北京西城区2016年高三数学二模试卷文科带解析

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北京市西城区2014届高三数学二模文科数学试卷(带解析)

北京市西城区2014届高三数学二模文科数学试卷（带解析）1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（）（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）A B =∅ （D ）A B ≠∅【答案】D 【解析】试题分析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，{|1}B x x =>，{|12}A B x x =<<≠∅，故选D ．考点：集合与集合之间关系．2．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A 【解析】试题分析：=(12i)(1i)=3+i z +-，在复平面内对应的点位于第一象限．考点：复数的运算，复数的几何意义．3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A （B ）2 （C （D ）2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得2b a =，即22222241b c a e a a-===-，所以25e =，即e = 考点：双曲性的几何意义．4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A ）2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈ （C ）2A ∈，且A （DAA【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥是底面对角线长为2，高为4的正四棱锥，因此它的底考点：三视图．5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件．考点：充要条件的判断．6．在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则B =（）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π6 （D ）2π3正(主)视图俯视图侧(左)视图【答案】A 【解析】试题分析：由1cos 3A =得，sin A =，由43>，得B 是锐角，有正弦定理得，sin sin a bA B=，即3sin 3sin 4b A B a ===，所以4B π=．考点：正弦定理．7．设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x ⎧-+=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞ （B ）[1,4]（C ）[4,)+∞ （D ）(,1][4,)-∞+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由函数()y f x =的图像可知，在(),2-∞和()4,+∞上是递增的，在()2,4上是递减的，故函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则12a +≤或4a >，即1a ≤或4a >，故选Ｄ．考点：函数的单调性．8．设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（）（A）（B）（C）[1 （D）[1 【答案】B 【解析】试题分析：如下图两种画法分别是()x Ω，()y Ω取得最大值最小值的位置，由图可知，()x Ω取得最大值最小值分别为 ()y Ω取得最大值最小值分别为故()()x y Ω+Ω的取值范围是．10．设抛物线2 4Cy x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则||MF = .【答案】3 【解析】试题分析：由抛物线的定义可知，0||1232pMF x =+=+=．考点：抛物线的定义．11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．【答案】2- 【解析】试题分析：第一次运行后，得2,2a i =-=，此时25<；第二次运行后，得1,33a i =-=，此时35<；第三次运行后，得1,42a i ==，此时45<；第四次运行后，得3,5a i ==，此时55=；第五次运行后，得2,6a i =-=，此时65>；此时停止循环，输出的a 的值为2-．考点：算法框图．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组440,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是_____．【答案】12【解析】试题分析：在同一坐标作出不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域，与不等式组40,x ⎧≤≤18832⨯⨯=，β与α重叠的面积β内的点的概率为161322=． BD 所在的直线进行翻折，则试题分析：将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程，底面积不变，高在变化，当平面ABD 与平面ACD A BCD -的体积的最大值是112232V =⨯⨯⨯=考点：翻折问题，几何体体积．14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________. 【答案】8 ，{1,2} 【解析】试题分析：根据映射对应法则可知(3,5)538f =+=；(2,)4x f x ≤，当1x =时，(2,1)2114f =-=≤，当2x =时，(4,2)42f =-=≤，当3x =时，(8,3)83f ≥=-=，因此当1,2x =时，(2,)4x f x ≤成立．考点：映射．15．已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为πT =；（2）π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=，π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=．【解析】试题分析：（1）求函数()f x 的最小正周期，求三角函数周期，首先将函数化成一个角的一个三角函数，即化成()sin y A x ωϕ=+形式，因此对函数()f x 先化简，由()cos (sin cos )1f x x x x =-+，整理得，2()sin cos cos 1f x x x x =-+，由此可用二倍角公式整理得111()sin 2cos 2222f x x x =-+，再由两角和的正弦得π1())242f x x =-+，进而可有2T πω=求得周期；（2）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值，由π[,0]2x ∈-得，5πππ2444x --≤≤-，进而转化为正弦函数的最值，从而求出函数()f x 的最大值和最小值. （1） 2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ 4分111sin 2cos 2222x x =-+ π1sin(2)242x =-+， 6分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 7分（2）由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以 π1sin(2)4x --≤ 9分所以1π1)2242x -+≤≤1，即 1()12f x ≤≤. 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=； 12分当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=. 13分考点：三角函数化简，求周期，最值．16．为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（2）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（3）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?【答案】（1）A =4.6x ，B =4.5x ，从数据结果来看A 班学生的视力较好；（2）B 班5名学生视力的方差较大；（3）可推断A 班有16名学生视力大于4.6．【解析】试题分析：（1）计算出平均数，看平均数的大小，平均数大的班学生的视力较好；（2）对数据分析，一看极差，二看数据集中程度，越集中方差越小，越离散方差越大，从数据上看，B 班5名学生视力极差较大，数据相对较散，从而的结论；（3）对数据观察，找出视力大于4.6的人数，根据视力大于4.6的人数与抽出人数的比值，从而可估算出A 班全班40名学生中的视力大于4.6的人数．（1）A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. 4分（2）B 班5名学生视力的方差较大. 8分（3）在A 班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为25． 11分所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有240165⨯=名，则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4.6． 13分考点：统计数据分析，平均数，样本估计总体． 17．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点.（1）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ；（2）求证：//EO 平面ABCD ；（3）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的个数，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. 【解析】试题分析：（1）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ，证明两平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线，注意到本题是一个正方体，因此可证11A D ⊥平面11ABB A 即可；（2）求证：//EO 平面ABCD ，证明线面平行，即证线线平行，即在平面ABCD 内找一条直线与EO 平行，注意到E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点，可连接BD ，AC ，设BDAC G =，连接OG ，证明//EO AG 即可，即证四边形AGOE 是平行四边形即可；（3）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的个数，由（2）可知，//EO AG ，且12EO AG AC ===，故点E 符合，有正方体的特征，可知，1AA OE ⊥，故EO 是点O 到1AA 的最短距离，故这样的点就一个，同理在其他棱上各有一个，故可求出满足条件OP =的点P 的个数．（1）在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A . 4分（2）证明：连接BD ，AC ，设BD AC G =，连接OG .因为1111D C B A ABCD -为正方体，所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD 的中点，又因为O 是1BD 的中点，所以 1//DD OG ，且121DD OG =，所以 AE OG //，且AE OG =，即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ， 6分又因为 EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD . 9分（3）满足条件OP =的点P 有12个. 12分理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =，所以AC = 所以12EO AG AC ===分在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ，所以 1AA AG ⊥，又因为 //EO AG ，所以 1AA OE ⊥，则点O 到棱1AA所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. 14分考点：面面垂直的判断，线面平行的判断，点到直线距离．18．已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R .（1）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.【答案】（1）定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-，当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =；（2）函数()g x 存在两个零点．【解析】试题分析：若0a =，求函数()f x 的定义域和极值，把0a =代入得函数e ()1xf x x =+，故可求得函数()f x 的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，即求函数2e ()11xg x x x =-++的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数．（1）函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++. 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：4分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. 5分（2）结论：函数()g x 存在两个零点. 证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++，因为 22131()024x x x ++=++>，所以函数()g x 的定义域为R . 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， 7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. 9分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. 10分因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e(1)103g =-<，2e (2)107g =->，所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， 12分故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. 13分考点：函数的极值，根的存在性定理．19．设12,F F 分别为椭圆22: 12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点. （1）求1ABF ∆的周长；（2）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .【答案】（1）1ABF ∆的周长为（2）直线l的斜率7k =±，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形．【解析】试题分析：（1）求1ABF ∆的周长，这是焦点三角问题，解这一类问题，往往与定义有关，本题可由椭圆定义得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，两式相加即得1ABF ∆的周长；（2）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k ，由于没教得那一个角为直角，故三种情况，o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o 190ABF ∠=，当o 190BF A ∠=时，此时直线AB 的存在，设出直线方程，代入椭圆方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系，得到关系式，再由110F A F B ⋅=，即可求出斜率k 的值，当o 190BAF ∠=（与o 190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，求出点A 的坐标，从而可得直线l 的斜率k ．（1）椭圆W的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++==分（2）因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o 190ABF ∠=，再由当o 190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 8分由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)FB x y =+，所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， 10分解得k =. 11分当o 190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， 13分根据两点间斜率公式，得1k =±，综上，直线l的斜率k =，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形. 14分考点：焦点三角，直线与椭圆位置关系．20．在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b . （1）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（2）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++的值；（3）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a .【答案】（1）11b =，21b =，32b =；（2）12350243b b b b ++++=；（3）得n n a = 【解析】试题分析：（1）根据使得1n n a a +<成立的n 的最大值为m b ，1n a ≤，则11b =，2n a ≤，则21b =，3n a ≤，则32b =，这样就写出1b ，2b ，3b 的值；（2）确定11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====，分组求和，即可求12350b b b b ++++的值；（3）若{}n b 为等差数列，先判断n n a ≥，再证明n a n ≤，即可求出所有可能的数列{}n a ．（1） 11b =，21b =，32b =. 3分（2）因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， 4分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====， 6分所以12350243b b b b ++++=. 8分（3）由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. 9分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. 10分设2 a k =，则 2k ≥. 假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. 11分又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . 12分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. 13分考点：等差数列与等比数列的性质．。

