2016高考数学二轮专题复习 提能增分篇 突破二 小题妙解-选择题、填空题的得分策略 选择填空巧练3 文
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习
方法二 对a分类讨论：
当
a>0
时，∵log2a>log
1 2
a，∴a>1.
当
a<0
时，∵log
1 2
(－a)>log2(－a)，∴0<－a<1，
∴－1<a<0，故选C.
答案 C
思维升华
(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之 一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨 论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. (2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的 单调性.
ax＋b 跟踪演练 2 (1)(2015·安徽)函数 f(x)＝x＋c2的图象如图所
示，则下列结论成立的是( ) A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
解 析 函 数 定 义 域 为 {x|x≠ － c} ， 结 合 图 象 知 － c>0 ，
a)≤2f(1)，则a的取
值范围是________.
解析 由题意知 a>0，又 log 1 a＝log2a－1＝－log2a. 2
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log1 a). 2
∵f(log2a)＋f(log 1 a)≤2f(1)， 2
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增. ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a∈12，2. 答案 [12，2]
2016高考数学二轮专题复习 提能增分篇 突破三 大题冲关-解答题的应对技巧 第8讲 压轴题-巧妙解
由于x1≠x2，所以不妨设1＜x1＜x2， 由①和②可得
lnx1l＋n 32x1＋x21＝lnx2l＋n 32x2＋x22 利用比例性质，得
lnx1＋32＋x21－ln ln x1
x1＝lnx2＋32ln＋xx222－ln
x2 ，
即ln1＋ln23xx11＋x21＝ln1＋ln23xx22＋x22.(*)13分 由于ln x是区间(1，＋∞)上的恒正增函数，且1＜x1＜x2， ∴llnn xx12＜1. 又ln1＋23x＋2x是区间(1，＋∞)上的恒正减函数，且1＜x1＜ x2.
第一招 借步解答 高考数学压轴题通常以“分步设问，循序渐进”的方式设 置2～3个问题，问题之间是相互关联的，前一问是后一问的铺 垫，而后一问依靠前一问得到的正确结论进行解答，并且压轴 题也不是铁板一块，更不是题的每一小问都在“压轴”，为 此，把目标首先瞄准在相对简单的前一问上应是明智之举，把 前一问做好做对，然后顺藤摸瓜，整个问题将会得到彻底解 决．
此时 f(a＋1)<0 不成立.11 分
③当 a＋1≥e，即 a≥e－1 时，在(1，e)上 f′(x)<0，f(x)单
调递减，
f(x)min＝f(e)＝e＋1＋e a－a<0，可得
e2＋1 a> e－1 .
因为ee2－＋11>e－1，所以
e2＋1 a> e－1 .13
分
综上可得，所求实数 a 的取值范围是
(－∞，－2)∪ee2－＋11，＋∞.14 分
[抢分有招] (1)本题第(1)问是利用导数的几何意义求参数的 取值，即求函数 f(x)的解析式，是解答第(2)问的跳板，比较简单， 但得计算正确，因为这是下一问的基础．求解时，利用点(1，f(1)) 处的导数 f′(1)为切线的斜率，而切线与直线 2x＋y－1＝0 平行， 可建立关于参数 a 方程，解方程求出 a.
高考数学大二轮总复习与增分策略 第二篇 掌握技巧 快速解答客观题 第2讲 填空题的解法技巧课件 理
解析答案
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是 增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2， x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝___－__8___. 解析 根据函数特点取 f(x)＝sinπ4x，
解析 画出函数y＝g(x)的图象(如图)．
由图知，当函数y＝g(x)和y＝k的图象有两个交点时，k>1.
思维升华
解析答案
跟踪演练3 (1)(2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数 b的取值范围是__(_0_,_2_) __．
解析
答案
(2)若函数 y＝f(x)图象上不同两点 M、N 关于原点对称，则称点对[M，N] 是函数 y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和 谐点对”)．已知函数 f(x)＝xe2x，－x4<x，0，x>0， 则此函数的“和谐点对”有 ____2____对．
再由图象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.
解析答案
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方法三 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出 符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正 确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截 距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何 含义，准确规范地作出相应的图形．
栏目索引
方法一 直接法 方法二 特例法 方法三 数形结合法
方法四 构造法 方法五 正反互推法
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略(文科)配套课件+配套文档：专题六 解析几何 第1讲
－y－3＝0上的圆的方程为________________.
解析 由题意知KAB＝2，AB的中点为(4,0)，
设圆心为C(a，b)，
∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 1 b a＝2， ＝－2， 则a－4 解得 ∴C(2,1)， 2a－b－3＝0， b＝1
A.1或3
解析
当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，
则两直线不平行； 3－k 当 k≠4 时，两直线平行的一个必要条件是 ＝k－3，解 4－k
得 k＝3 或 k＝5. 1 3 但必须满足 ≠2(截距不相等)才是充要条件， 经检验知满 k－4
足这个条件.
(2) 已知两点 A(3,2) 和 B( － 1,4) 到直线 mx ＋ y ＋ 3 ＝ 0 的距离相
的距离问题.
跟踪演练 3
(1)已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程
为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂
直.若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为(
A.1 B. 2 C.2 D.2 2
)
解析 因为圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4， 圆心为C(0，－1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1， 其方程为x＋y－1＝0.
