高三三模考试数学试题(理科)2017.6
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设命题p：∀x＞，log2x＜2x+3，则￢p为（）A。
∀x＞，log2x≥2x+3B。
∃x＞，log2x≥2x+3C。
∃x＞，log2x＜2x+3D。
∀x＜，log2x≥2x+32.已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数m+n∈R，则实数x的值为（）A。
﹣6B。
6C。
7D。
53.已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a等于（）A。
$\sqrt{13}$B。
$\sqrt{15}$C。
5D。
$\sqrt{17}$4.已知$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，则$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$的值等于（）A。
2B。
1C。
$\frac{1}{2}$D。
05.设集合A={x1，x2，x3，x4}，$x_i∈\{-1，1\}$，$i\in\{1，2，3，4\}$，那么集合A中满足条件“$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2≤3$”的元素个数为（）A。
60B。
65C。
80D。
816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A。
48B。
72C。
96D。
1207.设实数x，y满足$x^2+y^2=25$，$xy=12$，则$x+y$的最大值为（）A。
25B。
49C。
12D。
248.已知等比数列{an}，且$a_6+a_8=\frac{\pi^2}{2}$，则2xy的最大值为（）A。
$\pi^2$B。
$4\pi^2$C。
$8\pi^2$D。
$16\pi^2$9.若实数$a$、$b$、$c∈R^+$，且$ab+ac+bc+2\sqrt{(abc)^2}=1$，则$2a+b+c$的最小值为（）A。
2017年高考全国三卷理科数学试卷.doc
2017年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）2017.6理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 y2 B x y y x1. 已知集合 A {( x, y) | x 1}，{( , ) | } ，则A∩B 中元素的个数为A. 3B. 2C. 1D. 02. 设复数z 满足(1 + i) z = 2i，则| z | =A. 12B.22C. 2D. 23. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。
根据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7、8 月D. 各年 1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳5 3 3的展开式中x4. (x + y)(2x - y)y 的系数为A. -80B. -40C. 40D. 802 2x y5. 已知曲线C：1(a 0,b 0)2 2a b5的一条渐近线方程为y x22 y 2x，且与椭圆1有公共焦点，则12 3C 的方程为2 y2xA. 18 102 y2x1B.4 52 y2xC. 15 42 y2xD. 14 36. 设函数 f (x) cos(x ) ，则下列结论错误的是3A. f (x) 的一个周期为 2B. y f ( x) 的图象关于直线8x 对称3C. f (x) 的一个零点为xD. f ( x) 在( , ) 单调递减6 2理科数学第 1 页（共 4 页）7. 执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 28. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A. B. 3 4C. D.2 49. 等差数列{a n} 的首项为1，公差不为0，若a2、a3、a6 成等比数列，则{a n} 前6 项的和为A. -24B. -3C. 3D. 82 2x y10. 已知椭圆C：1(a b 0)2 2a b的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则 C 的离心率为A.63B.33C.23D.132 x a x 1 x 111. 已知函数 f (x) x 2 (e e ) 有唯一零点，则 a =A. 12B.13C.12D. 112. 在矩形ABCD 中，AB = 1，AD = 2，动点P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD，则的最大值为A. 3B. 2 2C. 5D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017高考全国3卷理科数学试题与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共 60分）1．已知集合 A ( x, y) x 2 y 2 1 ， B( x, y) y x ，则 AB 中元素的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0【答案】 B221 上所有点的集合， B 表示直线 yx 上所有点的集合，【解析】 A 表示圆 x y 故 A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即 A B 元素的个数为2，故选 B.2．设复数 z 满足 (1 i) z 2i ，则 z （）1 B ．2 C ． 2D ． 2A ．22【答案】 C2i 2i 1 i 2i 2 122 ，故选 C.【解析】由题， z1 i 1 ii 1 ，则 z 121 i23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误，故选 A.4． ( x y)(2 x y)5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．