )8的展开式中常数项为358．其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A(−1,0)，B(1,0)，动点P(x,y)满足：|PA|+|PB|=4，则点P的轨迹的方程是______ ．14.在ΔABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为________．15.点P(x,y)是椭圆x26+y24=1上的一个动点，则x+2y的最大值为______ ．16.若命题“∃x∈R，x2+2ax+a≤0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知命题p：c2<c和命题q：对任意x∈R，x2+4cx+1>0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．18.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为12，点P为椭圆上一动点，△PF1F2面积最大值为√3．(1)求椭圆方程；(2)若曲线C的方程为(x−t)2+y2=(t2+2t)2(0<t≤√22)，过点A(−2,0)的直线l与曲线C相切，求直线l被椭圆截得的线段长的最小值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ACD，△PAB都是等腰直角三角形，∠ACD=90°，四边形ABCD是直角梯形，且∠BAD=∠ABC=90°，AD=2．(1)求证：CD⊥PC；(2)求点A到平面PCD的距离．20.己知曲线C的方程是：x2+y2−2x−4y+m=0，点P(3,−1)．(1)若m=1，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，求直线l的方程；(2)若曲线C表示圆且被直线x+2y+5=0截得的弦长为2√5，求实数m的值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，图象经过点A(2,0)和点B(0,√3)过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为PQ的中点．(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(0,18)，且MN⊥PQ于N，求直线PQ的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x−2|<1”得1<x<3，由x2+x−2>0得x>1或x<−2，所以“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件，故选A．2.答案：B解析：【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．【解答】解：命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0，为假命题；若｜a−1｜=｜b−2｜，则a−1=±(b−2)，即a−b=−1或a+b=3，故q为假命题．则p为假命题；￢q为真命题；p∨q为假命题；p∧q为假命题．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查否命题，属于基础题．【解答】解：命题：“若x<0，则x<1的否命题为：”若x≥0，则x≥1，故选D．4.答案：B解析：p∨q为真，则命题p,q至少有一个真命题，p∧q为真则命题p,q均为真命题.则p∨q为真，p∧q 不一定为真；但p∧q为真，p∨q一定为真.所以命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件.解析：解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°−A，，即必要性成立．若A=B=30°，满足cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成立，即充分性不成立，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的诱导公式是解决本题的关键．6.答案：A解析：解：焦点在y轴上的椭圆方程为x210−m +y2m−1=1，则m−1>10−m>0，解得，112<m<10，椭圆的焦距为2√6，即有√(m−1)−(10−m)=√6，解得，m=172，符合条件，成立．故选A．由条件可得，m−1>10−m>0，求出m的范围，再由椭圆的焦距为2√6，列出方程，解得m，检验即可．本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：由题意，椭圆E的短半轴长为3可得出a2−c2=9，再由焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，可得出a−c=9或者a+c=9，当a−c=9时，与a2−c2=9联立可解得a+c=1，此种情况不合题意，舍去当a+c=9时，与a2−c2=9联立可解得a−c=1，再与a+c=9联立可解得a=5，c=4椭圆E的离心率为45故选C由题设条件椭圆E的短半轴长为3可得出a2−c2=9，再由焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，可得出a−c=9或者a+c=9，对两种情况分别讨论求出离心率，再选出正确选项本题考查椭圆的简单性质，解题的关键是根据题设条件得出a，b，c三个量之间的关系，由此关系结合a2=b2+c2，求出椭圆的离心率．8.答案：A解析：【分析】本题考查了椭圆的定义及其几何性质的应用问题，解题时应灵活地应用这些知识解答问题，是基础题．根据椭圆的定义，得出|PF1|+|PF2|=2a=20①，又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=144②；由①②求出|PF1|⋅|PF2|，即得△PF1F2面积．解：∵椭圆x2100+y264=1，∴a=10，b=8，c=6；∴|PF1|+|PF2|=2a=20①，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=144②；∴①的平方−②得，2|PF1|⋅|PF2|=256，即|PF1|⋅|PF2|=128；∴△PF1F2面积为S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=12×128=64．故选：A．9.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的性质求出a，c，然后求解离心率，推出结果即可．