北师大版高中数学选修2-2课件2016-2017学年课件：2.3计算导数
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2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大选修2-2)
1．函数f(x)在点x0处的导数就是函数的平均变化率在 Δy 当自变量的改变量趋于零时的极限，若li Δx→0 m 存在，则 Δx 函数y＝f(x)在点x0处就有导数． 2．f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0)) 处的切线的斜率．
[例1]
4 求函数y＝ 2在x＝2处的导数． x
解析：设P(3,9)，Q(3＋Δx，(3＋Δx)2)， 3＋Δx2－9 则割线PQ的斜率为kPQ＝ ＝6＋Δx. Δx 当Δx趋于0时，kPQ趋于常数6，从而曲线y＝f(x)在 点P(3,9)处的切线的斜率为6.
答案：6
2 5．求曲线f(x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程． 2 解：∵点(－2，－1)在曲线y＝x上，
2．切线的定义：
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于 点A ，割 线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点 A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在 3．导数的几何意义： 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处的 切线的斜率 ． 点A 处的切线．
[例3] 已知抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8则
2 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)， ∵Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x) ＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx， Δy ∴ ＝2x＋Δx－3. Δx Δy ∴f′(x)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 (2x＋Δx－3)＝2x－3. m Δx
高中数学 第2章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修22
(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0＋1 Δx－x10 Δx
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0－x0＋ΔxΔx Δx
＝Δlxi→m 0 1＋x0x－0＋1Δx＝1－x120，
又∵g′(x0)＝34，∴1－x102＝34， ∴x20＝4，∴x0＝2或－2.
利用导数求切线方程
已知曲线y＝
1 3
通常分三步：
(1)计算函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值ΔΔyx；
(3)计算上述增量的比值在Δx→0时的极限，就是该函数在
x0点的导数，即f′(x0)＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0源自fx0＋Δx－fx0 Δx
.这
三步简称为：一差，二比，三极限．
1．已知函数f(x)在x＝a处可导，则 hl→ima
fh－fa h－a
等于
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
2013-8-20
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
2013-8-20
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结 为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化 为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函 数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
2013-8-20
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-8-20
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x )2 1.52 x2 1 0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
2013-8-20
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结 为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化 为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函 数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
2013-8-20
E A D 600 b C
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-8-20
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
2013-4-2
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解
即半径越大 利润越高 半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小 这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数 你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问 题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在 确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流 阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解
即半径越大 利润越高 半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小 这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数 你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问 题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在 确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流 阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
【数学】2.4.2 导数的乘法与除法法则 课件(北师大版选修2-2)
2 x0 f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ).
因此, x 2 f ( x)的导数为x 2 f ( x) ( x 2 ) f ( x).
一般地, 若两个函数f( x)和g ( x)的导数分别 f(( x)我们有 f ( x) g ( x), g ( x) 是f ( x)和g x), :
如果有函数y f ( x) g ( x) x f ( x),
2
如何来求它的导数呢?
分析推导 按照求函数导数的步骤:
首先给定自变量x0的一个改变量x, 可以得到函数值的改变量
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ),
相应的平均变化率可以写成
x2 ( 2)函数y 是函数f ( x ) x 2和函数 ln x g ( x ) ln x之商, 根据导数公式表分别得出 : 1 f ( x ) 2 x, g ( x ) , x 由求导的除法法则得 : 2 x ln x x 2 1 x2 x x ( 2 ln x 1) . ln x (ln x ) 2 ln 2 x
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ) x x 2 ( x0 x) 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 f ( x0 ) x 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 ( x0 x) 2 f ( x0 ), x x
2 令x 0,由于 lim ( x0 x) 2 x0 , x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为
因此, x 2 f ( x)的导数为x 2 f ( x) ( x 2 ) f ( x).
一般地, 若两个函数f( x)和g ( x)的导数分别 f(( x)我们有 f ( x) g ( x), g ( x) 是f ( x)和g x), :
如果有函数y f ( x) g ( x) x f ( x),
2
如何来求它的导数呢?
分析推导 按照求函数导数的步骤:
首先给定自变量x0的一个改变量x, 可以得到函数值的改变量
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ),
相应的平均变化率可以写成
x2 ( 2)函数y 是函数f ( x ) x 2和函数 ln x g ( x ) ln x之商, 根据导数公式表分别得出 : 1 f ( x ) 2 x, g ( x ) , x 由求导的除法法则得 : 2 x ln x x 2 1 x2 x x ( 2 ln x 1) . ln x (ln x ) 2 ln 2 x
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ) x x 2 ( x0 x) 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 f ( x0 ) x 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 ( x0 x) 2 f ( x0 ), x x
2 令x 0,由于 lim ( x0 x) 2 x0 , x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为
最新-高中数学 第二章 导数的计算课件 北师大版选修2-2 精品
x
220
f
'(x)
2'
y lim
l i m0
0.
x x0
x0
(2) 求函数f(x)=0的导数； 0
(3) 求函数f(x)=-2的导数. 0
公式1 C' 0 (C为常数).