B ．C ． 40D ． 80【答案】 C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x 3 y3的项为x 22 x 23y 33240x 333 3C 5y C 5 2xyy，则 x y 的系数为 40，故选 C.225x ，且与椭圆5．已知双曲线C ：x2y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为 yx 2 y 2ab21 有公共焦点．则 C 的方程为（）123A ． x 2 y 2 1B ． x 2 y 21C ． x 2 y 21D ． x 2 y 218104 55443【答案】 B【解析】 ∵双曲线的一条渐近线方程为y5 x ，则 b5 ① 又∵ 椭圆x 2y 22 a21 与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则 a 2b 2 c29 ②123x2y2由①② 解得 a 2,b5 ，则双曲线 C 的方程为1，故选 B.456．设函数 f ( x)πcos(x) ，则下列结论错误的是（）38πA ． f (x) 的一个周期为2πB ． y f ( x) 的图像关于直线 x对称3C ． f ( xπ π ) 的一个零点为 xD ． f (x) 在 ( , π) 单调递减【答案】 D 62【解析】函数 fx cos xπ的图象可由 y cosx 向左平移π个单位得到，3 3 如图可知， f x在 π, π 上先递减后递增， D 选项错误，故选 D.2y- Ox67．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91，则输入的正整数N的最小值为（） A ． 5 B ．4 C ．3 D ． 2【答案】 D【解析】程序运行过程如下表所示：SM t 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3此时 S 90 91 首次满足条件，程序需在 t 3 时跳出循环，即 N2 为满足条件的最小值，故选 D.8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π ππ4C ．D ．【答案】 B２41 2【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径23 ， r122则圆柱体体积 Vπ 23πrh，故选 B.49．等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则a n前 6项的和为（）A ． 24B ． 3C ． 3D ． 8【答案】 A【解析】 ∵ a n为等差数列，且 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，设公差为 d .则 a 32 a 2 a 6 ，即 a 12d 2a 1 d a 15d又∵ a 1 1 ，代入上式可得 d 2 2d 0又∵ d 0 ，则 d 2∴ S 66a 1 6 5 d 1 6 6 5 224 ，故选 A.2 222xya b 0A 1A 2A 1 A 210．已知椭圆 C : a 2 b 21（ ）的左、右顶点分别为， ，且以线段 为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．6B ．3C ．21 33D ．３3【答案】 A【解析】 ∵ 以 A 1 A 2 为直径为圆与直线 bx ay2ab 0 相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴ d2aba22又∵ a0,b0 ，则上式可化简为 a 2 3b 2 ∵ b 2 a 2c 2，可得 a 23 a2c2，即 c22a 23∴ ec 6，故选Aa311．已知函数 f ( x) x 2 2xa(e x 1e x 1 ) 有唯一零点，则a（）1 1 1A ． ２B ． 3C ． 2D ． 1【答案】 C【解析】由条件，f ( x) 22xx 1e x 1x a(e) ，得：f (2x) (2 x) 2 2(2x) a(e 2 x 1e (2 x ) 1 )x 2 4 x 4 42x a(e 1 x e x 1 )22 x x 1e x 1x a(e ) ∴ f (2x) f (x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有唯一零点，∴ f ( x) 的零点只能为 x 1 ，即 f (1) 12 2 1 a(e 1 1e 1 1) 0 ，解得 a 1．212．在矩形 ABCD 中， AB 1， AD2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若APABAD ，则的最大值为（）yA ． 3B ． 2 2P gC ． 5D ． 2BC【答案】 A【解析】由题意，画出右图．设 BD 与 C 切于点 E ，连接 CE ．E以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴，xA(O)DAB 为y轴正半轴建立直角坐标系，则 C 点坐标为 (2,1) ． ∵|CD| 1，|BC | 2．22．∴BD 1 25 ∵ BD 切 C 于点 E ．∴CE ⊥BD ．∴ CE 是 Rt △ BCD 中斜边 BD 上的高 ．1 |BC| |CD|2 S △ BCD 22 2 2|EC ||BD | 5 5|BD |5即 C 的半径为 25 ．5∵P 在 C 上．∴ P 点的轨迹方程为 ( x 2)2( y 1)245 ．设 P 点坐标(x 0, y 0)，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：2x 0 2 5 cos 2y 0 15 sin而 AP (x 0 , y 0 ) ， AB (0,1) ， AD (2,0) ．∵ AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , )∴115，y 01 2 5 sin ．