【解答】解：椭圆E的左右焦点为F1，F2，E上一点P到F1距离的最大值为7，最小值为1，可得a+c=7，a−c=1，则a=4，c=3，椭圆的离心率为：ca =34，则椭圆E的离心率的算术平方根为：√32．故选：C．10.答案：D解析：【分析】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查学生的计算能力，比较基础．由题意，设P(x,y)，则√(x+2)2+y222=12，化简可得结论．【解答】解：由题意，设P(x,y)，则√(x+2)2+y222=12，化简可得x2+y2+203x+4=0，故选：D．11.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属中档题． 由题意设出椭圆x 2+y 24=1的某弦的两个端点分别为P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，中点为M(x 0,y 0)，把P 、Q 的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ 的斜率与AB 中点坐标的关系得答案． 【解答】 解：设椭圆x 2+y 24=1的某弦的两个端点分别为P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，中点为M(x 0,y 0)，则x 12+y 124=1，x 22+y 224=1，两式作差可得：x 12−x 22=−y 124+y 224，即y 1−y 2x1−x 2=−4(x 1+x 2)y 1+y 2=−4x 0y 0∵A (12,12),B (12,1)，∴直线AB 方程为x =12，∴x 0=12， ∴k =y 1−y 2x 1−x 2=−4x 0y 0=−4×12y 0=−2y 0，由题意可知，12≤y 0≤1， ∴k =−2y 0(12≤y 0≤1)，则k ∈[−4,−2]． 故选B ． 12.答案：C解析：解：①若a ，b ∈[0,1]，则a ，b 对应的平面区域为正方形，面积为1，不等式a 2+b 2≤1成立，对应的区域为半径为1的圆在第一象限的部分，所以面积为π4，所以由几何概型可知不等式a 2+b 2≤1成立的概率是π4.所以①正确．②作出两个函数的图象如图：A(1,1)，B(−1,−1)，由函数的对称性和积分的几何意义可知所围成的封闭图形的面积为：2∫(103x−x 3)dx =2(34x 43−14x 4)|01=1，故不正确；③已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，则图象关于x =3对称，又P(ξ≤5)=m ，则P(ξ≤1)=P(ξ≥5)=1−m ，故正确；④(√x +2√x )8的展开式的通项为T r+1=C 8r ⋅2−r ⋅x 4−r ，令4−r =0，则r =4，可得常数项为358，故正确． 故选：C ．①利用几何概型进行判断；②作出函数图象，求出交点坐标，利用积分的几何意义，求面积即可；③已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，则图象关于x=3对称，利用P(ξ≤1)=P(ξ≥5)，可得结论；④(√x+12√x)8的展开式的通项为T r+1=C8r⋅2−r⋅x4−r，令4−r=0，则r=4，可得常数项．本题主要考查了各种命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强．13.答案：x24+y23=1解析：解：由|PA|+|PB|=4>|AB|，结合椭圆的定义有：动点P的轨迹是以A(−1,0)，B(1,0)为焦点的椭圆．∵c=1，a=2，∴b=√3，∴点P的轨迹的方程是x24+y23=1．故答案为：x24+y23=1．根据P到两个定点A、B的距离和等于定值，可得P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，结合椭圆的基本概念即可求出动点P的轨迹方程．本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程，着重考查了椭圆的定义，属于中档题．14.答案：5解析：解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD//AE，∵CD=5，BD=2AD，∴CDAE =23，解得AE=152，在RT△ACE，CE=√AC2−AE2=√25×3−1524=5√32，由BCCE=2得BC=2CE=5√3，在RT△BCD中，BD=√BC2+CD2=√25×3+25=10，则AD=5，故答案为：5．根据题意画出图象，延长BC、过A做AE⊥BC、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长．本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．15.答案：√22解析：解：由P在椭圆方程上，设P(√6cosθ,2sinθ)，(0≤θ≤2π)则x+2y=√6cosθ+4sinθ=√22sin(θ+φ)，tanφ=√64，由正弦函数的性质可知：−1≤sin(θ+φ)≤1，则x+2y的最大值为：√22，故答案为：√22．利用椭圆的参数方程表示出x+2y，利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得x+2y的最大值．本题考查椭圆参数方程，辅助角公式，正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．16.答案：(0,1)解析：【分析】本题主要考查命题的否定的应用，利用含有量词的命题的否定关系进行转化是解决本题的关键．根据命题的否定转化为判别式△的关系即可．【解答】解：命题的否定为：∀x∈R，x2+2ax+a>0，∵命题的否定为真命题，∴Δ=4a2−4a<0，解得：0<a<1，∴a∈(0,1)．故答案为(0,1)．17.答案：解：由命题p为真命题，可得c2<c，解得0<c<1.由命题q为真命题，可得△=16c2−4<0，解得−12<c<12.∵pⅤq为真，p∧q为假，故p和q一个为真命题，另一个为假命题．若p是真命题，且q是假命题，可得12≤c<1.若p是假命题，且q是真命题，可得−12<c≤0.综上可得，所求的实数c的取值范围为[12,1)∪(−12,0]．解析：本题主要考查复合命题的真假，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．先化简两个命题，当p是真命题，且q是假命题时，求得实数c的取值范围；当p是假命题，且q 是真命题时，求得实数c的取值范围．