北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学(文)试题 扫描版含答案
北京市朝阳区2017届高三上学期期末考试数学文试题Word版含答案
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类） 2017.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}20B x x =-<，则()U A B =ðA. {|2}x x >B. {|12}x x <≤C. {}12x x ≤<D. {|2}x x ≤2.复数=+i12A. 2-iB. 2-2iC. 1+iD. 1-i 3．已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是A. 0a b +>B.11a b> C. 2ab b < D. 330a b -<4. 已知平面向量(1,0)=a ，1(,22=-b ，则a 与+a b 的夹角为 A.6π B ．3π C. 32π D. 65π 5.已知0a >，且1a ≠，则“函数xy a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点分别是1F ，2F ，M 是双曲线上的一点，且|1MF |3=，|2MF |=1，︒=∠3021F MF ，则该双曲线的离心率是A ．13-B ．13+C ．213+ D ．13+或213+ 7则该四棱锥的体积为B.23C.438．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。
跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是A.23 B. 20 C. 21 D.19第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．已知等差数列}{n a 前n 项和为n S .若12a =，32a S =，则2a =_______，10S = . 10．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线34140x y ++=的距离是 ． 11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为_______.12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠= . 13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，俯视图正视图侧视图则2x y +的最大值是_______的取值范围是___.14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。
2017北京市朝阳区高三数 学(文)(上)期中
2017北京市朝阳区高三数 学（文）（上）期中2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则AB =A. {|2}x x >B. {|12}x x <<C. {|1}x x >D. {|0}x x > 2. 执行如右图所示程序框图，则输出i 的值为 . A ．3 B ．4C ．5D ．63. 已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ 4. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度5. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87. 函数()f x 在其定义域内满足()xf x '()e xf x +=，（其中()f x '为函数()f x 的导函数），(1)e f =，则函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值21 1正视图侧视图俯视图1 1开始 i =1，S =2 结束i =i +1S >14?输出i 是否S=S+2i8. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的前5项和5S =___________.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A ，将线段OA 绕原点O 按逆时针方向旋转60︒，得到线段OB ，则向量OB 的坐标为___________.11. 已知函数12log , 0< 1,()21, 1.x x x f x x -<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩若方程()f x m =有2个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的 体积为 ；表面积为 ．13. 某品牌连锁便利店有n 个分店，A,B,C 三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价和重量如表1所示：商品A 商品B 商品C 单价（元） 15 20 30 每件重量（千克）0.20.3 0.4表1某日总店向各分店分配的商品A,B,C 的数量如表2所示：商品 分店分店1 分店2 …… 分店nA 12 20 m 1B 15 20 m 2 C2015m 3表2表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C 的总价和总重量：分店1分店2……分店n俯视图正视图 4侧视图23总价（元） a总重量（千克）b表3则a = ；b = . 14. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ①定义域为R ； ②值域为[0,2]； ③()()0f x f x --=.试写出一个函数解析式()f x = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数π()2sin cos()3f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.16. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ，满足21n n S a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，求n T .17. （本小题满分13分） 已知ABC ∆中，3B π=，2a =. （Ⅰ）若3b =，求A ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为332，求b 的值.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 上的一个动点． （Ⅰ）若E 为PA 的中点，求证：//PC 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（Ⅲ）若三棱锥P BDE -的体积是四棱锥P ABCD -体积的13，求EA PA的值．19. （本小题满分13分） 已知函数1()(1)ln f x kx k x x=--+，k ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0k >时，若函数()f x 在区间(1,2)内单调递减，求k 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数12()ln e e xf x x x=-- . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.PA DB EC数学试题答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACDCAABD二、填空题 题号91011121314答案 3131(,)22-3(1,]28； 14413+1080；1230.20.30.4m m m ++2|cos |y x =或 cos 1y x =+或24||1x y x =+等三、解答题15. （本小题满分13分）解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-， 所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos 3sin x x x =⋅+13sin 2(1cos2)22x x =+- π3sin(2)32x =-+（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………………………… 8分（Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以π3sin(2)[,1]32x -∈-.