北京市西城区2016届高三一模考试数学文试题含答案

北京市西城区2016年高三一模试卷数学(文科） 2016.4第Ⅰ卷(选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1。

设集合2{|}4A x x x =≤,集合{1,2,3,4}B =--,则AB =( )（A ）{1,2}- (B){2,4} （C ）{3,1}-- （D){1,2,3,4}-- 2. 设命题p ：0,sin 21xx x ∃>>-，则⌝p 为（ )（A)0,sin 21xx x ∀>-≤ (B ）0,sin 21xx x ∃><- （C ）0,sin 21xx x ∀><- (D ）0,sin 21x x x ∃>-≤3。

如果()f x 是定义在R 上的奇函数,那么下列函数中，一定为偶函数的是（ )(A ）()y x f x =+ (B ）()y xf x = (C ）2()y x f x =+ (D ）2()y x f x =4．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况,其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示。

若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（）(A ）{2} （B ）{1,2} (C){0,1,2} （D){2,3}5。

在平面直角坐标系xOy 中，向量OA ＝（-1， 2），OB＝（2, m ) ，若O , A ， B 三点能构成三角形，则（）（A ）4m =- （B ）4m ≠- （C ）1m ≠ (D)m ∈R甲队乙队 890 1m8236。

执行如图所示的程序框图,若输入的,A S 分别为0， 1,则输出的S =（）（A ）4 （B ）16 (C ）27 (D ）36 7. 设函数12()log f x x x a=+-,则“(1,3)a ∈”是 “函数()f x 在(2,8)上存在零点”的（ )（A)充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D)既不充分也不必要条件 8。

2016年北京市西城区高三年级第一学期期末练习数学(文科)试卷(含答案)

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B = ，则实数a 的取值范围是（）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC = ，则AM =（）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题（D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图俯视图6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中1处应填（）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5,2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.1 该食品在8C的保鲜时间是_____小时；2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了a此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3)2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.FADPM18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>，点(1,A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x =+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．113．7914．4 是注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列，所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩………………2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩………………3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=．……………… 7分（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==，所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =2sin cos 1)x x x =-1sin 222x x=+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， (6)分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由22ππππ2π+232k k x -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212k k x -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为[5ππππ+]1212k k -,，k ∈Z . ……………… 11分所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略），由12PM MD =，得23MN PA =，又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯= . …… 14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. (2)分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，所以,x y 中至少有一个小于6， (4)F CADPMB E分又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ，所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ……………… 2分又因为点(1,2A 在椭圆C 上，所以221314a b +=， ……………… 3分解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (5)分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以22(8)4(41kmk m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ………………10分设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--. 综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分（Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-，所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ，所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分即2031x =-，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x=++. ……………… 9分令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ………………11分而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. ……………… 13分。

