三十六计之一瞒天过海与数学解题(1)

百度文库专用三十六计之一—瞒天过海与数学解题（1）—挖掘隐含条件开辟解题途径江苏省邳州市宿羊山高级中学（221354）耿道永三十六计之一—瞒天过海，其原典为：备周则意怠；常见则不疑。

阴在阳之内，不在阳之对。

太阳，太阴。

其译文：防备周全时，更容易麻痹大意；习以为常的事，也常会失去警戒。

秘密潜在公开的事物里，并非存在于公开暴露的事物之外。

公开暴露的事物发展到极端，就形成了最隐秘的潜藏状态。

【故事】“瞒天过海”之谋略决不可以与“欺上瞒下”、“掩耳盗铃”或者诸如夜中行窃、拖人衣裘、僻处谋命之类等同，也决不是谋略之士所应当做的事情。

虽然，这两种在某种程度上都含有欺骗性在内，但其动机、性质、目的是不相同的，自是不可以混为一谈。

这一计的兵法运用，常常是着眼于人们在观察处理世事中，由于对某些事情的习见不疑而自觉不自觉地产生了疏漏和松懈，故能乘虚而示假隐真，掩盖某种军事行动，把握时机，出奇制胜。

唐太宗贞观十七年，御驾亲征，领三十万大军以宁东土。

一日，浩荡大军东进来到大海边上，帝见眼前只是白浪排空，海茫无穷，即向众总管问及过海之计，四下面面相觑。

忽传一个近居海上的豪民请求见驾，并称三十万过海军粮此家业已独备。

帝大喜，便率百官随这豪民来到海边。

只见万户皆用一彩幕遮围，十分严密。

豪民老人东向倒步引帝入室。

室内更是绣幔彩锦，茵褥铺地。

百官进酒，宴饮甚乐。

不久，风声四起，波响如雷，杯盏倾侧，人身摇动，良久不止。

太宗警惊，忙令近臣揭开彩幕察看，不看则已，一看愕然。

满目皆一片清清海水横无际涯，哪里是什么在豪民家作客，大军竟然已航行在大海之上了！原来这豪民是新招壮士薛仁贵扮成，这“瞒天过海”计策就是他策划的。

“瞒天过海”用在兵法上，实属一种示假隐真的疑兵之计，用来作战役伪装，以期达到出其不意的战斗成果。

数学题目的设计往往有一些“瞒天过海”的条件，即隐含条件。

这是一种在题目中未明确表达出来而客观又存在的条件，隐含条件隐藏教深的题目，往往给学生造成条件不足的假象，但如果能仔细分析、推敲，就可以将其挖掘出来。

特别是在审题过程中，若能及时发现和运用隐含条件，不仅可以迅速找到解题的突破口，而且能使解题过程简单明了。

下面结合例题就如何挖掘题目中的隐含条件作一探讨。

1．从题目的结构中挖掘隐含条件解题时，若题设条件中隐含着某些概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，则应抓住结构特征，揭示隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。

例1分析1 的形式，联想构造函数求解。

解法一构造函数f（x）'()f x=<0,∴f（x）在[3，+)∞上单调递增，∴f（a）<f（a-2）分析 2 注意到（-）（+）=（-）=1，故可以分子有理化求解。

解法2图1－1∴分析32-2=2-2=1，联想勾股定理，数形结合不难求解。

解法3 如图1－1，构造Rt△ABC，使AB=1，则BD=,则在△BCD，BC-BD<CD,反思观察—联想—构造或转化是解题常用的思维策略。

2．从题设中的不变因素中挖掘隐含条件许多数学问题，总是研究不断运动变化过程中的数量关系，然而在这纷繁复杂的变化中却常常存在着某些“不变（性、量）”，数学解题过程中有时一旦挖掘到了这些隐含的“不变”，也就突破了解题的难点。

例2 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)。

I）求证：不论m取什么实数，直线L与圆C相交；II）求直线L被圆C截得的线段的最短长度及此时m的值。

分析此题若按常规方法，联立直线和圆的方程解方程组，然后考查△≥0是否恒成立，或者求出圆心到直线的距离d，再证d<r，这两种方法理论上都可行，但运算量大，很难得到正确的结论。

若注意到直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0恒过定点N(3,1)，那么由“不变性”条件便可获得问题的简捷解法。

证明：（1）直线L按参数m整理得(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，该直线恒过定点N(3,1)，将点N(3,1)代入圆的方程的左边得(3-1)2+(1-2)2=5<25，所以点N在圆C 内。

又点N在直线上，所以不论m取何实数，直线L与圆C恒相交；DCBA(2)要使弦长最短，只需圆心C 到直线L 的距离最大，即当L ⊥CN 时圆心C到直线L 的距离最大，此时弦长最短，易求得最短长度为m=-34。

反思 抓住解题中的“不变”因素，体现了以静制动的思维策略，这一策略常能寻找到解题的突破口或使某些问题得到简化。

3.从解题过程中挖掘隐含条件关注解题过程中的每一步变形，并从变形中挖掘隐含条件，则能拓展解题思路、简化运算过程，使问题顺利获解。

例3 已知二次函数f(x)=ax 2+bx （a,b 是常数，a ≠0）,f(2)=0,且方程f(x)=x 有 等根。

I ）f(x)的解析式；II ）是否存在常数p ，q(p<q),使f(x)的定义域和值域分别是[p,q]和[2p,2q]，如存在，求出p ，q 的值；如不存在，说明理由。