再把这两个实数c的取值范围取并集，即得所求．18.答案：解：(1)∵椭圆的离心率为e=ca =12，∴a=2c，b=√a2−c2=√3c，又当P为椭圆的短轴端点时，△PF1F2面积最大值为√3，∴12×2c×√3c=√3，解得：c=1，a=2，b=√3，则椭圆方程为x24+y23=1；(2)过点A(−2,0)与x 轴垂直的直线l 与曲线C 不相切，故可设直线l ：y =k(x +2)． 则|k(t+2)|√k 2+1=t(t +2)，化简得：t =|k|√k 2+1，t ∈(0,√22]， 由0<|k|√k 2+1≤√22，解得0<k 2≤1．联立{y =k(x +2)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2+16k 2x +16k 2−12=0． 直线l 被椭圆解得线段的一个端点为A(−2,0)，设另一端点为B ，则B(−2(4k 2−3)4k 2+3,12k4k 2+3)，有|AB|=√(−2(4k 2−3)4k 2+3+2)2+(12k 4k 2+3)2=12√k 2+14k 2+3． 令√k 2+1=n ，则|AB|=12n 4n 2−1=124n−1n，n ∈(1,√2]. 由函数y =4n −1n 在区间(1,√2]上为增函数，可得当n =√2时，y =4n −1n 取得最大值7√22． 从而|AB|min =7√22=12√27．解析：(1)由椭圆的离心率可得a ，b 与c 的关系，可知当P 为椭圆的短轴端点时，△PF 1F 2面积有最大值√3，由此列关于c 的方程求得c ，则a ，b 可求，椭圆方程可求；(2)过点A(−2,0)与x 轴垂直的直线l 与曲线C 不相切，故可设直线l ：y =k(x +2).由直线与圆相切可得t 与k 的关系，由t 的范围求得k 的范围，联立直线方程与椭圆方程，求出B 的坐标，利用两点间的距离公式可得|AB|=√(−2(4k2−3)4k 2+3+2)2+(12k4k 2+3)2=12√k 2+14k 2+3.令√k 2+1=n ，然后利用函数的单调性求解直线l 被椭圆截得的线段长的最小值．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，是中档题．19.答案：证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，∵∠ACD =90°，∴CD ⊥AC ，又PA ∩AC =A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，∴CD ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，∴CD ⊥PC ．解：(2)作AD 的中点E ，连结CE ，∵AD=2，∴AE=CE=ED=1，∴AB=BC=1，∵△PAB是等腰直角三角形，且PA⊥AB，∴PA=AB=1，∴AC=CD=√12+12=√2，PC=√12+(√2)2=√3，设点A到平面PCD的距离为h，由V P−ACD=V A−PCD，得13×12×AC×CD×PA=13×12×PC×CD×ℎ，解得ℎ=√63，∴点A到平面PCD的距离为√63．解析：本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查三棱锥体积公式，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，是中档题．(1)推导出CD⊥PA，CD⊥AC，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥PC．(2)作AD的中点E，连结CE，设点A到平面PCD的距离为h，由V P−ACD=V A−PCD，能求出点A到平面PCD的距离．20.答案：解：(1)m=1时，曲线C的方程是：(x−1)2+(y−2)2=4，表示圆心为(1,2)，半径为2的圆，∵直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，∴直线l与圆相切．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3，满足题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k(x−3)−1.即kx−y−3k−1=0．√k2+1=2⇒k=−512，直线l的方程为：5x+12y−3=0．综上所述所求直线l的方程为：x=3或5x+12y−3=0．(2)曲线C的方程配方得：(x−1)2+(y−2)2=5−m，若方程表示圆则5−m>0⇒m<5．圆心到直线x+2y+5=0的距离d=√5=2√5，根据圆的弦长公式2−d2=2√5，⇒2√5−m−20=2√5⇒m=−20．解析：本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系，弦长公式，属于中档题．(1)m=1时，曲线C表示圆，直线l过点P且与曲线C只有一个公共点，即直线l与圆相切，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=3．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k(x−3)−1.由圆心到直线距离等于半径求得k．(2)曲线C的方程配方得：(x−1)2+(y−2)2=5−m，若方程表示圆则m<5．根据圆的弦长公式2√r2−d2=2√5⇒m的值．21.答案：解：(1)∵图象经过点A(2,0)和点B(0,√3)，∴a=2，b=√3，∴椭圆C的方程为 x24+y23=1；(2)因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立{ y=k(x−1)x24+y23=1整理得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，由韦达定理知x1+x2=8k23+4k2，y1+y2=k(x1+x2)−2k=−6k3+4k2此时N(4k23+4k2,−3k3+4k2)，又M(0,18)，则k MN=18+3k3+4k20−4k23+4k2=−24k+3+4k232k2，∵MN⊥PQ，∴k MN=−1k ，得到k=12或k=32．∴直线PQ的方程为y=12(x−1)，或y=32(x−1)．解析：(Ⅰ)图象经过点A(2,0)和点B(0,√3)，可得a=2，b=√3，求解椭圆C的方程．(Ⅱ)因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立，由韦达定理求解N，M的坐标，MN⊥PQ，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．。