2016北京一模二模导数大题

2016北京一模二模导数大题1 ．（2017届北京市高三入学定位考试理）已知函数()xae f x x x=+.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线经过点(0,1),求实数a 的值; (Ⅱ)求证:当0a <时,函数()f x 至多有一个极值点;(Ⅲ)是否存在实数a ,使得函数()f x 在定义域上的极小值大于极大值?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由.2 ．（2017届北京市高三入学定位考试理）已知函数321111()(1)3227f x ax a x x =---+. (Ⅰ)当3a =时,求证:函数()f x 的图像关于点1(,0)3对称; (Ⅱ)当0a <时,求()f x 的单调区间.3 ．（2016年北京高考（理））设函数()a xf x xebx -=+,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+,(1)求a ,b 的值;(2)求()f x 的单调区间.4 ．（2016年北京市海淀区高三二模理）已知函数2()e ()xf x x ax a =++.(Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若关于x 的不等式()e a f x ≤在[,)a +∞上有解,求实数a 的取值范围;(Ⅲ)若曲线()y f x =存在两条互相垂直的切线,求实数a 的取值范围.(只需直接写出结果)5 ．（2016年北京市西城区高三二模理）设a ∈R ,函数2()()x af x x a -=+. (Ⅰ)若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线与直线32y x =-平行,求a 的值;(Ⅱ)若对于定义域内的任意1x ,总存在2x 使得21()()f x f x <,求a 的取值范围.6 ．（2016年北京市东城区高三二模理）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+,()(1)g x k x =+.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)当2k =时,求证:对于1x ∀>-,()()f x g x <恒成立;(Ⅲ)若存在01x >-,使得当0(1,)x x ∈-时,恒有()()f x g x >成立,试求k 的取值范围.7 ．（2016年北京市朝阳区高三二模理）已知函数21()(1)1)ln 2f x x a x a x =-+++-（,a ∈R . (Ⅰ)当3a =时,求曲线:()C y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)当[]1,2x ∈时,若曲线:()C y f x =上的点(,)x y 都在不等式组12,,32x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内,试求a 的取值范围.8 ．（2016年北京市丰台区高三二模理）设函数()e (R)axf x a =∈.(Ⅰ)当2a =-时,求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值;(Ⅱ)若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点,求实数a 的取值范围. 9 ．（2016年北京市房山区高三二模理）已知函数2()(0)xae f x a x=≠.(Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)设2()()ln g x f x x x=--,若()g x 在区间(0,2)上有两个极值点,求实数a 的取值范围. 10．（2016年北京市昌平区高三二模理）已知函数()e axf x =,2()(,,)g x x bx c a b c =-++∈R ,且曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(0,)c 处具有公共切线. 设()()()=-h x f x g x .(I)求c 的值,及,a b 的关系式;(II)求函数()h x 的单调区间;(III)设0a ≥,若对于任意12,[0,1]x x ∈,都有12()()e 1h x h x -≤-,求a 的取值范围.11．（2016年北京市顺义区高三一模理）已知函数2()ln =-f x x x .(Ⅰ)求曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)设2()=-+g x x x t ,若函数()()()=-h x f x g x 在1[,]e e上(这里 2.718≈e )恰有两个不同的零点,求实数t 的取值范围.12．（2016年北京市石景山区高三一模理）已知函数()sin cos f x x x x =-.(Ⅰ)求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程;(Ⅱ)求证:当(0)2x ∈，π时,31()3f x x <;(Ⅲ)若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立,求实数k 的最大值.13．（2016年北京市丰台区高三一模理）已知函数()ln f x x x =.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)求证:()1f x x ≥-; (Ⅲ)若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立,求a 的最小值. 14．（2016年北京市朝阳区高三一模理）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R .(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)当[]1,2x ∈时,都有()0f x >成立,求a 的取值范围;(Ⅲ)试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切?并说明理由.15．（2016年北京市海淀区高三一模理）已知函数11ln )(-+=x x x f ,1()ln x g x x-=(Ⅰ)求函数)(x f 的最小值;(Ⅱ)求函数)(x g 的单调区间;(Ⅲ)求证:直线x y =不是曲线)(x g y =的切线.16．（2016年北京市西城区高三一模理）已知函数1()e e x x f x x a -=-,且(1)e f '=.(Ⅰ)求a 的值及()f x 的单调区间;(Ⅱ)若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两不相等个正实数根12,x x ,证明:124||ln ex x ->.17．（2016年北京市东城区高三一模理）设函数1)(--=x ae x f x,R ∈a .(Ⅰ)当1a =时,求()f x 的单调区间;(Ⅱ)当),0(+∞∈x 时,0)(>x f 恒成立,求a 的取值范围;(Ⅲ)求证:当),0(+∞∈x 时,21ln xx e x >-.单元检测卷设置参考答案1. (Ⅰ)解:1a e=(Ⅱ)证明:当0a <时,当(,0)x ∈-∞时,'()0f x >,函数()f x 在(,0)-∞上单调递增,无极值;当(0,)x ∈+∞时,令2()(1)xg x ae x x =-+,则'()(2)xg x x ae =+. 由'()0g x =得2ln()x a=-,则①当2ln()0a-≤,即2a ≤-时,'()0g x ≤,()g x 在(0,)+∞上单调递减, 所以()g x 在(0,)+∞上至多有一个零点,即'()f x 在上(0,)+∞至多有一个零点. 所以函数()f x 在(0,)+∞上至多有一个极值点.②当2ln()0a->,即20a -<<时,'()g x 及()g x 随x 的变化情况如下表:因为2(ln())(0)0g g a a->=->,所以()g x 在(0,)+∞上至多有一个零点,即'()f x 在(0,)+∞上至多有一个零点. 所以函数()f x 在(0,)+∞上至多有一个极值点.综上,当0a <时,函数()f x 在定义域上至多有一个极值点(Ⅲ)存在实数a ,使得函数()f x 在定义域上的极小值大于极大值. a 的取值范围是0a >. 由(Ⅱ)可知当0a <时,函数()f x 至多有一个极值点,不可能同时存在极大值与极小值. 当0a =时,()f x x =,无极值;当0a >时,'()g x 及()g x 随x 的变化情况如下表:①下面研究()f x 在(0,)+∞上的极值情况: 因为(0)0g a =-<,(1)10g =>, 所以存在实数1(0,1)x ∈,使得1()0g x =,且1(0,)x x ∈时,()0g x <,即'()0f x <,()f x 在1(0,)x 上递减;1(,)x x ∈+∞时,()0g x >,'()0f x >,()f x 在1(,)x +∞上递增; 所以在(0,)+∞上()f x 的极小值为1()f x ,无极大值. ②下面考查()f x 在(,0)-∞上的极值情况:当01a <≤时,2(1)10ag e -=->; 当1a >时,211112(1ln )(ln )(2)ln 1g a a e a e-+=+-+-,令1ln t a =,则0t <,令212()(2)1h t t t e e =+-+-,因为()h t 在(,0)-∞上递减,所以2()(0)10h t h e >=->,即1(1ln )0g a-+>.综上,因为(0)0g a =-<,所以存在实数2(,0)x ∈-∞,2()0g x =,且2(,0)x x ∈时,()0g x <,即'()0f x <,()f x 在2(,0)x 上递减;2(,)x x ∈-∞时,()0g x >,'()0f x >,()f x 在2(,)x -∞上递增; 所以在(,0)-∞上()f x 的极大值为2()f x ,无极小值. 又因为210x x <<,且0a >,所以21()0()f x f x <<,所以,当且仅当0a >时,函数()f x 在定义域上的极小值大于极大值2. (Ⅰ)证明:当3a=时,3211()27f x x x x =--+. 将函数3211()27f x x x x =--+的图像向左平移13个单位,得到函数314()()33g x f x x x =+=-的图像.因为对任意x R ∈,x R -∈,且34()()(=()3g x x x g x -=----）, 所以函数()g x 是奇函数. 所以函数()g x 的图像关于原点对称. 所以函数()f x 的图像关于点1(,0)3对称(Ⅱ)解:由321111()(1)3227f x ax a x x =---+,得'2()(1)1(1)(1)f x ax a x x ax =---=-+①当1a =-时,'2()(1)0f x x =--≤. 所以()f x 的递减区间是(,)-∞+∞. ②当1a <-时,'()f x 及()f x 随x 的变化情况如下表:所以()f x 的单调递增区间是1(,1)a -,单调递减区间是1(,)a-∞-,(1,)+∞. ③当10a -<<时,'()f x 及()f x 随x 的变化情况如下表:所以函数()f x 的单调递增区间是1(1,)a -,单调递减区间是(,1)-∞,1(,)a-+∞ 3.4. 解: (Ⅰ)函数()f x 的定义域为R . 当1a =时, '()e (2)(1)xf x x x =++当x 变化时,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:x (,2)-∞-2-(2,1)--1-(1+)-∞，'()f x + 0-+ ()f xZ极大值]极小值Z函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-,(1)-+∞，, 函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--(Ⅱ)解:因为()e af x ≤在区间[,)a +∞上有解,所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a.因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=- 当2a -≤-时,即2a ≥时,因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立,所以()f x 在[,)a +∞上单调递增, 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤,解得112a -≤≤,所以此种情形不成立, 当2a ->-,即2a <时,若0a ≥, 则'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立,所以()f x 在[,)a +∞上单调递增, 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤,解得112a -≤≤,所以102a ≤≤若0a <,若2a ≥-,则'()0f x <对(,)x a a ∈-成立,'()0f x >对[,)x a ∈-+∞成立.则()f x 在(,)a a -上单调递减,在[,)a -+∞上单调递增, 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a -所以有22()e ()e e aaaf a a a a a ---=-+=⋅≤,解得20a -≤<,当2a <-时,注意到[,)a a -∈+∞,而22()e ()e e a a af a a a a a ---=-+=⋅≤,此时结论成立综上,a 的取值范围是1(,]2-∞法二:因为()e af x ≤在区间[,)a +∞上有解,所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a,当0a ≤时,显然0[,)a ∈+∞,而(0)0e a f a =≤≤成立,当0a >时,'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立,所以()f x 在[,)a +∞上单调递增, 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为()f a ,所以有22()e ()e a a f a a a a =++≤,解得112a -≤≤,所以102a ≤≤ 综上,1(,]2a ∈-∞ (Ⅲ)a 的取值范围是2a ≠5. (Ⅰ)证明:函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且,由题意,(0)f '有意义,所以0a ≠.