初一数学竞赛10
益智教育初一年级数学竞赛题(第10试) 姓名得分
一、选择题(每小题7分，共56分)
1．下面给出关于有理数a的三个结论：(1)a>－a，(2)|－a|>0，(3)(－a)2>0．其中，正确结论的个数为( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．某商场经销一批电视机，进价为每台a元，原零售价比进价高m％，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的n%，调整后的零售价为每台( )．A．a(1+m％·n％)元B．a(1+m％)n％元
C．a(1+m％)(1－n％)元D．a·m％(1－n％)元
3．从如图的纸板上l0个无阴影的正方形中选1个(将其余9个
都剪去)，与图中5个有阴影的正方形折成一个正方体，不同的
选法有( )．
A．3种B．4种C．5种D．6种
4．已知a、b是正整数(a>b)．对于如下两个结论：(1)在a+b、ab、a－b这三个数中必有2的倍数，(2)在a+b、ab、a－b这三个数中必有3的倍数，( )．A．只有(1)正确B．只有(2)正确
C．(1)、(2)都正确D．(1)、(2)都不正确
5．如果以一组平行的“视线”观看物体，那么从物体正上方往下看可得“俯视图"，从物体正左方往右看可得“左视图”，从物体正前方往后看可得“主视图’’．图2(1)中的正方体被经过相邻三条棱中点的平面截去一块后得到图2(2)的几何体．图(3)、(4)、(5)依次是小明画的该几何体的主视图、俯视图和左视图．其中，画得正确的图有( )．
A．O个B．1个C．2个D．3个
6．已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a<b<c、abc<O和a+b+c=O．那么线段AB与BC的大小关系是( )．
A．AB>BC B．AB=BC C．AB<BC D．不确定的
7．若a2003·(-b)2004<0，则下列结论正确的是（）
A .a>0,b>0 B.a<0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b≠0。
8．a1，a2，…，a2004都是正数．如果M=(a l+a2+…+a2003)(a2+a3+…+a2004)，
N=(a l+a2+…+a2004)(a2+a3+…+a2003)，那么M、N的大小关系是( )．A．M>N B．M=N C M<N D．不确定的
二、填空题(每题7分，共56分) 图3 9．图3中有个正方形，个三角形，个梯形．
10．如图，长方形纸片的长为a，宽为b．在相邻两边上各取
一个三等分点，过这两点的直线将把纸片分成一个三角形和一
个五边形．由不同的取点、画线所得的五边形中，按面积大小，
有种不同的情况，其中，最小的面积等于．
11．已知图中数轴上线段MO(O是原点)的七等分点A、B、C、D、E、F中，只
有两点对应的数是整数，点M对应的数m>－10，
那么m可以取的不同值有个，m的最小值为．
12．如果|m|、|n|都是质数，且满足3m+5n=－1，那么m+n的值等于．13．一个长方体的长为42 cm，宽为35 cm，高为31．5 cm．如果要把这个长方体正好分割成若干大小相同的小正方体(没有剩余)，那么这些小正方体至少有
个，这时所得小正方体的棱长为cm．
14．如图中有4个三角形和1个正方形．如果要把1～8这
8个自然数分别填入图中的8个圆圈中，使每个三角形顶点
处的3个数之和都相等，且与正方形顶点处的4个数之和也
相等，那么这个和等于．请在图中填入各数．
15．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1
得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有人．
16．某校初一年级5个班举行4项环境保护知识竞赛，每班各选派2名代表参加，
10名学生中，在同一个班的分别是：和，．和，
和，和，和．
三、解答题(每题12分，)
17．18×1=18，18×4=72，18×7=126，
18×2=36，18×5=90，18×8=l44，
18×3=54，18×6=108，18×9=162．
上列等式说明18是一个奇怪的二位数——18分别乘以1、2、3、4、5、6、7、8、9以后，所得乘积的各位数字的和不变．请你找出另外一个二位数，它也具有这种奇怪的现象，并加以验证．
18．某地区的民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50％，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60％，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20％，但9月份的电费却比8月份的电费少1 O%．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．
19.．已知正整数a、b、c、m、n中，m、n分别是a、b被c除所得的余数．(1)m+n与2c的大小关系是：m+n 2c．
(2)当m+n=
2b
a
且a>b时，a、b、c三个数各与m、n有什么样的关系(用等式表示)?