黑龙江省大庆铁人中学2019年高二上学期第一次阶段性检测数学试题 Word版含答案
铁人中学2018-2019学年度下学期第一次月考第I 卷（选择题）1. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样 2.有40件产品，编号从1到40，先从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为 （ ）A ．5,10,15,20B ．2,12,22,32C ．2,14,26,38D ．5,8,31,36 3、关于频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是A ．频率分布折线图与总体密度曲线无关 B. 频率分布折线图就是总体密度曲线 C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D ．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限的接近总体密度曲线,4.某射击小组有20个人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是A.7，7B.8,7.5C.7，7.5D.8，65.用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（ ）A . 3次B. 4次C. 5次D. 6次6.算法如果执行下面的程序框图，输入n=6，m=4， 那么输出的p 于（ ）024687.如图所示的程序框图运行的结果是( ) A ．B ．C ．D ．8.如图所示的程序框图，若输出的S 是30， 则①可以为（）A ．n≤2？B ．n≤3？C ．n≤4？D ． n≤5？9.下列程序执行后输出的结果是（ ）A ．－1B ．0C ．2D ．110.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”11．已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是 A ．相 B ．相交 C ．外切 D ．内切12．方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤512，34B ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，512D ．⎝⎛⎭⎫512，34第II 卷（非选择题） 二．填空题（共4小题，每题5分）13.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是 .14.用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6的值，当x ＝－4时，v 4的值为 15.将二进制数)2(11010化为八进制数为 (8)；16. 如果执行下面的程序框图，输入n=251， m=15，那么输出的结果是三．解答题：（共5小题，每题14分）17. 某移动公司对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否愿意使用4G 网络的社会 调查，若愿意使用的称为“4G 族”，否则称为“非4G 族”，得如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 频数 4G 族在本组所占比例 第一组 [25，30） 200 0.6 第二组 [30，35） 300 0.65 第三组 [35，40） 200 0.5 第四组 [40，45） 150 0.4 第五组 [45，50） a 0.3 第六组[50，55]500.3（1）补全频率分布直方图并求n 、a 的值；开始是 r=m MOD n输出n是 否输入m,nr=0 结束m>n x=n n=m否m=nn=r（2）用频率分布直方图估计“4G 族”年龄的中位数，和平均数（不用写过程只写数据） （3）从年龄段在[40，50）的“4G 族”中采用分层抽样法抽取6人参加4G 网络体验活动，求年龄段分别在[40，45）、[45，50）中抽取的人数．18.甲，乙两台机床在相同的技术条件下同时生产一种零件，现在从中抽测6个，尺寸（单位：mm ）如下甲机床：10.2 10.1 9.8 10.3 9.7 9.9 乙机床：11.0 10.4 9.6 10.1 8.9 10.0 （1）用茎叶图表示甲，乙两台机床的尺寸（2）分别计算上面两个样本的平均数和方差。
黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期期中数学(文)试卷及解析
黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期期中数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1.函数(21)y x =+的导数为（） A.21y x '=+B.2(21)y x ='+C.3(21)y x ='+D.4(21)y x ='+2.已知曲线323y x x =+上一点()1,5A ，则A 处的切线斜率等于( ) A.9B.1C.3D.23.命题“∀x>0，都有x 2－x≤0”的否定是 （ ） A.∃x 0>0，使得x 02－x 0≤0 B.∃x 0>0，使得x 02－x 0>0 C.∀x>0，都有x 2－x>0D.∀x≤0，都有x 2－x>04.双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A.x =B.20x y ±=C.20x y ±=D.x = 5.设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim 3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A.1(1)3f ' B. (1)f 'C. 3(1)f 'D. (3)f '6.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2离心率为√33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1 B. x 23+y 2=1 C. x 212+y 28=1 D. x 212+y 24=1 7.函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A. 4B. 2C. 0D. －28.函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ）A.0x =B.1x =C.1x =-或1D.1x =或09.抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(5,-在抛物线上，则抛物线的方程为()A.22y x =-B.24y x =-C.22y x =D.24y x =-或236y x =-10.若函数f (x )=kx −lnx 在区间(1,+∞)单调递增，则k 的取值范围是 （ ） A. (−∞,−2] B. (−∞,−1] C. [2,+∞) D. [1,+∞) 11.下列说法错误的是（ ）A.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B.“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C.若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D.命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”12.已知F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·(OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0（O 为坐标原点），|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，则椭圆的离心率为（ ） A.√6−√32B. √6−√5C. √6−√3D.√6−√52第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知双曲线221(0)x y a a-=>的焦距为4.则a 的值为________.14.已知:4p x a -<，:23q x，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________． 15.函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为_______ 16.函数13()e x f x x -=- 的图象在1x = 处的切线方程是________.三、解答题（题型注释）（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e xy x =.18.（Ⅰ）已知某椭圆过点(√2,1),(−1,√62)，求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）求与双曲线y 24−x 23=1有共同的渐近线，经过点M(3,−2)的双曲线的标准方程．19.命题p ：函数()()22lg 430y x ax aa =-+->有意义，命题q ：实数x 满足302x x -<-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20.已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=. （1）求实数,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间.21.己知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0，直线y x m =+交椭圆于不同的两点,A B（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点()1,1C ，当ABC ∆的面积为1时，求实数m 的值． 22.已知函数21()ln 2f x x a x =-. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当0a >时，1()2f x ≥在定义域内恒成立，求实数a 的值.参考答案1.D【解析】1.先根据完全平方公式对2(21)y x =+展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.因为22(21)441y x x x =+=++,则函数的导函数()()'244184421y x x x x '=++=+=+, 故选：D . 2.A【解析】2.求出函数323y x x =+的导数，然后在导数中令1x =，可得出所求切线的斜率.对函数323y x x =+求导得263y x '=+，故该曲线在点A 处的切线斜率为26139⨯+=， 故选：A. 3.B【解析】3. 利用全称命题“∀x∈M,p (x )”的否定为特称命题“∃x ∈M,¬p (x )”即可得结果因为全称命题的否定是特称命题，且需要改写量词，所以全称命题“∀x>0，都有x 2−x ≤0”的否定是特称命題“∃x 0>0，使得x 02−x 0>0”，故选B.4.B【解析】4.由2204x y -=，化简后求得双曲线的渐近线的方程.依题意，令2204x y -=，即12y x =±，也即20x y ±=.故选：B. 5.A【解析】5.利用在某点处的导数的定义来求解.0(1)(1)1(1)(1)1limlim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，故选A.6.A【解析】6.试题分析：若△AF 1B 的周长为4√3可知4a=4√3∴a =√3∵e =c a=√33∴c =1∴b 2=2，所以方程为x 23+y 22=17.B【解析】7.先求得函数在区间[]1,1-上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间[]1,1-上的最大值.令()2360f x x x '=-=，解得0x =或2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.8.B【解析】8.对函数进行求导得32()6(1)f x x x '=-，求方程()0f x '=的根，再判断根的两边导数值不同号，从而得到函数()f x 的极值点.函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B . 9.B【解析】9.首先根据题意设出抛物线的方程2(0)y mx m =≠，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案. 根据题意设出抛物线的方程2(0)y mx m =≠，因为点(5,-在抛物线上， 所以有205m =-，解得4m =-， 所以抛物线的方程是：24y x =-， 故选B. 10.D【解析】10.试题分析：，∵函数f(x)==kx −lnx 在区间(1,+∞)单调递增，∴在区间(1,+∞)上恒成立．