x 05cos52两式相加得：1 2 5sin15cos552( 2 5 )2 ( 5 )2 sin( )5 5 2 sin( ) ≤ 3(其中 sin5， cos2 5 )55当且仅当π2 k π， kZ 时，取得最大值 3．2二、填空题：（本题共4小题，每小题 5分，共 20分）x y ≥ 0,13．若 x ， y 满足约束条件xy 2 ≤ 0, 则 z 3x 4 y 的最小值为 ________．y ≥ 0,【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为 z 3 x 4 y ，则直线 3 zz 值越小．yx 纵截距越大， 由图可知： z 在 A 1,1 4 4处取最小值，故 z min 3 1 4 1 1 ．x y 2 0yA(1,1)B x(2,0)x y 014．设等比数列 a n满足 a 1 a 21 ， a 1 a 33 ，则 a4 ________．【答案】 8【解析】a n 为等比数列，设公比为 q ．a 1 a 2 1a 1 a 1 q 1 ① a 1 a 33 ，即 a 1 a 1 q 2 3 ② ， 显然 q 1， a 1 0 ，②得 1 q3 ，即 q2 ，代入 ① 式可得 a 1 1 ，①a 4 a 1q 3 138 ．2f (x)x 1,x ≤ 0, f ( x1115．设函数 2x , x 0,则满足 f (x))的 x 的取值范围是 ________．2【答案】1 ,4【解析】fxx 1,x ≤ 0， f x f x1 1 1 1 f x2 x , x 02，即 f x2由图象变换可画出yf x1 与 y1 fx的图象如下：2yyf (x 1)2( 1,1)4 4x1 122y 1 f (x)由图可知，满足 f x1 1 1 f x 的解为,.2416． a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边①当直线 AB 与 a 成②当直线 AB 与 a 成AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 60 角时， AB 与 b 成 30 角；60 角时， AB 与 b 成 60 角；③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45 ； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60 ．其中正确的是 ________（填写所有正确结论的编号）【答案】 ②③【解析】由题意知， a 、 b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图 形如图 ．不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC| 1， AB2，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心， 1为半径的圆 ．以 C 为坐标原点，以 CD 为 x 轴正方向， CB 为 y 轴正方向，CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系．则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ，直线 a 的方向单位向量 a(0,1,0) ， | a | 1 ．B 点起始坐标为 (0,1,0) ，直线 b 的方向单位向量 b (1,0,0) ， | b | 1 ．设 B 点在运动过程中的坐标B (cos ,sin,0) ， 其中 为 BC 与CD 的夹角， [0,2 π) ． 那么 AB '在运动过程中的向量 AB ( cos, sin ,1) ， | AB | 2 ．设 AB 与 a 所成夹角为[0, π] ，2则cos 故设AB( cos , sin ,1) (0,1,0)2| sin| [0,2] ．a AB22π π[ ,] ，所以③正确，④错误．4 2与 b 所成夹角为π[0, ]，2AB bcosb AB(cos,sin,1) (1,0,0) .b AB2| cos |2当AB与 a 夹角为60π时，即3，sin2cos 2 cos 2 12 ．∵ cos2sin 2322 1，∴ | cos| 2 ．2∴ cos2| cos| 1 ．22π∵[0, ]． 2π∴=，此时AB与b夹角为60．3∴② 正确，①错误．三、解答题：（共70分．第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22， 23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（ 12分）ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A 3 cos A 0 ，a 2 7 ，b 2．（ 1）求 c；（ 2）设D为 BC 边上一点，且AD AC ，求△ ABD 的面积．【解析】（1）由 sin A 3 cos A0 得2sin A π0 ，3即 A πkπk Z ，又A0, π，3∴ A ππ，得A2π33.1由余弦定理222.又∵a 27, b 2,cosAa b c 2 bc cos A代入并整理22得 c25 ，故c 4 .1（2）∵ AC2, BC27, AB 4 ，2 2 22 7 .由余弦定理 cosCab c2ab 7∵ AC AD ，即 △ACD 为直角三角形，则 ACCD cosC ，得 CD 7 .由勾股定理 AD CD 223 .AC 又 A2π DAB2π π π，则32 ，36 S △ ABD1AD AB sinπ3 .2618．（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完． 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10 ，1515 ，2020 ，25 25 ，3030 ，3535 ，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列； （ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【解析】 ⑴易知需求量 x 可取 200,300,500P X 2 16 1200 3 530 P X 36 2300 3 530 P X 25 7 4 2500 3 .30 5则分布列为：X 200 300 500P122555⑵① 当 n ≤ 200 时： Y n 6 4 2n ，此时 Y max 400 ，当 n 200 时取到 .