商务管理学习课件 第四章 随机变量

∈，总有一个实数X()与之对应，则称上的实数函 数X()为E的一个随机变量。
2.表示方法： 随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ, η 等表示；而表示随机变量所取的值时，一般用小 写字母x,y,z等。
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3.作用：从变量的角度来研究随机事件结果的变化 规律和特点。
Байду номын сангаас
性质 设C是常数，则Var(C)=0; 若C是常数，则Var(CX)=C2Var(X); 若X1与X2 独立，则Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2)
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二.常见的离散型随机变量的概率分布
常见的离散型随机变量的概率分布有： 两点分布、二项分布和泊松分布。 1.两点分布
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1.性质 (1). f ( x) 0 ； (2). f ( x) dx 1； 即：f(x)与 x 轴所围面积等于1
这两条性质是判定函数f(x)是否为某随机变量 X的概率密度函数的充要条件。
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其中 pk (k=1,2, …) 满足：
pk 0, pk 1
k
以此两性质可以判断一函数是否是概率分布 《数量方法》
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2.表示方法
离散型随机变量的概率分布常用公式法、列 表法和图像法来表示： （1）公式法 P( X xk ) pk ,，k=1,2,…
如：前面取球例子中可写为：
P( X k)
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C
3 k k 3 2 3 5
C
C
, k 0,1,2
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（2）列表法
或
x1 X~ p1
X
pk
x2
xk
p2 pk
x1
p1

…
…
x2
p2
xk
pk
…
…
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【注意】“泊松定理”二项分布与泊松分布的重要关系
对于二项分布B(n, p)，当n充分大，p又很小时，则对 任意固定的非负整数k，有近似公式： k
k n k nk
k k e nk ; n, p ) : C b p p) ): C ( k( ;1 n ,p p ( 1 p ) n k!
k e 1 k 0 k!
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泊松分布的图形特点：
期望：E(X)= 方差：D(X)=
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【应用】在许多实际问题中，我们所关心的随机变量都近
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（2）方差
设X是一随机变量，若E[X-E(X)]2 存在，则称其为X的 方差，记作D(X)，即 D(X)= E[X-E(X)]2 ——计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2
【例】P46，练习与思考4.3
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本章框架
• 随机变量 • 离散型随机变量 • 连续型随机变量
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第一节 随机变量
一.随机变量（random variable简写“r.v.”）
1.定义：设E是随机试验，是其样本空间，如果对每个
3.泊松分布（法国数学家泊松1837年提出） 如果随机变量X的概率分布为
p(k ; ) : P{ X k} e
k
k!
,
k 0,1,2,,
其中λ>0 为常数，则称 随机变量X 服从参 数为λ的泊松分布，记作X~P(λ)。 易见： k 0 , 1 , 2 , P{ X k} 0
似的服从泊松分布，如：
某医院每天前来就诊的人数； 某地区一段时间间隔发生火灾的次数、发生交通事故的次数； 一段时间间隔内某放射性物质射出的离子数； 一段时间间隔内某容器内部的细菌数； 某地区一年内发生暴雨的次数 ……
这些都近似服从某一参数的泊松分布。
【例题】P47，练习与思考4.4
期望：E(X)=1p+0(1-p)=p 方差：D(X)=p(1-p)
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【应用】两点分布常用于描述射手射击是否“中靶”，投
币是否“硬币朝上”，产品是否合格，明天是否“下雨” 等只有两个结果的试验。
【练习】某人投篮命中率为0.3，写出其投篮一次投中次数
第四章 随机变量及其分布
主讲 石立
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在研究随机事件时，如果同时研究的随 机事件很多，或同时研究随机事件多个方 面时，我们就需要引入随机变量的概念， 从变量的角度来研究随机事件结果的变化 规律和特点。 本章主要研究：单个随机变量
对于多个随机变量的规律和特点，我们不作研究。
若E是一个只有两种可能结果的随机试验，用 Ω={1, 2}表示其样本空间，记X=1表示1，X=0 表示2，其概率分布为： P(X=1)=p，P(X=0)=1-p 我们就称该分布为两点分布（也称0-1分布）。
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用图像表示两点分布，如右图所示：
第三节 连续型随机变量
在研究连续型随机变量时，我们发现其所有 可能取值充满若干个区间，有无数个。 对这种随机变量，我们不能象离散型随机变 量那样, 指出其取各个值的概率， 给出概率分布。
【思考】那如何表示连续型随机变量的概率分布呢？
我们引入“概率密度函数”表示随机变量的 概率分布。
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需要注意的是：连续型随机变量取任意 指定值的概率为0。概率密度函数f(x)在点a 处取值，不是事件{X =a}的概率。但是，该 值越大，X在a点附近取值的概率越大。 因此，由P(A)=0，不能推出A是不可能 事件Ø；由P(B)=1, 不能推出B是必然事件 Ω。
的分布。
【思考】如果该人重复投篮10次，（计算）其投中次数的
分布是什么？ ——二项分布
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2.二项分布
在相同的试验条件下，独立重复进行只有两 个结果的试验n次，我们把这样的n次试验称作n 重伯努利试验，简称伯努利试验或伯努利概型。 用X表示n重贝努里试验中结果A出现的次数， 记每次A出现的概率为p，不出现的概率为q=1-p， 则有 k k n k
二.随机变量的类型
在实际中，通常将随机变量按照其取值的特 点分为两类：
离散型随机变量：所有取值可以逐个一一列举 如：掷筛子的点数、学生人数，…… 连续型随机变量：全部可能取值无穷多，不能
一一列举，而是充满一个区间。
如：手机的寿命，公路的长度，……
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3.数字特征——期望和方差
（1）数学期望（也叫均值、平均数）
E ( X ) xk p k
k 1
即：期望等于变量值与对应概率乘积的和。
【例】P44，思考 【练习】P45，练习与思考4.2 性质
设C是常数，则E(C)=C 若k是常数，则E(kX)=kE(X) E(X+Y) = E(X)+E(Y) 设X,Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)
4.特点：
结果的可数据化。如：掷筛子的结果：用点数表示；上课 学生的出勤情况：用人数表示；NBA比赛成绩：用得分表 示；……。 结果的不确定性：试验之前只知道它可能取值的范围，而 不能预先肯定它将取哪个值。 结果的有规律性：试验结果的出现具有一定的概率，于是 随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。
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如：从某学校随机选一学生，测量其身高。 可以把身高记作随机变量X。 我们可以提出关于X的各种问题. P(X>1.7)=？ P(X≤1.5)=？ P(1.5<X<1.7)=？
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C53 10
C53 10
C53
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这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概 率规律。我们称其为随机变量的概率分布。
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一.离散型随机变量概率分布
1.定义：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的 一切可能值，则称 P( X xk ) pk ,，k=1,2,… 为离散型随机变量X的概率分布或分布律，也称 概率函数。