求导,得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++由题意,得243(0)3a f a'==,解得1a =±.验证知1a =±符合题意(Ⅱ)“对于定义域内的任意1x ,总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”① 当0a =时, 由1()f x x=,得()f x 无最小值,符合题意 ② 当0a >时, 令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+,得x a =- 或 3x a =随着x 的变化时,()f x '与()f x 的变化情况如下:因为当x a >时,2()0()x af x x a -=>+,当x a <时,()0f x <,所以只要考虑1(,)x a ∈-∞,且1x a ≠-即可.当1(,)x a ∈-∞-时, 由()f x 在(,)a -∞-上单调递减,且1111||2x x x a a <++<-, 得1111()(||)2f x f x x a >++, 所以存在2111||2x x x a =++,使得21()()f x f x <,符合题意; 同理,当1(,)x a a ∈-时,令2111||2x x x a =-+, 得21()()f x f x <,也符合题意; 故当0a >时,对于定义域内的任意1x ,总存在2x 使得21()()f x f x <成立 ③ 当0a <时, 随着x 的变化时,()f x '与()f x 的变化情况如下表:所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.因为当x a >时,2()0()x af x x a -=>+,当x a <时,()0f x <, 所以min ()(3)f x f a =.所以当13x a =时,不存在2x 使得21()()f x f x <.综上所述,a 的取值范围为[0,)a ∈+∞6. 解:(Ⅰ)所以 ()f x 单调增区间为35(2,)2-+-,单调减区间为35(,)2-++∞ (Ⅱ) 设2()()()2ln(2)(1)(1)(1)h x f x g x x x k x x =-=+-+-+>-, 当2k =时,由题意,当(1,)x ∈-+∞时,()0h x <恒成立.22(31)2(3)(1)()222x x x x h x x x -++-++'=-=++,当1x >-时,()0h x '<恒成立,()h x 单调递减. 又(1)0h -=,当(1,)x ∈-+∞时,()(1)0h x h <-=恒成立,即()()0f x g x -<. 对于1x ∀>-,()()f x g x <恒成立 (Ⅲ) 因为 222(31)2(6)22()22x x x k x k h x k x x -++++++'=-=-++.由(II)知,当k = 2时,f (x) < g (x)恒成立,即对于x > –1,2 ln (x + 2) – (x + 1)2< 2 (x + 1),不存在满足条件的x 0; 当k > 2时,对于x > –1,x + 1 > 0,此时2 (x + 1) < k (x + 1).2 ln (x + 2) – (x + 1)2< 2 (x + 1) < k (x + 1),即f (x) < g (x)恒成立, 不存在满足条件的x 0;当k < 2时,令t (x) = –2x 2– (k + 6)x – (2k + 2),可知t (x)与h (x)符号相同, 当x (x 0 , +)时,t (x) < 0,h (x) < 0,h (x)单调递减.当x (–1 , x 0)时,h (x) > h (–1) = 0,即f (x) – g (x) > 0恒成立. 综上,k 的取值范围为(– , 2)7. 解:(Ⅰ)2250x y -+=.(Ⅱ)依题意当[]1,2x ∈时,曲线C 上的点(),x y 都在不等式组12,,32x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内,等价于当12x ≤≤时,3()2x f x x ≤≤+恒成立. 设()()g x f x x =-211)ln 2x ax a x （=-++-,[]1,2x ∈. 所以21(1)()=+=a x ax a g x x a+x x ---++-'(1)(1))=x x a x---(-. (1)当11a -≤,即2a ≤时,当[]1,2x ∈时,()0g x '≤,()g x 为单调减函数,所以(2)()(1)g g x g ≤≤. 依题意应有131,222221ln20,()()()g a g a a ⎧=-≤⎪⎨⎪=-++-≥⎩解得21a a ,.≤⎧⎨≥⎩所以12a ≤≤.(2)若 112a <-<,即23a <<时,当[)1,1x a ∈-,()0g x '≥,()g x 为单调增函数,当x ∈(]1,2a -,()0g x '<,()g x 为单调减函数. 由于3(1)2g >,所以不合题意. (3)当12a -≥,即3a ≥时,注意到15(1)22g a =-≥,显然不合题意. 综上所述,12a ≤≤ 8. 解:(Ⅰ)当2a =-时,22()exg x x -=,222'()e(22)=-2(1)e xx g x x x x x --=--x 与g 、之间的关系如下表:函数在区间(0,)+∞内只有一个极大值点,所以这个极值点也是最大值点1x =,最大值21(1)e g =(Ⅱ)(1)当0a =时,2()1h x x =-,显然在区间(0,16)内没有两个零点,0a =不合题意.(2)当0a ≠时,2()1e ax x h x =-,222()(2)e '()e eaxax ax ax x x ax a h x ---== ①当0a <且(0,16)x ∈时,'()0h x >,函数()h x 区间(0,)+∞上是增函数,所以函数()h x 区间(0,16)上不可能有两个零点,所以0a <不合题意;②当0a >时,在区间(0,)+∞上x 与'()h x 、()h x 之间的关系如下表:因为(0)1h =-,若函数()h x 区间(0,16)上有两个零点,则2()0,216,(16)0h a a h ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪<⎪⎪⎩,所以22816410,1,8210ae a a e ⎧->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪-<⎪⎩,化简20,e1,8ln 22a a a ⎧<<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩因为1ln 214ln 21ln161682e <⇔<⇔<⇔<, 2ln 24eln 243eln 2e 2>⇔>⇔>>, 所以1ln 2282e<<. 综上所述,当ln 222ea <<时,函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点.9. 解:(Ⅰ)当1a =时,2()xe f x x =24432(2)(2)'()(0)x x x x x e xe e x x e x f x x x x x---===≠ 令'()0f x = 得2x =,(),()x f x f 'x 变化情况x (,0)-? (0,2) 2(2,)+?()f 'x + - + ()f x 增减增所以函数()f x 增区间为(,0)-∞,(2,)+∞,减区间为(0,2)(Ⅱ)方法一:22()ln x ae g x x x x=--323221()(2)'()x x x axe ae ae x x g x x x x x ---=+-=当(0,2)x ∈时, 320,0x x -<>若()g x 在(0,2)上有两个极值点,'()g x 在(0,2)上至少有两零点,即方程0xae x -=在(0,2)上至少有两个不等实根,即方程x xa e =在(0,2)上至少有两个不等实根设()((0,2))x x F x x e=∈,21'()x x xx e xe xF x e e --== 解'()0F x =的1x =()F x 在(0,1)上单增,在(1,2)上单减所以 ()F x 在(0,2)上的最大值为1(1)F e= 又22(0)0,(2)F F e ==所以要使方程x x a e =有两个不等实根,a 的取值范围为221(,)e e设()x h x ae x =-, 解'()10xh x ae =-=得1ln x a=当221(,)a e e ∈时,1ln (0,2)x a=∈且()h x 在1(0,ln )a 单调递减;在1(ln 2)a，单调递增. 设1212,()x x x x <为方程0x ae x -=的两个不等实根,则在1(0,)x 上()0h x >,在12(,)x x 上()0h x <,在2(,2)x 上()0h x > 所以在1(0,)x 上()0g x <,在12(,)x x 上()0g x >,在2(,2)x 上()0g x < 即12,x x 为()g x 的两个极值点综上所述, ()g x 在(0,2)内存在两个极值点时,a 的取值范围为221(,)e e.方法二:(Ⅱ)22()ln x ae g x x x x=--,323221()(2)'()x x x axe ae ae x x g x x x x x ---=+-= 因为()g x 在(0,2)上有两个极值点,所以'()g x 在(0,2)上至少有两零点,所以方程0x ae x -=,即方程1xx e a=在(0,2)上至少有两个不等实根,所以直线1y x a=与曲线()xh x e =在(0,2)上有两个不同的交点因为2(2)h e =,所以过点2(2,)P e 和(0,0)O 的直线的斜率212e k =设过点(0,0)O 的直线l 与曲线()xh x e =相切于点00(,)x x e因为'()xh x e =,所以直线l 的斜率00xk e = 所以直线l 的方程为000()x x y ee x x -=-因为直线l 过点(0,0)O ,所以01x =,所以0k e =因为直线1y x a =与曲线()x h x e =在(0,2)上有两个不同的交点所以212e e a <<,即221a e e<<设1212,()x x x x <为直线1y x a=与曲线()x h x e =在(0,2)上两个交点的横坐标,显然在1(0,)x 上10x e x a ->,在12(,)x x 上10x e x a -<,在2(,2)x 上10x e x a->所以在1(0,)x 上()0g x <,在12(,)x x 上()0g x >,在2(,2)x 上()0g x < 即12,x x 为()g x 的两个极值点所以当()g x 在(0,2)内有两个极值点时,a 的取值范围为221(,)e e.方法三:22()ln x ae g x x x x=--323221()(2)'()x x x axe ae ae x x g x x x x x ---=+-= 当0a <时,在区间(0,2)上,30,20,0x ae x x x -<-<> 所以'()0g x >从而()g x 在区间(0,2)上是增函数,故()g x 在区间(0,2)上无极值点;当0a >时,设()xh x ae x =-,(0,2)x ∈若()g x 在(0,2)上有两个极值点,'()g x 在(0,2)上至少有两零点, 即()h x 在(0,2)上至少有两零点 '()1x h x ae =-令'()0h x =得1ln x a=当1ln 0a <即1a >时,(0,2)x ∈,'()10xh x ae =->,所以()h x 在(0,2)x ∈单调递增, ()(0)0h x h a >=> 故()g x 在(0,2)内不存在两个极值点.当1ln 2a >即210a e<<时,(0,2)x ∈,'()10x h x ae =-<,所以()h x 在(0,2)x ∈单调递减, 2(0)0,(2)2120h a h ae =>=-<-< 所以 ()h x 在(0,2)上只有一个零点0x0(0,)x x ∈,'()0g x <,0(,2)x x ∈,'()0g x >所以0(0,)x x ∈,()g x 单调增,0(,2)x x ∈,()g x 单调减所以()g x 在(0,2)上只有一个极值点(()g x 在(0,2)内不存在两个极值点)当10ln 2a <<即211a e <<时,1(0,ln )x a ∈时,'()0h x <,1(ln 2)x a∈，,'()0h x >所以 1(0,ln )x a∈时,函数()h x 单调递减;1(ln 2)x a∈，,函数()h x 单调递增.所以函数()h x 的最小值为1ln 11(ln )ln a h ae a a=-.函数()g x 在(0,2)内存在两个极值点当且仅当(0)01(ln )0(2)0h h a h >⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩解得221a e e <<.综上所述,函数()g x 在(0,2)内存在两个极值点时,a 的取值范围为221(,)e e. 10.解:(I)因为函数()e ax f x =,2()=-++g x x bx c ,所以函数'()e axf x a =,'()2=-+g x x b .又因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(0,)c 处具有公共切线, 所以(0)(0),'(0)'(0)=⎧⎨=⎩f g f g ,即1,.c a b =⎧⎨=⎩(II)由已知,2()()()e 1axh x f x g x x ax =-=+--. 所以'()e 2axh x a x a =+-.设()'()e 2axF x h x a x a ==+-,所以2'()e 2axF x a =+,∀∈a R,'()0>F x ,所以'()h x 在(,)-∞+∞上为单调递增函数由(I)得,'(0)'(0),f g =所以'(0)'(0)'(0)0h f g =-=,即0是'()h x 的零点.