不定积分的概念.ppt
合集下载
高数—不定积分 讲解和例题-PPT (1)
课外作业
习 4 — 1（A） （ ） 1（双） （ 习 4 — 1（B） （ ） 1（5，6，7，11）， （ ， ， ， ）， ），2
§2. 换元积分法
y = sin2x 是复合函数， 是复合函数，
∫ sin2xd x
1. 凑常数
如何积分？ 如何积分？
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
(d2x = 2dx) 1 例1： sin2xd x = ∫ sin2x d 2 x (2x = u) ∫ 2 1 1 1 = ∫ sinudu = − cos u+ C = − cos 2x + C. + 2 2 2
2
= x − x + arctan x + C.
1 3 3
从理论上来讲， 从理论上来讲，只需把积分结果 求导，就可检验积分是否正确。 求导，就可检验积分是否正确。但由 于函数变形及原函数间可相差一个常 数等因素，一般不检验。 数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至 关重要的。 关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到 上一步。 上一步。
dx 例5： 2 ∫ x − a2 (a > 0) 1 1 1 = ∫ − dx 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = ∫ −∫ 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a dx 1 a+ x = ln + C. (a > 0) 同理： 同理： 2 2 ∫ a − x 2a a − x
例： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的 ， 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线 倍的一条曲线。 切线斜率等于该点横坐标 倍的一条曲线。 解：设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, 的切线斜率 由题意，曲线上点 y)的切线斜率 dy = 6x, dx 2 ∴y = ∫ 6xdx = 3x + C , 为一簇积分曲线。 为一簇积分曲线。
不定积分的概念-PPT文档资料
F 2(x)co xds x six n C
由 F (0 ) 1 ,得 C 1 ,又 F (x)0
F (x )six n 1故f(x) coxs . 2six n1
三、 基本积分表（Ⅰ）
(1) kdxkxC ( k 为常数)
解 y2x
y2xdxx2C
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 212C
(1, 2)
C1 因此所求曲线为 yx2 1
o
x
例5 质点在距地面 x 0 处以初速 v 0 垂直上抛 ,不计阻 力, 求它的运动规律.
解 (2) 建坐标系. 取 x轴 （向上）：运动轨迹处，
求
1 x
d
x
解∴在xx<（>00时0,时+ ∞）[l内(nl n，xx())]有：1x1(1xd1)x1lnxC x x
∴在（0, +∞）内，有： 1xdxln(x)C
原式 lnxC
例4 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程 yf(x)
？ (F (x ) C ) f(x )
如 sin xdx co x s C
(co x sC )six n
6. 不定积分的几何意义 f(x )d x F (x ) C
f (x)原函数的图形 yF(x)： f (x)的积分曲线.
yF(x)C的图形： f (x)的积分曲线族.
初时刻: t 0, 初位移: x0 , 初速： v0 .
x
设时刻 t 质点位置：xx(t), 则
dx v(t) dt
(运动速度)
xx(t)
再由此求 x(t)
不定积分公式大全ppt课件
⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C
该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C
⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数)
该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
提到积分号的前面
⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于
线族。
例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。
解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
故y＝x2＋C，
∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，
解得C＝－1，
因此，所求曲线为y＝ppxt课2件－. 1。
6
三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
6
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sixnd xcox sC
ppt课件.
5
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x)
称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲
线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分
的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲
ppt课件.
12
一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
数学分析第八章 不定积分
(2) f '(x)dx f (x) C,先导后积需加上一个任常数
或 df (x) f (x) C.
精品文档
3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
精品文档
(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
精品文档
8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为 初等函数， f 的表达式能求出.
精品文档
我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表 达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
精品文档
或 df (x) f (x) C.
精品文档
3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
精品文档
(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
精品文档
8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为 初等函数， f 的表达式能求出.
精品文档
我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表 达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
精品文档
5.1不定积分的概念
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
F ( x )dx F ( x ) C ,
dF ( x ) F ( x ) C .