所以3()[0,1]2f x ∈+. ……………………………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由21n n S a =-可得， 当1n =时，11a =.当2n ≥时1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a - 则数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列, 即1=2n n a -，n *∈N . ………………………………8分（Ⅱ）(1)0123(1)212322n n n n n T a a a a -++++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ………………………………13分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，可得23sin sin 3A =π.所以2sin 2A =. 在三角形中，由已知b a >，所以4A π=. ………………………………6分 （Ⅱ）由面积公式1sin 2S ac B =可得33132222c =⨯⨯，解得32c =. 由余弦定理知2222cos 218614b a c ac B =+-=+-=，所以14b =………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：如图，设AC 交BD 于O ,连接EO ．因为底面ABCD 是菱形， 所以O 是AC 的中点． 又因为E 为PA 的中点， 所以//EO PC ．因为PC ⊄平面BDE , EO ⊂平面BDE ， 所以//PC 平面BDE ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥． 因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ………………………………10分（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的体积为V ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以13ABCD V S PA ∆=⋅⋅． 又因为底面ABCD 是菱形，所以12ABD BCD ABCD S S S ∆∆∆==， 所以1132P ABD ABD V S PA V -∆=⋅⋅=．根据题意，13P BDE V V -=， 所以111236E ABD P ABD P BDE V V V V V V ---=-=-=．又因为13E ABD ABD V S EA -∆=⋅⋅，PADBE CPADBCOE所以13E ABD P ABD V EA PA V --==． ………………………………14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.211()k f x k x x+'=-+ 22(1)1kx k x x-++= 2(1)(1)kx x x --=（1）当0k ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得1x >，此时函数()f x 为单调递减函数.（2）当0k >时，①当11k<，即1k > 时， 令()0f x '>，解得10x k <<或1x >，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数.②当1k = 时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0+∞，上为单调递增函数； ③当11k>，即01k << 时， 令()0f x '>，解得01x <<或1x k>，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ……………9分 综上所述，当0k ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1+∞，； 当01k <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，(+)k∞1，，单调递减区间为(1)k1，； 当1k =时，函数()f x 的单调递增区间为()0+∞，； 当1k >时，函数()f x 的单调递增区间为(0)k 1，，()1+∞，,单调递减区间为(+)k∞1，. （Ⅱ）2(1)(1)()kx x f x x --'=，因为函数()f x 在(1,2)内单调递减，所以不等式在2(1)(1)0kx x x --≤在(1,2)上成立.设()(1)(1)g x kx x =--，则(1)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即00210,k ≤⎧⎨-≤⎩，解得102k <≤. …………13分20. （本小题满分14分） 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x '=--+. （Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+，即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln (0)e x x x≥->”等价于“1ln e x x ≥-”设函数()ln g x x x =. 令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =. x1(0,)e1e 1(,)e+∞ ()g x ' -+()g x1e-因此，函数()g x 的最小值为11()e e g =-.故1ln ex x ≥-. 即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ………………………14分。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥ 6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则t a n A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=m a x {,}k k k d c c -(m a x {,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =-的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（理工类） 2016．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U AB =ðA ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，上单调递减的是 A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =-3．若 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知函数2()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式1212()()f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于A ．154-B．2- C ．154 D．2 7．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1()(())2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S = ．12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，则tan A = ，tan()4A π+= . 13．已知函数221,0,()(1)2,0xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．DCA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.16．（本小题满分13分）已知函数()sin f x a x x =-（a ∈R ）的图象经过点(,0)3π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22x ππ∈，求()f x 的取值范围.17．（本小题满分13分）如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,120ABC ∠=,cos BDC ∠=（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.18． （本小题满分13分）已知函数2()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22x ∈-．