人教版B版高中数学选修3-4(B版)置换的概念和表示符号
人教版B版高中数学选修3-4(B版)正三角形
要点总结
我们将正三角形的三条边染上不同的颜色以示区分。
这样在变换的过程中，我们可以看得更加具体。
要点总结
首先我们进行旋转变换：
如图，分别是旋转了0度，120度，240度。
要点总结
让我们对比三个翻转之后和原图的比较：
可以看到，底边分别是绿色的、红色的、黑色的。 但是保持了三角形的不变。
析
例：按照刚才学过的判断正三角形的对称轴的方法， 判断正五边形有多少条对称轴（ ）
A 无数条 B 1条 C 3条 D 5条
典型剖析
答：D，5条。连接定点和对边（正对）的中点，一 共有5条，如下图所示。
练习测评
练习：下列哪组木棒三根收尾相连可以组成有三个 对称轴的图形（ ）
A 3cm 4cm 5cm
要点总结
当然，除了旋转变换，正三角形有没有对称变换呢？ 我们仍旧采用图形的变换来探究这个问题。 仍使用边染了色的正三角形：
要点总结
我们选取其中的一条边的对称轴来看：
要点总结
可以看到，红边和黑边对换了，绿边仍保持不动。 这样做对称仍保持三角形不变。是一个轴反射对称变换 。
同理，红边和黑边各自有一条对称轴。 所以总共有三个轴反射对称变换。
B 1cm 2cm 3cm
C 1cm 1cm √2cm
D 5cm 5cm 5cm
练习测评
答：D。因为A中的三根木棒可以组成三角形但互不 相等，所以没有对称轴；B中的木棒无法组成三角形；C 中的木棒组成只有两边相等的三角形，所以有两个对称 轴；D中的木棒可以组成正三角形，所以有三个对称轴。
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正三角形
知识填充
我们已经知道了三条边互不相等的三角形只有在恒 等变换下才能保持不变。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)全套PPT课件
典型剖析
例2：下面的一些虚线，哪些是图形的对称轴，哪些 不是？
是对称轴的是 不是对称轴的是
； .（填写序号）
典型剖析
解：答案是对称轴的是
2、4、6 ；不是
对称轴的是
1、3、5
（填写序号）
练习测评
练习1：填空： 把一个图形沿着 的部分能够互相 图形。
折叠， ，那么这个图形叫
练习测评
答案：把一个图形沿着
要点总结
一个点可以由中心反射变换应设成对称点。那么中 心反射变换对图形是否也有相同的作用呢？这就引出了 中心对称图形的定义，如果一个图形在中心反射变换下 的象可以与自身重合，则称这个图形为中心对称图形。
要点总结
知道了什么是中心反射变换和中心对称图形后，我 们来讨论它们的性质。观察下列中心对称图形有什么相 同点。
要点总结
和之前学习过的变换一样，平移变换也有相对应的 平移对称图形，塔是怎么定义的呢？其实，如果一个图 形在非恒等的平移变换下得到的图形如果可以与自身重 合，那么它就被称为平移对称图形。
要点总结
平移对称图形在生活中非常常见，并且起到了重要 的装饰作用，比如下面的这列图形就利用了平移变换的 原理。那么平移对称图形有什么共同的性质吗？下面我 们做一道题感受一下。
要点总结
根据之前的知识，旋转1800的旋转变换被称为中心 反射变换，那么旋转00的变换被称为什么呢？这就是我们 要学的恒等变换，即保持每个点都不动的变换。
要点总结
知道了什么旋转变换，我们来研究旋转对称图形。 联系我们所学的中心对称图形的定义，不难得到旋转对 称图形就是旋转某个角度后仍和自身重合的图形。
典型剖析
D A
C B
.o
C’
B’
人教版B版高中数学选修3-4(B版)等距变换及其性质
要点总结
那如果把上述情况中的两个点增加到三个点呢？思 考这种情况，如果等距映射保持平面上不共线三个点不 动会怎么样？
要点总结
如果等距变换作用与不共线的三个点，那么不管怎 么变换，这三个点组成的图形都不会发生改变，即变换 后仍是图形自身，这不正是我们学过的恒等变换的定义？ 因此，等距变换的另一个重要性质就是，如果等距变换 作用于平面上不共线的三点，那么此时该变换是恒等变 换。
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要点总结
本节课有两个学习要点： （1）知道什么是等距变换 （2）了解等距变换的性质