(3)写出满足上述所有条件的一组a、b、c、m、n的值。
人教版七年级数学竞赛试题含答案
七年级数学竞赛（时间40分钟，满分100分）姓名_______班级________分数_________1、（10）已知关于x 的一元一次方程a x 20223x 20211+=+的解为x=1，那么关于y 的一元一次方程a 6y 202236y 20211++=++）（）（的解为：________________. 2、（10）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，F (n )＝3n＋1；②当n 为偶数时，F (n )＝n 2k [其中k 是使F (n )为奇数的正整数]，两种运算交替重复进行．例如，取n ＝24，则：若n ＝13，则第2021次“F ”运算的结果是________________．3、（10）已知多项式－a 12＋a 11b －a 10b 2＋…＋ab 11－b 12.(1)请你按照上述规律写出多项式的第五项，并指出它的系数和次数；(2)这个多项式是几次几项式？4、（10）请你将如图所示的两个正方形和两个长方形拼成一个较大的正方形，并列式计算所拼图形的面积．5、（15）材料阅读题阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋2100的值．解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100.①将等式①两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2100＋2101.②②－①，得2S－S＝2101－1，即S＝2101－1.所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋2100＝2101－1.请你仿照此法计算：(1)1＋3＋32＋33＋34＋…＋32019＋32020.(2)已知数列：－1，9，－92，93，－94，…. (Ⅰ)它的第100个数是多少？(Ⅰ)求这列数中前100个数的和．6、（15）数学家苏步青先生有一次在德国与另一位数学家同乘一辆电车，这位数学家出了一道题请苏先生解答．甲、乙两人同时从相距10 km的A，B两地出发，相向而行，甲每小时走6 km，乙每小时走4 km，甲带着一只狗和他同时出发，狗以每小时10 km 的速度向乙奔去，遇到乙后立即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住．则这只狗共跑了多少千米？7、（15）已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋…＋a1x＋a0，求下列各式的值：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)a1－a2＋a3－a4＋a5；(3)a1＋a3＋a5.8、（15）如图，数轴上两个动点A，B开始时所对应的数分别为－8，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且点A的运动速度为2个单位长度/秒．(1)A，B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求点B的运动速度；(2)A，B两点按上面的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？(3)A，B两点按上面的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点C从原点出发向同方向运动，且在运动过程中，始终有CB∶CA＝1∶2，若干秒后，点C表示的数为－10，求此时点B表示的数．参考答案：1、-52、43、[解析] 观察所给条件，a 的指数逐次减1，b 的指数逐次加1，每一项的次数都为12.各项系数分别为－1，1，－1，1，…，“－1”与“1”间隔出现，奇数项系数为－1，偶数项系数为1.解：(1)第五项为－a 8b 4，它的系数为－1，次数为12.(2) 十二次十三项式．4、[解析] 根据题意拼出正方形ABCD ，将两个正方形和两个长方形的面积相加即可求出答案．解：如图所示，正方形ABCD 即为所拼图形．正方形ABCD 的面积是a 2＋ab ＋ab ＋b 2或(a ＋b)2.5、解：(1)设S ＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋32019＋32020.①将等式①两边同时乘3，得3S ＝3＋32＋33＋34＋…＋32020＋32021.②②－①，得3S －S ＝32021－1，即S ＝12(32021－1)． 所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋32019＋32020＝12(32021－1)． (2)(Ⅰ)第100个数是999.(Ⅰ)设S ＝－1＋9－92＋93－94＋…－998＋999.③将等式③两边同时乘9，得9S ＝－9＋92－93＋94－95＋…－999＋9100.④③＋④，得10S ＝9100－1，即S ＝110(9100－1)． 所以这列数中前100个数的和是110(9100－1)． 6、[解析] 本题已知狗的奔跑速度是每小时10 km ，求狗奔跑的路程，它的奔跑时间是解决本题的关键，狗从甲、乙两人出发到甲、乙两人相遇时，一直在两人之间不断地奔跑，因此狗奔跑的时间即甲、乙两人从出发到相遇的时间．解：根据题意，得x 10＝106＋4.7、解：因为(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋…＋a 1x ＋a 0，所以令x ＝0，得(－1)5＝a 0，即a 0＝－1.①令x ＝－1，得(－3)5＝－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0，即－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243.