所以,函数()h x 的导函数'()h x 有且只有一个零点0 所以'()h x 及()h x 符号变化如下,)(0,)+∞ (III)由(II)知当[0,1]x ∈ 时,()h x 是增函数.对于任意12,[0,1]x x ∈,都有12()()e 1h x h x -≤-等价于max min ()()(1)(0)e e 1a h x h x h h a -=-=-≤-,等价于当0a ≥时,()e (e 1)0aG a a =---≤,因为'()e 10a G a =-≥,所以()G a 在[0,)+∞上是增函数, 又(1)0G =,所以[0,1]a ∈11.解:(Ⅰ)函数定义域为(0,)+∞1'()2=-f x x x,∴'(1)1=f又(1)1=f ,∴所求切线方程为11-=-y x ,即0-=x y(Ⅱ)函数()()()ln =-=-+-h x f x g x x x t 在1[,]e e上恰有两个不同的零点,等价于ln 0-+-=x x t 在1[,]e e 上恰有两个不同的实根,等价于ln =-t x x 在1[,]e e上恰有两个不同的实根,令()ln ,=-k x x x 则11'()1-=-=x k x x x∴当1(,1)∈x e时,'()0<k x ,∴()k x 在1(,1)e 递减;当(1,]∈x e 时,'()0>k x ,∴()k x 在(1,]e 递增.故min ()(1)1==k x k ,又11()1,()1=+=-k k e e e e.Q 11()()20-=-+<k k e e e e ,∴1()()<k k e e ,∴1(1)()<≤k t k e即1(1,1]∈+t e12.解:()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--= (Ⅰ)()0f π'=,()f ππ=.所以切线方程为y π=(Ⅱ)令31()()3g x f x x =-,则2()sin (sin )g x x x x x x x '=-=-, 当(0)2x ∈，π时,设()sin t x x x =-,则()cos 10t x x '=-<,所以()t x 在(0)2x ∈，π单调递减,()sin (0)0t x x x t =-<=,即sin x x <,所以()0g x '< 所以()g x 在(0)2，π上单调递减,所以()(0)0g x g <=, 所以31()3f x x <(Ⅲ)原题等价于sin x kx >对(0)2x ∈，π恒成立,即sin x k x <对(0)2x ∈，π恒成立, 令sin ()x h x x =,则22cos sin ()()x x x f x h x x x -'==- 易知()sin 0f x x x '=>,即()f x 在(0,)2π单调递增,所以()(0)0f x f >=,所以()0h x '<,故()h x 在(0)2，π单调递减,所以2()2k h ππ≤=.综上所述,k 的最大值为2π 13.解:(Ⅰ)设切线的斜率为k()ln 1f x x '=+(1)ln111k f '==+=因为(1)1ln10f =⋅=,切点为(1,0).切线方程为01(1)y x -=⋅-,化简得:1y x =- (Ⅱ)要证:()1f x x ≥-只需证明:()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立,()ln 11ln g x x x '=+-=当(0,1)x ∈时()0f x '<,()f x 在(0,1)上单调递减; 当(1,)x ∈+∞时()0f x '>,()f x 在(1,)+∞上单调递增; 当1x =时min ()(1)1ln1110g x g ==⋅-+=()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立所以()1f x x ≥- (Ⅲ)要使:22ln x x ax a ≥+在区间在(0,)+∞恒成立,等价于:2ln x ax ax ≥+在(0,)+∞恒成立, 等价于:2()ln 0h x x ax ax =--≥在(0,)+∞恒成立因为212()h x a x ax '=-+=2222a x ax ax -++=2212()()a x x a a ax -+- ①当0a >时,2(1)ln10h a a =--<,0a >不满足题意②当0a <时,令'()0h x =,则1x a =-或2x a =(舍). 所以1(0,)x a ∈-时()0h x '<,()h x 在1(0,)a -上单调递减;1(,)x a ∈-+∞时()0h x '>,()h x 在1(,)a -+∞上单调递增;当1x a =-时min 11()()ln()12h x h a a =-=-++ 当1ln()30a -+≥时,满足题意所以30e a -≤<,得到a 的最小值为 3e -14.解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1a x af x x x+'=+=. (1)当0a ≥时,()0f x '>恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增; (2)当0a <时, 令()0f x '=,得x a =-.当0x a <<-时,()0f x '<,函数()f x 为减函数; 当x a >-时,()0f x '>,函数()f x 为增函数.综上所述,当0a ≥时,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.当0a <时,函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -,单调递增区间为(+)a -∞，.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当1a -≤时,即1a ≥-时,函数()f x 在区间[]1,2上为增函数,所以在区间[]1,2上,min ()(1)1f x f ==,显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零; (2)当12a <-<时,即21a -<<-时,函数()f x 在[)1a -，上为减函数,在(],2a - 上为增函数,所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-.依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->,解得e a >-,所以21a -<<-. (3)当2a -≥时,即2a ≤-时,()f x 在区间[]1,2上为减函数, 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==. 依题意有min ()2+ln 20f x a =>,解得2ln 2a >-,所以22ln 2a -<≤-. 综上所述,当2ln 2a >-时,函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零 (Ⅲ)设切点为000,ln )x x a x +（,则切线斜率01ak x =+, 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-. 因为切线过点(1,3)P ,则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-. 即001(ln 1)20a x x +--=. ① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >,则 2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=. (1)当0a <时,在区间(0,1)上,()0g x '>, ()g x 单调递增; 在区间(1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<. 故方程()0g x =无解,即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时,切线的条数为0.(2)当0a >时, 在区间(0,1)上,()0g x '<,()g x 单调递减, 在区间(1,)+∞上,()0g x '>,()g x 单调递增,所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<.取21+1e e ax =>,则221112()(1e1)2e 0aag x a a a----=++--=>. 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点.取2-1-21e<e ax =,则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]aa a+=-+. 设21(1)t t a=+>,()e 2t u t t =-,则()e 2t u t '=-. 当1t >时,()e 2e 20t u t '=->->恒成立.所以()u t 在(1,)+∞单调递增,()(1)e 20u t u >=->恒成立.所以2()0g x >. 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点. 因此当0a >时,过点P (13)，存在两条切线. (3)当0a =时,()f x x =,显然不存在过点P (13)，的切线. 综上所述,当0a >时,过点P (13)，存在两条切线; 当0a ≤时,不存在过点P (13)，的切线 15.解: (Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,22111'()x f x x x x -=-=当x 变化时,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:函数()f x 在(,)+∞0上的极小值为1()ln1101f a =+-=, 所以()f x 的最小值为0(Ⅱ)解:函数()g x 的定义域为(0,1)(1,)+∞U ,22211ln (1)ln 1()'()ln ln ln x x x f x x x g x x x x --+-===由(Ⅰ)得,()0f x ≥,所以'()0g x ≥所以()g x 的单调增区间是(0,1),(1,)+∞,无单调减区间 (Ⅲ)证明:假设直线y x =是曲线()g x 的切线设切点为00(,)x y ,则0'()1g x =,即00201ln 11ln x x x +-=又000001,ln x y y x x -==,则0001ln x x x -= 所以000011ln 1x x x x -==-, 得0'()0g x =,与 0'()1g x =矛盾所以假设不成立,直线y x =不是曲线()g x 的切线16. (Ⅰ)解:对()f x 求导,得1()(1)e e x x f x x a -'=+-,所以(1)2e e f a '=-=,解得e a = 故()e e x x f x x =-,()e x f x x '=. 令()0f x '=,得0x =.当x 变化时,()f x '与()f x 的变化情况如下表所示:所以函数f (Ⅱ)解:方程2()2f x kx =-,即为2(1)e 20x x kx --+=, 设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+ 求导,得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-. 由()0g x '=,解得0x =,或ln(2)x k =所以当(0,)x ∈+∞变化时,()g x '与()g x 的变化情况如下表所示:所以函数g 在单调递减,在上单调递增由2k >,得ln(2)ln 41k >>. 又因为(1)20g k =-+<,所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <(其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根), 因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减,且(0)10g =>,(1)20g k =-+<,所以101x <<同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增,且(ln(2))0g k <, 可得2ln(2)ln 4x k >>,所以12214||ln 41lne x x x x -=->-=,即124||lne x x ->17.解:(Ⅰ)当1a =时,则()1xf x e x =--,则'()1xf x e =-. 令'()0,f x =得0.x =所以当0x <时,'()0f x <,()f x 在(),0-∞上单调递减; 当0x >时,'()0f x >,()h x 在(0,)+∞上单调递增; 当0x =时,min ()(0)0f x f == (Ⅱ)因为0>x e ,所以01)(>--=x ae x f x恒成立,等价于x ex a 1+>恒成立. 设xe x x g 1)(+=,),0[+∞∈x , 得x x x x exe e x e x g -=+-=2)1()(', 当),0[+∞∈x 时,0)('≤x g ,所以 )(x g 在),0[+∞上单调递减, 所以 ),0(+∞∈x 时,1)0()(=<g x g .因为x ex a 1+>恒成立,所以),1[+∞∈a(Ⅲ)当),0(+∞∈x 时,21ln x x e x >-,等价于012>--xxxe e . 设1)(2--=x xxe e x h ,),0[+∞∈x .求导,得)12(2)('2222--=--=x e e e x e e x h x x x x x.)由(Ⅰ)可知,),0(+∞∈x 时, e 10x x -->恒成立.所以),0(+∞∈x 时,(0,)2x ∈+∞,有2e 102x x -->. 所以 '()0h x >.所以)(x h 在(0,)+∞上单调递增,当),0(+∞∈x 时,0)0()(=>h x h .因此当),0(+∞∈x 时,21ln x x e x >-。