|3×0－4×0＋5| 又|OD|＝ ＝1，∴r＝2|OD|＝2. 5
1 2 3 4
3.(2015· 重庆)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该
x＋2y－5＝0 圆在点P处的切线方程为____________. 解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上， 则圆的方程为x2＋y2＝5，
2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要 求直线不能与 x轴垂直 .而截距式方程不能表示过原点的直 线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
2016届高考数学(文)二轮专题复习提能增分突破三大题冲关——解答题的应对技巧保分题冲关系列2
保分题冲关系列(二)(时间：45分钟 分数：60分)1．(2015·山东聊城二模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝b cos C .(1)求角C 的大小；(2)如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使PC ＝2，过点P 作PM ⊥CA 于M ，PN ⊥CD 于N ，设线段PM ，PN 的长分别为m ，n ，∠PCM ＝x ，且π6<x <π2，求f ()x ＝mn 的最大值及相应x 的值．解：(1)由a ＝b cos C 和余弦定理，得2a 2＝a 2＋b 2－c 2，即a 2＋c 2＝b 2，所以△ABC 是直角三角形，其中B ＝π2，A ＝π6，于是得C ＝π3.(2)在Rt △PMC 中，PC ＝2，∠PMC ＝π2，∠PCM ＝x ，π6＜x ＜π2，所以m ＝PC sin x ＝2sin x .在Rt △PNC 中，PC ＝2，∠PNC ＝π2，∠PCN ＝2π3－x ，所以n ＝PC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x . 于是f (x )＝mn ＝2sin x ·2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos x －cos 2π3sin x＝23sin x cos x ＋2sin 2x ＝3sin 2x ＋1－cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. 因为π6＜x ＜π2，所以π6＜2x －π6＜5π6，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值3.2．(2015·内蒙古呼伦贝尔二模)已知公差不为零的等差数列{a n }，满足a 1＋a 3＋a 5＝12.且a 1，a 5，a 17成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求使S n ＜5a n 成立的最大正整数n 的值．解：(1)∵a 1＋a 3＋a 5＝12，∴3a 3＝12，∴a 3＝4.∵a 1，a 5，a 17成等比数列，∴a 25＝a 1a 17，∴(4＋2d )2＝(4－2d )(4＋14d )，∵d ≠0，解得d ＝1，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝4＋(n －3)＝n ＋1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1，n ∈N *.(2)∵a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2，∴n (n ＋3)2≤5(n ＋1)，即n 2－7n －10≤0，即7－892≤n ≤7＋892，且n ∈N *， ∴n ＝8，即n 的最大值是8.3.(2015·山东济南二模)济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图所示茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高精灵”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176 cm，B大学志愿者的身高的中位数为168 cm.(1)求x，y的值；(2)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．解：(1)由题意，得159＋168＋170＋170＋x＋176＋182＋187＋1918＝168，160＋y＋1692＝168，解得x＝5，y＝7.(2)由题意知“高精灵”有8人，“帅精灵”有12人，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：8×520＝2和12×520＝3.记抽取的“高精灵”为b1，b2，抽取的“帅精灵”为c1，c2，c3，从已抽取的5人中任选两人的所有可能为：(b1，b2)，(b1，c1)，(b1c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．设“选取的两人中至少有一人为“高精灵””为事件A，则事件A 包括(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7种．所以P (A )＝710.因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人为“高精灵”的概率为710.4．(2015·山东菏泽一模)如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接AC ，FD ，形成如图所示的多面体，且AC ＝ 6.(1)证明：平面ABEF ⊥平面BCDE ；(2)求三棱锥E －ABC 的体积．(1)证明：正六边形ABCDEF 中，连接AC ，BE ，交点为G ， 易知AC ⊥BE ，且AG ＝CG ＝3，在多面体中，由AC ＝6，知AG 2＋CG 2＝AC 2，故AG ⊥GC ，又GC ∩BE ＝G ，GC ，BE ⊂平面BCDE ，故AG ⊥平面BCDE ，又AG ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面BCDE ；(2)解：连接AE ，CE ，则AG 为三棱锥A －BCE 的高，GC 为△BCE 的高．在正六边形ABCDEF 中，BE ＝2AF ＝4，故S △BCE ＝12×4×3＝23，所以 V E －ABC ＝V A －BCE ＝13×23×3＝2.。
2016届高考数学二轮复习考前小题狂练(有详解)讲解
小题狂练(一)1．集合M ＝{x |lg x ＞0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝________.2．设i 为虚数单位，则复数3＋4i i ＝________.3．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率为________．4．高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．5．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．6．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的范围_____ ___．7．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________. 8．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________．9．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________.10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2＝________.11．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________． 12. 曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．13．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________．14．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n满足不等式组⎩⎨⎧m ＞3，f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )＜0，那么m 2＋n 2的取值范围是________． 小题狂练(二)1．设集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝________.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________.3．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________．4．已知向量a ，b 的夹角为90°，|a |＝1，|b |＝3，则|a －b |＝________.5．已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是________．6．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间是________．7．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．8．已知四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________．9．某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种酒5瓶，能获奖的概率为________．10．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，∠B ＝π4，sin C ＝55，则c＝________，a ＝________.11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝________. 12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．13．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________．2．复数11＋i＝________. 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____ ____．4．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．5．设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝ 2 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是________．6．把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的解析式是________．7．已知等比数列{a n }满足a 5a 6a 7＝8，则其前11项之积为________．8．在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．9．两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．10．对于任意x ∈[1,2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，则实数a 的取值范围为________．11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．12．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．13．两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM →·AB→＋AN →·AM→＝________.14．(2012·泰州学情调研)已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a 22，当x ∈[0，ln 3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a ＝________.2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．4．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________.5．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线l ，则l 与线段BC 相交的概率为________．6．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2,8)，则a 7的值为________．7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．9．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ＝________.10．设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ④如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余11．已知函数f (x )＝x 33＋ax 22＋2bx ＋c 在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，则z ＝(a ＋3)2＋b 2的取值范围为________．