（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2上单调递减.19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()xf x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．20．（本小题满分14分）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．11一、选择题：（满分40分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点(,0)3π，所以 ()0.322f a π=-= 解得 1a = ． …………………3分所以()sin 2sin()3f x x x x π==-．所以()f x 最小正周期为2π． …………………6分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-． …………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BCDBC BDC∠∠得，sin sin =DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． …………5分（Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅⋅∠得，2412DB DB =+-⋅．所以2307DB DB -⋅-=． 解得DB =7DB =-（舍）． 又因为cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=2-=-在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = …………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()f x 是偶函数，所以22()()()cos()cos 44x x f x a x x ax x --=--+-=++ 2()cos 4x f x ax x ==-+恒成立．所以0a =． …………………4分 （Ⅱ）由题意可知()sin 2xf x x a '=--． 设()sin 2x g x x a =--，则1()cos 2g x x '=-．注意到π(0,)2x ∈，0a >． 由()0g x '<，即1cos 02x -<，解得π03x <<． 由()0g x '>，即1cos 02x ->，解得ππ32x <<． 所以()g x 在π(0,)3单调递减，ππ(,)32单调递增．所以当π(0,)3x ∈，()(0)00g x g a <=-<，所以()f x 在π(0,)3x ∈单调递减，当ππ(,)32x ∈，ππ()()1024g x g a <=--<，所以()f x 在ππ(,)32x ∈单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 在π(0,)2上单调递减. ……………………13分 19．（本小题满分14分）解：由题意可知2()e (2)xf x x x a '=+-．（Ⅰ）因为1a =，则(0)1f =-，(0)1f '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y x --=--．即10x y ++=． …………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 在(3,0)-上单调递减，所以当(3,0)x ∈-时，2()e (2)0xf x x x a '=+-≤恒成立．即当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立．显然，当(3,1)x ∈--时，函数2()2g x x x a =+-单调递减，当(1,0)x ∈-时，函数2()2g x x x a =+-单调递增．所以要使得“当(3,0)x ∈-时，220x x a +-≤恒成立”，等价于(3)0,(0)0.g g -≤⎧⎨≤⎩即3,0.a a ≥⎧⎨≥⎩所以3a ≥． …………………8分（Ⅲ）设2()2g x x x a =+-，则44a ∆=+．①当440a ∆=+≤，即1a ≤-时，()0g x ≥，所以()0f x '≥． 所以函数()f x 在(,)-∞+∞单增，所以函数()f x 没有最小值．②当440a ∆=+>，即1a >-时，令2()e (2)0xf x x x a '=+-=得220x x a +-=，解得1211x x =-=-随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以220x a -≥+>. 所以2()e ()0xf x x a =->. 又因为函数()f x 的最小值为2e<0-，所以函数()f x 的最小值只能在21x =-处取得.所以121(1e 1]2e 2e f a ---=--==-.所以1e 1)e -=.11=.解得3a =． …………………………………14分 以下证明解的唯一性，仅供参考：设1()e g a -=因为0a >，所以0->，10-<．设0x =->，则1x -=. 设()e xh x x =-，则()e (1)xh x x '=-+.当0x >时，()0h x '<，从而易知()g a 为减函数. 当(0,3)a ∈，()0g a >；当(3,)a ∈+∞，()0g a <．所以方程1e 1)e -=只有唯一解3a =．20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分。
2016-2017海淀高三期中练习数学文科试题及答案
2016-2017海淀高三期中练习数学文科试题及答案海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2016.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}B x x x=--<，则A B=A x x=>，{(1)(3)0}IA. {1}x x<<x x<< C. {13} x x> B. {23}D. {2x x>或1}x<2. 已知向量(1,),(2,4)=-=-a b. 若ab P，则x的值为xA. 2-B. 1- C. 122D. 23. 已知命题p：0x∀>，1x+≥2命题q：若a b>，则ac bc>.x下列命题为真命题的是A. qB.p⌝ C.p q∨ D.p q∧4. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan(π)θ+=A. 34B.34-C. 43 D.43-5. 已知函数,log aby x y x ==A. 1b a>> B. b >C.1a b >> D.1a b >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 给定条件：①0x ∃∈R ,0()()f x f x -=-；②x ∀∈R ,(1)(1)f x f x -=+ 的函数个数是 下列三个函数：3,|1|,cos πy x y x y x ==-=中，同时满足条件①②的函数个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知定义在R上的函数若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是A. 1122a -≤≤B. 102a ≤< C. 01a ≤<D.102a -<≤第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学文试题 含答案
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类) 2016。
11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1。
已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合AB =A.∅ B ．1{|1,}2x x x <<∈RC ．{|22,}x x x -<<∈RD ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A ．1y x =-B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x =-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为A ．1225B ．2425C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠,则“1x >"是“1+2x x>”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C 。
