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函数概念与基本初等函数第四讲指数函数对数函数幂函数答案

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复习系列4基本初等函数

复习系列4基本初等函数

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1.（2019全国Ⅰ理3）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.（2019天津理6）已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<3．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞4．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+5．(2018天津)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>6．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235xyz==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 7．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．(2016全国I) 若1a b >>，01c <<，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <9．(2016全国III) 已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<10．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．1211．（2015北京）如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤12．（2015天津）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<13．（2015四川）设,a b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 14．（2015山东）设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是 A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞15．（2011安徽）若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是A ．1(,)b aB ．(10,1)a b -C ．10(,1)b a+ D ．2(,2)a b16．（2011辽宁）设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）17．（2014山东）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是A ．0,1a c >>B ．1,01a c ><<C ．01,1a c <<>D ．01,01a c <<<<18．（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是19．（2010山东）函数22xy x =-的图像大致是20．（2010天津）设5log 4a =，5(log 3)b =2，4log 5c =，则A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c21．（2010辽宁）设25a bm ==，且112a b+=，则m = AB ．10C ．20D ．10022．（2010天津）若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞-二、填空题23.（2019浙江16）已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 24．(2018江苏)函数()f x 的定义域为 ．25．(2018上海)已知常数0a >，函数2()(2)x x f x ax =+的图像经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若236p qpq +=，则a =__________．26．(2016年浙江) 已知1a b >>，若5log log 2a b b a +=，b aa b =，则a = ，b = ． 27．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__．28．（2014天津）函数2()lg f x x =的单调递减区间是________． 29．（2014重庆）函数2()log )f x x =的最小值为_________．30．（2012北京）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += ． 31．（2012山东）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝__________． 32．（2011天津）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________． 33．（2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________．。

第一章第4节 复合函数与初等函数

第一章第4节 复合函数与初等函数

作 业
• 习题一的第16、17题（交） • 课外作业，习题一的1-20题中没做过的。
常见的经济函数
1、成本函数 某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用
总额，它由固定成本与可变成本组成． 平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产 品的成本． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条 件下，产品的成本与平均成本都是产量的函数． 成本函数 平均成本函数
3x 2 例如 函数 y ax bx c， y ， 4x 6
2
x 1 x 2 x , x 0 而y x , y 1 x x2 xn e , x ≥ 0
5
y ln
( x 2 1) cos 2 x
等都是初等函数；
是非初等函数。 大部分分段函数不是初等函数。
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
3、复合函数的中间变量可以不止一个，也就是可以由两个以上 的函数经过复合而成。
x 例如 y cot , 2
y u,
u cot v ,
v
x . 2
例 1：下列函数能否构成复合函数？若能，写出 y=f[g(x)]，并求 其定义域： （ 1） y u ,
（2）幂函数：y=x （常数
x
x
)
a
(特别地，常用对数 y=lgx，自然对数 y=lnx) （5）三角函数：y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx （6）反三角函数：y=arcsinx， y=arccosx， y=arctanx， y=arccotx，

2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第4节：幂函数与二次函数(教师版)