证明：y f ( x) C,
y f ( x x) f ( x)
C C 0 y 0, x
f '( x) C' lim y 0. x0 x
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x)
x x x x,
f '( x) lim y lim 1
x x0
x0
1
(3) y=x3的导数 f '( x) ( x3 )' 3x2 .
(4)求函数y
解：因为：y
1 的导数 x
f ( x x)
记忆公式5遍!
练习 (1) 5x4 ;
(3) cost ;
(5)
3 x4
;
(2) 6x5 ;
(4) -sin .
(6) 1 . 33 x2
2.选择题
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式3 公式4
(sin x)' cos x. (cos x)' sin x.
记
公式5 (a x )' a x ln a 一
高中数学课件-计算导数课件(北师大版选修2-2)
知新益能
1．导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有 导数，导数值记为 fx＋Δx－fx f′(x)：f′(x)＝__Δli_xm→_0_______Δ_x_______，则f′(x) 是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也 简称为导数．
2．常见函数的导数
函数
y＝tanx
1 y′＝__c_o_s_2_x_
y＝ logax(a>0，
a≠1)
1 y′＝__x_ln__a______
1 特别地(lnx)′＝x__
y＝cotx
y′＝－__s_in_1_2x__
问题探究
函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导 数”三者之间有何关系？ 提示：(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点 处函数自变量的改变量趋于零时，平均变化率趋 于的一个固定值．它是一个数值，不是变数．
【思路点拨】 先观察或对原函数表达式进行适 当变形，然后再用基本初等函数的导数公式求 解．
变式训练 已知 f(x)＝cosx，g(x)＝x，且 f′(x)＋ g′(x)≤0，则 x 的取值为________．
解析：f′(x)＝(cosx)′＝－sinx， g′(x)＝x′＝1， ∴f′(x)＋g′(x)＝1－sinx≤0， 即 sinx≥1，又因为 sinx≤1， ∴sinx＝1，
(2)导函数也简称导数，所以
(3)一般是先求出函数的导函数，再计算这点的 导函数值．
例1 求 f(x)＝2x＋x 的导函数 f′(x)，并利用导函 数 f′(x)求导数值：f′(－1)，f′(2)，f′(4)．
例2 求下列函数的导数 (1)y＝π＋1；(2)y＝x12；(3)y＝x x；
(4)y＝2x；(5)y＝log12x；(6)y＝sinx2＋cosx22－1.
1．导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有 导数，导数值记为 fx＋Δx－fx f′(x)：f′(x)＝__Δli_xm→_0_______Δ_x_______，则f′(x) 是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也 简称为导数．
2．常见函数的导数
函数
y＝tanx
1 y′＝__c_o_s_2_x_
y＝ logax(a>0，
a≠1)
1 y′＝__x_ln__a______
1 特别地(lnx)′＝x__
y＝cotx
y′＝－__s_in_1_2x__
问题探究
函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导 数”三者之间有何关系？ 提示：(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点 处函数自变量的改变量趋于零时，平均变化率趋 于的一个固定值．它是一个数值，不是变数．
【思路点拨】 先观察或对原函数表达式进行适 当变形，然后再用基本初等函数的导数公式求 解．
变式训练 已知 f(x)＝cosx，g(x)＝x，且 f′(x)＋ g′(x)≤0，则 x 的取值为________．
解析：f′(x)＝(cosx)′＝－sinx， g′(x)＝x′＝1， ∴f′(x)＋g′(x)＝1－sinx≤0， 即 sinx≥1，又因为 sinx≤1， ∴sinx＝1，
(2)导函数也简称导数，所以
(3)一般是先求出函数的导函数，再计算这点的 导函数值．
例1 求 f(x)＝2x＋x 的导函数 f′(x)，并利用导函 数 f′(x)求导数值：f′(－1)，f′(2)，f′(4)．
例2 求下列函数的导数 (1)y＝π＋1；(2)y＝x12；(3)y＝x x；
(4)y＝2x；(5)y＝log12x；(6)y＝sinx2＋cosx22－1.