12．平面向量a ，b 满足|a ＋2b |＝5，且a ＋2b 平行于直线y ＝2x ＋1，若b ＝(2，－1)，则a ＝________.13．(2012·南师大附中阶段测试)已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a＋b 的取值范围是________．14．定义在实数集上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，又α，β是锐角三角形的两内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是________．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则集合A ∩∁U B ＝________.2．复数(1＋2i)2的共轭复数是________．3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.4．设变量x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－12x －y ≤3，，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．5．下列结论错误的是________． ①命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题；②命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，则p ∨q 为真；③“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题；④若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题．6．从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为________.7.函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON→＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．8．锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，△ABC 的面积为53，则C＝________，sin A ＝________.9．已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．10．下图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.11．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)＋1，x ＞0，f (x )＝x 的根从小到大构成数列{a n }，则a 2 012＝________.13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116，则a ，b ，c 的大小关系是________． 分数 5 4 3 2 1 人数 3 1 1 3 2小题狂练(六) 1．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．2．复数：5(1＋4i )2i (1＋2i )＝________. 3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ=___． 4．曲线y ＝1x 在x ＝2处的切线斜率为________．5．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．6．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ＋y ≤1x －y ＋1≥0y ≥0，则x 2＋(y ＋1)2的最大值与最小值的差为________．7．一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是________．8．设某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是________．9．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为________．10．已知a ＞b ＞0，给出下列四个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b -1；③a －b ＞a －b ；④a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式序号为________．11．P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．13．定义集合M 、N 的新运算如下：Mx N ＝{x |x ∈M 或x ∈N ，但x ∉M ∩N }，若集合M ＝{0,2,4,6,8,10}，N ＝{0,3,6,9,12,15}，则(Mx N )xM 等于________．14．若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”．给出下列四个函数：①y ＝e x ，x ∈R ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos πx 2；④f (x )＝ln x ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号)．参考答案参考答案小题狂练(一)1．解析 M ＝{x |lg x ＞0}＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}．答案 M ∩N ＝{x |1＜x ≤2}2．解析 依题意：3＋4i i ＝(3＋4i )i i 2＝4－3i.答案 4－3i3．解析 ∵试验发生的总事件数是6×6，而点P 落在圆x 2＋y 2＝16内包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，由古典概型公式得到P ＝86×6＝29.答案 29 4．解析 根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题．将48人分成4组，每组12人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17.答案 175．解析 依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10.答案 106．解析 由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立．则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根．则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.答案 －1＜a ＜37．解析 因为a·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝85，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45.答案 45 8．解析 f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，所以f ′(x )＞0 的解集(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)9．解析 因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝8⇒a 4＝22＝a 1q 3⇒q ＝2，所以S 8＝1－(2)81－2＝15(2＋1)．答案 15(2＋1)10．解析 利用余弦定理，再变形即得答案．答案 011．解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2⇒x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1⇒y ∈(1,2]，所以值域为(1,2]．答案 (1,2] 12．解析 y ′＝2(x ＋2)2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1.答案 y ＝2x ＋113．解析 如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则应有b a ＞2，∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2＝c 2a 2＞5，e ＞ 5.答案 e ＞ 5 14．解析 由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得，f (n 2－8n )＝f [(n 2－8n －1)＋1]＝－f [1－(n 2－8n －1)]＝－f (－n 2＋8n ＋2)，所以f (m 2－6m ＋23)＜－f (n 2－8n )＝f (－n 2＋8n ＋2)，又f (x )是定义在R 上的增函数，所以m 2－6m ＋23＜－n 2＋8n ＋2，即为(m －3)2＋(n －4)2＜4，且m ＞3，所以(m ，n )在以(3,4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3,2)时，m 2＋n 2＝13，圆心(3,4)到原点的距离为5，此时m 2＋n 2＝(5＋2)2＝49，所以m 2＋n 2的取值范围是(13,49)．答案 (13,49)参考答案小题狂练(二)1．解析 由已知条件可得A ＝[－2,2]，B ＝[－4,0]，∴∁R (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)．答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)2．解析 ∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝－3＋4i 1＋2i ＝(－3＋4i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5＋10i 5＝1＋2i.答案 1＋2i 3．解析 一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，即0×7＋0.5×14＋1.0×11＋1.5×11＋2.0×750＝0.97(小时)．答案 0.97小时 4．解析 利用数量积的运算性质求解．由a ，b 的夹角是90°可得a·b ＝0，所以|a －b |＝(a －b )2＝1＋9＝10.答案 105．解析 先由不等式组确定平面区域，再平移目标函数得最小值．作出不等式组对应的平面区域如图，当目标函数x ＋y 经过点(1,1)时，取得最小值2. 答案 26．解析 利用零点存在定理求解．因为f (1)f (2)＝(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＜0，所以由零点存在定理可知零点所在的区间是(1,2)．答案 (1,2)7．解析 由框图的顺序，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)×1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)×2＝6，n ＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)×3＝27，n ＝4，此刻输出s ＝27.答案 278．解析 可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×12×3×5＝27.答案 279．解析 P ＝35－(3×25－3)35＝5081.答案 508110．解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin C sin B ＝25×5522＝2 2.由c ＜b 得C ＜B ，故C 为锐角，所以cos C ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A sin B ＝25×3101022＝6.答案 22 6 11．解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154.答案 ±154 12．解析 由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±b a x ，带入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y 25＝1. 答案 x 220－y 25＝113．解析 由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2≤0，解得x 0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3]．答案 (－∞，3]参考答案小题狂练(三)1．解析 因为N ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{0,1}．答案 {0,1}2．解析 11＋i ＝(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i 2＝12－12i.答案 12－12i 3．解析 根据对命题的否定知，是把命题取否定，然后把结论否定．答案 任意一个无理数，它的平方不是有理数4．解析 设应抽取的女运动员人数是x ，则x 98－56＝2898，易得x ＝12.答案 125．解析 由指数函数、对数函数图象可知a ＞1,0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c .答案 a ＞b ＞c6．解析 根据函数图象变换法则求解．