②令x ＝1，得15＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0，即a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1.③(1)③－①，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1－(－1)＝2.(2)①－②，得a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝(－1)－(－243)＝242.(3)(③－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＝(1＋243)÷2＝122.8、解：(1)设点B 的运动速度为x 个单位长度/秒，列方程为82x ＝4，解得x ＝1. 答：点B 的运动速度为1个单位长度/秒．(2)设两点运动t 秒时相距6个单位长度．①若点A 在点B 的左侧，则2t －t ＝(4＋8)－6，解得t ＝6；②若点A 在点B 的右侧，则2t －t ＝(4＋8)＋6，解得t ＝18.答：当A ，B 两点运动6秒或18秒时相距6个单位长度．(3)设点C 的运动速度为y 个单位长度/秒．由始终有CB ∶CA ＝1∶2，列方程，得2－y ＝2(y －1)，解得y ＝43. 当点C 表示的数为－10时，所用的时间为1043＝152(秒)，此时点B 所表示的数为4－152×1＝－72. 答：此时点B 表示的数为－72.。
初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)
初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。
当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。
则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。
#初中数学竞赛分专题训练试题及解析(10套,76页)
初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。
当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。
则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。
初一数学竞赛专题 (10)
初一数学竞赛第10讲计数的方法与原理计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。
一、枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京，他要了解所有可供乘坐的车次共有多少，一个最易行的办法是找一张全国列车运行时刻表，将所有从武汉到北京的车次逐一挑出来，共有多少次车也就数出来了，这种计数方法就是枚举法。
所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的方法。
运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。
例1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。
问：一共有多少种不同的方法？解：设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d。
先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法。
同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法。
一共有3＋3＋3=9（种）不同的方法。
例2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。
问：一共有多少种可能的情况？解：如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况。
同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况。
一共有 7＋7=14（种）可能的情况。
二、加法原理如果完成一件事情有n类方法，而每一类方法中分别有m1，m2，…，mn种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有：N=m1+m2+…mn种方法。
这是我们所熟知的加法原理，也是利用分类法计数的依据。
例3一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。
例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。
问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？解：一位回文数有：1，2，…，9，共9个；二位回文数有：11，22，…，99，共9个；三位回文数有：101，111，…，999，共90个；四位回文数有：1001，1111，…，9999，共90个；五位回文数有：10001，10101，…，99999，共900个；六位回文数有：100001，101101，…，999999，共900个。
初中数学竞赛：十进制的记数法
初中数学竞赛：十进制的记数法【内容提要】1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。