②当 2004 2n 1 2 n 200 2 n ≤ 300 时： Y 2005 58 800 2n 6n 800n5 55此时 Y max 520 ，当 n 300 时取到 .③当 300n ≤ 500 时，Y1200 2n200223002n 30022n 25553200 2n5此时 Y 520.④当 n ≥ 500 时，易知 Y 一定小于 ③ 的情况 .综上所述：当 n 300 时， Y 取到最大值为 520 .19．（12分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 形．?ABD ?CBD ，AB= BD．（1）证明：平面 ACD ^ 平面 ABC ；（2）过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D- AE- C的余弦值．是正三角形，△ACD 是直角三角DECB【解析】⑴取 AC 中点为 O ，连接 BO ， DO ；A DABC 为等边三角形∴ BO AC E∴ AB BC CAB BCOBD BD ABDCBD .B ABDDBC∴ AD CD ,即ACD 为等腰直角三角形，ADC A为直角又 O 为底边 AC 中点∴DO AC令 AB a ，则 AB AC BC BD a易得：OD 2， OB3 a a22222∴ OD OB BD由勾股定理的逆定理可得DOB2即OD OBOD ACOD OB z AC OBO OD平面 ABC D AC平面 ABCOB平面 ABC又∵OD 平面ADC平面 ADC C E由面面垂直的判定定理可得平面 ABC ⑵由题意可知V D ACE V B ACE即B , D 到平面ACE的距离相等即E为 BD中点以 O 为原点， OA 为x轴正方向，OB 为y轴正方向， OD 为 z 轴正方向，设 AC a ，建立空间直角坐标系，则O 0,0,0 ， Aa a3,0,0 ， D 0,0,，B 0,a,0222OB yAx3 a，E 0, a,44a3a a a a易得： AE,a,， AD,0, ， OA,0,0244222设平面 AED的法向量为 n1，平面 AEC 的法向量为n2，AE n 1 03,1, 3则n 1 ，解得 n 1 ADAE n 2 0 0,1, 3OA n 2，解得 n 2若二面角 D AE C 为，易知为锐角，则 cosn 1 n 27n 1 n 272lC于 A ，B 两点，圆 M 是以2012分）已知抛物线 C : y = 2x2 0）的直线 交 ．（，过点（ ， 线段 AB 为直径的圆．（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（ 2）设圆 M 过点 P （ 4， - 2 ），求直线 l 与圆 M 的方程．【解析】 ⑴显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设 l : x my 2 ， A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， 联立：y 22 x得 y 22my 40 ，x my24 m216 恒大于 0 ， y 1 y 22m ， y 1 y 24 ．uuruuurOA OBx 1 x 2 y 1 y 2(my 1 2)( my 2 2)(m 2 1)y 1 y 2 2m( y 1 y 2 ) 4 uur uuur 4( m 2 1) 2 m(2 m) 4∴ OA OB ，即O 在圆 M 上．uuur uur⑵若圆 M 过点 P ，则 AP BP(x 1 4)( x 2 4) ( y 1 2)( y 2 2) 0(my 1 2)( my 2 2) ( y 1 2)( y 2 2) 0(m 2 1)y 1 y 2 (2 m 2)( y 1y 2 ) 8 02m 10 解得 m 1或 1化简得 2m21①当 m时， l : 2xy4 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，2y 0y 1y 2 1， x 01y 0 29 ，22249 22半径 r|OQ |142则圆 M : ( x 9 )2 ( y 1 )2 854 2 16②当 m 1 时， l : x y 2 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，y 0 y 1 y 2 1 ， x 0 y 0 2 3 ， 2半径 r|OQ |32 12则圆 M : ( x 3)2 ( y 1)21021．（ 12分）已知函数 f (x)x 1 a ln x ．（ 1）若 f (x) ≥ 0 ，求 a 的值；（ 2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， (1 + 1 1 1m ，求 m 的最)(1 + 2 ) 鬃?(1 n ) <2 2 2小值．【解析】 ⑴ f (x) x 1 a ln x ， x 0则 f ( x)1 a xa，且 f (1) 0当 a ≤ 0 x x上单调增， 所以 0x 1时， f x 0 ， f x 在 0 ， 时， f x0 ，不满足题意；当 a 0 时，当 0 x a 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 (0, a) 上单调递减；当 x a 时， f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (a,) 上单调递增．①若 a 1 ， f (x) 在 (a,1) 上单调递增 ∴ 当 x (a,1) 时 f ( x) f (1) 0 矛盾 ②若 a 1 ， f (x) 在 (1,a) 上单调递减 ∴ 当 x (1,a) 时 f ( x)f (1) 0 矛盾③若 a1 ， f ( x) 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1,) 上单调递增 ∴ f (x) ≥ f (1)0 满足题意综上所述 a 1 ．