把y ＝2sin x 向左平移π6个单位长度后得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6 7．解析 利用等比数列的性质求解．由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，所以，其前11项之积为a 1a 2…·a 11＝a 116＝211.答案 2118．解析 所求概率P ＝180°－45°290°＝34.答案 349．解析 在△ACD 中，容易求得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos ∠CAD＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案 45°10．解析 由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1,2]恒成立，得－2≤ax ＋1≤2在x ∈[1,2]恒成立，利用分类参数的方法得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x min，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x max ，利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 11．解析 当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝012．解析 由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、CE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝ 2. 答案 (0，2)13．解析 根据向量的数量积运算求解．连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB→＝|AB →||AM →|cos ∠MAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|cos ∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AM→＝9.答案 914．解析 因为f ′(x )＝－ln x －1＋a ≥0在(0，e)上恒成立，所以a ≥(ln x ＋1)max ＝2.又x ∈[0，ln 3]时，e x ∈[1,3]，所以当a ∈(3，＋∞)时，g (x )＝a －e x＋a 22递减，此时M －m ＝a －1＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3＋a 22＝2，不适合，舍去；当a ∈[2,3]时， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －e x＋a 22，0≤x ≤ln a ，e x －a ＋a 22，ln a ＜x ≤ln 3，此时m ＝a 22， M max ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1＋a 22，3－a ＋a 22＝a －1＋a 22， 所以a －1＋a 22－a 22＝a －1＝32，解得a ＝52. 答案 52参考答案小题狂练(四)1．解析 M ∩N ＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．答案 M ∩N ＝{2,3}2．解析 由(z －2)i ＝1＋i ，得z ＝1＋i i ＋2＝3－i ，所以|z |＝10.答案103．解析 平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18， 故方差s 2＝16(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5.答案 5 4．解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.答案 4 65．解析 ∠BAC ＝60°，故所求的概率60°360°＝16.答案 166．解析 因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ，所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又8＝4a 1⇒a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5.答案 57．解析 由三角函数图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，且0＜φ≤π2，所以φ＝π3.答案 π3 8．解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 39．解析 这是一个典型的当型循环结构，当n ＝1,3,5,7,9,11时满足条件，执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36.答案 3610．解析如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确．答案 ④11．解析 因为函数f (x )在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3,0)的距离的平方，点P 到边界a ＋b＋2＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，到点(－1,0)的距离的平方为4，因为可行域不含边界，所以z 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 12．解析 因为a ＋2b 平行于直线y ＝2x ＋1，所以可设a ＋2b ＝(m,2m )，所以|a ＋2b |2＝5 m 2＝5， 解得m ＝1或－1，a ＋2b ＝(1,2)或(－1，－2)，所以a ＝(1,2)－(4－2)＝(－3,4)或(－1，－2)－(4，－2)＝(－5，0)．答案 (－3,4)或(－5,0)13．解析 作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1,1)．答案 (－1,1)14．解析 因为f (x ＋2)＝f (x )⇒f (x )的周期为2，所以f (x )，x ∈[－1,0]的单调性与[－3，－2]一致，单调递减，又f (x )是偶函数，所以在[0,1]上单调递增．又α，β是锐角三角形的两个内角，所以π2＜α＋β＜π⇒0＜π2－β＜α＜π2⇒1＞sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β＞0⇒f (sin α)＞f (cos β)．答案 f (sin α)＞f (cos β)参考答案小题狂练(五) 1．解析 ∁U B ＝{x |x ≤1}，A ＝{x |0＜x ＜2}，故A ∩∁U B ＝{x |0＜x ≤1}．答案 {x |0＜x ≤1}2．解析 (1＋2i)2＝1＋4i －4＝－3＋4i ，其共轭复数为－3－4i.答案 －3－4i3．解析 利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a 3·a 9＝2a 25⇒a 23·q 6＝2(a 3q 2)2⇒q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝22.答案 22 4．解析 不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(2,1)时取得最小值7.答案 75．解析 根据四种命题的构成规律，选项①中的结论是正确的；选项②中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项②中的结论正确；当m ＝0时，a ＜b ⇒am 2＝bm 2，故选项③中的结论不正确；选项④中的结论正确．答案 ③6．解析 考查统计初步知识，先求平均数，x ＝110(5×3＋4×1＋3×1＋2×3＋1×2)＝3，再根据方差公式s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x )2代入数据，s 2＝110[3×(5－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋3×(2－3)2＋2×(1－3)2]计算得方差为125.答案 1257．解析 由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3. 答案 3 8．解析 由三角形面积公式可以求出sin C ，得到锐角∠C 的值，借助余弦定理求出c 边，最后利用正弦定理求sin A ．由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又∠C 为锐角三角形的内角，所以C ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋i 2－2ab cos C ＝21，即c ＝21.再在△ABC 中，由余弦定理得sin A ＝a sin C c ＝4×3221＝277. 答案 21 2779．解析 “在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ”的基本事件总数为23＝8，事件“以a ，b ，c为边不能构成三角形”分别为(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，所以P ＝1－38＝58.答案 5810．解析 当a ＝5，P ＝25＞24，S ＝25；a ＝6，P ＝24＜25，输出的S ＝25.答案 2511．解析 双曲线的方程为x 22－y 22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，所以根据余弦定理得cos ∠ F 1PF 2＝(22)2＋(42)2－142×22×42＝34. 答案 3412．解析 利用函数图象得数列通项公式，再求第2 012项．作出函数f (x )的图象如图，由图象可知方程f (x )＝x 的根依次是0,1,2,3，…，所以a n ＝n －1，故 a 2 012＝2 012－1＝2 011. 答案 2 01113．解析由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a ＞b . 答案 c ＞a ＞b .参考答案小题狂练(六)1．解析 高三年级总人数为：900.05＝1 800人；90～100分数段人数的频率为0.45；分数段的人数为1 800×0.45＝810.答案 8102．解析 5(1＋4i )2i (1＋2i )＝5(－15＋8i )－2＋i ＝5(－15＋8i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝5(38－i )5＝38－i. 答案 38－i 3．解析 根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a ＋λb ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－λ，1＋12λ，所以(a ＋λb )⊥a ⇒3(3－λ)＋1＋12λ＝0⇒λ＝4. 答案 44．解析 根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解．因为y ′＝－1x 2，所以y ′|x ＝2＝－14，即为切线的斜率． 答案 －145．解析 若α∥β，α∥γ，则β∥γ即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确； 若a ∥α，a ∥β，则α与β平行或相交，故②错误；若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误； 与若a ⊥α，a ⊥β，则α与β平行，故④正确． 答案 ①④6．解析 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间距离公式求解．不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当(x ，y )为(0,1)时，x 2＋(y ＋1)2取得最大值4；当(x ，y )为(0,0)时，x 2＋(y ＋1)2取得最小值1，故最大值与最小值的差是3. 答案 37．解析 应用例举法共有16种等可能情况，(1,1)(1,2)，(1,3)(1,4)，(2,1)(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)(3,2)，(3,3)(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．两次向下的面上的数字之积为偶数共有12种情况，所以所求概率为34. 答案 348．解析 阅读算法中流程图知：运算规则是S ＝S ×k 2故第一次进入循环体后S ＝1×32＝9，k ＝3；第二次进入 循环体后S ＝9×52＝225＞100，k ＝5.退出循环，其输出结果k ＝5. 故答案为：5. 9．解析 利用a 1，a 2，a 5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以a 1，a 2，a 5成等比数列⇒a 22＝a 1a 5⇒(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )⇒d ＝2a 1，代入不等式a 1＋a 2＋a 5＞13解得a 1＞1.答案 (1，＋∞)10．解析 因为a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，故①正确；a ＞b ＞0⇒a ＞b －1⇒2a ＞2b －1，故②正确；因为a ＞b＞0⇒ab ＞b 2＞0⇒ab ＞b ＞0，而(a －b )2－(a －b )2＝a －b －a －b ＋2ab ＝2(ab －b )＞0，所以③正确；因为当a ＝3，b ＝2时，a 3＋b 3＝35＜2a 2b ＝36，故④不正确．答案 ①②③11．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b 3a x ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－324a ，y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a ＝c ，即离心率为e＝c a ＝324. 答案 32412．解析由题意可以求出sin C，得到∠C有两解，借助余弦定理分别求出三角形中最大角的正切值．由S△ABC＝12ab sin C，代入数据解得sin C＝32，又∠C为三角形的内角，所以C＝60°或120°.若C＝60°，则在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝84，此时，最大边是b，故最大角为∠B，其余弦值cos B＝a2＋c2－b22ac＝3221，正弦值sin B＝53221，正切值tan B＝533；若C＝120°，此时，C为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3. 答案533或－ 313．解析由定义得：Mx N＝{2,3,4,8,9,10,12,15}，所以(Mx N)xM＝N. 答案N14．解析根据新定义逐一判断．因为函数y＝e x，x∈R递增，且e x＞x，x∈R恒成立，函数y＝e x，x∈R不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f(x)＝x3存在稳定区间[－1,0]或[0,1]或[－1,1]，故②存在“稳定区间”；函数f(x)＝cosπx2存在稳定区间[0,1]，故③存在“稳定区间”；函数f(x)＝ln x＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x＋1≤x，x＞0恒成立，函数f(x)＝ln x＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”．答案②③。