要Hale Waihona Puke 总结等距变换，顾名思义，是变换前后保持距离不变的 一种变换。但是这样的说法不够严谨，所以，等距变换 一般被理解为，如果变换不改变平面上任意两点之间的 距离，那么这种变换被称为等距变换，也叫全等变换。 我们学过的轴反射变换、旋转变换、平移变换都是等距 变换。
练习测评
练习１：证明：若f是一个平面等距变换，则α 中不 同的P，Q，R共线的充要条件是f(P)，f(Q)，f(R)共线， 从而若Ｌ是一条直线，则f（Ｌ）也是一条直线。
练习测评
证明：设P，Q，R三点共线，选取记号使得R在P，Q 之间，则
｜PQ｜＝｜PR｜＋｜QR｜。 假设f(P)，f(Q)，f(R)不共线，则他们是三角形的 顶点，则 ｜f(P)f(Q)｜<｜f(P)f(R)｜+｜f(R)f(Q)｜， 这与f是等距变换相矛盾，反之可类似证明。 若f(Ｌ)不是直线，则他有不共线的三点f(P)，f(Q)， f(R)，其中P，Q，R共线于Ｌ上矛盾。从而结论得证。
典型剖析
例1：根据刚才讲过的平面等距变换的定义和性质， 试证明在平面等距变换下，三角形的形状和大小都保持 不变。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)正多边形的对称变换群
s（300）} D={s（0），s（180），t（0），t（90）}
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知识填充
首先考虑正n边形的旋转群。 正 n 边 形 的 顶 点 与 正 x 轴 成 0 度 ， 90/n 度 ， … ， 360 （n-1）/n度的角。把图形映到自身内的旋转群的子集是 由分别地经过0度，90/n度，…，360（n-1）/n度角的n 个旋转所组成的，它们构成了旋转群的一个子群R。
要点总结
典型剖析
2
例： 如图一个正六边形， 把它的顶点标上1，2，…，3 6。 现定义现定义（x1x2x3…xn） 代表一种变换，即把顶点x1 4 变为x2，…，xn-1变为xn。 那么D6的元素有哪些？
1 6
5
典型剖析
解： 通过之前的讨论，我们已经知道正六边形的对称变 换有旋转变换和轴反射变换，而且它们分别有6个。 那么我们先考虑旋转变换。 旋转变换首先有旋转0度，即恒等变换。 然后，我们知道正六边形绕中心点旋转60度、120度 180度、240度、300度都可以保持图形不变。 我们观察这六种旋转变换正六边形顶点的变化。
正多边形的对称变换群
知识填充
我们已经学习了正三角形和正方形的对称变换群， 那么，对于一般的正n边形，它的对称变换群又是什么样 的呢？
我们知道正三角形和正方形的对称变换是通过旋转 变换和轴反射变换来保持图形不变的，那么对于正n边形， 我们还是先通过图形来探究。
知识填充
在平面上考虑内接于单位圆的正n边形，而且它的一 个顶点位于（1，0）.例如一个正五边形：Fra bibliotek典型剖析
接下来，我们考虑正六边形的轴反射对称变换。 先考虑正六边形对称轴有哪些情况。 如图： 正六边形总共有六条对称轴， 它们与水平正向的夹角分别是 0度、30度、60度、90度、 120度、150度。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)置换的概念和表示符号
知识填充
我们之前已经学习过了图形的对称变换。 例如一个正三角形沿着每条边的对称轴做对称，就 是一个变换。 或者正三角形顺时针旋转60度、120度都是保持图形 不变的变换。
知识填充
图形的变换是比较直观的，而在抽象代数中，我们 有更加明确具体的定义。
设S是一个非空集合，M（S）是全体变换幺半群 （有一个可结合的二元运算和单位元），用Sym（S）表 示M（S）的单位群，即：
练习测评
解： 先考虑所有对称变换的置换。 对称变换的话，对称轴有所有边的中点和两条对：
练习测评
那么四个置换为：
A B
B A
C D
D C
A A
B D
C C
D B
A D
B C
C B
D A
A C
B B
C A
D D
Sym（S）={M（S）的所有可逆元}={所有双射S→S}， 称Sym（S）为S上的对称群。 当|S|=n为正整数时，Sym（S）中的元素就称为一个 置换。
要点总结
用更加易懂的语言来说： 我们把一个含有n个元素的有限集合S到它自身的双 射，称作是集合S的一个置换。 S的全体置换记为：Sym（S）。
要点总结
通常，对于任意一个置换σ 属于Sn