2016北京市海淀区高三二模文科数学word版含答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2013.5本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2 已知a =ln21,b=sin 21,c=212-，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.11D.2俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若m=54，则a 5＝3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C.若m ={}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 复数ii-12=______ 10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 已知数列{a n }是等比数列，且a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为____. 12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2-3 =0所截得的弦长为_____ 13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-ωπωx 的图象经过点[0, π]上的单调递增区间为________14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k 0,>∈k R(I)当k=1时的最大值为______； (II)若2x y的最大值为1，则实数a 的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分13分）已知等差数列{a n }的前n 项和为 S n (I)若a 1=1，S 10= 100，求{a n }的通项公式; (II)若S n =n 2-6n ，解关于n 的不等式S n +a n >2n 16 (本小题满分13分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC, ADB ∠=750，ACB ∠=30°,AD =2.(I)求CD 的长； (II)求ΔABC 的面积 17 (本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD//BC, ADC ∠=900，BA=BC 把ΔBAC 沿AC 折起到PAC ∆的位置,使得点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点,E F 分别为线段PC ，CD 的中点．(I) 求证：平面OEF//平面APD ； (II)求直线CD 与平面POF(III)在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点P,O,C,F 四点的距离相等？请说明理由. 18 (本小题满分13分）已知函数f(x) =lnx g(x) =-)0(>a ax(1)当a=1时，若曲线y=f(x)在点M (x 0,f(x 0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x 0, g(x 0））处的切线平行，求实数x 0的值；(II)若∈∀x (0,e]，都有f(x)≥g(x) 23，求实数a 的取值范围. 19 (本小题满分丨4分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(I)求椭圆C 的方程；(II)若直线y =kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB 为等边三角形,求k 的值.20 (本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值； (Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.数学（文科）参考答案及评分标准 2013．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分所以1101,19a a == ……………………4分22221212a a a a a a a a ------所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n --> 所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，AD = 根据正弦定理有sin45sin30CD AD= ……………………4分所以2CD = ……………………6分（II ）所以4BD = ……………………7分又在ABD ∆中，75ADB ∠=，6sin75sin(4530)+=+= ……………………9分所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅= ……………………12分所以32ABC ABD S S ∆∆==……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD=而 6sin105sin(4560)+=+=……………………8分所以1AC ……………………10分又4BD =，6BC = ……………………11分所以 ……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分同理//OF AD 又,OEOF O PA AD A ==所以平面//OEF 平面PDA …………………6分（II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………8分又OFPO O =所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行，所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+ 记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-，只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-= …………………6分则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：…………………8分当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥ 所以e a ≥ …………………10分当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增，()F a为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得a ≥e a < ………………12分a ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点,所以,1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为|||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x +=所以1||x =||AO ==………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则||PO =………………10分因为PAB ∆为等边三角形，所以应有|||PO AO =代入得到=0k =（舍），1k =-……………13分此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列（写出一种即可） …………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a = …………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||mnij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。