2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第4节：幂函数与二次函数(教师版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第4节二次函数性质的再研究与幂函数考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝1x的图像，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1.幂函数(1)幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.(2)常见的五种幂函数的图像(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图像都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图像都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图像和性质1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，>0，<0时，恒有f (x )>0；<0，<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图像过定点(1，1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数.()(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x 13不是幂函数，(1)错误.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a不在给定定义域内时，最值不是4ac－b24a，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)＝－xB.f(x)C.f(x)＝x2D.f(x)＝3x答案D解析取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝32，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意.故选D.3.(易错题)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.答案－∞，－16解析当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，二次函数的对称轴为直线x＝－12m，<0，－12m≤3，∴m≤－16.4.(易错题)已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________.答案(3，5)解析∵幂函数f(x)＝x－12在定义域(0，＋∞)上单调递减，∴由f(a＋1)<f(10－2a)，a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，∴3<a <5.5.(2018·上海卷)已知α－2，－1，－12，12，1，2，3若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.答案－1解析由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1.6.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________.答案22解析f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－x m 4＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.考点一幂函数的图像和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图像是()答案C解析设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图像在直线y ＝x的上方，对照选项，C正确.2.若幂函数f(x)＝(2b－1)x a2－10a＋23(a，b∈Z)为偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则a，b的值分别为()A.2，1B.4，1C.5，1D.6，1答案C解析由幂函数的定义得2b－1＝1，∴b＝1.又∵a2－10a＋23＝(a－5)2－2，函数f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，∴(a－5)2－2<0，故a＝4，5，6.又(a－5)2－2为偶数，∴a＝5.3.如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b答案D解析由幂函数的图像和单调性可知a<0，b>1，0<c<1，∴a<c<b.4.(2021·郑州质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图像关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图像不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图像关于y轴对称，因此m ＝2.5.若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________.答案(－∞，－1)23，32解析不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.感悟提升1.对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴.考点二二次函数的解析式例1已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一(利用“一般式”)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c 1，4ac －b24a＝8，a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用“顶点式”)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y＝f(x)＝＋8.因为f(2)＝－1，所以＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－（－a）24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案(1)x2＋2x＋1(2)x2－4x＋3解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图像关于x＝2对称.又y＝f(x)的图像在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图像上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图像和性质角度1二次函数的图像例2(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示.则下列结论正确的是______(填序号).①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0答案(1)①②⑤(2)C解析(1)由题图知，a<0，－b2a>0，c>0，∴b>0，ac<0，故②正确，③④错误.又函数图像与x轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；又由题图知f(－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确.(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图像如图所示.由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0>－1 2，所以f(m＋1)>f(0)>0.角度2二次函数的单调性与最值例3(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝3－a 2a，由f(x)在[－1，＋∞)a<0，3－a2a≤－1，解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0].(2)(2021·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a>0时，f(x)＝ax2－2x图像开口方向向上，且对称轴为x＝1 a .(ⅰ)当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增.∴f(x)min＝1a＝1a－2a＝－1a.(ⅱ)当1a>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x图像的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图像的开口方向向下，且对称轴x＝1a<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min－2，a<1，－1a，a≥1.感悟提升 1.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图像，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图像的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________.(2)函数f(x)＝a2x＋3a x－2(a>1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________.答案(2)2解析(1)由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立，当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；当x≠0时，a－1 6，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值1 2，所以a<1 2 .综上，实数a∞(2)令a x＝t，因为a>1，x∈[－1，1]，所以1a≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈1a，a，显然g(t)在1a，a上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值为2.感悟提升由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min.训练2(1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)(2022·泰安调研)当x∈(0，＋∞)时，ax2－3x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.答案(1)B(2)32，＋∞解析(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且a≠0)，∵f(3＋x)＝f(3－x)，∴a(3＋x)2＋b(3＋x)＋c＝a(3－x)2＋b(3－x)＋c，∴x(6a＋b)＝0，∴6a＋b＝0，∴f(x)＝ax2－6ax＋c＝a(x－3)2－9a＋c.又∵f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a<0，∴f(x)的图像是以直线x＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)由ax2－3x＋a≥0，得a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当x＝1时等号成立，∴y＝3x＋1x≤32，故a≥32.(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图像的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f(x)min＝1，当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2.1.若f (x )是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则()A.3B.－3C.13D.－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴＝13.2.若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且其图像与坐标轴无交点，则f (x )()A.是偶函数B.是定义域内的减函数C.是定义域内的增函数D.在定义域内没有最小值答案D解析幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 的图像与坐标轴无交点，可得m 2－m －1＝1，且m ≤0，解得m ＝－1，则函数f (x )＝x －1是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值.3.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图像大致是()答案C解析∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＋54，因此，结合图像，选项C 正确.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b答案B解析∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是()A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，2)答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图像的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求.综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞).6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝()A.0B.1C.12D.2答案A解析BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0.7.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.答案－22，解析因为函数图像开口向上，（m ）＝m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案5解析f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图像关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，（1）＝1－2a ＋b ＝a ，（a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1.消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a的取值范围为________.答案解析由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x2＝－＋12，14<1x<1，max＝12，∴a >12.10.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R ).(1)若函数f (x )的图像过点(－2，1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[3，5]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围.解(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＋1.由g (x )的图像知，要满足题意，则k －22≥5或k －22≤3，即k ≥12或k ≤8，所以所求实数k 的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞).11.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝2x ＋m 的图像的上方，求实数m 的取值范围.解(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.所以令g(x)＝x2－3x＋1－5 4，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是()A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案B解析由于f(x)＝x2－2tx＋1的图像的对称轴为x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.13.(2022·太原调研)对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；丙：分别研究两个函数y1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；丁：尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为______.答案3 2解析选丙.画出y2＝x2－ax－1的草图，y2＝x2－ax－1过定点C(0，－1).∴y2＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，又y1＝(a－1)x－1也过定点C(0，－1)，故直线y1＝(a－1)x－1只有过点A，C才满足题意，∴a－1>0，即a>1，令y1＝0得x＝1a－1，y2＝x2－ax－1，－aa－1－1＝0，解得a＝0(舍)或a＝3 2 .14.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.解(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图像的对称轴为直线x＝－32∈[－2，3]，∴f(x)min＝＝94－92－3＝－214，f(x)max＝f(3)＝15，∴f(x)的值域为－214，15.(2)函数图像的对称轴为直线x＝－2a－12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12>1，即a<－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.综上可知，a＝－13或－1.。