【3份】2016江苏专用理科高考数学二轮专题复习：考前增分指导
【3份】2016江苏专用理科高考数学二轮专题复习：考前增分指导目录指导一融会贯通5大解题技巧，又快又准解决高考填空题 (1)技巧——巧解填空题的5大妙招 (1)指导二全面掌握解答题的6个模板，规范答题拿高分 (8)规范——解答题的6个解题模板 (8)指导三临考回归教材本源，以不变应万变 (22)回扣——回归教材，查缺补漏，消除得分障碍 (22)指导一融会贯通5大解题技巧，又快又准解决高考填空题技巧——巧解填空题的5大妙招题型概述解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系．由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质等．方法一直接法对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法．它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．【例1】 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．【详细分析】设P 点在双曲线右支上，由题意得⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝6a ，PF 1－PF 2＝2a ，故PF 1＝4a ，PF 2＝2a ， 由条件得∠PF 1F 2＝30°，由2a sin 30°＝4a sin ∠PF 2F 1， 得sin ∠PF 2F 1＝1，∴∠PF 2F 1＝90°，在Rt △PF 2F 1中，2c ＝（4a ）2－（2a ）2＝23a ，∴e ＝c a ＝ 3.答案 3探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．【训练1】 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．【详细分析】由已知S n ＝23a n ＋13.①当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，解a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②整理，得a n ＝－2a n －1，即a n a n －1＝－2. 因此{a n }为a 1＝1，公比q ＝－2的等比数列，a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.答案 (－2)n －1方法二 特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．【例2】 若f (x )＝12 015x －1＋a 是奇函数，则a ＝________． 【详细分析】因为函数f (x )是奇函数，且1，－1是其定域内的值，所以f (－1)＝－f (1)，而f (1)＝12 014＋a ，f (－1)＝12 015－1－1＋a ＝a －2 0152 014.故a －2 0152 014＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12 014， 解得a ＝12.答案 12探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．【训练2】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________．【详细分析】由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线PQ 与直线BC 重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2. 答案 2方法三 图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．【例3】 (2015·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．【详细分析】f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．答案 2探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．【训练3】 已知α，β是三次函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋2bx (a ，b ∈R )的两个极值点，且α∈(0，1)，β∈(1，2)，则b －2a －1的取值范围是________． 【详细分析】f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b (a ，b ∈R )，由题意知α，β是函数f (x )的两个极值点，则α，β是函数y ＝f ′(x )的图象与x 轴两个交点的横坐标．由α∈(0，1)，β∈(1，2)及二次函数图象的特征，可知⎩⎨⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎨⎧2b ＞0，1＋a ＋2b ＜0，4＋2a ＋2b ＞0，整理得⎩⎨⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0，画出可行域，如图(阴影部分，不包括边界)，b －2a －1表示连接可行域内一点P (a ，b )与点D (1，2)的直线的斜率k ，又A (－3，1)，B (－2，0)，C (－1，0)，则k AD＝2－11－（－3）＝14，k CD ＝2－01－（－1）＝1，由图可知k AD ＜k ＜k CD ，则b －2a －1的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．【例4】 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【详细分析】如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案 6π探究提高 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．【训练4】已知a＝ln12 013－12 013，b＝ln12 014－12 014，c＝ln12 015－12 015，则a，b，c的大小关系为________．【详细分析】令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝1x－1＝1－xx.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，1)上是增函数．∵1＞12 013＞12 014＞12 015＞0，∴a＞b＞c.答案a＞b＞c方法五综合分析法对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论．【例5】定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)＝f(2－x)，在区间[1，2]上是减函数．关于函数f(x)有下列结论：①图象关于直线x＝1对称；②最小正周期是2；③在区间[－2，－1]上是减函数；④在区间[－1，0]上是增函数．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．【详细分析】由f(x)＝f(2－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；又函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，而图象又关于直线x＝1对称，故函数f(x)必是一个周期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故②不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以其在区间[－2，－1]上也是减函数，故③正确；④因为函数f(x)关于直线x＝1对称，在区间[1，2]上是减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数在区间[0，1]上为增函数，又由奇函数的性质，可得函数f(x)在区间[－1，0]上是增函数，故④正确．所以正确的结论有①③④.故填①③④.答案 ①③④探究提高 对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选．做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论．【训练5】 已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0，1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：①f (2 013)＋f (－2 014)的值为0；②函数f (x )在定义域上是周期为2的周期函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象只有1个交点；④函数f (x )的值域为(－1，1)． 其中正确命题的序号有________．【详细分析】对于①，当x ≥0时，有f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (2×1 006＋1)＋f (2×1 007)＝f (1)＋f (0)＝0，因此①正确；对于②，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 2 32， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－log 232， 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2，函数f (x )在定义域上不是周期为2的周期函数，②不正确；对于③，注意到当x ∈[1，2)时，x －1∈[0，1)，f (x )＝－f (x －1)＝－log 2x ；当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，在坐标系内画出函数y ＝f (x )与直线y ＝x 的大致图象，结合图象可知，它们的公共点只有1个，因此③正确；对于④，当x ∈[0，1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)的值域是[0，1)；当x ∈[1，2)时，f (x )＝－log 2x 的值域是(－1，0]，因此函数y ＝f (x )的值域是(－1，1)，④正确．综上所述，其中正确命题的序号有①③④.答案 ①③④1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果．2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的检验．指导二全面掌握解答题的6个模板，规范答题拿高分规范——解答题的6个解题模板题型概述解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．模板1三角问题【例1】(满分14分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．[规范解答]解(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①2′又A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②4′由①②得，sin C sin B＝cos B sin C，∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0，∴sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.6′(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac ，8′由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4＝a 2＋c 2－2ac ，10′又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2＝2()2＋2， 当且仅当a ＝c 时，取等号．