三大分布--正态分布

( k＝0,1, 2,, m ; m＝min{M，n} )
E(X ) nM
N
D(
X
)
nM
(N N
n)(N 2(N 1)
M
)
超几何分布的应用
注1：当n≤2时，虽可套用公式 但不如直接计算简捷 当n≥3时，套用公式 一般的，可减少操作量
注2：三个细节要留心 书写格式要正规 随机变量有范围 (高仿只用莫声张) 二项分布会区分
超几何分布的书写格式
由题意得X服从超几何分布
其中 N＝！,M＝！,n＝！
则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
(k＝0,1, 2,, m)
m ＝min{M，n}
从而X的分布列为
X
0
p
C C 0 n0 M NM
CNn
1
C C 1 n1 M NM CNn
… …
m
C C m nm M NM CNn
其密度函数f(xf ()x=)
1
e
(
x
80 200
)2
,
x,则(不, 正) 确的是
【B】
2 10
A.平均成绩为80分
B.分数在120分以上和分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上和分数在50分以下的人数相同
D.这次考试的成绩标准差为10
(4)设随机变量ξ～N(2,4),则D(2ξ+3)＝_1_6__
一、概念：
1.正态曲线： 称函数 f (x) , (x)
1
e
(x )2 2 2
,
x (, )
的图象
2
(其中μ和δ＞0为参量)为正态分布密度曲线,简称正态曲线
x =μ
x
2.正态分布：
若随机变量X满足
P(a X
b)
b
a , (x)dx
则称随机变量X服从正态分布. 记作 X～N(μ, δ2 )
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
(8)已知某工厂生产的圆柱形零件的外直径X～N(4,0.52) 质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查了 一个，测得它的外直径为5.7 cm，能否判断该厂生产 的这批零件是否合格？
析：由3δ原则及小概率事件原理可知：
个体落在区间(4-3×0.5,4+3×0.5)外几乎不可能的
一、概念：
1.正态曲线： 2.正态分布： 3.标准正态分布：
二、性质：
1.对称性 2.渐近性 3.最大值 4.面积为1
5.期望为μ，方差为δ2
三、应用：
正态曲线是钟型 指数二次组合体 要求概率求面积 左小右大总为 1 均值中众对称轴 比较方差武大郎 前数期望后方差 平方去π同上母
1.求概率及各参量： 2.小概率事件原理与3δ原则
§117 三大分布——正态分布
一、概念：
1.正态曲线： 2.正态分布： 3.标准正态分布：
二、性质：
1.对称性 2.渐近性 3.最大值 4.面积为1
5.期望为μ，方差为δ2
三、应用：
正态曲线是钟型 指数二次组合体 要求概率求面积 左小右大总为 1 均值中众对称轴 比较方差武大郎 前数期望后方差 平方去π同上母
随机变量有范围 (高仿只用莫声张)
若
X
~ H(n
,M
,N)
,则
P( X
k ) C C k nk M NM CNn
( k＝0?,1, 2,, m ; m＝min{M，n} )
若随机变量 X 符合超几何分布的条件 但 k ∈ {0,1,2,…,m } ,则 ①虽然 X 不是“正品”的超几何分布
②但概率公式，期望公式，仍然适用 即表象上；按照求一般分布列来处理 骨子里；按照超几何分布列来处理
(2)某市期末教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩 近似服从正态分布，则由如图所示的曲线可得下列说法 中正确的是 【A】
(A)甲学科总体的方差最小 (B)丙学科总体的均值最小 (C)乙学科总体的方差及均值都居中 (D)甲、乙、丙的总体的均值不相同
(3)某校高二期中考试后统计的数学成绩服从正态分布
由正态分布的对称性得 P(X≥1400)=0.6826+ 1 0.682 6 =0.8413 即所求概率为0.8413 2
②寿命最长的占0.13%，即寿命最长的概率是0.0013 而 P(1200＜X≤1800)= P(μ-3δ<X≤μ+3δ)＝0.9974 由正态分布的对称性得 P(X≥1800)=0.0013
而5.7 (2.5,5.5) 故可认为：该批零件是不合格的
(9)已知电灯泡的使用寿命X～N(1500,1002)（单位：h） ①购买一个灯泡，求它的寿命不小于1400小时的概率 ②这种灯泡中，寿命最长的占0.13%，这部分灯泡的 寿命至少为多少小时？