函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案

函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案

函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()()2214sin 2xxex f x e -=+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2x x xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xxf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx xf x e x e x f x e e --''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xxg x e x e =-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x xg x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD 【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-，将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍），结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.3．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，，t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．4．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e -<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e-=-，()2120f e-=-<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e=-有3个交点，即函数()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.6．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；C ．函数2()f x x =不是回旋函数；D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，上至少有2015个零点.【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；B.若指数函数()01xy a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，故B 不正确；C.若函数()2f x x =是回旋函数，则()220x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.7．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xx x f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.8．已知函数1(),f x x x =+221()g x x x=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】2211()()f x g x x x x x+=+++ ()22221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-++-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭()()22221111()()f x x x x xg x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝∴-⋅-=⎭()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；2211()()224f x g x x x x x +=+++≥+=，当且仅当1x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；221(1)()x x xf x xg x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⋅=⎭令1t x x=+()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得3t >或3t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错故选：BC. 【点睛】本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.10．下列命题正确的有（ ）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<< B．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<； B选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.11．已知()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()1a <的实根个数可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令12t x x =+-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，判断出实根个数构成的集合. 【详解】画出()f x 的图像如图所示，令12t x x=+-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5t t =-=，由()2221t --+=，解得671,3t t ==..由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()22201t t --+=≥，解得92t =（1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或405t <<或32t <<+合12t x x =+-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，405t <<或32t <<每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有4个实数根.（2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或2t =+0t =有一个1x =与其对应，2t =x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有3个实数根.（3）当0a <时，()f t a =，有1解，且2t >12t x x=+-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有2个实数根.综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.13．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”； 对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b->≥ ，当220a b -≤时，b ≤恒成立，()f x ∴=“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.14．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+15．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.16．下列函数求值域正确的是（ ）A ．2()1(2)f x x x =++-的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C ．()11h x x x =+--的值域为(02]，D ．()13w x x x =-++的值域为[222]，【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；()1111h x x x x x =+--=++-利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()13w x x x =-++两边平方可得()222(1)44w x x =-+++，由于()0w x >，可得()22(1)44w x x =-+++，求出2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，， 其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-，当1x <-时，10x +<，此时[]1(1)21x x ⎛⎫-++-≥= ⎪+⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立，当1x >-时，10x +>，此时1(1)21x x ++≥=+，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立， 所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确； 对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，，()h x ===，因为y =y =[1)+∞，上是增函数，所以y =[1)+∞，上是增函数，又y =[1)+∞，上恒不等于0，则y =在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()1h =又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(0，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，，()w x ======设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]0,4，[]44,8∈，则()2,w x ⎡=⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确， 故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b cx d =±±±，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，2a b ab +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如2y Ax B ax bx c =+++或22ax bx c y dx ex f++=++的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.17．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t =（1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意；（2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解18．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+， 所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-， 综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根， 则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+， 当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.19．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A ．01()12f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202个 【答案】AC 【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23πω=，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】由()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12f x +=-，002(1)()3x x πωϕωϕω++-+==， ∴()f x 的最小正周期为23T πω==，故A 、C 正确，B 错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.20．已知函数()() ()52 log1,122,1x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实根个数可能为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】ABC【分析】以()1f x=的特殊情形为突破口，解出1x=或3或45或4-，将12xx+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得120xx+-≥或124xx+-≤-，作出函数()()()52log1,122,1x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a>时，1224xx+-≤-或1021xx<+-<，故方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为4；②当2a=时，1224xx+-=-或1021xx<+-<或122xx+-=，故方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为6；③当12a<<时，12424xx-<+-<-或1021xx<+-<或1122xx<+-<或1223xx<+-<，故方程12f x ax⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为8；④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.。