所以△ABC 面积的最大值为2＋1.14′[解题模板] 第一步 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为边之间的关系或角之间的关系第二步 求待求角的某一三角函数值；第三步 指明角的范围，并求角；第四步 利用面积公式表示所求三角形的面积或利用余弦定理表示边角关系； 第五步 反思回顾，查看关键点、易错点，规范解题步骤．【训练1】 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝ 2.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.模板2立体几何问题【例2】(满分14分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且AB＝2，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)若平面P AC⊥平面ABCD，求证：平面P AC⊥平面PDE.[规范解答](1)证明法一取线段PD的中点M，连接FM，AM.因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12CD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12CD.所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.5′又AM⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.7′法二连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN.因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE .又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ，所以CE ＝NE . 又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP .5′又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .7′ 法三 取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD . 又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ，所以EQ ∥平面P AD .2′ 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以FQ ∥PD . 又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .5′ 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD .7′ (2)证明 设AC ，DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点．所以DA AE ＝CDDA ＝ 2. 又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA . 又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.即DE ⊥AC .9′因为平面P AC ⊥平面ABCD 且平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ，因为DE ⊂平面ABCD ， 所以DE ⊥平面P AC ，12′又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE .14′ [解题模板]1．画出必要的辅助线，根据条件合理转化；2．写出推证平行或垂直所需条件，注意条件要充分；3．明确写出所证结论．【训练2】如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝12DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB.∴四边形GF AB为平行四边形，则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.模板3实际应用问题【例3】(满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y .(1)设∠CA 1O ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．[规范解答] 解 (1)在Rt △COA 1中，CA 1＝2cos θ，CO ＝2tan θ，2′ y ＝3CA 1＋CB ＝3·2cos θ＋2－2tan θ＝2（3－sin θ）cos θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4.6′ (2)y ′＝2－cos 2θ－（3－sin θ）（－sin θ）cos 2θ＝23sin θ－1cos 2θ，令y ′＝0，则sin θ＝13，10′ 当sin θ＞13时，y ′＞0； sin θ＜13时，y ′＜0，∵y ＝sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴当角θ满足sin θ＝13时，y 最小，最小为42＋2；此时BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22 m ．14′[解题模板]解决实际问题的一般步骤： (1)阅读题目，理解题意； (2)设置变量，建立函数关系； (3)应用函数知识或数学方法解决问题； (4)检验，作答．【训练3】 如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城．设OA＝x km，OB＝y km.(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小．解(1)因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以12x(2＋6)sin 45°＋12y(2＋6)·sin 30°＝12xy sin 75 °，即22x(2＋6)＋12y(2＋6)＝6＋24xy，所以y＝22xx－2(x＞2)．(2)△AOB的面积S＝12xy sin 75°＝6＋28xy＝3＋12×x2x－2＝3＋12(x－2＋4x－2＋4)≥3＋12×8＝4(3＋1)．当且仅当x＝4时取等号，此时y＝4 2.故OA＝4 km，OB＝4 2 km时，△OAB面积的最小值为4(3＋1) km2. 模板4解析几何问题【例4】(满分16分)如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2＋y2＝b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：y＝mx－45(m≠0)与椭圆C交于A，B两点，P A，PB与圆O交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求证△APB为直角三角形；(3)设直线MN 的斜率为n ，求证mn 为定值． [规范解答](1)解 由已知⎩⎨⎧2b ＝2，2a ＝6b ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，所求椭圆方程为x 29＋y 2＝1.Ⅰ 5′(2)证明 将y ＝mx －45代入椭圆方程整理得 (9m 2＋1)x 2－725mx －8125＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用求根公式求解上述一元二次方程的根，则x 1＋x 2＝72m5（9m 2＋1），x 1x 2＝－8125（9m 2＋1）.又P (0，1)，∴P A →·PB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1) ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(mx 1－95)(mx 2－95) ＝(m 2＋1)x 1x 2－95m (x 1＋x 2)＋8125＝－81（m 2＋1）25（9m 2＋1）－648m 225（9m 2＋1）＋8125＝0，因此P A ⊥PB ，则△APB 为直角三角形．Ⅱ 12′ (3)证明 由(2)知直线MN 方程为y ＝nx ， 代入x 2＋y 2＝1，得(n 2＋1)x 2－1＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则⎩⎨⎧x 3＋x 4＝0，x 3x 4＝－1n 2＋1，y 1－1x 1＝y 3－1x 3，① y 2－1x 2＝y 4－1x 4.②两式相加整理得2m －95·x 1＋x 2x 1x 2＝2n ，可求得m n ＝15.Ⅲ 16′[解题模板] Ⅰ求椭圆方程； Ⅱ证明垂直①将直线方程和椭圆方程联立，得到一元二次方程；②设出直线与椭圆的交点坐标，利用求根公式求一元二次方程的根，并求两根和与积；③利用两根和与两根积的关系证明垂直； Ⅲ可利用第(2)问结论，证明mn 为定值．【训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA→＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交于点M ，故斜率存在，又F 坐标为(1，0)，设直线l 方程为y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )， 设l 交椭圆A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →， ∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)，∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2， ∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2（4k 2－12）3＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－83. 模板5 函数与导数问题【例5】 (满分16分)设函数f (x )＝ax －2－ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在点(e ，f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)当x ＞0时，求证： f (x )－ax ＋e x ＞0. [规范解答](1)解 ∵f (x )＝ax －2－ln x (x ＞0)， ∴f ′(x )＝a －1x ，由已知f ′(e)＝1e ，即a －1e ＝1e ，则a ＝2e .Ⅰ 6′(2)解 由(1)知，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x (x ＞0)． 当a ≤0时，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上递减； 当a ＞0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a ；当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：由表可知：f (x )在⎝ ⎭⎪⎫0，1a 上是单调减函数，在⎝ ⎛⎭⎪1a ，＋∞上是单调增函数，综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.Ⅱ 10′ (3)证明 当x ＞0时，要证f (x )－ax ＋e x ＞0， 即证e x －ln x －2＞0，设g (x )＝e x －ln x －2(x ＞0)．只需证g (x )＞0， ∵g ′(x )＝e x －1x ，由指数函数及幂函数的性质知：g ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上是增函数， 又g ′(1)＝e －1＞0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝e 13－3＜0，∴g ′(1)·g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜0，∴g ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1内存在唯一的零点，则g ′(x )在(0，＋∞)上有唯一的零点， 设g ′(x )的零点为t ，则g ′(t )＝e t －1t ＝0， 即e t ＝1t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜t ＜1，由g ′(x )的单调性知：当x ∈(0，t )时，g ′(x )＜g ′(t )＝0； 当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )＞g ′(t )＝0，∴g (x )在(0，t )上为减函数，在(t ，＋∞)上为增函数， ∴当x ＞0时，g (x )≥g (t )＝e t －ln t －2＝1t －ln 1e t －2＝1t ＋t －2≥2－2＝0，又13＜t ＜1，等号不成立， ∴g (x )＞0，故当x ＞0时，f (x )－ax ＋e x ＞0.Ⅲ 16′ [解题模板]Ⅰ求参数值，利用导数的几何意义求a ；Ⅱ判断单调性：①求定义域，②求导，③讨论，并求单调区间；Ⅲ利用最值证不等式：①构造函数；②求导；③判断最值点x ＝x 0，并用x 0表示最值；④证不等式． 