底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n (第n+1位上的数)例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×102、十进制的n 位数(n 为正整数)，n n a a a a 321 记作：10n-1a 1+10n-2a 2+10n-3+…+102a n-2+10a n-1+a n其中最高位a 1≠0，即0<a 1≤9，其它是0≤a 1,a 2,a 3…a n ≤93、各位上的数字相同的正整数记法：例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴99999个n ＝10n -1 11111个n ＝9110-n ， 33333个n ＝3110-n ， 55555个n ＝()91105-n4、 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。
【例题】例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。
解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x ＋1，根据题意，得 10x ＋1＝3（1×105＋x ） 7x=299999 x=42857∴原六位数是142857例2. 设n 为正整数，计算 99999个n × 99999个n ＋199999个n 解：原数＝（10n –1）×（10 n –1）+1×10n +10n －1 ＝102n －2×10n +1+10n +10n －1＝102n例3.试证明12，1122，111222，……， 1111个n 2222个n 这些数都是两个相邻的正整数的积 证明：12＝3×4， 1122＝33×34，111222＝333×334注意到333×334＝333×（333＋1）＝31-103×（31-103＋1） 由经验归纳法，得1111个n 2222个n ＝9110-n ×10n +()91102-n ＝3110-n （310n ＋32） ＝3110-n （)13110+-n 上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。
初一希望杯数学竞赛二试训练10
15.对任意两个正整数x,y，定义一个“※”新运算，即： x※y=2(2xy-x-y). 若正整数a,b满足a ※b=888,则这样的有序对（a,b）共有 对。
有序数对（a,b）共有4对。
16.若x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除，则ab=
.
17.y=|x+1|+|x+2|+|x+3|,当x= 最小值等于 。
2.北京奥运期间，体育场馆要对观众进行安全检查．设某体育馆在安检开始时已 有若干名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度 增加．又设各安检人员的安检效率相同．若用3名工作人员进行安检，需要25分 钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；若用6名工作人员进 行安检，时间则缩短了10分钟．现要求不超过5分钟完成上述过程，则至少要安 排（ ）名工作人员进行安检． A.9 B.10 C.11 D.12
可以设小长方形的长和宽为未知数，根据图示可以得到长和宽的比例关系的方程， 及根据小长方形的面积是3也可得到小长方形长和宽的一个方程式，解方程组即可 得到小长形的长和宽，再可得到长方形的周长．
7.方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解(x,y)的个数是（ A .0 B.1 C.3 D.无穷多
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
）
解：原方程可化为x（x+1）（x+2）+3（x2+x）=y（y-1）（y+1）+2， ∵三个连续整数的乘积是3的倍数， ∴上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．
∴原方程无整数解．
8.墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬 走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上 面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以 搬走（ ）个小正方体． A.25 B.28 C.24 D.27 留下靠墙的正方体，以及墙角处向外的一列正方体，依 次数出搬走的小正方体的个数相加即可．
初一数学竞赛系列讲座(10)_5
初一数学竞赛系列讲座(10)应用题（二）一、一、知识要点1、工程类问题工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。
它们满足如下基本关系式：工作效率⨯工作时间=工作总量解工程问题时常将工作总量当作整体“1”2、溶液类问题溶质：能溶解到溶剂中的物质。
如盐、糖、酒精等。
溶剂：能溶解溶质的物质。
如水等。
溶液：溶质和溶剂的混合体。
如盐水、糖水、酒精溶液等。
溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。
浓度的基本算式是：%100⨯=溶液量溶质量浓度二、二、例题精讲例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。
(1999年全国初中数学联合竞赛试题)解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得：⎩⎨⎧⨯=+⨯=+c b a c b a 1641640240 解得⎪⎩⎪⎨⎧==c b c a 323160 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为：61032031601010=+=+c c c c b a评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程。
实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b(用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。