《高等数学》函数考点精讲与例题解析

《高等数学》函数考点精讲与例题解析

《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。

【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。

二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。

例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。

（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。

（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。

【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。

如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。

三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。

特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。

基本初等函数指数函数

基本初等函数指数函数
D : ( , ),
奇函数.
x x
2
e e 双曲余弦 cosh x 2
D : ( , ),
Yunnan University
1 x y e 2
y sinh x
偶函数.
§3. 初等函数
sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x x cosh x e e
§3. 初等函数
余切函数 y cot x
y cot x
Yunnan University
§3. 初等函数
正割函数 y sec x
y sec x
Yunnan University
§3. 初等函数
余割函数
y csc x
y csc x
Yunnan University
§3. 初等函数
D : ( , )
奇函数,
y ar sinh x
x 2 1).
在 (,) 内单调增加 .
Yunnan University
§3. 初等函数
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
y ar cosh x
§3. 初等函数 二、 初等函数 凡是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及 有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数， 称为初等函数.
1 x2 是初等函数，而Dirichlet函数、y sgn x、y [ x]等 都不是初等函数 .
例 : y loga x
esin x
x 2
cosh2 x sinh2 x 1;
sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。

二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。

性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。

图像：见附录图1。

三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。

性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。

当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。

图像：见附录图2。

四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。

性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。

当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。

图像：见附录图3。

五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。

性质：对数函数是指数函数的逆函数。

当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。

图像：见附录图4。

六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。

性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。

函数概念与基本初等函数(最全)

函数概念与基本初等函数(最全)

函数概念与基本初等函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。

4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数 与对数函数互为反函数。

（四）幂函数1．了解幂函数的概念。

2．结合函数 的图像，了解它们的变化情况。

（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型）的广泛应用。

解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第1课时 函数及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。