⑵ 当 a 1 时 f ( x) x 1 ln x ≥ 0 即 ln x ≤ x 1则有 ln( x 1) ≤ x 当且仅当 x0 时等号成立∴ ln(11 1 ， kN *k)k22一方面： ln(11 ) ln(11 ... ln(11 1 1 ...1 1 ，2 2 )n )22n 1n 122222即 (111 1e ．)(122 )...(12 n)2另一方面： (11 11 (1 1 1 )(1 1 1352)(1 2 )...(1 2 n ) )(1 2 2 3 ) 642 2 2 2 当 n ≥3 时， (1 1 1 1 (2,e))(1 2 2 )...(12 n )2 ∵ m *(1 1 1 1 m ，N ， )(1 2 )...(1 2 n )2 2∴ m 的最小值为 3 ．22． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （ 10分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为x t ,（ t 为参数），直线l的参数方程ykt,xm,为m（ m 为参数），设 l 与 l 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ．y,k（ 1）写出 C 的普通方程：（ 2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l : cos( nis ) ，M 为 l 与 C 的交点，求 M 的极径．【解析】 ⑴将参数方程转化为一般方程l 1 : y k x 2⋯⋯ ① l 2 : y1 x2 ⋯⋯ ②k① ② 消 k 可得： x 2y 24即 P 的轨迹方程为 x 2 y 2 4 ； ⑵将参数方程转化为一般方程l 3 : x y 2 0⋯⋯ ③联立曲线 C 和 l 3x y2x2y24x3 22解得2y2x cos5 由sin 解得y即 M 的极半径是 5 ．23． [选修 4-5：不等式选讲 ]（10分）已知函数 f ( x) | x | | x | ．（ 1）求不等式 f ( x) 的解集；（ 2）若不等式 f ( x) x x m 的解集非空，求 m 的取值范围．3, x ≤ 1【解析】 ⑴ f x| x1| | x2| 可等价为 f x2x 1, 1x 2 .由 f x ≥ 1 可得：3,x ≥ 2①当 x ≤ 1 时显然不满足题意； ②当 1 x 2时， 2x 1≥1 ，解得 x ≥1 ；③当 x ≥ 2 时， f x 3 ≥ 1 恒成立 .综上， f x1的解集为 x | x ≥ 1 .⑵不等式 f x ≥ x 2x m 等价为 f xx 2x ≥ m ，令 g xf xx 2 x ，则 g x ≥ m 解集非空只需要g xmax ≥ m .x 2 x 3, x ≤ 1而 g xx 2 3 x 1, 1 x 2 .2x 3, x ≥ 2x①当 x ≤ 1 时， gxmaxg13 1 15 ；2②当 1 x 2 时， g xmaxg 333 3 1 5 ；222 4③当 x ≥ 2 时， g x maxg 22 22 3 1 .综上， g xmax5，故 m5 .44。
山东省青岛市2017届高三第三次模拟考试数学理试题含答案
2017年青岛市高三自主检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0。
5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0。
5毫米黑色签字笔(中性笔）作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|110,N},{|}A x x x B x x a A =<<∈==∈，则A B = A ．{1,2,3} B ．{|13}x x << C ．{2,3} D．{|1x x <2．若复数z 满足24z=-，则复数z 的实部为A ．2C ．2- D ．0 3．某高校调查了2000.1制成了如图所示的频率分布直 方图，其中自习时间的范围是[17.530]，，样本数据分组为 [17.520)，，[2022.5)，， [) 22.5,25,[2527.5)，， [27.530]，。
则这200名学生中每周的自习时间不低于25小时的人数为A ．30B ．60C ．80D ．1204．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆 及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体 积是283π,则三视图中圆的半径为A ．2B ．3C ．4D ．65．在边长为4的正三角形ABC 中，12AD DB =,M 是BC 的中点，则AM CD ⋅=A ．16B ． C.- D ．8- 6．已知函数()f x 满足()()f x f x π-=，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则当0x π≤≤时，()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为 A.2π-B 。
哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题(理)含答案
______（其中 VP ABE 、 VP CDF 分别为四面体 P — ABE 、 P — CDF 的体积）.
15.已知数列
an 满足 an n2 4n cos nπ ，则 an 的前 50 项的和为______.
2 2 M 2,3 16.已知圆 C : x y 25 ，过点 作直线 l 交圆 C 于 A ， B 两点，分别过 A ， B 两
（Ⅰ）求 m 值和
2017 年高三第三次模拟考试
理科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔记清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.）
的离心率 e2 的范围是（
3 5 , A. 2 3 5 ,2 B. 3
）
2,3 C.