【训练5】 设f (x )＝（x ＋a ）ln xx ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x＋y ＋1＝0垂直． (1)求a 的值；(2)若对∀x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1)恒成立，求m 的范围． 解 (1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ＋a x （x ＋1）－（x ＋a ）ln x（x ＋1）2由f ′(1)＝12，即2（1＋a ）4＝12，解得a ＝0.(2)由(1)知f (x )＝x ln xx ＋1， 当x ≥1时，f (x )≤m (x －1)，即x ln xx ＋1≤m (x －1)，可化为ln x －mx ＋mx ≤0，设g (x )＝ln x －mx ＋m x ，g ′(x )＝1x －m －mx 2 ＝－mx 2＋x －m x 2.设φ(x )＝－mx 2＋x －m ，①当m ≤0时，g ′(x )＞0，g (x )≥g (1)＝0，不合题意． ②当m ＞0时，1°.Δ≤0时，即m ≥12，g ′(x )≤0，g (x )≤g (1)＝0，符合题意． 2°.Δ＞0时，0＜m ＜12，φ(1)＝1－2m ＞0，不合题意． 综上，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.模板6 数列问题【例6】 (满分16分)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝n ＋132，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求证{b n －12}是等比数例，并求数列{b n }的通项公式；(2)如果对任意n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n ≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．[规范解答](1)证明 当n ＝1时，2b 1＝7，b 1＝72.Ⅰ 2′ 当n ≥2时， S n ＋b n ＝n ＋132， ①S n －1＋b n －1＝（n －1）＋132， ②①－②得2b n －b n －1＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1－12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －12是首项为b 1－12＝3，公比为12的等比数列，Ⅱ 6′所以b n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12·112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3·112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即b n ＝3·112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋12.Ⅲ 7′(2)解 由题意及(1)得S n ＝n ＋132－b n ＝n ＋132－3112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭－12＝n ＋122－3112n -⎛⎫⎪⎝⎭.Ⅳ10′不等式12k12＋n －2S n≥2n －7，化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *恒成立．设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝－2n ＋92n ＋1.当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列， 当1≤n ＜5时，c n ＋1＞c n ，c n 为单调递增数列， 116＝c 4＜c 5＝332，所以n ＝5时，c n 取得最大值332，所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332.Ⅴ 16′[解题模板]Ⅰ求首项令n ＝1，即可求出b 1；Ⅱ转化为等比数列将⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝72，b n ＝12b n －1＋14类型的问题转化为等比数列求解； Ⅲ求通项公式根据等比数列通项公式求b n －12，进而求b n ；Ⅳ求前n 项和由已知可用b n 表示S n ，即S n ＝n ＋132－b n ；Ⅴ转化并证明分离字母，并判断数列{c n }的增减性求数列{c n }中的最大项．【训练6】 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＜12. (1)证明 因为a n ＞0，令n ＝1，有4S 1＝a 22－4－1，即4a 1＝a 22－5，所以a 2＝4a 1＋5.(2)解 4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，两式相减得4a n＝a 2n ＋1－a 2n －4，整理得a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，即a n ＋1＝a n ＋2.所以{a n }从第2项起，是公差为2的等差数列．所以a 5＝a 2＋3×2＝a 2＋6，a 14＝a 2＋12×2＝a 2＋24，又a 2，a 5，a 14构成等比数列，有a 25＝a 2·a 14， 则(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋24)，解得a 2＝3.由(1)知a 1＝1，又a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，即a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(3)证明 由(2)得1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12. 指导三 临考回归教材本源，以不变应万变回扣——回归教材，查缺补漏，消除得分障碍1．集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[回扣问题1] 集合A ＝{a ，b ，c }中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是________．(填等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)答案 等腰三角形2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．[回扣问题2] 集合A ＝{x |x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝________． 答案 ∅3．遇到A ∩B ＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A ＝∅或B ＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[回扣问题3]集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________．答案0，1，1 24．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.[回扣问题4]满足{1，2} M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．答案75．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[回扣问题5]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于________．答案[0，＋∞)6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[回扣问题6]已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是____________________________________________________________．答案否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b7．在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”．[回扣问题7]若“x2－3x－4＞0，则x＞4或x＜－1”的否命题是_____________________________________________________________________．答案若x2－3x－4≤0，则－1≤x≤48．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A. [回扣问题8]设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．答案 充分不必要9．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[回扣问题9] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是_________________________________________________________．【详细分析】不等式即(x 2＋x )a －2x －2＞0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1，3]，恒有f (a )≤0”．则⎩⎨⎧f （1）≤0，f （3）≤0，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23， 则符合题设条件的实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 10．复合命题真假的判断．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．[回扣问题10] 在下列说法中：(1)“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；(2)“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；(3)“p 或q 为真”是“非p 为假”的必要不充分条件；(4)“非p 为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件．其中正确的是________．答案 (1)(3)2.函数与导数1. 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多．[回扣问题1] 若A ＝{1，2，3}，B ＝{4，1}，则从A 到B 的函数共有________个；其中以B 为值域的函数共有______个．答案 8 62．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．若f (x )定义域为[a ，b ]，复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x )≤b 解出；若f [g (x )]定义域为[a ，b ]，则f (x )定义域相当于x ∈[a ，b ]时g (x )的值域．[回扣问题2] 已知f (x )＝－x 2＋10x －9，g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为________．答案 [1，3]3．求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等．[回扣问题3] 已知f (x )－4f (1x )＝－15x ，则f (x )＝________．答案 x ＋4x4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[回扣问题4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0－tan x ，0≤x ＜π2， 则f (f (π4))＝________．答案 －25．函数的奇偶性f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |);f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )；定义域含0的奇函数满足f (0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f (x )与f (－x )的关系．[回扣问题5] 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )＋1，求f (x )的解析式．答案 f (x )＝⎩⎨⎧x （1＋x ）＋1，x ＞00，x ＝0－x 2＋x －1，x ＜06．函数的周期性由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a ＞0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：①函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数；②若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ； ③若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a . [回扣问题6] 设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47.5)等于______．答案 －0.57．函数的单调性①定义法：设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数； ②导数法：注意f ′(x )＞0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0；∴f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件．③复合函数由同增异减的判定法则来判定．④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[回扣问题7] 函数f (x )＝x 3－3x 的单调递增区间是________．答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)8．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可导函数；(5)换元法(特别注意新元的范围)；(6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．[回扣问题8] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 9．常见的图象变换(1)平移变换①函数y ＝f (x ＋a )的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位得到的．②函数y ＝f (x )＋a 的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴向上(a ＞0)或向下(a ＜0)平移|a |个单位得到的．(2)伸缩变换①函数y ＝f (ax )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴伸缩为原来的1a 得到的．②函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的．(3)对称变换①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y。