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专题二函数概念与基本初等函数I 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019 年1. 解析由题意知，m太阳E E太阳，将数据代入，可得lg 太阳10.1 m lg E 天狼星天狼星2 ，E天狼星所以E.故选A. 太阳10 10.1 E天狼星sin xx , x[ n,n ], 2.解析因为cos x x f x 2 sin x xf x sin x xxcos x x 2 2所cos x x所以fx为[n,n ]上的奇函数，因此排除A; n0 ，因此排除B，C；sin n nf n 又又cos n n2 1 n2 故选D．3.解析：由函数y，y log x 1，单调性相反，且函数x 1 log a1 a 图像恒ax221 可各满足要求的图象为D.故选D.过,0 22010-2018 年1 1. D【解析】c log 1y log x 为增函数，3 log 5，因为3 5 3 7 所以log 5 log 3 3 log 3 1.3 2因为函数1 x1 1 1 0 y （）为减函数，所以（）（）1,故c a b,故选D.3 4 2. B【解析】当x 0时，因为ex4ex4x0 ，所以此时xe ef (x)x2 1 0 ，故排除A. D；1 又f (1) e2 e，故排除C,选B.3. B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x, y),则其关于直线x 1的对称点的坐标为(2 x, y) ,由对称性知点(2 x, y) 在函数f (x) ln x 的图象上,所以y ln(2 x) ,故选B.解法二由题意知,对称轴上的点(1, 0) 即在函数y ln x 的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验, 排除A,2(1 x) ，0 x 2知，f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, 2) 上C, D,选B. 4. C【解析】由x(2 x) f (x)单调递减，排除A、B;又f (2 x) ln(2 x) In x f (x), 所以f (x) 的图象关于x 1对称, C 正确.x2 2x 8 0,得x 2 或x 4 ,设u x2 2x 8 ,则5. D【解析】由x , u 关于x 单调递减, x(4,( , 2) ) , u 关于x 单调递增,由对数函数的性质,可知y lnu 单调递增,所以根据同增异减,可知单调递增区间为(4,) .选D.1 6. C【解析】函数f (x)为奇函数，所以a f (log ) f (log 5),2 2 5 又log 5 log 4.1 log 4 2, 1 20.8 2 ,2 2 2由题意，a b c，选C. 7. B【解析】由1 xf x x x x f x ,得f (x) 为奇函数, ( ) 3 ( ) (3 ( ) ) ( ) 3 3 xx1 f (x) (3x 3x ) 3x ln33x ln3 0,所以f (x) 在R 上是增函数. 选B.8 A【解析】对于A,令g(x)e2 , ( ) e (2 2 ln 1) e 2 (1 ln 1) 0 g x x x x x x ,2 2 则g(x) 在R 上单调递增，故f (x) 具有M 性质,故选A．9. D【解析】设M 3 361 N x，两边取对数得，10 80 3 361 lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.28 80 x 361 ，10 80 2M 所以x 1093.28 ，即最接近1093 ，选D.Na10. B【解析】函数f (x)的对称轴为x ,2 a①当< 0,此时M f (1) 1 a b ,m f (0) b , M m 1 a ；2 a②当> 1,此时M f (0)b, mf (1) 1 a b, M m 1 a ；2 a③当0a a21，此时m f ( ) b 2 21 4 a2 2 ，M f (0) b 或M f (1) 1 a b ，4M ma 4 或M m a ．综上，M m 的值与a 有关，与b 无关．选B．11. B【解析】因为0 c 1,所以y log x在(0,c) 上单调递减，又0 b a ，所以log log c a c b ，故选B.2 || x 2 2 2 2 12 . D【解析】T y 2x e是偶函数，设y 2x e|x| , 则f (2) 2 2e 8 e,所以0 f⑵1，所以排除A, B;当0剟x 2时，y 2x2 ex，所以y 4x ex ，又(y) 4 ex ,当0 x ln4 时, (y) 0 ,当ln4 x 2 时, (y)0 ,所以y 4x ex 在(0,ln 4) 单调递增,在(ln 4, 2) 单调递减,所以y 4x ex 在［0, 2］有1 剟y 4(ln 4 1) ,所以y 4x ex 在［0,2］存在零点 , 所以函数y 2x2 ex 在［0,) 单调递减,在(,2］单调递增,排除C, 故选D．lg x13．D 【解析】函数y 1 0的定义域为(0,) ,又y 10lg x x ,所以函数的值域为(0,) ，故选D．