3 ,3 D. 2
ABC
2 ， P 在面 ABC 的射影为
11.三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 满足 BA BC ，
9 AC 的中点，且该三棱锥的体积为 2 ，当其外接球的表面积最小时， P 到面 ABC 的距离为 （ ）
2017年高考仿真试题(三)数学理科试题(含答案)word版
2017年普通高考理科数学仿真试题(三)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页,满分150分,考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“Z x ∈∃使022≤++m x x ”的否定是A.Z x ∈∃使m x x ++22＞0B.不存在Z x ∈使m x x ++22＞0C.对Z x ∈∀使022≤++m x xD.对Z x ∈∀使m x x ++22＞02.已知集合(){}{x y y B x x y x A x ,2,2lg 2==-==＞}0，R 是实数集，则A.[]1,0B.(]1,0C.(]0,∞-D.以上都不对 3.设i 为虚数单位，则1+i+i 2+i 3+…+i 10=A.iB.—iC.2iD.—2i4.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于A.7B.15C.31D.635.已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①;//m l ⊥⇒βα②;//m l ⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④.//βα⇒⊥m l其中正确命题的序号是A.①②③B.②③④C.①③D.②④6.ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin =B ，向量()().2,1,,==q b a p 若q p //，则C ∠的大小为 A.6π B.3π C.2π D.32π 7.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为A.6种B.12种C.18种D.24种8.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示：（单位：m ）则该几何体的体积为 A.337m B.329m C.327m D.349m 9.函数())(⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤-+=20cos ,011πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 A.23 B.1 C.2 D.21 10.已知数列{}n a 各项均为正数.若对于任意的正整数p 、q 总有q p q p a a a ⋅=+且8a =16，则=10aA.16B.32C.48D.6411.已知双曲线12222=-by a x （a ＞b ＞0），直线t x y l +=:交双曲线于A 、B 两点，△OAB 的面积为S （O 为原点），则函数()t f S =的奇偶性为A.奇函数B.偶函数C.不是奇函数也不是偶函数D.奇偶性与a 、b 有关 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗ab b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45 B.1 C.—1 D.45-第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树林的底部周长（单位：cm ）.根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右图），那么在这100株树林中，底部周长小于110cm 的株数是___________.＜ ＞b.14.从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准备线的垂线，垂足为M ，且5=PM ，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为_______.15.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤-≤-01,21,042y x y x x 表示的平面区域为()14,22≤+-y x M 表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一点，则该点落在平面区域N 内的概率是________.16.请阅读下列材料：若两个正实数21,a a 满足12221=+a a ，那么.221≤+a a证明：构造函数()()()()1222122221++-=-+-=x a a x a x a x x f ，因为对一切实数x ，恒有()0≥x f ，所以0≤∆，从而得()084221≤-+a a ，所以.221≤+a a 根据上述证明方法，若n 个正实数满足122221=+⋅⋅⋅++n a a a 时，你能得到的结论为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，()(),cos ,cos ,2,C B n c a b m =-=且m//n.（I ）求角B 的大小；（II ）设()(ωωωx B x x f sin 2cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=＞)0，且()x f 的最小正周期为π，求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在一次食品卫生大检查中，执法人员从抽样中得知，目前投放某市的甲、乙两种食品的合格率分别为90%和80%.（I ）今有三位同学聚会，若每人分别从两种食品中任意各取一件，求恰好有一人取到两件都是不合格品的概率.（II ）若某消费者从两种食品中任意各购一件，设ξ的分布列，并求其数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）（I ）求证：AE//平面DCF ；（II ）当AB 的长为29，。
2017年高考全国三卷理科数学试卷
B. -40
C. 40
D. 80
理科数学 第 1 页（共 4 页）
5.
已知曲线 C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线方程为
y
5 x ，且与椭圆 x2 y2 1有公共焦点，
2
12 3
则 C 的方程为
A. x2 y2 1 8 10
B. x2 y2 1 45
22. [选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 2 t,
在直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
y
kt,
(t为参数) ，直线 l2 的参数方程为
x 2 m,
y
m k
,
(m为参数) ，设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C。
根据该折线图，下列结论错误的是
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7、8 月
D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
4. (x + y)(2x - y)5 的展开式中 x3y3 的系数为
A. -80
已知函数 f (x) x 1 a ln x 。
（1）若 f (x) 0 ，求 a 的值；
（2）设
m
为整数，且对于任意正整数
n，
(1
1 2
)(1
1 22
)L
(1
1 2n
)
河北省2017届高考第三次模拟考试数学试题(理)有答案
唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{}220A x x x =-<(){}log 1B x y x ==-A B = A. B. C. D.()0,+∞()1,2()2,+∞(),0-∞2.已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）i ()211z i i -=+z A. B. C. D. 1355i--1355i +1355i-+1355i -3.总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的4个个体的编号为（ ）A.05B.09C.11D.204.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）()2222:10,0x y C a b a b -=>>20x y +=CC.25555.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）4y =xA.或或1B.C.3-2-2-或1D.12-6.数列是首项，对于任意，有，则前5项和（ ）{}n a 11a =*,m n N ∈3n m n a a m +=+{}n a 5S =A.121 B.25C.31D.357.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.D.43838.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x x e f x x e +=-eAB C D9.若，则（ ）()92901291x a a x a x a x -=++++…1239a a a a ++++=…A.1B.513C.512D.51110.