初一数学竞赛试题及答案

45 分钟，所以甲一共可分为 4 个 30 分钟划行时间段，中间有 3 个 15 分钟休息．如 果甲开始向下游划， 那么他只能用 1 个 30 分钟的时间段向下游划， 否则将无法返回，
这时他离开码头的距离为： (3 1.4) 0.5 1.4 0.25 2.55 （千米）． 而返回用 3 个 30 分钟的时间段所走的距离为
这时， x
3b a ，
2
2
2x 3y 2(3b a) 3(a 2b) 6b 2a 3a 6b a
这说明整数 b 能使 x=-a+3b，y=a－ 2b 满足方程 2x+3y=a．
14．设此自然数为 x，依题意可得
x 45 m2 ① (m， n 为自然数 )
x 44 n2 ②
②－①可得 n2 m2 89 ， n2 x 44 m2 45 44 m2 ，
三、解答题 13． x ， y 是满足条件 2x 3y y 能表示为 x a 3b ， y a
a 的整数（ a 是整数），证明必存在一整数 2b 的形式．
b ，使 x ，
14．一个自然数减去 45 及加上 44 都仍是完全平方数，求此数．
15．某甲于上午 9 时 15 分钟由码头划船出游，计算最迟于 12 时返回原码头，已知河
2000 2001 2002
７．因为 a b b c c a =1 b cc aa b
所以 a b ，b c ，c a 中必有一个是正数，不妨设 b cc aa b
有两种情况：① a>b>c ②a<b<c
ab 0
bc
①当 a>b>c 时， b c ，c a 均为负数；②当 c aa b
所以 a b ，b c ，c a 中恰有两个是负数。 b cc aa b
字 e 变为五位数，又要是 9 的倍数，所以这个五位数数字和应是 9 的倍数，则补上末
位数字 e 是 8，所以 abcde 的最小值是 10008．
三、解答题
13．∵ 2x+3y=a
a 3y a y
∴x
y，
2
2
∵ x， y 是整数．
∴ a y 也是整数． 2
令b
a
3y ，则
y
a
2b ．
2
a 3y a 3(a 2b)
a<b<c 时， b c
c ，c aa
a 也均为负数 b
8．∵ a、 b 是整数，所以 a b 与 ab为 非负整数，由 a b ab 2 得：
a b 0， ab 2 ①
或 a b 1， ab 1 ②
或 a b 2， ab 0 ③
若①，由 ab 2，只能 a、b 中有一个为 ±2，另一个为 ±1，此时 a b 是奇数 与 a b 0 矛盾，故①不成立．
水的流速为 1． 4 千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达
3 千米／小时，如果
甲每划 30 分钟就需要休息 15 分钟， 并且船在划行中不改变方向， 只能在某次休息之
后往回划，问甲最多能划离码头多远．
1
答案
一、选择题
1．由于 a 19991999 1999 1001 1999 1 1
20002000 2000 1001 2000
初一数学竞赛试题及答案
一、选择题
19991999
20002000
20012001
1．已知 a
，b
，c
，则 a、b、c 的大小关系是 (
)
20002000
20012001
20022002
A ．a>b>c
B ．b>c>a
C． c>a>b
6．方程 x2－ y2=105 的正整数解有 ( )．
D． c>b>a
3
∴ n>m (n m)(n m) 89
但 89 为质数，它的正因子只能是 1 与 89，于是 n m 1 ， n m 89 ．
解之，得 n=45 ．代入 (2)得 x 452 44 1981 ．故所求的自然数是 1981． 15．甲划船的全部时间为 2 小时 45 分钟，他每划行 30 分钟，休息 15 分钟，周期为
xxx yx x
? ??
所能得到的尽可能大的三位数的和数是
11．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒
7 米的速度跑向百米
终点， 5 秒后甲听到乙的叫声， 看到乙跌倒在地， 已知声音的传播速度是每秒 340 米，
这时乙已经跑了 _____．米（精确到个位）
12．五位数 abcde是 9 的倍数，其中 abcd 是 4 的倍数，则 abcde的最小值是
8 88 98 8
994
所以所能得到的尽可能大的三位数的和数是
994
11．设乙跑了 x 米，则在 x 秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了
7
x 之和等于 5，所以
7
x
x
5，
340
5 11 7 340
35 17
340
34 米
1 x 秒，两段时间 340
12．要 abcde最小，必须 abcd 也最小，且被 4 整除，所以 abcd 是 1000．补上末位数
2000
b 20002000 2000 1001 2000 1 1 20012001 2001 1001 2001 2001
20012001 2001 1001 2001
1
c
1
20022002 2002 1001 2002
2002
因为
6． D
二、填空题
1
1
1 ，所以 a<b<c，即 c>b>0.5 1.7 （千米） 由此可见，甲如果开始向下游划，那么到
12 点时他将无法返回出发地．如果甲
开始向上游划，那么他可以用 3 个时间段向上游划，这时他最远离开码头的距离为
(3 1.4) 1.5 1.4 0.5 1.7 （千米） 并用最后一个时间段，完全可以返回码头．
A ．一组
二、填空题
B ．二组
C ．三组
D．四组
7． 3 个有理数 a、 b、 c 两两不等，则 a b ，b c ，c a 中有 b cc aa b
个是负数．
8． a、 b 是整数，且满足 a b ab 2 ，则 ab=
．
9．一个自然数与 3 的和是 5 的倍数，与 3 的差是 6 的倍数，这样的自然数中最小的 是 _________． 10．设 x、 y、 z 是整数数位上的不同数字．那么算式
若②，由 ab 1，只能 a、 b 同为 ±1，此时 a b 是偶数与 a b 1 矛盾，故
②也不成立．因此只能是③，此时 ab 0，有 ab=0
2
9． 27 10．由于和数是三位数，则 x 不可能取 9，否则和数会是四位数，因此 8，为了得到最大和， y 应当取 9，这样，题设的算式就变成
x 的最大值是