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
思考 1、 （1）求 （2）求 （3）求
若f ( x)的一个原函数为sin x
f ( x)dx
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x x dx 1 C ( 1);
C kdx kx 1
( k是常数);
dx x ln | x | C ;
（sin x） cos x
/
（cos x） sin x
/
1 2 （tan x） sec x 2 cos x 1 / (cot x) 2 csc 2 x sin x
W W W B W B Cv y ( ln ), 2 g C C W B
令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出
y= 238.4 (英尺)＜300(英尺)
问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做 法是极其危险的，必须改变.
数学是有用的
应用2
洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体。 当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
解：
Q i (t ) lim Q / (t ) t 0 t
Q / (t ) i (t ), 且Q(t ) t 0 0
Q(t ) － 时域的电容电路
+
（ 3
）
2
16
（
） 16 4
27
（
开方.
） log 3 27 3
换元法求不定积分 ppt课件
(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是
不定积分的定义和性质-PPT课件
C.
7
例4 求积分 3x e x dx.
2 根据积分公式（2）
解 3x e xdx (3e)xdx l(n3(e3x)ex)dxCx1311xlenx3C C
对被积函数稍加变形，化为指 数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; lna
(2) xdxx1 1C (1);
(3) dxxln| x|C;
说明： x
0
dx x
ln
x
C,
x0,[ln(x)] 1 ( x) 1
x
x
dxx ln(x)C,
dx x
ln|
x|
C.
(4) 11x2dxarctanxC; (1 0 ) s e cxta n x d x s e cx C ;
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C.
1
( 1)
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1 ) k d x k x C(k 是 常 数 ）
三、不定积分的性质
(1) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;
(2) kf(x)dxk f (x)dx.（k 是常数，k 0)
现证(1) f(x)dxg(x)dx
f(x)dxg(x)dx f(x)g(x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
精品课件-不定积分概念与基本积分公式
特别地 dxxC, 0dx C
cos xdx d sin x sinxC
x n d x d( 1 xn1) 1 xn1 C
n 1
n 1
12
F (x)f(x),
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
二、基本积分表
利用逆向思维
(1) kdx kxC ( k 为常数)
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中 — 积分号; f (x) — 被积函数;
x— 积分变量; f (x)dx — 被积表达式.
若 F (x)f(x),则
例如,
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数 不可丢 !
( F ( x ) G ( x ) ) f ( x ) f ( x ) 0 , x I ,
故 F (x ) G (x ) C ,x I.
注：若一个函数有原函数,则其原函数不唯一,且任两个原函数
相差一个常数.
6
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
定理1 若函 f(x数 )在区 I上 间 连 , 则续 f(x)在I上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
5
定理2 设 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间I上的一个原函数,则 (i) F(x)C是 f ( x ) 在区间I上的原函数,其中C为任意常数; (ii) f ( x )在I上的任两个原函数相差一个常数.
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 FAsint的作
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注
的积分
曲线族是 f (x) 的 所有积分曲线组成
y F(x)
的平行曲线族.
o
x0
x
例1 求 x d x
解
(2
3
x 2 )
1
x2
x
3
原式
2
3
x2
C
3
例2求 1 d x
1 x2
解
(arcsin x)
1 1 x2
原式 arcsin x C
例3
求
1 x
d
x
解
x >0时
(ln x) 1 x
(运动速度) 再由此求 x(t)
x x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
x0 x(0)
o
先由此求 v(t)
(2) 求
由
知
x
v(t) ( g )d t g t C1
由 v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) g t v0
由
知
x x(t)
x0 x(0)
o
x(t)
是f ( x) 原函数的一般表达式 ( C ：任意常数 ) .
问题: 原函数存在的条件?
4. 原函数存在定理 定理 存在原函数 .
初等函数在定义区间上连续则必有原函数
5. 不定积分定义
定义2 在区间 I 上， f ( x) 的含有任意常数项的
原函数 F ( x) C
上的不定积分,
记作 f ( x)dx , 即
dx
即 d ( f ( x)d x) f ( x) dx
亦即 d( f ( x)d x) f ( x)d x
d 与 抵消
(2) F( x)d x F ( x) C, (F( x) f ( x))
dF(x) F(x) C.