函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ）()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>[]0,π3⎡-⎢⎣ωA. B. C. D.35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦53,62⎡⎤⎢⎣⎦5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.抛物线的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点2:4C y x =F N M y MNF ∠MF 在抛物线上，则的面积为（ ）E C MNF △D.2323212.已知函数有两个极值点，()32f x x ax bx =++12,x x且，若，函数，则（ ）12x x <10223x x x +=()()()0g x f x f x =-()g x A.恰有一个零点 B.恰有两个零点C.恰有三个零点D.至多两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，则在方向上的投影为 ．()3,1=-a ()2,1=b a b 14.直线的三个顶点都在球的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表ABC △O 2AB AC ==O ABC -面积为 ．15.已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则实数.,x y 102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩2z x y =+5-a =16.数列的前项和为，若，则 ．{}n a n n S ()*2142n n n S a n N -+=-∈na=三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，所对应的边分别为，，，.ABC △A B C a b c cos a b b C -=（1）求证：；sin tan C B =（2）若，为锐角，求的取值范围.1a =C c 18.某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t[)0,15[)15,30[)30,45[)45,60[)60,75[)75,90男同学人数711151221女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.（i ）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii ）记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望.X X 19.如图，平行四边形中，，ABCD 24BC AB ==，，，分别为，的中点，60ABC ∠=︒PA AD ⊥E F BC PE 平面.AF ⊥PED（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BF AFD 20.已知椭圆经过点.()2222:10x y a b a b Γ+=>>13,2E ⎫⎪⎭3（1）求椭圆的方程；Γ（2）直线与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点，，求的最大值.l 222:O x y b +=M ΓA B AB 21.已知函数，.()()2ln 1f x x ax =++0a >（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数在区间有唯一零点，证明：.()f x ()1,0-0x 2101e x e --<+<22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以P ()221:24C x y -+=O x 极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.O P 90︒Q Q 2C （1）求曲线，的极坐标方程；1C 2C （2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.()03πθρ=>1C 2C A B ()2,0M MAB △23.已知函数.()21f x x a x =++-（1）若，解不等式；1a =()5f x ≤（2）当时，，求满足的的取值范围.0a ≠()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()4g a ≤a唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：BACCD DBDAC BA 二．填空题：（13（14）（15）（16）544π3-12n n -三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由根据正弦定理得，cos a b b C -=sin sin sin cos A B B C -=即，()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B =得．sin tan C B =（Ⅱ）由余弦定理得，()222222cos 4428c a b ab C b b b =+-=+-=+-由知，cos a b b C -=21cos 1cos a b C C==++由为锐角，得，所以.C 0cos 1C <<12b <<从而有.218c <<所以的取值范围是.c (1,22（18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有人，则，解得.x 81004000x=320x =所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人.（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率：.454813114C P C =-=（ⅱ）可取0，1，2，3.X ，，()45481014C P X C ===()133548317C C P X C ===，，()223548327C C P X C ===()3155481314C C P X C ===的分布列为：X X 0123P1143737114.()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（19）解：（1）连接，因为平面，平面，所以，AE AF ⊥PED ED ⊂PED AF ED ⊥PF EDCBA在平行四边形中，，，ABCD 24BC AB ==60ABC ∠=︒所以，，2AE =23ED =从而有，222AE ED AD +=所以，AE ED ⊥又因为，AF AE A = 所以平面，平面，ED ⊥PAE PA ⊂PAE 从而有，ED PA ⊥又因为，，PA AD ⊥AD ED D = 所以平面.PA ⊥ABCD （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，E则，，，()0,2,0A ()23,0,0D ()3,1,0B -因为平面，所以，AF ⊥PED AF PE ⊥又因为为中点，所以，F PE 2PA AE ==所以，，()0,2,2P ()0,1,1F ，，，()0,1,1AF =- ()3,2,0AD =- ()3,0,1BF =设平面的法向量为，AFD (),,n x y z =由，得，，0AF n ⋅= 0AD n ⋅= 0320y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令，得.1x =(3,3n =设直线与平面所成的角为，则：BF AFD θ，2321sin cos ,27BF n BF n BF n θ⋅=<>==⨯ 即直线与平面.BF AFD 21（20）解：（Ⅰ）由已知可得，解得，，223114a b+=223a b -=2a =1b =所以椭圆Γ的方程为．2214x y +=（Ⅱ）当直线垂直于轴时，由直线与圆：相切，l x l O 221x y +=可知直线的方程为，易求l 1x =±3AB =当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，l x l y kx m =+由直线与圆，即l 22:1O x y +=211m k =+，221m k =+将代入，整理得，y kx m =+2214x y +=()222148440k x kmx m +++-=设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 122814kmx x k -+=+21224414m x x k -=+()222121214AB x k x x x x =-=++-2222144114k m k k +-==++又因为，221m k =+所以，()2222231431214k k kk AB k +++=≤=+，即231k k =+2k =综上所述，的最大值为2.AB （21）解：（Ⅰ），，()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++1x >-令，，()2221g x ax ax =++()24842a a a a ∆=-=-若，即，则，0∆<02a <<()0g x >当时，，单调递增，()1,x ∈-+∞()'0f x >()f x 若，即，则，仅当时，等号成立，0∆=2a =()0g x ≥12x =-当时，，单调递增.