例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程。
B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天。
为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程。
问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题)解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天。
将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%=5/4，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=+=++=++150596053 452430*********y x y x y x x y y x 去分母得，由此可解得x=15答：乙、丙二队合作了15天评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1。
初一数学竞赛系列练习16套 (含答案)全套 七年级
初一数学竞赛系列训练1——自然数的有关性质一、选择题1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( )A 、56B 、78C 、84D 、962、三角形的三边长a 、b 、c 均为整数，且a 、b 、c 的最小公倍数为60，a 、b 的最大 公约数是4，b 、c 的最大公约数是3，则a+b+c 的最小值是（ ）A 、30B 、31C 、32D 、333、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )A 、33B 、34C 、35D 、374、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( )A 、24B 、12C 、6D 、05、若正整数a 和1995对于模6同余，则a 的值可以是( )A 、25B 、26C 、27D 、286、设n 为自然数，若19n+14≡10n+3 (mod 83)，则n 的最小值是( )A 、4B 、8C 、16D 、32二、填空题7、自然数n 被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n 的最小值是8、满足[x,y]=6，[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有 组9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是10、有一个11位数，从左到右，前k 位数能被k 整除(k=1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是11、设n 为自然数，则3 2 n +8被8除的余数是12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是三、解答题13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。
14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。
15、五位数H 97H 4能被12整除，它的最末两位数字所成的数7H 能被6整除，求出这个五位数。
16、若a,b,c,d 是互不相等的整数，且整数x 满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9求证：4∣(a+b+c+d)17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？18、求2400被11除，所得的余数。
全国初中(7年级)数学竞赛辅导：第10讲-整式的乘法与除法
全国初中〔初一〕数学竞赛(jìngsài)辅导第十讲整式的乘法与除法中学代数中的整式是从数的概念根底上开展起来的，因而保存着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四那么运算就可以在许多方面与数的四那么运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最根底的局部，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法那么的根底上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．正整数指数幂的运算法那么：(1)a M· a n=a M+n； (2)(ab)n=a n b n；(3)(a M)n=a Mn； (4)a M÷a n=a M-n(a≠0，m＞n)；常用的乘法公式：(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数．解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为(yīn wèi)x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有(1-x)3=1-3x+3x2-x3，所以x2项的系数为3．说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要到达正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．解原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)=13x-7=9-7=2．说明注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．