（11） （nn）
τ （1）,…τ ,（n）是1,…,n 的一个全排列
典型剖析
例： 写出有限集S={1，2，3}的所有置换。
（这是一个有有限个元素的集合，我们称之为 有限集。用cardinal表示其中元素的个数， 简写为CardS）
练习测评
而顺时针旋转90度则是四个字母按顺序依次交换：
人教版高中选修(B版)3-43.1.1置换的概念和表示符号课程设计
人教版高中选修(B版)3-43.1.1置换的概念和表示符号课程设计一、引言置换是现代数学中的一个重要概念，在各个数学分支中都起到了重要的作用。
本次课程设计主要是为了为高中数学学生讲解置换的概念和表示符号，并辅助其进行实践操作，从而帮助学生全面深入地掌握该概念。
二、置换的概念置换是一种数学对象，是指对于给定的有限集，通过对元素的移动达到一定效果的操作。
通常表示成P=(p1,p2,…,pn)，其中pi表示元素i被映射到的位置，当对元素进行置换时，可以将它们的位置互换。
置换可以分解成若干个相互依次进行的周期。
三、置换的表示符号1.圆括号表示法圆括号表示法即把每个元素的移动记录在括号内，例如(1342)表示元素1被映射到位置3，元素2被映射到位置4，元素3被映射到位置2，元素4被映射到位置1。
2.行列式表示法行列式表示法即将每个元素的位置用表格的形式表示出来，例如：1 2 3 41 2 3 43 4 2 1表示元素1被映射到位置3，元素2被映射到位置4，元素3被映射到位置2，元素4被映射到位置1。
3.简记法将置换分解成不同长度的周期的序列表示出来，例如(135)(2)(4)表示元素1被映射到位置3，元素3被映射到位置5，元素5被映射到位置1，元素2、4不动。
四、课程设计1.设计目标通过对于置换的概念和表示符号的讲解，让学生全面深入地理解置换的本质和作用，能够熟练地进行置换操作。
2.教学方法课程设计采用理论讲解和实践操作相结合的方式进行。
首先，通过PPT等媒介对于置换的定义、性质和表示符号等方面进行全面讲解，并给出相关的例题进行讲解。
接着，通过对于相关的练习题进行实际操作锻炼学生的能力，使得学生能够掌握相关的技巧和方法。
3.教学内容1.置换的定义和基本性质2.置换的表示符号及其应用3.练习题和作业4.教学步骤1.首先进行PPT讲解，全面介绍置换的概念、性质和表示符号，并给出例题进行讲解。
2.接着，进行实际操作，通过练习题进行操作练习，掌握相关的技巧和方法。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)抽象群的概念
ba=e （即为b=a-1，称为积逆元）
要点总结
当然，这只是一种说法。我们还有别的说法，比如 直接定义乘法群和加法群，或者先定义幺半群再在幺半 群上添加一种运算，都可以定义群。
在这里另举一个定义的方法：
要点总结
若集合G非空，且在G上的二元运算a·b：G×G→G构成代 数结构（G，·）满足：
（1）封闭性：G的任意两个元素的运算结果都是该集合 的一个元素。即对于G里的任意元素a,b，a·b必是 G里的元素。
（2）结合律：对于G中的任意元素都有a（bc）=（ab）c
要点结
（3）单位元：集合G内存在一个单位元e，它和集合中任 意一个元素的积仍然是该元素本身。
（4）逆元：对任意a属于G，存在G中元素b，使得 a·b=b·a=e，b成为a的逆元。
接下来让我们介绍群的概念。
要点总结
定义：设G是一个非空集合，如果在G上定义了一个 代数运算·（或者+），称为乘法（加法），记作ab（记 作a+b），而且它适合以下三个条件，那么（G，·）就 称为一个群。
（1）对于G中任意元素a，b，c，有 a（bc）=（ab）c （称为满足结合律）
要点总结
（2）在G中有一个元素e，它对G中任意元素a有： ea=a
（结合群的定义来思考）
典型剖析
证明： 需要验证是否满足结合律、单位元和逆元。 （1）结合律： 因为是乘法，自然有任取a、b、c a（bc）=（ab）c （2）单位元： 可以看出，单位元即是1，任取a 有1·a=a
典型剖析
（3）逆元： 任取一个非零实数a，它的逆元是1/a。 1/a的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）是非零 实数。
置换分解定理
置换分解定理置换分解定理是一个重要的数学定理，主要用于将一个置换分解为若干个相互独立的循环置换的乘积。