充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件5。
设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面。
下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B ．若//,,//m n αβαβ⊥,则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥6。
已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心)，且OB OC +=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（）A ．154- B ．34- C ．154D ．347。
已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是（ ）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个第二部分(非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分。
北京市朝阳区高三上学期期中统一考试数学(文)试题(含答案)
北京市朝阳区2016届高三上学期期中统一考试数学（文）试题（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合}2{>=x x A ，B ＝{(1)(3)0}x x x --<，则A ∩B =A ．{1}x x >B ．{23}x x <<C ．{13}x x <<D ．{2x x >或1}x < 2. 设平面向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 且⋅a b 1=-, 则实数x 的值是 A ．2- B ．1- C ．13-D ．15- 3.下列函数在(,0)(0,)-∞+∞上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是A ．2y x =- B ．1y x -= C ．2log y x = D ．2xy =-4．已知1tan 3θ=，那么πtan ()4θ+等于 A ．2 B ．2- C ．12D ． 12-5. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位6. 下列命题正确的是 A. “1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B. 若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x C. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x7.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．88. 已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a的取值范围是A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.若集合{}1,0,a ={}1,1,-bc ，则_____,_______.a b ==10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612a a +=，48S =，则9a 的值是 ． 11.给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．12．已知函数()2sin f x x ω=(0>ω)的最小正周期为π，则=ω ，在(0,)π内满足0)(0=x f 的0x ＝ ．13. 若函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14.如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB mAC=+（m ∈R ），且点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222x x xf x =+.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间.16. （本小题满分13分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=已知1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17. （本小题满分14分）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,CB AC ⊥,点D 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .(Ⅲ)设12AB AA =,AC BC =,在线段11A B 上是否存在点M ，使得1BM CB ⊥?若存在,确定点M 的位置;若不存在，说明理由.18. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围． 19. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在区间(1,3)上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥. 20. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)x f x a x b x =++(其中a ，b ∈R ),函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1b =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为0，求b 的值．北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（文史类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分） （I ）由已知可得：()cos 1f x x x =++2sin()16x π=++. 所以)(x f 的最小正周期为2π. …………………..7分（II ）由2222k x k ππ3ππ+≤+≤π+6， k ∈Z , 得2233k x k π4ππ+≤≤π+,k ∈Z .因此函数)(x f 的单调递减区间为[2,2]33k k π4ππ+π+,k ∈Z .…………………..13分16. （本小题满分13分） 解：（I ）依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13,2.a d =⎧⎨=⎩因此1(1)32(1)21,21n n a a n d n n a n =+-=+-=+=+即. …………………..6分 (Ⅱ)依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b .12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++=23122...2n n +++++4(12)12n n-=+-22 4.n n +=+- …………………..13分17.（本小题满分14分）（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 所以1CC AC ⊥. 又AC BC ⊥，1BCCC C =,所以11AC BCC B ⊥平面． 而111BC BCC B ⊂平面，则1AC BC ⊥. …………………..4分 (Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ， 因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 所以DE ∥1AC .因为1DE CDB ⊂平面，11AC CDB ⊄平面， 所以1AC ∥1CDB 平面.E…………………..9分(Ⅲ)在线段11A B 上存在点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ,所以1AA CD ⊥.由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点， 所以CD AB ⊥. 又1AA AB A =，所以CD ⊥平面11AA B B .取线段11A B 的中点M ，连接BM . 因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥.由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥. 又1CDB D D =,所以BM ⊥平面1B CD .