()1,x ∈-+∞()'0f x ≥()f x 若，即，则有两个零点0∆>2a >()g x ()12a a a x ---=()22a a a x -+-=由，得，()()1010g g -==>102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭121102x x -<<-<<当时，，，单调递增；()11,x x ∈-()0g x >()'0f x >()f x 当时，，，单调递减；()12,x x x ∈()0g x <()'0f x <()f x 当时，，，单调递增.()2,x x ∈+∞()0g x >()'0f x >()f x 综上所述，当时，在上单调递增；02a <≤()f x ()1,-+∞当时，在和上单调递增，2a >()f x ()2a a a ⎛--- - ⎝()2a a a ⎫-+-⎪+∞⎪⎭在上单调递减.()2a a a -+-（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.()00f =()10f x =此时，就是函数在区间的唯一零点.1x ()f x ()1,0-0x 所以，从而有，202210ax ax ++=()00121a x x =-+又因为，所以，()()2000ln 10f x x ax =++=()()00ln 1021x x x +-=+令，则，01x t +=1ln 02t t t--=设，则，()11ln 22h t t t =+-()221'2t h t t-=再由（1）知：，，单调递减，102t <<()'0h t <()h t 又因为，，()22502e h e --=>()1302e h e --=<所以，即.21e t e --<<2101e x e --<+<（22）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．1C 4cos ρθ=设，则，则有．(),Q ρθ,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，曲线的极坐标方程为． 2C 4sin ρθ=（Ⅱ）到射线的距离为M 3πθ=2sin33d π==，()4sin cos 23133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则1332S AB d =⨯=（23）解：（Ⅰ）,()21f x x x =++-所以表示数轴上的点到和1的距离之和，x 2-因为或2时，3x =-()5f x =依据绝对值的几何意义可得的解集为． ()5f x ≤{}32x x -≤≤（Ⅱ），()1121g a a a a=++-当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；0a <()2215g a a a=--+≥1a =-()4g a ≤当时，，01a <≤()221g a a a=+-由得，解得，又因为，所以；()4g a ≤22520a a -+≤122a ≤≤01a <≤112a ≤≤当时，，解得，1a >()214g a a =+≤312a <≤综上，的取值范围是．a 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
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部分学校高三仿真试题
理 科 数 学
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若
i i
ai
212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i -
2．已知集合{}
2
|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若A B A = ，则实数a 的取值范
围是
A ．(]1-∞，
B ．()1-∞，
C ．[)1+∞，
D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，2641
4
a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．
12 D ．1
8
4．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是
A ．3
[,0]4
- B ．[ C ．[ D ．2[,0]3
-
5．下列四个结论中错误的个数是
①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c
②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件 ③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,, n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,R n ax ax ax a a +++>∈ 的方差为12,则a 的值为2
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．8(4)π+
B ．8(8)π+
C ．16(
π+ D ．
7．
B D k 值是
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 9．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足
011-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
x y x y y ，则实数k 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--41,1 B ．⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-51,1 C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-5
1,41
10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)
x ∈-∞时，()2'<f x x ；若(2)()44+--≤+f
m
f m m ，则实数m 的取值范围是
A ．(]1，
-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在区间[]
0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ． 12．观察下列各式：3
1=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n = ．
13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg
2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41
a b
+的最小值是 ． 15．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过
F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，M 是边BC
的中点，cos BAM ∠=
, tan AMC ∠=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6
BAC π
∠=
，BC 边上的中线AM
ABC ∆的面积．
17．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =． （Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；
（Ⅲ）
若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值．
18．(本小题满分12分)
在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外
完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；
（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．
O
B
C
P
M
∙
19．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n b
n a a a a n =∈ ．若{}n a 是各项为正数的等比数
列，且14a =，326b b =+． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1
n n
c b =
-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N *n ∈，均有n k S S ≥． 20．（本小题满分13分）
已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ．
（Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求
2
2PM
PF 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知λ∈R ，函数()ln x
f x e x x λ=-（ 2.71828e = 是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2
,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当1
1,n n ne λ++⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．。