2. 线性运算性质
与 d 抵消,
相差一个常数
性质2 （1） k f ( x)dx k f ( x)dx
问题: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ?
m （ sin x C） cos x, （ e2x C ） e2x ,
2
2. 原函数定义 定义 1 若函数 F (x) 及 f (x)在区间 I 上满足
则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的原函数 .
3. 原函数的个数及原函数之间的关系
（或 arccot x C） （或 arccos x C）
（arctan
x）
1
1 x
2
sin xdx cos x C （tan x） sec2 x
(5)
不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f ( x)
第4章
第22讲 不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念 二 、不定积分的性质 三 、基本积分表（Ⅰ）
一、 原函数与不定积分的概念
1.引例 一质点(质量为 m) 在变力
沿直线运动 , 求质点运动速度 由牛顿第二定律, 加速度
？ (F( x) C) f ( x)
如 sin xdx cos x C
(cos x C) sin x
6. 不定积分的几何意义 f ( x)d x F( x) C
原函数的图形 y F ( x)：
的积分曲线.
y F ( x) C的图形：
的积分曲线族.
y y F(x) C
(g
t
v0
)d
t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 ,
故运动规律为
x(t)
1 2
g
t2
v0t
x0
二、不定积分的性质
1.不定积分运算与导数 （或微分）运算的互逆关系
性质1 （互逆运算） f ( x)d x F( x) C
(1) d F ( x) C f ( x),
（2）[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)d x
ห้องสมุดไป่ตู้
线性运算推论 若
则
n
f ( x)dx ki fi ( x)dx
i 1
例6 设 F ( x)为 f ( x)的原函数，F ( x) 0, F (0) 1,
当x 0时，有 f ( x)F ( x) 1 cos x, 求 f ( x). 解 依题设，知 F( x) f ( x) 2 代入 f ( x)F ( x) 1 cos x, 得
积分号
f ( x) d x F ( x) C 积分常数
( C 为任意常数 ).
积分变量 被积表达式
被积函数
注 求 f ( x)dx，只需求 f ( x)的一个原函数F ( x),
即若 F ( x) f ( x) , 则
f ( x)dx F( x) C
不可丢 !
所求不定积分的结果是否正确，只需检验：
（1）若 F (x) 为f (x) 的原函数，则 F (x) +C亦然； （2）若 F (x)、G(x) 均为f (x) 的原函数，则
G(x)=F (x) +C
证 [G( x) F( x)] G( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0
故
G(x) F(x) C
结论
F(x) C
∴在（0, +∞）内，有：
1 dx ln x C
x <0时
[ln( x)]
1
x
(1)
1
x
x
∴在（0, +∞）内，有：
1 x
dx
ln(
x)
C
原式 ln x C
例4 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程 y f ( x). 解
2 2F( x)F ( x) cos x 即 [F 2( x)] cos x,
F 2( x) cos x d x sin x C
由 F (0) 1, 得 C 1, 又 F ( x) 0
F( x) sin x 1 故 f ( x) cos x . 2 sin x 1
三、 基本积分表（Ⅰ）
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
y (1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
例5 质点在距地面 x0 处以初速 v0 垂直上抛 ,不计阻 力, 求它的运动规律.
解 (2) 建坐标系. 取 x轴 （向上）：运动轨迹处，
初时刻:
初位移: 初速：
设时刻 t 质点位置：
x 则
dx v(t) dt
(1) kdx k x C ( k 为常数)
(2)
x μdx
1 μ1
x μ1
C
dx
x
ln
x
C
x ( ln
0时 x )
[ln( x)]
1
x
( μ 1) x μ ( x μ1 ) μ1
积分表（Ⅰ）续1
(3) (4)
dx
1 x2
arctan
x
C
dx arcsin x C 1 x2
cos xdx sin x C