又1B C ⊂平面1B CD ， 所以1BM CB ⊥.…………………..14分18. （本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，所以2π3B =，sin B =由正弦定理,sin sin a bA B=可得2sin A =则1sin 2A =. 又A 为锐角，则6A π=，所以6C π=. 所以1sin 2ABC S ab C ∆=EM11222=⨯⨯=. .……………………………………………………………6分（II ）sin sin sin()sin 3A C C C π⋅=-⋅=1sin sin )2C C C ⋅-12(1cos2)4C C --11sin(2)264C π=+-. 因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈.则1sin(2)(,1]62C π+∈.所以C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. ………………………………………13分19. （本小题满分13分） 解：（I ）函数的定义域为(0,)+∞.因为2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=+-+==.又因为函数()f x 在(1,3)单调减，所以不等式(1)()0x x a --≤在(1,3)上成立. 设()(1)()g x x x a =--，则(3)0g ≤，即93(1)0a a -++≤即可，解得3a ≥. 所以a 的取值范围是[3,)+∞. …………………………………7分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '=，得1x =或1x =-（舍）. 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表所以1x =时,函数()f x 的最小值为(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. ………………………………13分20. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)xf x ax bx =++，所以2()e [(2)1]xf x ax a b x b '=++++． 因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b -+++=．所以1a =． ……………………2分 (Ⅰ)当1a =时，1b =时， (0)1,(0)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-．即210x y -+=． ……………………4分 (Ⅱ)由已知得2()e (1)xf x x bx =++，所以2()e [(2)1]e (1)(1)x xf x x b x b x x b '=++++=+++．（1）当11b --<-，即0b >时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x >-或1x b <--； 令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++<得，11b x --<<-．所以函数()f x 在(1,)-+∞和(,1)b -∞--上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减． 所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然合题意． （2）当11b --=-时，即0b =时，2()e (1)0xf x x '=+≥恒成立，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增． 所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然不符合题意． （3）当11b -->-时，即0b <时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x <-或1x b >--； 令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++<得，11x b -<<--．所以函数()f x 在(,1)-∞-和(1,)b --+∞上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减． ①若11b --≥，即2b ≤-时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为(1)e(2)0f b =+=． 解得2b =-．显然合题意．②若11b --<，即20b -<<时，函数()f x 在在(1,1)b ---上单调递减，在(1,1)b -- 上单调递增．此时，函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e(2)0b f b b ----=+=．解得2b =-．显然不合题意．综上所述，2b =或2b =-为所求． ……………………14分。
北京市朝阳区2017届高三上学期期末考试数学(文)试题【含答案】
北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三期末文科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U R =，集合{}1A x x =<，{}20B x x =-<，则()U C A B =（ ）A ．{}2x x >B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}2x x ≤2．复数21i=+（ ） A ．2i -B ．22i -C ．1i +D ．1i -3．已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．0a b +>B ．11a b>C ．2ab b <D ．330a b -<4．已知平面向量()10=， a，12⎛=- ⎝⎭b ，则a 与+a b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3πC ．3π2 D ．6π5 5．已知0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数()32y a x =-在R 上是增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别是12F F 、，M是双曲线上的一点，且1MF =21MF =，1230MF F ∠=，则该双曲线的离心率是（ ）A1B1 CD17．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形， 该四棱锥的体积为（ ） A．3B ．23C ．43D8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。
跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（ ）俯视图正视图侧视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若12a =，23S a =，则2a =_______，10．圆22:2220C x y x y ++--=的圆心到直线34140x y ++=的距离是11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为_______． 12．在ABC ∆中，已知45B AC ∠=︒=，，则C ∠=_______．13．设D 为不等式组0033x y x y x y ≥-≤+≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域内除原点外的任一点()A x y ，，则2x y +的最大值是_______的取值范围是14．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。