在代数学中，置换是一个用来改变某个集合元素排列顺序的操作。
首先，我们来定义一下置换的概念。
置换是指将n个元素排列成一个新的顺序的操作，例如将{1,2,3,4}这四个元素的排列顺序改变成{4,2,3,1}。
我们可以使用一个n元组来表示一个置换，如(4,2,3,1)表示的就是上述的置换。
在数学中，我们需要将置换进行一些基本的操作，例如乘法、逆、幂等性等。
置换的乘法定义为将两个置换组合在一起获得一个新的置换。
逆运算表示某个置换与原置换的乘积等于单位置换。
乘法满足结合律，即(a*b)*c = a*(b*c)。
接下来，我们来讨论置换的特征。
对于一个置换，可以将其拆分为若干个循环置换的乘积。
循环置换是指将一个元素移动到下一个元素位置，一直循环直到回到原来的位置。
例如，将上述的置换(4,2,3,1)拆分成循环置换的乘积就是(4,1)(2)(3)。
在这个例子中，(4,1)表示将元素4移动到元素1的位置，(2)表示元素2没有变化，(3)表示元素3没有变化。
循环置换的乘积是线性的，即(a*b)(x) = a(b(x))。
置换分解定理指出，任意一个置换都可以分解为一个或多个不相交的循环置换的乘积。
不相交的循环置换是指置换中的元素在每个循环中只出现一次，不会重复。
例如，将置换(4,2,3,1)分解为循环置换的乘积就是(4,1)(2)(3)。
事实上，每个元素都必须在一个循环中出现，否则就会出现不符合置换定义的情况。
置换分解定理的证明需要使用归纳法和置换的特征性质，具体的证明过程可以参考相关的数学教材或论文。
置换分解定理在代数学和离散数学中有着广泛的应用。
在代数学中，置换分解定理是理解和研究置换群的基础。
置换群是一个由所有置换组成的集合，并且满足乘法操作的封闭性、单位元和逆元等性质。
置换分解定理可以将一个置换分解为若干个独立的循环置换，从而对置换群的性质进行分析和研究。
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练习测评
解： 先考虑所有对称变换的置换。 对称变换的话，对称轴有所有边的中点和两条对角 线一共四个。
练习测评
四种情况如图：
练习测评
那么四个置换为：
A B
B A
C D
D C
A A
B D
C C
D B
A D
B C
C B
D A
A C
B B
C A
D D
置换的概念和表示符号
知识填充
我们之前已经学习过了图形的对称变换。 例如一个正三角形沿着每条边的对称轴做对称，就 是一个变换。 或者正三角形顺时针旋转60度、120度都是保持图形 不变的变换。
知识填充
图形的变换是比较直观的，而在抽象代数中，我们 有更加明确具体的定义。
设S是一个非空集合，M（S）是全体变换幺半群 （有一个可结合的二元运算和单位元），用Sym（S）表 示M（S）的单位群，即：
知道了置换的个数，我们来列举所有的置换：
11
2 3
23
11
2 2
33
12
2 1
33
12
2 3
31
13
2 1
23
13
2 2
31
练习测评
练习： 把正方形ABCD的顶点写上标号A、B、C、D，写出所 有正方形对称的置换和正方形顺时针旋转90度的置换。
要点总结
通常，对于任意一个置换σ 属于Sn
（11） （nn）
τ （1）,…τ ,（n）是1,…,n 的一个全排列
典型剖析
例： 写出有限集S={1，2，3}的所有置换。
（这是一个有有限个元素的集合，我们称之为 有限集。用cardinal表示其中元素的个数， 简写为CardS）
练习测评
而顺时针旋转90度则是四个字母按顺序依次交换：
A B
B C
C D
D A
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典型剖析
解： 根据置换的定义，
集合S的置换具有形式：
1 x2 y3 z其中x、y、z互不相等而且是1、2、3的一个全排列。
典型剖析
根据学过的排列组合的知识， 在x的位置，一共有3种选择，在y的位置有2种选择 ，在z的位置有1种选择。 那么总共有 3*2*1=6种置换。
典型剖析
Sym（S）={M（S）的所有可逆元}={所有双射S→S}， 称Sym（S）为S上的对称群。 当|S|=n为正整数时，Sym（S）中的元素就称为一个 置换。
要点总结
用更加易懂的语言来说： 我们把一个含有n个元素的有限集合S到它自身的双 射，称作是集合S的一个置换。 S的全体置换记为：Sym（S）。