西城区2024届高三二模数学试题答案

2024.5 第1页（共6页）西城区高三模拟测试试卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）D （ 2 ）B （ 3 ）C （ 4 ）B （ 5 ）A（ 6 ）C（ 7 ）D（ 8 ）C（ 9 ）D（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）1[,)3+∞（12）22(1)4−+=x y （13）2 π3−（14）1−（答案不唯一） 2−（15）② ③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）2()2cos 2=+xf x xcos 1=++x xπ2sin()16=++x ．………2分由()()=f A f B ，得ππsin()sin()66+=+A B ．在ABC △中，因为,(0,π)∈A B ，所以ππ7πππ7π(,),(,)666666+∈+∈A B ． ………4分又≠a b ，所以≠A B ．所以ππ()()π66+++=A B ，即2π3+=A B ．………5分所以π3∠=C ．………6分2024.5 第2页（共6页）（Ⅱ）因为ABC △的面积为1sin 2==ABC S ab C △………7分所以8=ab ．………8分在ABC △中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+−，………9分即22π252cos3a b ab =+−⋅．整理得2225+−=a b ab ．………10分所以2()25349+=+=a b ab ．所以7+=a b ．………12分故ABC △的周长为12++=a b c ．………13分（17）（共14分）解：选条件②：EM AD ⊥．（Ⅰ）连接1CD ．………1分在正方体1111−ABCD A B C D 中，因为BC ⊥平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥．………3分因为EM AD ⊥，//AD BC ，所以EM BC ⊥．所以1//EM CD ． ………4分因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点． ………5分选择条件 ③：//EM 平面11CDD C ．（Ⅰ）连接1CD ．………1分因为//EM 平面11CDD C ，EM ⊂平面1BCD ，平面1BCD 平面111=CDD C CD ．所以1//EM CD ．………4分因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点．………5分（Ⅱ）在正方体1111−ABCD A B C D 中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系−D x yz ．………6分则(0,0,0)D ，(0,2,0)C ，(1,2,0)E ，(1,1,1)M ．所以(,,)020=DC uuu r ，(,,)111=DM uuu u r ，(,,)011=−EM uuu r．2024.5 第3页（共6页）设平面MCD 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,=⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅DC DM uuu r uuu u rm m 即0,0.=⎧⎨++=⎩y x y z 令1=x ，则1=−z ．于是(1,0,1)=−m ． ………9分设直线EM 与平面MCD 所成的角为θ，则|1cos ,sin ||2||||=〈〉==⋅EM EM EM θuuu ruuu r uuu r m |m m ． ………11分所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30． ………12分点E 到平面MCD的距离为||sin ==d EM θ．………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年， 2018年，共4年．………2分所以4(A)9=P ．………3分（Ⅱ）因为18.7a =，15.4b =，………4分所以X 的所有可能的取值为1,2；Y 的所有可能的取值为1,2．所以Z 的所有可能的取值为2,3,4．………5分2226C 1(2)C 15===P Z ，112426C C 8(3)C 15===P Z ，2426C 2(4)C 5===P Z ． ………8分故Z 的数学期望18210234151553EZ =⨯+⨯+⨯=． ………10分（Ⅲ）2018年和2019年．………13分2024.5 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）2()4cos 2(1)'=++f x a x a x ．………2分由题设，(0)0'=f ，解得0=a ．………3分当0=a 时，2()=f x x ．()f x 在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，适合题意．所以0=a ． ………4分（Ⅱ）当1=a 时，2()4sin 2=+f x x x ．()4cos 44(cos )'=+=+f x x x x x ．………6分因为ππ2≤≤x ，所以1cos 0−≤≤x ，()4(cos )0'=+>f x x x ．所以()f x 在区间π[,π]2上单调递增．………8分所以()f x 的最大值为2(π)2π=f ．………9分（Ⅲ）2()4cos 2(1)'=++f x a x a x ．当0=a 时，2()=f x x ．此时()f x 在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 恰有一个极值点．………10分当0>a 时，设()()'=g x f x ．则221()4sin 2(1)4(sin )2+'=−++=−−a g x a x a a x a．因为2111222+=+≥a a a a，且sin 1≤x ，所以()0'≥g x ，即()g x 在(,)−∞+∞上单调递增． ………12分因为2π()(1)π02−=−+<g a ，(0)40=>g a ，所以存在0π(,0)2∈−x ，使00()()0'==g x f x ．所以()f x 在0(,)−∞x 上单调递减，在0(,)+∞x 上单调递增．所以()f x 恰有一个极值点．综上，当0≥a 时，()f x 有且只有一个极值点．………15分2024.5 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，2222,2.=⎧⎪=⎨⎪−=⎩a c a b c………3分解得224,2==a b ．所以椭圆E 的方程为22142+=x y ．………4分（Ⅱ）设(,)P m n ，则(0,)Q n ，(,)−−A m n ．………5分其中2224m n +=，0,0>>m n ．………6分直线DP 的方程为(2)2n y x m =−−，所以2(0,)2−−nC m ．………7分直线DQ 的方程为(2)2=−−ny x ．由22(2),224,⎧=−−⎪⎨⎪+=⎩n y x x y 得2222(2)4480+−+−=n x n x n ． ………8分设(,)B B B x y ，所以22482B D n x x n −=+．………9分解得22242B n x n −=+．由24(2)22B B n n y x n =−−=+，得222244(,)22n nB n n −++．………10分由题意，点,A B 均不在y 轴上，所以直线,AC BC 的斜率均存在，且222242222242AC BCn n nn m n m k k n mn −++−+−−=−−+………11分2222244(2)2(2)(2)(24)(2)[(4)(24)2(22)](2)(24)−−++=−−−−=−−−+−−−mn n n m n n m m n m nm n m n m m m n2224(24)(2)(24)−=+−−−nn m m m n 0=． ………14分所以,,A B C 三点共线．………15分2024.5 第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）当4=n 时，A 共有42115−=个子列，………1分其中具有性质P 的子列有432110+++=个，………2分故不具有性质P 的子列有5个，………3分所以A 的具有性质P 的子列个数大于不具有性质P 的子列个数． ………4分（Ⅱ）（ⅰ）若12,,,:k i i i a a a B L 是A 的()2≤nk k 项子列，则12:1,1,,1+−+−+−'k i i i n a n a n a B L 也是A 的()2≤nk k 项子列． ………5分所以11(1)(1)()()==++−=+'+=∑∑j j kki i j j a n a k n T B T B ．………7分因为给定正整数2≤nk ，A 有C k n 个k 项子列，所以所有()T B 的算术平均值为11(1)C (1)C 22+⋅⋅+=k n k n k n k n ． ………9分（ⅱ）设(1,2,,)=k B k m L 的首项为k x ，末项为k y ，记0max{}k k x x =．若存在1,2,,=j m L ，使0j k y x <，则j B 与0k B 没有公共项，与已知矛盾．所以，对任意1,2,,=j m L ，都有0j k x y ≥．………10分因为对于1,2,,=k m L ，0{1,2,,}k k x x ∈L ，00{,1,,}k k k y x x n ∈+L ，所以共有00(1)k k x n x +−种不同的情况．因为12,,,m B B B L 互不相同，所以对于不同的子列,i j B B ，i j x x =与i j y y =中至多一个等式成立．所以00(1)k k x n x m +−≥．………13分① 当n 是奇数时，取1{1,2,,}2+∈k n x L ，13{,,,}22k n n y n ++∈L ，共有211(1)(1)224+++⋅+−=n n n n 个满足条件的子列． ………14分② 当n 是偶数时，取{1,2,,}2∈k nx L ，{,1,,}22∈+k n n y n L ，共有22(1)224+⋅+−=n n n nn 个满足条件的子列．………15分综上，n 为奇数时，m 的最大值为2(1)4+n ；n 为偶数时，m 的最大值为224+n n ．。

高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析

高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析第2页共16页北京市西城区2015年高三二模文科数学试卷2015.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =-，集合3{|}B x x =≤，则AB =（）（A ）(1,3)- （B ）(1,3] （C ）[1,3) （D ）[1,3]-集合的运算1B因为{|1}A x x = ，所以{|13}A B x x =≤。

故选B 。

2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（）（A ）4（B ）4- （C ）8 （D ）8-平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算1D由已知条件有(1,4)a b +=，因(2,)k =-c 为()//a b c +所以有214k -= ，故选D 3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则下列命题中真命题是（）（A ）p q ∧ （B ）()p q ?∨（C ）()()p q ?∧? （D ）()p q ∧?简单的逻辑联结词第2页共16页1D因1()x f x e -=在R 上是增函数，故p 命题为真；而()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==,所以()f x 为偶函数，故q 命题为假，则q ?为真，从而()p q ∧?为真命题，选D.4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（）（A ）{1,2} （B ）{1,3}（C ）{2,3} （D ）{1,3,9}算法和程序框图1A当n=1时，经过判断后重新赋值得到n=3，所以输出的s=1；第2页共16页当n=2时经过判断后重新赋值得n=9，此时输出s=2；当n=3时，判断为是，直接输出s=1，所以s 的集合为｛1，2｝.选A5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（）（A ）（B ）（C ）（D ）空间几何体的三视图1C结合正视图和侧视图，且注意到正视图中间为虚线，可知应选C6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）6均值定理的应用1B设年平均花费为t ，则***-*****()32y x t x x x x+===+≥第2页共16页（当且仅当16x x=时，即x=4时，取等号）。

