文科数学高考模拟试题份含详细答案

2013届广东高考数学（文科）模拟试题（一）满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z （）A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i --2、集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B I 等于（）A 、{|01}x x <≤B 、{|12}x x ≤<C 、{|12}x x <≤D 、{|01}x x ≤< 3、已知向量,a b r r满足||1,||1a b a b ==⋅=r r r r ,则a r 与b r的夹角为()A 、3πB 、34π C 、4π D 、6π4、函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）5、已知x ，y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为（）A 、12 B 、2 C 、32 D 、43 6、右边程序执行后输出的结果是S =() A 、1275 B 、1250C 、1225D 、1326 7、已知x 、y 取值如下表：俯视图正视图从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a =（）A 、1.30B 、1.45C 、1.65D 、1.808、已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（）A 、1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、(1,)+∞C 、(1,2)D 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭9A 10个端点）有(1,)n n n N *>∈个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445201220139999a a a a a a a a ++++=L L （） A 、20102011B 、20112012C 、20122013D 、20132012二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

(一）必做题（11-13题）11、若a ，b ，c 成等比数列，则函数c bx ax x f ++=2)(的图像与x 轴交点的个数为_______．12、如图，一不规则区域内，有一边长为1内随机地撒1000黄豆数为375的面积为平方米.（用分数作答）13、已知函数)(x f y =)(R x ∈满足)()2(x f x f =+，且[1,1]x ∈-时，2)(x x f =，则)(x f y =与5()log g x x =的图象的交点个数为.（二）选做题（14（1）和14（2）题，考生只能从中选做一题，若两题都做，则只能计算14（1）题的得分）14（1）、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程为：214x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为14（2）、（几何证明选讲选做题）如图所示，过O e 外一点P 作一条直线与O e 交于,A B 两点，己知弦6AB =，点P 到O e 的切线长4,PT =则PA =三、解答题：本大题共6小题，满分80证明过程和演算步骤。

16、（12分）已知向量2(2cos ,)m x =u u u r，n u u r()f x m n=⋅u u u r u u r（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求,a b 的值．17、（13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在7.95米及以上的为合格。

把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7. （1）求这次铅球测试成绩合格的人数；第14(2)题图（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a 、b 的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率.18、（13分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=o，4AB =，4BC =，13BB =，M 、N 分别是11B C 和AC 的中点．（1）求异面直线1AB 与1C N 所成的角的余弦； （2）求三棱锥1M C CN -的体积． 19、（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点A 为抛物线28y x =的焦点，上顶点为B ，离心率为32（1）求椭圆C 的方程； （2）过点2)且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，若线段PQ 的中点横坐标是25-，求直线l 的方程。

20、（14分）已知2()3,(),()ln f x x x m x R g x x =-+∈=（1）若函数()f x 与()g x 的图像在0x x =处的切线平行，求0x 的值； （2）求当曲线()()y f x y g x ==与有公共切线时，实数m 的取值范围；并求此时函数()()()F x f x g x =-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值（用m 表示）。

21、（14分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，nS 为其前n 项和，且满足221n n a S -=,n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n *N ∈，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n nT n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,mn T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．2013届广东高考数学（文科）模拟试题（一）参考答案一、选择题：1-10：DDCABABCDB 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

(一）必做题（11-13题）11、012、8313、414（1）相交14（2）2三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15、（12分）已知向量2(2cos ,)m x =u u u r，(1,sin 2)n x =u u r，函数()f x m n=⋅u u u r u u r（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．解：（1）22()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =⋅=⋅=+u u u r u u r (2)分cos 2122sin(2)16x x x π=+=++………4分∴函数()f x 的最小周期22T ππ== (5)分（2）31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62sin(=+πCΘC 是三角形内角，∴262ππ=+C 即：6π=C ………7分 ∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a ． (9)分将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：432或=a ∴23或=a ,∴32或=b ………11分Θb a >,∴2=a ，3=b ． (12)分16、（13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在7.95米及以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7. （1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a 、b 的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率. 解：（1）第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，……1分 ∴此次测试总人数为7500.14=(人).……2分∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．………4分（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等，……6分而前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内.……8分（3）设成绩优秀的9人分别为,,,,,,,,,a b c d e f g h k 则从中任意选出2人所有可能的情况为：PNMA1AC 1CB,,,,;de df dg dh dk ,,,;ef eg eh ek ,,;fg fh fk ,;gh gk hk ，共36种……10分其中a 、b 至少有1人入选的情况有15种，……12分 ∴a 、b 两人至少有1人入选的概率为155.3612P ==…………13分17、（13分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=o，4AB =，4BC =，13BB =，M 、N 分别是11B C 和AC 的中点．（1）求异面直线1AB 与1C N 所成的角的余弦； （2）求三棱锥1M C CN -的体积．解：（1）过A 作AQ ∥1C N 交11A C 于Q ，连结Q B 1，∴∠B 1AQ 为异面直线AB 1与C 1N 所成的角（或其补角）．……2分根据四边形C C AA 11为矩形，N 是中点，可知Q 为11A C 中点计算17,22,511===AQ Q B AB ……3分 由已知条件和余弦定理可得517cos 1=∠AQ B ……5分∴异面直线AB 1与C 1N 17…6分（2）方法一：过M 作11C A MH ⊥于H ，面⊥111C B A 面C C AA 11于11C A∴⊥MH 面C C AA 11……9分由条件易得：2=MH ……11分1NCC M V -MH C C NC ⨯⨯⨯=12131223222131=⨯⨯⨯⨯=……13分 方法二：取BC 的中点P ，连结MP 、NP ，则MP ∥1BBMNQC 1BH∴MP ⊥平面ABC ，……9分又NP ABC ⊂平面，∴MP NP ⊥ 又∵//NP AB ,∴NP BC ⊥ ∴NP ⊥平面11BCC B ……11分122PN AB ==, CM C N NCC M V V 11--=NP C C MC ⨯⨯⨯=11213122322131=⨯⨯⨯⨯=……13分18、（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点A 为抛物线28y x =的焦点，上顶点为B ，离心率为2（1）求椭圆C 的方程； （2）过点且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，若线段PQ 的中点横坐标是，求直线l 的方程解：（1）抛物线28y x =的焦点为(2,0)A ，依题意可知2a = …………2分因为离心率c e a ==，所以c = …………3分 故2221b a c =-= …………5分所以椭圆C 的方程为：2214x y +=…………6分 （2）设直线:l y kx =+由2244y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y可得22(41)40k x +++= (8)分因为直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点， 所以2212816(41)0k k ∆=-+> 解得1||2k > …………9分又1212224,4141x x x x k k -+==++ ……10分设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 中点00(,)M x y 因为线段PQ的中点横坐标是5-所以12022415x x x k +-===-+……12分解得1k =或14k =……13分 因为1||2k >，所以1k =因此所求直线:l y x =+ …………14分19、（14分）已知2()3,(),()ln f x x x m x R g x x =-+∈=（1）若函数()f x 与()g x 的图像在0x x =处的切线平行，求0x 的值； （2）求当曲线()()y f x y g x ==与有公共切线时，实数m 的取值范围；并求此时函数()()()F x f x g x =-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值（用m 表示）。