例3化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．解原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n=1+(-x)n．说明本例可推广为一个一般的形式：(a-b)(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n．例4 计算(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．分析(fēnxī)与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．例5 设x，y，z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，解先将条件化简：左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．所以条件变形为2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，即(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以说明(shuōmíng)本例中屡次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．多项式的除法比拟复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．解法1 用普通的竖式除法解法2 用待定系数法．由于(yóuyú)f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首r(x)= bx+ c．根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得x3-3x2-x-1比拟两端系数，得例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．解由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，假设设f(x)=x4+ax2-bx+2，假设f(x)能被x2+3x+2整除，那么x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即1+a+b+2=0，①当x=-2时，f(-2)=0，即16+4a+2b+2=0，②由①，②联立，那么(nà me)有练习十1．计算：(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；(2)(x+y)4(x-y)4；(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．2．化简：(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．3．z2=x2+y2，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．4．设f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．本资料来源于?七彩教育网?。
新星学校七年级数学竞赛试题及参考答案
2011年春新星学校七年级数学竞赛试题(10)试卷说明：1、本试卷共计18题，满分为100分2、考试时间为120分钟(命题:sgp991106，本卷侧重代数)一.选择题（每题5分，共30分）1．方程2009201132x y +=██24一组整数解(,)x y 是（ ）. （注：██是被墨水污染的两个数字，看不清楚）A.(79,83)B.(78,84)C.(77,85)D.(76,87)2.201012010(1)k xk k ==+∑，则x =( ). A.2010 B.2011 C.2012 D.20133. A 、B 两列车长分别180米、200米，它们相向行驶在平行的直轨道上，A 车上的乘客测得B 车经过其窗外的时间为10秒，则B 车上的乘客测得A 车经过其窗外的时间为( )秒．A.7.5B.8C.8.5D.94. 已知2220,2a b c a b c ++=++=，则()()()a b c b c a c a b +++++=( ).A.0B.1C.1-D.2-5. 23101111...2222++++=( ).1023A.1024 511B.512 255C.256 127D.1286．记123910...1111111111A a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且[]x 表示不超过x 的最大整数，01a <<，6A =，则a 的取值范围是( ). A ．461111a << B ．561111a <≤ C ．671111a ≤≤ D ．671111a ≤< 二．填空题（每题5分，共30分）7.将一个正n 边形的纸片（如图7.1）做成一个高相等且底面为正n 边形的无盖纸盒，纸盒的各侧面都与底面垂直（如图7.2），应在正n 边形的每个顶点处剪去一个四边形，如图7.1中的四边形ABCD 是其中的一个，则∠BAD= （用含n 的代数式表示）． 8.如图8是一个长方形的工件（单位：mm ），AB=10，BC=12，图中阴影曲折部分的宽度为1，顶端汇合的宽度是2，则图中阴影部分的面积是 mm 2．DA图8图7.2图7.1DCBA9.七（1）班新生有40多人，若每间宿舍住6人，则有1人无处住；若每间宿舍住7人，则有一间既不空也不满．则七（1）班新生共有人．10.若三个非负数a、b、c满足2310,22,a b c a b c++=+-=且3m a b c=++，则m的最大值与最小值的和是．11.某同学在电脑中打出如下排列的若干圆:●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○●••••••，按这种规律排列下去，前2012中圆中，其中○圆共有个．12.在三点和四点之间，经过分钟，时针和分针最后一次．．．．