分析 由题设条件易求得f(x)=-12x 2+x=-12(x-1)+12≤12，故2q ≤12，q ≤14,而f(x)在[p,q]（q ≤14）单调递增，从而避免了对p ，q 的讨论。

解 由题设ax 2+(b-1)x=0有等根，∴(b-1)2=0,即b=1.又 f(2)=0，即4a+2b=0，得a=-12,∴f(x)=-12x 2+x. (2) f(x)= -12(x-1)2+12≤12, ∴2q ≤12，即q ≤14. 而当q ≤14时，f(x)在[p,q]上为增函数，设满足条件的p,q 存在。

∴ ()2,()2.f p p f q q =⎧⎨=⎩即2210,210.2p p q q ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 又 P<q ≤14，∴ p=-2,q=0. 故此时，定义域为[-2,0]，值域为[-4,0]。

反思 在解题过程中发现q ≤14，是使解题过程大为简化的关键。

4.从定理（公式）的约束条件中挖掘隐含条件任何公式、定理都有其约束条件和使用条件，解题中挖掘各条件对定理的 限制往往能寻找到解题的突破口。

例4 求383321n n n n C C -++的值。

分析 本题直接计算难于下手，若从组合数公式的限制条件着手分析，可知隐含条件：33802130n n n n n N ≥-≥⎧⎪+≥≥⎨⎪∈⎩，解得n=10。

∴ 383321n n n n C C -++=28303031C C +=466。

反思 通过挖掘题目的隐含条件，使这一令人产生“条件不足”之感的问题得到条件的补充，于是思维出现转机，问题解决也就柳暗花明了。

5．从数学定义中挖掘隐含条件有些数学问题，部分已知条件隐含在数学概念、定义之中，数学概念、定义是解题的先导，有些问题若主动与定义接触，则能迅速、合理的解决。

例5 (2003江苏高考题)已知常数a>0，向量c (0,a),i (1,0).经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A(0,a)，以i -2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λR ∈。

是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值。

若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由。

分析 由|PE|+|PF|为定值联想椭圆的定义，因此问题转化为求点P 的轨迹。

对于向量的方向问题，联想直线的斜率，不难写出直线的方程。

解 i =(1,0)，c =(0,a), ∴c +λi =（λ，a ）, i -2λc =(1,-2λa).因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy=ax 和y-a=-2λax.消去参数λ，得点p(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a 2x 2,整理得 222()21()82a y x a -+=1。

① 因为a>0，所以得:当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F 。

当0<a<2时，方程①表示椭圆，焦点2a )和2a )为合乎题意的两个定点；当a>时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,12(a+))和F(0,12))为合乎题意的两个定点。

反思 本题设问极其隐蔽，不直接求动点P 的轨迹，而是把问题隐于问题的等价叙述中，从而在考生眼力本题难于理解。

因此，本题挖掘隐含条件极其重要。

6．从图形的特征中挖掘隐含条件有些数学问题，其部分条件隐于图形之中，若能抓住图形的“特征”，利用运动变换的观点，恰当地添设辅助图形，就能发现含而未露的条件，使问题获解。

例6 三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的 表面积与体积。

分析 由三棱锥三条侧棱两两相互垂直且相等，可联想正方体的一个“角”，故可构造正方体来处理。

解 如图1－2，以三棱锥P-ABC 构造正方体ADEF-PC GB ，则对角线PE 的长就是三棱锥P-ABC 外接球的直径。

PA=PB=PC=1，∴∴S 球=4πR 2=3π，V 球=43πR 3π。

图1－2 例7 (2003年全国高考题) 一个四面体的所有四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ).A.3πB.4ππ D.6π分析 由四面体各棱长相等，联想正方体对角线性质，因此可将其内置于正方体内部来处理。

图1－3解 将正四面体SBCD 内接于一正方体之中 (如图1－3),则正方体的边长为1,且四面体SBCD 的外接球也是正方体的外接球,易求得其半径为2,从而求得其表面积.反思 在涉及到同一点三条射线两两互相垂直的有关问题，往往可以通过构造长方体来解决；在涉及正四面体的有关问题，可通过构造正方体来解决。

当然挖掘这一类隐含条件的前提是对正方体（长方体）的性质比较熟悉。

7．从多元问题中挖掘隐含条件（恰当的选择主元）在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元,其余变量称为客元. 在一类问题中出现多个变量且主次不分时，我们用常规方法很难找到解题途径，这时，恰当地选择主元往往会有“柳暗花明”的效果。

例8 (2004年福建高考题) 已知f(x)=)(32432R x x ax x ∈-+在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.分析 （I ）由题设易得A={a/-1≤a ≤1}；（II ）这是一个恒成立问题，m 2+tm+1只要不小于| x 1-x 2|的最大值即可，又x 1、x 2为f （x ）=3312x x +的两个根，由韦达定理及判别式非负不难求出：| x 1-x 2|≤3。