∴，而在区间(1,+∞)上单调递减，∴．∴的取值范围是[1,+∞)．故选：D ．11.C【解析】11.A 中命题的逆否命题是条件与结论互换并且同时否定；B 中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C 中p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题；D 中非p 是特称命题的否定，为全称命题； 逐一判断即可得解.解：对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题； 对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C. 12.C【解析】12.：取PF 1的中点A ，连接OA ，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·(OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，对这个等式，进行化简，得到PF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 1⊥F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据椭圆的定义，结合|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，可以求出离心率.如下图所示：取PF 1的中点A ，连接OA ，∴2OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =12F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴OF ⃑⃑⃑⃑⃑ 1+OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∵PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 1⋅(OF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，∴PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 1⋅F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 1⊥F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，因为|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，所以设|PF 2|=m ，|PF 1|=√2m ， ..由椭圆的定义可知：∵|PF 2|+|PF 1|=2a =m +√2m ，∴m =1+√2=2(√2−1)a ，∵|F 1F 2|=2c ，∴4c 2=m 2+2m 2=3m 2=3×4a 2(3−2√2)， ∴c 2a =9−6√2=(√6−√3)2，∴e =√6−√3，故本题选C.【解析】13.根据双曲线方程，得到焦距为2==c ，求解，即可得出结果.因为双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，所以24===c ，解得a =14.[]1,6-【解析】14.解不等式4x a -<，得44a x a -<<+，由题意得出()()2,34,4a a -+，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可.解不等式4x a -<，得44a x a -<<+，由于q 是p 的充分不必要条件，()()2,34,4a a -+，4342a a +≥⎧∴⎨-≤⎩，解得16a -≤≤. 当1a =-时，则有()()2,35,3-；当6a =时，则有()()2,32,6.因此，实数a 的取值范围是[]1,6-. 故答案为：[]1,6-. 15.(1,)+∞，【解析】15.先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的递减区间.函数的定义域为()0,∞+，()2'11x f x x x x-=-=，故当1x >时，()'0f x <，也即函数的递减区间为()1,+∞. 故填：()1,+∞. 16.220x y +-=【解析】16.求函数的导数，利用导数的几何意义求得斜率，由点斜式写出切线方程. 因为13()ex f x x -=-， 所以12()e 3x f x x '-=-，所以1111(1)e10,(1)e 32f f -'-=-==-=-，故所求切线方程为02(1), 220y x x y -=--+-=即. 故答案为：220x y +-=. 17.（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e x x x +.【解析】17.（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案； （2）由导数的乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案．（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''. （Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x x x y x x x x ''=+=+'.18.（Ⅰ）x 24+y 22=1. （Ⅱ）x 26−y28=1.【解析】18.（Ⅰ）设出椭圆的方程，代入两个点的坐标即可求得椭圆的标准方程。
黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学(文)试题 Word版含解析
铁人中学2018级高二学年上学期月考考试数学试题（文科）第Ⅰ卷一、选择题1.下列语句中不是命题的有（ ）①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->． A. ①③④ B. ①②③C. ①②④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
②是疑问句，①④无法判断真假。
【详解】由题，②是疑问句，故不是命题； ①④是陈述句，但无法判断真假，故不是命题；③是陈述句，且可以得到315+≠，该语句不正确，即可以判断真假，故是命题； 故选C【点睛】本题考查对命题定义的理解，先判定是陈述句，再判定是否可以判断真假。