成60º角．三．解答题（共．6．道题．．，从中任选．．．．5．道题．．，多．选．做不加分．．．．，每题8分，合计40分）13.求所有满足算式3abcdef efabcd⨯=所有的六位数abcdef.14.某古币收藏者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币共计150枚，他要求每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．15.已知a是正整数，设63,91,129除以a的余数分别为123,,r r r，若12337r r r++=，试求a 的值．16.新星学校七、八年级数学培优时，分别购买了以下用品（如下表）．．．．．．．．．．．．17. 用8个大小一样的长方形如图A 那样可以拼成一个大长方形．如图B 那样可以拼成一个大正方形，但中间是空的，空处是一个边长为1cm 的小正方形，试求原来每个小长方形的长和宽.图A 图B18.仔细阅读下列材料，然后解答下列问题：某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在该商场消费满一定的金额后，可按如下的方案获得相应金额的奖券：根据以上促销方法，顾客在商场所内购物可获得双重优惠．例如：购买标价为450元的商品，则消费金额为450×80%=360元，获得的优惠金额为450×（1-80%）+30=120元．=购买商品获得的优惠金额设购买该商品得到的优惠率商品的标价．（１） 购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（２） 对于标价为x 元（500≤x ≤800）的商品，当x 的值为多少元时，顾客可以得到13的优惠？2011年春新星学校七年级数学竞赛试题(10)参考答案试卷说明：1、本试卷共计18题，满分为100分2、考试时间为120分钟(命题:sgp991106)一.选择题（每题5分，共30分）1．方程2009201132x y +=██24一组整数解(,)x y 是( ). （注：██是被墨水污染的两个数字，看不清楚）A.(79,83)B.(78,84)C.(77,85)D.(76,87)【分析】本题主要考查个位数方面的知识．显然只有A 满足方程.2.201012010(1)k xk k ==+∑，则x =( ).A.2010B.2011C.2012D.2013【分析】本题主要结合新定义运算，通过简单的级数求和变换解方程.201011...(1)2010(1)122334201020112011k x x x x x x k k ==++++=-=+⨯⨯⨯⨯∑． 2010201020112011x x ⇒=⇒=． 3. A 、B 两列车长分别180米、200米，它们相向行驶在平行的直轨道上，A 车上的乘客测得B 车经过其窗外的时间为10秒，则B 车上的乘客测得A 车经过其窗外的时间为( )秒．A.7.5B.8C.8.5D.9【分析】设A 、B 两车的速度分别为A v 、B v ，B 车上的乘客测得A 车经过其窗外的时间为t 秒，则10()20020A B A B v v v v +=⇒+=，于是有，201809t t =⇒=． 4. 已知2220,2a b c a b c ++=++=，则()()()a b c b c a c a b +++++=( ).A.0B.1C.1-D.2-【分析】本题主要考查等式的恒等变换能力.2222220,2()()()()2a b c a b c a b c b c a c a b a b c ++=++=+++++=-++=-∴Q5.23101111 (2222)++++=( ). 1023A.1024 511B.512 255C.256 127D.128【分析】本题主要通过数形结合的方法考查整体与局部的关系，选A ，详见教程分析. 6．记123910...1111111111A a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且[]x 表示不超过x 的最大整数，01a <<，6A =，则a 的取值范围是（ ）． A ．461111a << B ．561111a <≤ C ．671111a ≤≤ D ．671111a ≤< 【分析】本题主要考查取新定义运算中整函数在特定区间上的取值范围．123910,,,...,,1111111111a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦中前面4个必为0，最后6个必为1，因为 01a <<，故 1124561010...1 (121111111111111111)a a a a a a <+<+<<+<≤+<+<<+<<． 所以必有 44551,1111111111a a <+<≤+<．由 44710111111a a <+<⇒<<① 556111111111a a ≤+<⇒≤<②综合①②知 671111a ≤<．故选Ｄ．二．填空题（每题5分，共30分）7.将一个正n 边形的纸片（如图7.1）做成一个高相等且底面为正n 边形的无盖纸盒，纸盒的各侧面都与底面垂直（如图7.2），应在正n 边形的每个顶点处剪去一个四边形，如图7.1中的四边形ABCD 是其中的一个，则∠BAD= （用含n 的代数式表示）． 【分析】本题主要考查多边形的内角和定理及其推论．因为AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，所以∠C+∠BAD=180º，而∠C 与其外角互补，故∠BAD=360n︒．8.如图8是一个长方形的工件（单位：mm ），AB=10，BC=12，图中阴影曲折部分的宽度为1，顶端汇合的宽度是2，则图中阴影部分的面积是 mm 2．【分析】本题主要考查四种几何变换中的平移变换．将图中所有的横向部分向下（或上）平移，竖直部分向左（或右），易知为12×10-10×9=30．DCA图8图7.2图7.1DC B A9.七（1）班新生有40多人，若每间宿舍住6人，则有1人无处住；若每间宿舍住7人，则有一间既不空也不满．则七（1）班新生共有 人． 【分析】本题主要考查不等式组的实际应用．