张家港市高三学生寒假自主学习能力测试 2013.2

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张家港市高三学生寒假自主学习能力测试 2013.2
数 学
注意事项：本试卷满分160分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．复数512i
+
-（i 是虚数单位）的模等于 ．
2. 已知向量a =（2,1）, b =（x ,2）,且a ＋b 与a －2b 平行，则x 等于 ．
3. 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝1
3sin 2θ＝ ．
4. 函数22y x x =-，[,]x a b ∈的值域为[1,3]-，则b a -的取值范围是 .
5.
已知函数()f x =(1)y f x =+的定义域为_________． 6. 数列{}n a 中，21=a ，n a a n n 41+=+，则n a = . 7. 右图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族
舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的方差为 .
8. 现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随 机抽取一个数,则它小于8的概率是 .
9. 设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3， 且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m m -2
，则m 的取值范围是 ．
10. △A B C 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0 ， ||||O A A B =
，则
CA CB ⋅
等于 .
11. 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的
解集为_______.
12. 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一 个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的3
16，则这两个圆锥中，
体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________． 13. 已知函数()f x =(31)4(1)log (1)
a a x a
x x x -+<⎧⎨
≥⎩
在R 上不是单调函数．．．．．．
，则实数a 的取值范围是 .
14. 已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上， 过P 点作圆M 的切线PA ，切点为A ，则经过,,A P M 三点的圆必过的定点
为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b .
(1)求sin C sin A 的值；(2)若cos B ＝1
4b ＝2，求△ABC 的面积S .
16．（本题满分14分）
如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．
(1) 证明：CM⊥DE；
(2) 在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.
工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为： 1
0,623
x c x p x c
⎧<≤⎪⎪-=⎨
⎪>⎪⎩ (
c 为常数， 且0<c <6).已知每生产1件合格产品盈利3
元，
每出现1件次品亏损1.5元.
（1）将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的左、右焦点分别为
12(,0),(,0)F c F c -，已知点（1，e
）和2e ⎛ ⎝
⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1A F 与直线2B F 平行，2AF 与1
BF 交于点P
，若122
AF BF -=，求直线1A F
已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=
(0,1,p p ≠≠-*
)n N ∈.
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .
①求p 的值及对应的数列{}k d ．
②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．
设a 为实常数，已知函数.)0(ln 2)(2>-=x x a x x f ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当0>a 时，关于x 的方程()2f x ax =有唯一解，求a 的值；
（3）当0≠a 时，证明：对一切()0,,x ∈+∞都有ex
e
a
x f x x
212)
(2
-
>
-.（其中e
为自然对数的底数，e=2.71828…）。