析：由题意得μ=1500，δ=100 ①因P(1400<X≤1600)=P(μ－δ<X≤μ＋δ)＝0.6826
2.小概率事件原理与3δ原则：
①小概率事件原理：
一般的，当P(A)≤0.05(或0.01)时 可以认为在一次试验中事件A几乎是不可能发生的 但在多次重复试验中几乎是必然发生的
② 3δ原则：
若X～N(μ,δ2).则
区间
δ原则 X ,
2δ原则 X 2 , 2
3δ原则 X 3, 3
超几何分布的概念
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数
则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
k＝0,1,2,…,m; m＝min{M，n}
X
0
1
…
m
即p
C C 0 n0 M NM CNn
C C 1 n1 M NM CNn
…
C C m nm M NM CNn
称该分布列称为超几何分布
所以这部分灯泡的寿命至少为1800小时
针对训练：
1.《精炼案》P：90 2.《精炼案》P：90 3.《精炼案》P：96
Ex 1 Ex 2 Ex 5
预习：
回归分析
注2：频率代概率 总数一大批 抽取要放回 二项分布也
二项分布常用的公式
若ξ～B(n,p),则
① P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1,2,..., n)
② E( ) np ③ D( ) np(1 p)
二项分布常见的题型
1.
明考 暗考
单变量 2. 双变量 a b
多变量 a b
1.求概率及各参量： 2.小概率事件原理与3δ原则
随机变量期望与方差的概念
若ξ的分布列为 ξ p
x1 x2 x3 … xn p1 p2 p3 … pn
① 则称 E x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn
为ξ的数学期望或均值，简称为期望.
② 则称 D (x1 E )2 p1 (x2 E )2 p2 ... (xn E )2 pn
5.期望为μ，方差为δ2
三、应用：
1.求概率及各参量： 2.小概率事件原理与3δ原则：
(1)(2008年安徽)设两个正态分布
N (1 ,12 )
和
N
(2
,
2 2
)的
密度函数图像如图所示.则有【D】
A. 1 2 ,1 2 B. 1 2 ,1 2 C. 1 2 ,1 2 D. 1 2 ,1 2
取值概率
0.6826 0.9544 0.9974
(7)(2015年山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)
服从正态分布N(0，32 )，从中随机取一件，其长度 误差落在区间(3,6)内的概率为 【B】
附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ, δ²)
则 P (μ-δ<ξ<μ+δ)=68.26% P (μ-2δ<ξ<μ+2δ)= 95.44%
,
N
D(
)
1
p p2
nM
(N n)(N nN(N 1)
M
)
⑩ E( ) E( ) E()
〇11 若ξ,η相互独立，则 E() E( )E()
随机变量期望与方差的求法
(1).定义法： (2).性质公式法： (3).图布的定义
——独立重复n次，恰好发生k次的概率
(5)(2008年湖南)设随机变量ξ～N(2,9) 若P(ξ＞c+1)＝P(ξ＜c-1) ,则 c＝ 【B】
A.1
B.2
C.3
D.4
(6)(2010年山东)已知随机变量Z～N(0,δ2) 若P(Z＞2)＝0.023，则 P(-2≤Z≤2)＝ 【C】
A.0.477 C.0.954
B.0.625 D.0.977
x=a
x=b
x
3.标准正态分布：
当μ=0，δ=1时的正态分布叫做标准正态分布
二、性质：
1.对称性
f (x) , (x)
1
( x )2
e 2 2
2
2.渐近性
正态曲线是钟型 指数二次组合体
3.最大值 4.面积为1
要求概率求面积 左小右大总为 1 均值中众对称轴 比较方差武大郎 前数期望后方差 平方去π同上母
一般的,在n次独立重复试验中 用X表示事件A发生的次数 设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1,2,..., n)
则称随机变量X服从二项分布
称 p 为成功概率 ,并记X～ B (n, p)
注1：互不影响为独立 概率相等即重复 重复n 次恰好 k 通项公式后项 p
称随机变量X服从超几何分布. 并记X～ H (n,M,N)
注：元素属性两大类 质量抽检是范例