设有x 间宿舍，则有(61)x +人．于是有4061 6.5 6.5877(1)61718x xx x x x x x <+⇒<⎧⇒<<⇒=⎨-<+<⇒<<⎩，共有67143⨯+=人． 10.若三个非负数a 、b 、c 满足2310,22,a b c a b c ++=+-=且3m a b c =++，则m 的最大值与最小值的和是 ．【分析】本题主要考查方程与不等式的综合应用．0,023101101422440a b a b c a c c c a b c b c c ≥≥+=-=--≥⎧⎧⎧⇒−−−−→⇒≤≤⎨⎨⎨+=+=--≥⎩⎩⎩． 1433(1)(4)31413c m a b c c c c c m ≤≤=++=-+-+=+−−−→≤≤．故41317+=．（备注：本题参照七年级教程P113例5改编） 11.某同学在电脑中打出如下排列的若干圆：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○●••••••，按这种规律排列下去，前2012中圆中, 其中○共有 个．【分析】本题是应用方程与不等式找规律，主要考查估算能力．设前2012个圆分成1n +组，每组有一个空心圆，其中第 1n +组是k 个实心圆，则01k n ≤≤+．于是有(1)(11)(21)(31)...(1)201220122n n n k n k ++++++++++=⇒++=． 经试算，前61个空心圆所含有圆的总数是1952个，这1952个圆之后紧接着排列的是62个实心圆，在第61个空心圆后再加60个实心圆，即前2012个圆中空心圆的个数是61个．12. 在三点和四点之间，经过 分钟，时针和分针最后一次．．．．成60º角． 【分析•参考解法】本题考查环形追击问题．从三点起，设经过t 小时，时针和分针最后一次．．．．成60º角．则590306036011t t t ︒+︒+︒=︒⇒=，530036027111111t =⨯==（分）即3时32711分时，时针和分针最后一次．．．．成60º角． 三．解答题（共．6．道题．．，从中任选．．．．5．道题．．，多．选．做不加分．．．．，每题8分，合计40分） 13. 求所有满足算式3abcdef efabcd ⨯=所有的六位数abcdef .【分析】本题主要考查数位变换能力及不定方程相关知识． 设,abcd x ef y ==，则3(100)10000x y y x +=+，769,23x y =y 是两位数且能被23整除，故46,69,92,1538,2307,3076y x ==，即有三解，是153846,230769,307692．14.某古币收藏者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币共计150枚，他要求每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案． 【分析•参考解法】设兑换后1分、2分、5分的硬币分别为x 、y 、z 枚，则20,2015035035020233502004200420x y x y z x z x z x y z y z y z ≥≥++==-=-≥⎧⎧⎧⇒−−−−→⎨⎨⎨++==-=-≥⎩⎩⎩70453z ⇒≤≤ 又200440z y z z z >⇒>-⇒>，故4145z ≤≤．于是有5种不同的兑换方案如下表：15.已知a是正整数，设63,91,129除以a的余数分别为123,,r r r，若12337r r r++=，试求a 的值．【分析】设11223363,91,129(,1,2,3)iax r ax r ax r r a i=+=+=+<=123123123()()6391129283()246a x x x r r r a x x x+++++=++=⇒++=12312337()2462341,3373a x x x a r r r a++==⨯⨯>++=⇒>，且63a<，故41a=．16.新星学校七、八年级学生数学培优时，分别购买了以下用品（如下表）．已知各用品的单价都是整数元，求上表中各用品的单价．【分析】本题主要考查用方程解决实际问题及不定方程求整数解的能力．依题意，有532246428x y zx y z++=⎧⎨++=⎩消去z，得32775325xx y y-+=⇒=，取正整数解，仅当1x=时，5y=，此时2z=，17. 用8个大小一样的长方形如图A那样可以拼成一个大长方形．如图B那样可以拼成一个大正方形，但中间是空的，空处是一个边长为1cm的小正方形，试求原来每个小长方形的长和宽.图A图B【分析】本题主要考查应用方程解决实际问题的能力．设小长方形的长和宽分别为,xcm ycm．则355213x y xy x y==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩（方程形式有多种，但结果都一样）18.仔细阅读下列材料，然后解答下列问题：某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在该商场消费满一定的金额后，可按如下的方案获得相应金额的奖券：根据以上促销方法，顾客在商场所内购物可获得双重优惠．例如：购买标价为450元的商品，则消费金额为450×80%=360元，获得的优惠金额为450×（1-80%）+30=120元．=购买商品获得的优惠金额设购买该商品得到的优惠率商品的标价．（３）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（４）对于标价为x元（500≤x≤800）的商品，当x的值为多少元时，顾客可以得到13的优惠？【分析】本题主要考查分类讨论解决实际问题的能力．（１）消费金额为：1000×80%=800元，优惠金额为：1000×（1-80%）+130=330元，优惠率为：330÷1000=33%．（２）分两种情况：①当400≤80%x<500，即500≤x<625，则0.2601450500()3xxx+=⇒=<舍去；②当500≤80%x≤640，即625≤x≤800，则0.210017503xxx+=⇒=．即当顾客购买标价为750元的商品时，可以得到13的优惠率．。