4 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 14 A【解析】因为a 2 4 33 b, c 25 5 4 a ，所以b a c ，故选A．15. C【解析】由y 0.6x在区间(0,又1.50.6 1,故选C．)是单调减函数可知, 0 0.61.5 0.60.6 1,16. B【解析】由于f (x)为偶函数，所以m 0,即f (x) 2|x| 1 ,其图象过原点,且关3于y 轴对称,在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增.又a f (log 3) f (log 3) f (log 3) ,b f (log 5) ,c f (0) .0.5 2 2 2 且0 log 3 log 5 ,所以c a b .2 2 1 a b ) ln 2a b17. C 【解析】p f ( ab) ln ab ln ab , q f (1 12 a b2 r ( f (a) f (b)) ln ab .因为2 2 a b)f ( ab),所以q p r .ab，由f (x) In x是个递增函数，2 18. C【解析】设(x, y)是函数y f (x) 的图像上任意一点,它关于直线y x 对称为( y,x ),由已知知( y,x )在函数y 2xa的图像上，••• x2 ya,解得y Iog (x) a ,即2f (x) Iog (x) a ,2 2 2 • f (2) f (4) Iog 2 a Iog 4 a 1,解得a 2 ,故选C.19. D【解析】由图象可知0 a 1,当x 0时，loga (x c) loga c0 ,得0 c 1. 20. B【解析】T2 a log 7 1, b 21.1 2 , c 0.83.1 1,所以c a b .3 21. D【解析】当a 1时，函数f (x) xa (x 0)单调递增，函数g(x)log x 单调递增,a且过点(1, 0),由幂函数的图象性质可知C 错；当0 a 1 时,函数f(x) xa (x 0) 单调递增, 函数g(x) log x 单调递减, 且过点(1, 0), 排除A,又由幕函数的图象性5 5 ，质可知C 错，因此选D．x2 - 4> 0 ，解得x < - 2或x > 2．由复合函数的单调性知f (x) 的单调递22. D【解析】增区间为(-? , 2) . 23 D【解析】a log 6 1 log 2, 3 3b log 10 1 log 2,c log 14 1 log 2 ，5 5 7 7 由下图可知D 正确．4ya b cx1 x=2 O解法二1 ，3 3 a log 6 1 log 2 1log 3 2 1 b log 10 1 log 2 1log 5 2 c log 14 1 log 2 17 7 1 log 7 2 由log 3 log 5 log 7 ，可得答案D 正确．2 2 2 24 B【解析】a ,b , c工1.考察对数2个公式: log b log xy log x log y, log b acca aaalog log a对选项A:log b log b log a log bacca，显然与第二个公式不符，所以log c b log b 为假．对选项B：log b log a log b a c c log bc5 5 ，，显然与第二个公式一致，log aca所以为真．对选项C：bc log b log clog（），显然与第一个公式不符，所以为假．对aaa选项D：loga（b c） log b log c ，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B．25. D【解析】取特殊值即可，如取xy lg lg lg lg10, 1,2 x y 2,2 x 2 y 3, . 2 1 y lg xlg11 lg xlg y2 ,226. C【解析】因为函数f (x)是定义在R上的偶函数，且log a log a ，1 2 2 5所以f (log a) f (log a) f (log a) f (log a) 2 f (log a) 2 f (1) ，2 1 2 2 2 2即f (log a) f (1) ，因为函数在区间[0,2 ) 单调递增，所以f ( log a ) f (1) ，2，解得1 2 1 ，选C. 即log a 1，所以1 log a 1 a ，即a 的取值范围是,2 22 2 2lg9 Ig 4 2lg3 2lg 2 27 D【解析】log 9log 4 4 .2 3 lg 2 lg3 lg 2 lg3 0 a 1 ，解得2a 1故选B. 2 28. B【解析】由指数函数与对数函数的图像知11 log 42a 2 2 1 29 A【解析】因为b ()0.2 20.2 212，所以1 b a ,2 c2 Iog5 2 5 5 2，所以c b a,选A. log 2 log 4 1 30. D【解析】根据对数函数的性质得x y 1．2 2 2 31. D【解析】当x a时，y Ig a 2lg a 2b ,所以点(a,2b)在函数y lg x 图象上．32. D【解析】当x < 1时21x < 2,解得x>0 ,所以0W x< 1; 当x 1 时, x>，所以x 1,综上可知x> 0 . 