数学破题36计 第4计 关羽开门 刀举成功

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第4计 关羽开门 刀举成功
●计名释义
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用
这大刀，“水淹七军”用这大刀.
数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么
意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎
了吗！

●典例示范
［例1］ （2006年四川卷第19题）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别
是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，
AD=AA1=a，AB=2a.
（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.

［分析］ 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开
门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！
有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.

［解Ⅰ］ 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.
易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MN∥BCC1B1MN∥面ADD1A1（证毕）.

［插语］ 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽
的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.

【例2】 (04·重庆卷题21)设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px
交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.
（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；
（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
【分析】 （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：

（1）证|OH|=21|AB|.
(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2
（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.

显然，利用向量知识证OBOA=0,当为明智之举.

数学破题36计
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【解答】 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,
∴|AB|=|y1-y2|=4p.

显然，满足|OQ|=21|AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),

x=py22,代入：y=tanα·py22-2ptanα.即tanα·y2-2py-4p
2
tanα=0.

此方程有不同二实根y1y2,
∴y1+y2=tan2p,y1y2=-4p2.

∵OBOA =x1x2+y1y2=pypy222221+y1y2=24416pp-4p2=0.
∴OBOA,故点O仍在以AB为直径的圆上.
【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径
AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论
证方向)，为此又有多种途径:
(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达
定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.
(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定
理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.
这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出
的|AB|函数式，只牵涉一个变量.
【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.

当α≠90°时，不妨设α∈［0,2)，则

pppppyyyypppyyyypyyxxAB4224tan1sin216tan4sin14)(tan2cos21cos2|))((|cos2||cos||||2222212212121222121






综上，|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：
x=2p.
别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.
3

∴|AB|2=|22|||OBOA
=22222121yxyx
≥2x
1x2+2p(x1+x2
)

≥2x
1x2
+4p21xx.

∵y1y2=-4p2,∴x1x2=22221422ppypy
于是|AB|2≥16p2,| AB|min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2.
【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.

●对应训练


1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足
f(1)=n2.

(1)求数列{an}的通项公式，并求1limnnnaa之值.

(2)证明02.矩形ABCD中,AB=6,BC=23,沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移到点P,
并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).
(1)求证:PD⊥PC;
(2)求二面角P—DB—C的大小.



4

●参考答案


1.分析： (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).
(2)可以预见:f





3
1

展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这

种数列的求和方法是“错项相减”.
(3)f31的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.
解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,
即Sn=n2,
∴an=Sn-Sn-1=2n-1,


1limn
n

n
a

a

=nlim11212lim1212nnnnn；

(2)由(1)知an=2n-1.
∴f31=1×
nn31)12(315)31(3313
2

①

13231)12(31)32(3133113131nn
nnf
②

①-②:13231)12(31313123113132nnnf
f31 =
nnn312123131312112


=nnn3121231131131211
= nnn3121231121211
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=1-nnnn311312131211
设g(x)=xx31,∵g′(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=03)1(3ln1xx.
∴g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，［g(n)］max=g(1)=32,
又当n→∞时,g(n)→0,∴nn31∈32,0,从而f31∈1,31.
2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原
来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.
(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥
BC.
(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,
只须作OM⊥BD即可.
解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),
但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.
(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C
的平面角,
∵PB=6,

PD=23,∴BD=43,PM=BDPBPD=3,

已证PD⊥PC,∴PC=62123622PDCD,
PO=2266232CDPCPD.

sin∠PMO=
322,∠PMO=arcsin3

22
,

即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin322.