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北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学答案（文史类） 2016.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解: （Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为248,,a a a 成等比数列，所以2428()a a a =⋅.即2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d = .又11a =，且0d ≠，解得1d = .所以有1(1)n a a n d n =+-=. ……………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：11111(1)1n n nb a a n n n n +===-⋅++ . 则11111=1++...+2231n S n n ---+. 即1=111n n S n n -=++.…………………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数()sin f x a x x =的图象经过点,03π（）， 所以 0.3f π=-=（） 解得 1a = . 所以()sin 2sin 3f x x x x π==-（）.所以()f x 最小正周期为2π. …………………7分 （Ⅱ）因为322x ππ≤≤，所以7.636x πππ≤-≤ 所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值，最大值是2； 当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值，最小值是 1.- 所以()f x 的取值范围是[1,2]-. ……………………13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC 中，因为cos 7BDC ∠=，所以sin 7BDC ∠=． 由正弦定理=sin sin DC BC DBC BDC∠∠得，sin sin =14DC BDC DBC BC ⋅∠∠=． ……………………5分 （Ⅱ）在△BDC 中，由2222cos BC DC DB DC DB BDC =+-⋅∠得，24127DB DB =+-． 所以2307DB DB --=．解得DB =DB =．由已知得DBC ∠是锐角，又sin =14DBC ∠，所以cos DBC ∠ 所以cos =cos 120ABD DBC （）∠-∠.=cos120cos sin120sin DBC DBC ⋅∠+⋅∠1=214-=． 在△ABD 中，因为222=2cos AD AB BD AB BD ABD +-⋅∠=16724(27+-⨯=，所以AD = ……………………………13分P E DC B A18. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ，//PA DE所以DE ⊥底面ABCD ．所以DE BC ⊥．又因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥．又因为CD DE D = ， 所以BC ⊥平面CDE ．所以BC CE ⊥． …………4分（Ⅱ）若直线m ⊂平面PAB ，则直线//m 平面CDE ．证明如下，因为//PA DE ，且PA ⊂平面PAB ，DE ⊄平面PAB ，所以//DE 平面PAB ．在矩形ABCD 中，//CD BA ，且BA ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB ．又因为CD DE D = ，所以平面//PAB 平面CDE ．又因为直线m ⊂平面PAB ，所以直线//m 平面CDE ． ………………9分 （Ⅲ）易知，三棱锥E PCD -的体积等于三棱锥P CDE -的体积.由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面CDE ．又因为//AD BC ，所以AD ⊥平面CDE ．易证//PA 平面CDE ，所以点P 到平面CDE 的距离等于AD 的长．因为22AB PA DE ===，3AD =，所以1121122CDE S CD DE ∆=⋅=⨯⨯=． 所以三棱锥E PCD -的体积1113133CDE V S AD ∆=⋅=⨯⨯=． …………14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()e x ax f x +=，所以1()e xax a f x -+-'=. 依题意，(0)2f '=-,解得1a =-. 所以1()e x x f x -+=，2()ex x f x -'=. 当2x >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数；当2x <时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；所以函数()f x 的最小值是21(2)ef =-. …………………………6分 （Ⅱ）因为1()e x ax f x +=，所以1()e xax a f x -+-'=. （1） 若0a =，则1()0ex f x '=-<.此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件. （2） 若0a ≠，令()0f x '=得111a x a a-==-. (ⅰ)若110a -≤，即01a <≤，则()0f x '<在()0,1上恒成立. 此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件.(ⅱ)若1011a <-<，即1a >时，由()0f x '>得101x a<<-； 由()0f x '<得111x a-<<. 此时()f x 在1(0,1)a -上为增函数，在111a-（，）上为减，不满足条件. (ⅲ)若111a -≥即0a <.则()0f x '<在()0,1上恒成立. 此时()f x 在()0,1上单调递减，满足条件.综上，1a ≤. …………………………………………………13分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）若2a =-，则1()2ln f x x x x=--+，(0,)x ∈+∞ 2(21)(1)()x x f x x-+-'= 由()0f x '>得，01x <<；由()0f x '<得，1x >.所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,)+∞. ………………3分 （Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min ()1f x >. 222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==,1a ≥. 令()0f x '=得，1x =或1x a=. 若e a ≥，则由()0f x '>得，1e x <≤；由()0f x '<得，11e x ≤<.所以min ()(1)11f x f a ==->，满足条件；若1e a <<，则由()0f x '>得，11e x a≤<或1e x <≤；由()0f x '<得，11x a <<. min 1()min{(),(1)}ef x f f =， 依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<.若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增， min 1()()1ef x f =<，不满足条件； 综上，2a >. ……………………………………9分 （III ）(0,)x ∈+∞,2()(1)ln (1)1g x ax a x x a x =-+++-.所以'()2(1)ln g x ax a x =-+.设()2(1)ln m x ax a x =-+，12(1)()2a ax a m x a x x+-+'=-=. 令()0m x '= 得 12a x a +=. 当102a x a+<<时，()0m x '<；当12a x a +>时，()0m x '>. 所以()g x '在1(0,)2a a +上单调递减，在1(,)2a a++∞上单调递增. 所以()g x '的最小值为11()(1)(1ln )22a a g a a a ++'=+-. 因为1e a >，所以1111e e 22222a a a +=+<+<. 所以()g x '的最小值11()(1)(1ln )022a a g a a a ++'=+->. 从而，g()x 在区间(0,)+∞上单调递增.又5210352111g()(62ln )1e e e a a a a a +=++-， 设3()e (2ln 6)h a a a =-+.则32()e h a a '=-.令()0h a '=得32e a =.由()0h a '<，得320ea <<； 由()0h a '>，得32e a >.所以()h a 在320e （，）上单调递减，在32+e ∞（，）上单调递增. 所以min 32()()22ln 20eh a h ==->. 所以()0h a >恒成立.所以3e 2ln 6a a >+，32ln 61e a a+<. 所以527272272111111111g()1=110e e e e e e e e e a a a a +<+-++-<++-<. 又(1)20g a =>，所以当1e a >时，函数()g x 恰有1个零点. …………14分。