1 2 2 1 log xc 2 ,解得33. A【解析】因为当x=2或4时，2x x2 =0,所以排除B、C；当x= 2时，2x x2 = 1 4<0 4 34. D【解析】因为，故排除D,所以选A.0 log 4 1,所以b < a < c .5 35. B【解析】+仁2,故=1,选B.1 1 36. A【解析】m m mlog 2 log 5 log 10 2,m210,又Q m 0,m 10. 37. C【解析】f (x) f (y) ax a y ax y f (x y)38. C【解析】画出函数的图象，6y12 xO1 10 如图所示，不妨设a b c ，因为f (a) f (b) f (c) ，所以ab 1，c 的取值范围是(10,12) ，所以abc 的取值范围是(10,12) .39. C【解析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论.f a f aa 0alog 1 2 a<0 a 或aalog ( ) log ( ) 1 22 ( ) ( ) log 2 a 0 a2 a 0 1 a或0 . 1 aa 1 或-1 a40. 7【解析】由f (3)1得,og (32 a) 1,所以9 a 2,即a 7 .2 41. 2 【解析】由f (a) ln( 1 a2 a) 1 4,得ln( 1 a2 a) 3,2 1 a) 1 ln( 1 ln( 1 a1 a a2 所以f (a) ln( 1a2 a) 1 31 2.42. 1 【解析】由题意f (x) 为奇函数,所以只能取1,1,3,又f (x) 在(0,所以 1 . 43. a 6 【解析】由题意)上递减,2 p62 qq1 ,上面两式相加, 52p ap 5 2 aq得2 p2p 1q,所以2pqa2 pq ,所以a2 36 ,ap 2 aq因为a 0 ,所以a 6 ．44．[ 1, ] f x x x3 f x ,所以函数f (x) 是奇函数,( ) 1 【解析】因为( ) 2 1 e 2 因为f '(x) 3 x2 2 exex3x2 xe x2 2 exex0 ,所以数f (x) 在R 上单调递7增,又f (a 1) f (2a2 ) 0,即f (2a2 ) f (1 a) ,所以2a2 1 a ,2a2 a 1 0,解得1 a1 ,故实数a 的取值范围为[ 1, 1] 即2 2 45．(- 1,2【)解析】由题意得：x2 x 2 1 x 2 ，解集为(1, 2) ．1 46．【解析】log 2 11 log 22 2 4 2 4 log3 log 3 2 2 log 3 2 log 3 3 3 3 3 ．,3 3 2 2 2 2 1 1 2 log 5 2 ，所2 2 47. log 5【解析】T22 3 ，3 3 1.732 ，而log 4 log 5，即8 2 2 以三个数中最大数是log 5.2 48. 1【解析】原式=lg5 lg2 2 lg 2 lg5 lg2 2 1 2 1. 49.4【解析】log a log 2b < log 2ab log 16 4, 2 2log a log 2b 1 1 2 2 2 2 2 2 24 4 当a 2b 时取等号，结合a 0 ，b 0，ab 8，可得a 4,b 2.50. 1【解析】由f (1 x) f (1 x) 得函数f (x) 关于x 1 对称，故a 1，则f (x) 2 ，由复合函数单调性得f (x) 在[1,x1 ) 递增，故m 1，所以实数m 的最小值等于1．51 ．(,8]【解析】当x 1时，由ex1 < 2得x< 1 In 2，二x 1;当x> 1时，1 3 由x<2 得x < 8 ,二1 w x< 8 ,综上x < 8 .2Ig x, x 0 ，52．(- ? ,0) 【解析】f (x) Ig x2 2Ig | x |2 Ig(x), x 0易知单调递减区间是(- ? ,0) ．1 53．1 【解析】2 2f (x) Iog x(2 2 Iog x) Iog x22Iog x2 4(Iog x2 2 12 1 1 > .当且仅当4 4 x 1，即log 1 ，即2 2 2 x 2 2 时等号成立．x54．1【解析】lg 5 lg 20 lg10 1．55．2【解析】由f (ab) 1，得ab 10 ，于是f (a2 ) f (b2 ) lg a2 lgb2 8 2(lg a lgb) 2 lg(ab) 2 lg10 2 1 【解析】当a 1时，有a2 4,a1 m ，此时2, 1 4 a m ，此时g(x) x 为减函数，2 56．不合题意.若0 a 1，则a1 4,a2 m ，故1 , a4 m1 ，检验知符合题意. 1657．18【解析】log a log b log ab，丁ab> 2 且a 0,b 0 ,2 2 2 ab 则3 9 = 3a 32b > 2 3a 32b 2 3a2b> 2 32 2ab > 2 32ab2 18 ．当且仅当a 2b ，即a 2,b 1 时等号成立，所以3 9 的最小值为18．1 58．(,1 ) 【解析】由题意知，函数f (x) log5 (2 1) 的定义域为{x | x }，所x2 2 1 以该函数的单调增区间是( ,) ．2。

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