2.命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( ) A. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠B B. 若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝A C. 若A ∩B ≠B ，则A ∪B ≠A D. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ＝B 【答案】A 【解析】根据命题“若p ，则q ”的否命题为“若非p ，则非q ”可得“若A B A ⋃=，则A B B ⋂=”的否命题为“若A B A ⋃≠，则A B B ⋂≠”，故选A.3.双曲线2239x y -=的焦距为（ ） 6B. 6C. 3D. 3【解析】 【分析】先把双曲线方程化为标准方程，得到22193x y -=，根据a 、b 、c 的关系求得焦距【详解】由题意，双曲线的标准方程为22193x y -=，则29a =，23b =，22212c a b ∴=+=∴c =，∴焦距为2c =故选D【点睛】本题考查求双曲线的焦距，解题时需注意要在双曲线标准方程下找到a 、b4.设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ） A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙是甲的充要条件D. 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，要找到丙是甲的什么条件，就观察丙能不能推出甲，甲能不能推出丙即可，利用中间与乙的关系来分析【详解】甲是乙的必要条件，所以乙是甲的充分条件，即乙⇒甲； 丙是乙的充分但不必要条件，则丙⇒乙，乙⇒丙，显然丙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，故选A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的知识，需掌握充分及必要条件与命题之间的联系。
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黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分） 1.方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的条件是（ ） A.141<<m B.1>m C.41<m D.41<m 或1>m 2.在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2 3．如果a b >，那么下列不等式中正确的是( )A ．lg lg ,(0)a x b x x >>B ．22ax bx > C ．22a b > D ．22xxa b > 4.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+60002y y x y x ，则z ＝x ＋y 的最小值为( )A ．－3B ．－6C ．3D ．65.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）海里/小时 A． B． C． D． 6.在数列{}n a 中，13a =且对于任意大于1的正整数n ，点1(,)n n a a -在直线60x y --=上， 则357a a a -+的值为（ ）A ．27B ．6C ．81D ．97.若直线)0,(022>=+-b a by ax 平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ba 11+的最小值（ ） A.41 B.2 C.4 D.218.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)9.正四面体ABCD 中，E,F 分别是棱BC 、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为( )A.3 B ．3C. 3 D．210.过点()3,4P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB =( ) A．5．5 CD11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面 体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．102452++ B ．34 C ．38 D ．31612. 已知数列{}n a 的前n 项的和1(0,)nn S q q q =->且为常数，某同学得出如下三个结论：①{}n a 的通项是1(1)n n a q q -=-；②{}n a 是等比数列；③当1q ≠时，221n n n S S S ++<，其中正确结论的个数为（ ）．A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题（共4道小题，每题5分，共20分）13.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________． 14.若圆422=+y x 与圆)0(06222≠=-++a ay y x 的公共弦长为32，则______=a . 15.在锐角三角形ABC 中，B A 2=，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则ab的取值范围为_______. 16. 直三棱柱111C B A ABC -的各顶点都在同一球面上，若1AA AC AB ===2 ,120=∠BAC , 则此球的表面积等于________．三、解答题（共6道大题，共70分）17.（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且222.3b c a S +-=(1)求A ；(2)若a =，4cos 5B =，求c ．18.（12分）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．19.（12分）如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ， 底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：PA ∥平面BDE ；平面PAC ⊥平面BDE ；(2)（理）若二面角E BD C 为30°，求四棱锥P ABCD 的体积． （文 ）若30=∠COE ，求四棱锥P ABCD 的体积．