高考专题北京市西城区高三二模数学(理)试题

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作北京市西城区2016年高三二模数学（理）试题满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________ 一、单选题（共8小题）1．1．设全集，集合，，则集合（）A．B．C．D．【知识点】集合的运算【答案】B【试题解析】，所以或，所以2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】复数乘除和乘方【答案】A 【试题解析】因为，所以所以在复平面内对应的点为即位于第一象限。

3．在中，角所对的边分别为.若，，，则( )A ．B ．C ．D ．【知识点】正弦定理【答案】B 【试题解析】由正弦定理得：即4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．C． D．【知识点】空间几何体的三视图与直观图【答案】C【试题解析】该四棱锥最长棱的棱长为：故答案为：C 5．“成等差数列”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【知识点】等差数列【答案】A【试题解析】若成等差数列，则成立；反过来，不成立。

若，则可能成等差数列。

6．某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）A ．元B．元C．元D．元【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数【答案】A【试题解析】经分析知：根据题意有：解得：所以7．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若为等边三角形，且直线轴，设点的坐标为，则（）A ．B．C．D．【知识点】对数与对数函数【答案】D【试题解析】因为直线轴，所以的横坐标相同；又B在函数的图象上，点在函数的图象上，所以.即正的边长为.由点的坐标为，得，，所以所以所以8．设直线：，圆，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是( )A．B．C．D．【知识点】直线与圆的位置关系【答案】C【试题解析】当为圆的过的切点时，为特殊情况。

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北京西城区2016年高三数学二模试卷（文科带解析）

北京市西城区2016年高三二模文科数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（共8小题） 1．设全集，集合，，则集合（） A．B． C．D．【考点】集合的运算【答案】B 【试题解析】，所以所以故答案为：B 2．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（） A．B． C．D．【考点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【答案】C 【试题解析】若函数为奇函数，需满足：故排除B、D。又在（）和（）上单调递减，但在在上不单调递减。故满足条件。故答案为：C 3．设，满足约束条件则的最大值是（） A．B．C．D．1 【考点】线性规划【答案】B 【试题解析】作可行域：当目标函数线过点C（）时，目标函数值最大，为：故答案为：B 4．执行如图所示的程序框图，如果输出的，那么判断框内应填入的条件是（） A．B．C．D．【考点】算法和程序框图【答案】C 【试题解析】是；是；是；否。即i=4时，满足条件，i=5时，不满足条件，所以条件为:．故答案为：C 5．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则（） A．B．C．D．【考点】正弦定理【答案】B 【试题解析】因为所以由正弦定理有：故答案为：B 6．“”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】椭圆【答案】D 【试题解析】若，则所以即表示焦点在y轴上的椭圆，反过来也不成立，若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则nm0．故“”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件。故答案为：D 7．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费(元)满足关系已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（） A．11．5元B．11元 C．10．5元D．10元【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【答案】A 【试题解析】经分析知：A4。C=4．根据题意有：解得：所以故答案为：A 8．设直线：，圆，若在直线上存在一点M，使得过M的圆C的切线，（为切点）满足，则的取值范围是（） A．B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系【答案】C 【试题解析】由圆的对称性知：，所以MC=2．所以C（2,0）到直线的距离需满足。即故答案为：C 第II卷（非选择题）二、填空题（共6小题） 9.已知复数，则在复平面内，z对应点的坐标为_____．【考点】复数乘除和乘方【答案】(3，1) 【试题解析】所以z对应点的坐标为(3，1)。故答案为：(3，1) 10.设平面向量满足，，则向量夹角的余弦值为_____．【考点】数量积的应用【答案】【试题解析】因为，所以故答案为： 11.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_____．【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】3 【试题解析】该四棱锥最长棱的棱长为：故答案为：3 12.设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为，则其离心率为____；若点在C上，则双曲线C的方程为____．【考点】双曲线【答案】【试题解析】因为双曲线C的焦点在x轴上，所以设双曲线C的方程为：由题意得：解得：所以双曲线C的方程为故答案为： 13.设函数那么____；若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是_____．【考点】函数的定义域与值域分段函数，抽象函数与复合函数【答案】【试题解析】结合函数f(x)的图像知：若函数有且只有两个零点，即与y=k的图像有两个不同的交点，则k 故答案为： 14.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影．已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片．那么在这5部微电影中，最多可能有____部优秀影片．【考点】合情推理与演绎推理【答案】5 【试题解析】设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若的点播量的点播量，且的专家评分的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若的点播量的点播量的点播量，且的专家评分的专家评分的专家评分，则优秀影片最多可能有3部。以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部。故答案为：三、解答题（共6小题） 15.已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数的值域．【考点】三角函数的图像与性质【答案】见解析【试题解析】（Ⅰ）函数f(x)的定义域为{} 所以函数的最小正周期（Ⅱ）当时，所以所以 16.已知数列的前n项和满足，其中．（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前n项和【考点】公式法，分组求和等比数列【答案】见解析【试题解析】（Ⅰ）证明：由得：当n=1时，当时，所以即所以数列为以2为首项，以4为公比的等比数列。（Ⅱ）由（Ⅰ）知：所以所以 17.如图，在周长为8的矩形中，分别为的中点．将矩形沿着线段折起，使得．设为上一点，且满足平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：为线段的中点；（Ⅲ）求线段长度的最小值．【考点】平行垂直【答案】见解析【试题解析】（Ⅰ）证明：因为分别为的中点，所以又平面ADF，又平面ADF，所以。（Ⅱ）证明：因为分别为的中点，所以连接AC，交BD于O，所以AO=CO。因为平面，CF平面ACF,且平面ACF平面DBG=OG．所以CF//OG,又因为O为AC中点，所以为线段的中点。（Ⅲ）因为为线段的中点，，所以是等边三角形，所以又所以设BE的中点为H，连接GH,CH．则DGHC为平行四边形。所以平面ABEF。所以设DF=x，所以CH=DG=GH=CD=4-2x。所以当时，线段长度的最小，为 18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率【考点】古典概型频率分布表与直方图【答案】见解析【试题解析】（Ⅰ）（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取初中生：60人，高中生：40人。初中生中阅读时间不小于30个小时的学生人数为：高中生中阅读时间不小于30个小时的学生人数为：所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数为450+420=870人。（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生”为事件A，初中生中阅读时间不足10个小时的学生有人，记为a,b,c; 高中生中阅读时间不足10个小时的学生有人，记为A,B。则从阅读时间不足10个小时的学生中随机抽取2人，有10种结果： ab,ac,aA,Ab,bc,bA,bB,cA,cB,AB 满足事件A的结果有7种aA,Ab,bA,bB,cA,cB,AB。所以 19.已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围．【考点】利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性【答案】见解析【试题解析】（Ⅰ）函数的定义域为{x|}。由题意，有意义，所以，所以（Ⅱ）对于定义域内的任意，总存在使得，等价于f(x)不存在最小值。当a=0时，显然函数无最小值，符合题意；当a0时，令f’(x)=0,得：列表：因为xa时，f(x)0,xa时，f(x)0．所以所以不符合题意。综上所述：a的取值范围是 20.已知抛物线：，过点的动直线l与相交于两点，抛物线在点A和点B处的切线相交于点Q，直线与x轴分别相交于点．（Ⅰ）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线综合抛物线【答案】见解析