第02讲 函数的有关概念

第02讲 函数的有关概念 【考纲解读】2. 函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数） （1）函数① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． ③ 了解简单的分段函数，并能简单应用． ⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识梳理】1.函数：设A,B 是两个非空数集，若对于A 内的任意实数x ，在对应法则f 之下，在B 内都有唯一的实数y 与它对应，则f 叫做定义在A 上的一个函数，记作()A x x f y ∈=,2.映射：设A,B 是两个非空集合，若对于A 内的任意元素x ，在对应法则f 之下，在B 内都有唯一的元素y 与它对应，则f 叫做A 到B 的一个映射，记作y x f →：，y 叫做x 在f 之下的象，x 叫做y 在f 之下的原象.3.函数的定义域(1)函数的自变量的取值集合A 叫做定义域. (2)定义域的四个问题：①已知函数的解析式，求函数的定义域：使得函数表达式在实数范围内有意义的自变量的取值范围，一般要解不等式（组）,常见的类型： 分式的分母不为零；偶次根式的被开方数不小于零；对数式子的真数大于零，底数大于零且不等于1； 零次幂的底数不能等于零；指数函数的底数大于零且不等于1； 正切函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ ②实际问题中的定义域：要考虑实际问题的背景，恰当的限制自变量的取值范围.③复合函数或抽象函数的定义域问题： 已知函数()x f 的定义域为A ，求复合函数()()x g f 的的定义域，可以由解不等式()A x g ∈解决;④ 已知表达式中含有参数的函数的定义域，求参数范围： 常转化为不等式的恒成立问题.4.函数的值域:函数值的集合(){}A x x f y y ∈=, 求值域常用(1)观察法：从已知函数的定义域出发，利用不等式的性质，推出函数表达式的取值范围就是值域.(2)反表示法：由函数表达式()A x x f y ∈=,解出由y 表示x 的表达式，再根据已知定义域求解y 的不等式，就可以得到函数的值域.(3)单调性法：根据函数的单调性，确定函数的最值，或值域.5.函数的表示方法： (1)解析法: (2)图象法: (3)列表法6.分段函数：在一个函数由几个不同的式子构成.【典例精讲】考点一 函数与映射例1（2013·福建）设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.*,A N B N ==B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C.{|01},A x x B R =<<=D.,A Z B Q ==练习1.（2012安徽理）下列函数中,不满足．．．(2)2()f x f x =的是A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =+1D ．()f x x =-考点二函数的定义域例2.1(2013·山东文5)函数()f x =的定义域为(A)(-3，0] (B) (-3，1](C) (,3)(3,0]-∞-- (D) (,3)(3,1]-∞--练习2.1(2013·安徽文11） 函数2111ln x x y -+⎪⎭⎫⎝⎛+=的定义域为_____________例2.2（2013·大纲理4）已知函数)(x f 的定义域为)0,1(-，则函数)12(+x f 的定义域为A.)1,1(-B.)21,1(-- C.)0,1(- D ．)1,21(练习2.2（2008·江西3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是B A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)例2.3（2013陕西理）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x (单位m )的取值范围是(A)[15,20] (B)[12,25] (C)[10,30] (D)[20,30] 【答案】C练习2.3(2009· 山东理19·12分）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065. （1）将y 表示成x 的函数并给出定义域；（2）将垃圾处理厂建在何处时，对两个城市的总影响度最小？考点三 函数的值域例3（2009江西理）设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为( ) A ．2- B ．4- C ．8- D ．不能确定答案 B解析 12max ||()x x f x -==||a =4a =-，选B 练习3.1（2015·山东理14） 已知函数()xf x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += .解析：当1a >时11a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解； 当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，则13222a b +=-=-.3.2（2013·北京文13）函数f （x ）=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________.考点四 分段函数例4（2015·福建理）若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(1,2]考点：分段函数求值域．练习4.1（2015·新课标2理）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,则2(2)(log 12)f f -+=( ) （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】C 【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=练习4.2（2013·陕西文10）设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A)[][]x x -=- (B) []x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21(C)[][]x x 22= (D) 1[][][2]2x x x ++=【基础夯实】 1.[14·浙江] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且 0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9C 2.[2014·山东理] 函数()()1log 122-=x x f 的定义域为( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，B.()∞+，2C.()∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛，，2210D.[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，2210 3.（2015·陕西文）设10()2,0xx f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=A ．1-B ．14C ．12 D．32【答案】C考点：1.分段函数；2.函数求值. 4.[2014·安徽6]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则=⎪⎭⎫⎝⎛623πf ( )A.12B.32 C ．0 D ．－12 A5.[2014·江西] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 A6.（2012·江西理）下列函数中,与函数同的函数为 （ ） A.y=1sin x B ．y=1nx xC.y=xe xD.y=sin x x7.（2015北京理）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式. 8.（2011·福建文8）已知函数()⎩⎨⎧≤+>=0,10,2x x x x x f ，若()()01=+f a f ，则实数a 的值等于 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 【答案】A9.（2011· 辽宁理11）函数()x f 的定义域为R,()21=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．()1,1-B ．()+∞-,1C ．()1,-∞-D ．()+∞∞-, 【答案】B10.(2009·山东文)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)=⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-, 2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B.答案:B.【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 11.(2013·浙江文11)已知函数f(x)=x-1.若f(a)=3，13.(2015·新课标2文）已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则=a ． 【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式14.（2011·辽宁理9）设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则不等式2)(≤x f 的解集为A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞] D ．[0，+∞] 【答案】D15.（2012·上海理改编）已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的图像与函数()x h 关于直线x y =对称，求()x h 的解析式，并写出()x h 的定义域、值域.错误！未找到引用源。