20.（12分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5， ∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2. (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．21.（12分）已知以点C （t ∈R ，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点． (1)求证：OAB △的面积为定值；(2)设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程．22.（12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)， b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .大庆铁人中学高二年级上学期开学考试（数学）试题答案 一、选择题1-6.DBDBBA 7-12.CABDCC 二、填空题13.x －y ＋3＝0 14.1± 15.(23,22) 16.π20 三、解答题 17.解：（1）2222cos b c a bc A +-=，1sin 2S bc A =，∴代入已知等式得：12cos sin 2bc A bc A =，整理得：tan A =A 是三角形内角，60A ∴=.（2）B 为三角形内角，4cos 5B =，3sin 5B ∴==， ()()13sin sin sin 60sin cos 2210C B A B B B +∴=+=+=+=， 53a =sin 2A =，3sin 10C +=，∴由正弦定理得：sin 3sin a Cc A==+． 18.解(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令{ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得{ x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)．(2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有⎩⎨⎧≥+>0210k k 解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意．综上，k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,21kk ，B (0,1＋2k )，且⎪⎩⎪⎨⎧>+<+-021021k k k，解得k ＞0. ∴S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝12，∴S min ＝4，此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.19. (1)证明：连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥PA .∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . ∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面PAC .又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE . (2)取OC 中点F ，连接EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD . ∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E BD C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt△OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3. 20.解(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin∠ABD ＝12×2×5×sin∠ABD ＝2，可得sin∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以c os∠ABD ＝55.在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5. (2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin∠CBD ＝c os∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin∠BCD ＝2sin∠ABD ·c os∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BDsin∠BCD ＝CD sin∠CBD ，得CD ＝BD ·sin∠CBDsin∠BCD＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×54×54×45＝58.21.解：（1）因为圆C 过原点O设圆C 令0x =，得10y =，24y t=；令0y =，得10x =，22x t =， ，即OAB △的面积为定值4． （2）因为OM ON =，CM CN =，所以OC 垂直平分线段MN ． 因为2MN k =-，所以12OC k =，所以212t t =，解得2t =或2t =-． 当2t =时，圆心C 的坐标为()2,1，OC = 此时点C 到直线24y x =-+的距离d =<，圆C 与直线24y x =-+相交于两点，符合题意；当2t =-时，圆心C 的坐标为()2,1--，OC = 此时点C 到直线24y x =-+的距离d =>，圆C 与直线24y x =-+不相交， 所以2t =-不符合题意，舍去．综上，可得所求圆C 的方程为()()22215x y -+-=．22. 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n.当n ＝1时，b 1＝b 2－1，因为b 1＝1，所以b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1b n ＝n ＋1n，由累乘法得：b n ＝n .①，又∵b n ＝1，符合①式，∴b n ＝n(2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。