高考数学二轮专题复习 选择题与填空题解答策略
选择题与填空题解答策略【考纲解读】1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系.【考点预测】1．近几年来高考数学试题中选择题稳定在14～15道题，分值65分，占总分的43.3%。
高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型.2．填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。
近几年高考，都有一定数量的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％.【要点梳理】1.准确是解答选择题的先决条件。
选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。
所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间获取高分的必要条件。
高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”是造成低分的一大因素。
对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。
2.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三个层次的要求。
历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的。
它包括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个选项A、B、C、D组成。
3.一般地，解答选择题的策略是：①熟练掌握各种基本题型的一般解法。
②结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。
③挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
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选择填空巧练(三) 推理类题目(时间：30分钟 分数：60分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2015·贵州贵阳一模)下列命题中正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0 B ．∀x ∈N ，x 3＞x 2C ．x ＞1是x 2＞1的充分不必要条件D ．若a ＞b ，则a 2＞b 2答案：C解析：因为x 20＋2x 0＋3＝(x 0＋1)2＋2＞0，则选项A 错；因为x 3－x 2＝x 2(x －1)不一定大于0，则选项B 错；若x ＞1，则x 2＞1成立，反之，不成立，选项C 正确；取a ＝1，b ＝－2，满足a ＞b ，但a 2＞b 2不成立，选项D 错．故选C.2．(2015·广东汕头一模)下列函数中，是偶函数，且在区间(0，＋∞)内单调递增的函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2|x |答案：D解析：选项A 幂函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性；选项B ，C 的函数在(0，＋∞)不是单调函数；选项D ，当x ≥0时y ＝2x，满足在(0，＋∞)上单调递增．故选D.3．(2015·河南郑州模拟)设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出以下命题：①若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β；②若l ∥α，α∥β，则l ∥β；③若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β；④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β.其中，正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：A解析：对于①，可能还有l ⊂β；对于②，同样可能还有l ⊂β；③是正确的；对于④，直线l 与平面β的关系：l ⊥β，l ∥β，l ⊂β，l 与β相交都有可能．因此只有命题③正确．故选A.4．(2015·河南洛阳统考)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )是假命题．其中正确的命题是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③ 答案：A解析：由条件可知命题p 为假，q 为真，因此p ∧q 为假，p ∧()綈q 为假，()綈p ∨q 为真，()綈p ∨()綈q 为真．故选A.5．已知向量a ＝(3，－6)，b ＝(4,2)，则函数f (x )＝(a x ＋b )2(x ∈R )是( ) A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数答案：A解析：f (x )＝(a x ＋b )2＝a 2x 2＋b 2＋2a x ·b ＝45x 2＋20，所以函数f (x )是偶函数．故选A. 6．(2015·湖北八市联考)已知a ＝2－ 13 ，b ＝log 213，c ＝log 23，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案：D解析：由指数函数的性质，得0<2－ 13<1；由对数函数的性质，得log 213<log 21＝0，log 23>log 22＝1，则c ＞a ＞b .故选D.7．(2015·四川德阳联考)已知a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝4a x＋2a x ＋1＋x cos x (－1≤x ≤1)，设函数f (x )的最大值是M ，最小值是N ，则( )A ．M ＋N ＝8B ．M ＋N ＝6C ．M －N ＝8D ．M －N ＝6答案：B解析：f (x )＝4a x＋2a x ＋1＋x cos x ＝3＋a x－1a x ＋1＋x cos x,设g (x )＝a x －1a x ＋1＋x cos x ，得g (－x )＝－g (x )，函数g (x )是奇函数，则g (x )的值域为关于原点对称的区间，当－1≤x ≤1时，设－m ≤g (x )≤m ，则3－m ≤f (x )≤3＋m ，∴函数f (x )的最小值M ＝3－m ，最大值N ＝3＋m ，得M ＋N ＝6.故选D.8.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 答案：B解析：第一次循环，n ＝2，x ＝2t ，a ＝2－1＝1； 第二次循环，n ＝4，x ＝4t ，a ＝4－1＝3； 第三次循环，n ＝6，x ＝8t ，a ＝6－3＝3， 此时满足条件，输出a x ＝38t.由题意知a x ＝38t≥3，解得8t ≥1，即t ≥18.故选B.9．(2015·江西上饶一模)函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1(x ∈R )是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数 答案：B解析：由f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－sin 2x ，得函数f (x )是奇函数，且f (x )的周期为π.故选B.10．(2015·东北四市联考)对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数：(1) 对任意的x ∈[0,1]，恒有f (x )≥0；(2) 当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立. 则下列四个函数中不．是M 函数的个数是( ) ①f (x )＝x 2； ②f (x )＝x 2＋1； ③f (x )＝ln(x 2＋1)； ④f (x )＝2x－1.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：A解析：(1)在[0,1]上，四个函数都满足； (2)x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1；对于①，f (x 1 ＋ x 2 )－[f (x 1 ) ＋ f (x 2 )] ＝ (x 1 ＋ x 2 )2－(x 21 ＋ x 22 ) ＝ 2x 1 x 2 ≥0，满足；对于②，f (x 1 ＋ x 2 )－[f (x 1 ) ＋ f (x 2 )] ＝ [(x 1 ＋ x 2 )2＋ 1]－[(x 21 ＋ 1) ＋ (x 22 ＋ 1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足．对于③，f (x 1 ＋ x 2 )－[f (x 1 ) ＋ f (x 2 )]＝ ln[(x 1 ＋ x 2 )2＋ 1]－[ln(x 21 ＋ 1) ＋ ln(x 22 ＋ 1)] ＝ ln[(x 1 ＋ x 2 )2＋ 1]－ln[(x 21 ＋ 1)(x 22 ＋ 1)] ＝ ln x 1 ＋ x 2 2＋ 1 x 1 ＋ 1 x 2 ＋ 1 ＝ln x 21 ＋ x 22 ＋ 2x 1 x 2 ＋ 1x 1 x 2 ＋ x 1 ＋ x 2 ＋ 1. 而x 1≥0，x 2≥0，∴1≥x 1＋x 2≥2x 1x 2，∴x 1x 2≤14，∴x 21 x 22 ≤14x 1 x 2 ≤2x 1 x 2 ，∴x 21 ＋ x 22 ＋ 2x 1 x 2 ＋ 1x 21 x 22 ＋ x 21 ＋ x 22 ＋ 1≥1， ∴ln x 21 ＋ x 22 ＋ 2x 1 x 2 ＋ 1x 21 x 22 ＋ x 21 ＋ x 22 ＋ 1≥0，满足； 对于④，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1) ＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．故选A. 二、填空题(每小题5分，共10分) 11．观察下列不等式： 1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， 1＋12＋13＋…＋131>52， …照此规律，第6个不等式为____________． 答案：1＋12＋13＋…＋1127>72解析：观察不等式的规律知 1>12， 1＋12＋122－1>1＝22， 1＋12＋13＋…＋123－1>32， 1＋12＋13＋…＋124－1>42， 1＋12＋13＋…＋125－1>52， …由此猜测第6个不等式为1＋12＋13＋…＋1127>72.12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP ＝x ，CQ ＝y ，其中x ，y ∈[0,1]，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①当x ＝0时，S 为矩形，其面积最大为1； ②当x ＝y ＝12时，S 为等腰梯形；③当x ＝12，y ＝34时，S 为六边形；④当x ＝12，y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1＝2－1y . 答案：②④解析：当x ＝0时，S 为矩形，其最大面积为1×2＝2，所以①错误；当x ＝y ＝12时，截面如图①所示，所以②正确；图①图②图③当x ＝12，y ＝34时，截面如图②，所以③错误；当x ＝12，y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，如图③，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，延长DD 1，使DD 1∩QR ＝N ，连接AN 交A 1D 1于S ，连接SR ，可证AN ∥PQ ，由△NRD 1∽△QRC 1，可得C 1R ∶D 1R ＝C 1Q ∶D 1N ，可得RD 1＝2－1y，∴④正确．综上可知正确的序号应为②④.。