分式通分的7种技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧
第一讲 分式运算中的常用技巧在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、分组通分法： 例1、计算：xy xy x y x y x y x y x y x --+-----+-24352思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
※例2、计算：500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔 首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：2500010010000200250001002001005000100500010010020010020010050001005000)100(100)100()100(5000100222222222222222222=+-+-=+--+++-=++--+-+++-=+----++-n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n 二、整体通分法：例3．化简：21a a --a-1思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法 例4．计算4214121111xx x x ++++++- 思路点拔 ：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x+-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分例5．计算：2262a a a a +++22444a a a -++思路点拔 ：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法 例6、 已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 例7、化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 思路点拔 ：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵消一些项. 例8.化简：))(())(())((a c b c ba abc b a c c a b a c b -----------思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：ca b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---11))(()()())((a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---11))(()()())((bc a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---11))(()()())((※例9.化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.思路点拔 ：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的形式，即：ba bc a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22cb ca b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22ac ab c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22六、分式的换元化简 ※例10.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：))(())(())((b a a c bca c cb bac b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3444b a b-=0 三、先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4．已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.则y z x ++x z y ++x y z+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。
分式的方法与技巧
1、整体通分法
分析：像这样的，一个分式，后面是整式时，将后面的整式看作一个整体，来进行整体通分，可以简单求解。
2、逐项通分法
分析：通过观察各分母的特点，分母为整式时，想一想符合不符合乘法公式的运用特点，从左到右依次通分。
3、先约分，再通分
分析：像这样分子分母都是含有分母的整式时，想到能不能先约分，就要现将分子、分母先分解因式，能月份的先约分后再根据题目的特点进项必要的变化后求值。
4、裂项相消法
分析：通过观察，后两个分式的分母是两个因数的积，并且这两个因式相差1，而分子是一个还相同，这是就应该想到裂项法解题，就是将每一个分式拆成两项的差，前后抵消后再计算。
5、整体代入法
分析：先将条件进行整理，然后整体代入求代数式的值值。
6、公式法
分析：遇到这种特点的题目，先将条件式进行变形，利用完全平方公式再对要求的式子进行整理，然后代入求值。
7、设辅助参数法
分析：利用条件式设一个辅助参数，将一些代数式用所设的参数表示，然后再将这些代数式代入到所求的式子中去，起到化简的目的。
8、倒数变换法
分析：像这种分子比较简单，分母比较复杂事时，这时可以想到把条件式整体取倒数，使条件变简单，再求值。
9、特殊值法
分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入所求的式子求出结果。
这种方法多用在填空题、选择题中。
分式通分的技巧
分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。
二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。
解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。
三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。
四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。
分式通分的技巧
2.. 2.. 3.. 6n + 2; 2.. 2.. 4.. 3n + 1;
2.. 2.. 5.. 4n + 4[或填4( n + 1) 或4( n +
2) - 4或( n + 2)
2
- n
2
]
能力提高:
a - 4
..
解: 原式= ( 1+
1
a + 1
) - ( 1+
1
a + 2
) - ( 1
-
1
a - 3
) + ( 1 -
1
a - 4
)
= (
1
a + 1
-
1
a + 2
) + (
1
a - 3
-
1
a - 4
x
2
+ 4x - 5
..
解: 原式=
x + 2
( x + 2) ( x - 5)
-
x - 1
( x - 1) ( x + 5)
=
1
x - 5
-
1
x + 5
=
10
x
2
- 25
三、合理结合, 分组通分
例3.. 计算1
a + 1
2. 复习时认真地阅读与钻研教材, 可以提
高学生的解题能力.
3. 复习时认真地阅读与钻研教材, 可以培
分式的通分
用字母表示为：
A AC B BC
A AC （C≠0）
B BC
2.分式的符， 号法则：
（1） a ？ （2）a a ？
b
b b
同号得正
异号得负
根据分式的基本性质， 把一个分式的分子 和分母的公因式约去,这种变形叫做分式的约 分。
1.约分的依据是： 分式的性质（除法）
1
因此 x²－y² =
1
x²＋xy =
x x(x＋y)(x－y)
x－y x(x＋y)(x－y)
归纳
异分母分式通分的步骤是：
1、求出所有分式分母的最简公分母 2、将所有分式的分母变为最简公分母，同时
各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自 的分子。
练习: 1.通分：
(1)
2c bd
与
3ac 4b2
看作一个整体，然后再执行： • （1）定系数________________ • （2）定字母（或含字母的因式）
______________________ • （3）定字母（或含字母的因式）的次数
_________
例题讲解与练习
例 通分
a 2
3 2b 与
ab
ab2c
公分母如何确定呢？
最简公分母的确定： 各分母中系数取最小 公倍数，因式取最高 次幂。
分析：分式通分的关键是确定几个分式的公分
母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为 公分母，也叫最简公分母.
问题：如何找最简公分母？
（2）2x32y
xy xy2z
2 xy 2 2 z
最小 所有 最高 公倍数 字母 次幂
3、找最简公分母
(1)
分式通分有技巧
＝
３（
一
） ３（ ＋
一丽１ ） ３（ １ ＋ 丽
１
一
）
．
３ ３ ＝ 一 — —１ ａ－
６ ａ 二 ‘
注 ：此题不但 用到 了分离整 式技 巧，还涉 及到拆项 抵消 等技 巧． 六 、换元 后 （ ） 免 通分
例 简 ｘ斗 ＋－（ｚ＋． ６化 一 罨＋ Ｘ ） ） － ｙ Ｚ （ －ｚ） － ｘ ｙ （ｘ ｙ＋ － ）
＝
ａ －ｂ （ －￣’ ａ
口
一 ．
Ｃ一
ｂ）
一
ｂ 一
ｃ
（ － ） －ｃ 。 －ａ（－ｂ ｂ ａ（ ） （ ） ｂ ｃ ｃ ）
ｊ ｂ＋ — ａ ｂ＋
—
一 一
（ － ） 一６ 。 － （— ） － ） ａ ｃ（ ） ｂ ｃ’ ａ（ ｂ ｃ ｃ ｃ
一
ｃ一 一 ：—
２ ｘ～ １ ２
Ｉ ＝ 一 ： 二 ＿一
一
一
＝： 塑±
＋ ） ２ － ） １ ＋ ） ２
一ｊ一
ｘ ２ ＋ ‘
二 、化繁为简 后再通 分 例 ２ 计 算 ： ２ 一 ｘ ２ ｘ －２ ＋
二－ ３ｘ
．
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先化简约分，然后再 通分 ，可 使运算 简便．
探问瑜伽
§３ ７
一
旦 螳 ｌ Ｉ 敞： 技
分 ：用 法 低 子 数将 式 为＋的 式 再 析 利 除 降 分 次 ， 分 詈化 号 形 后
通分．
解： 原式＝ ＋ ＋ （ ２
一
一
） ２＋ 一（ ａ ３
３ ａ－６
）（ １ ＋
分式通分的常用技巧
分式通分的常用技巧作者：张开智来源：《初中生之友·中旬刊》2010年第03期通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的通分问题。
通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后再加减。
可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。
现介绍几种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。
一、分组通分例1 计算-+-。
分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。
解原式=-+-=+=。
点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。
二、逐步通分例2 计算:+++。
分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能劳而无功。
若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次类推,逐步通分,可使问题得到解决。
解原式=++=++=+=。
三、整体通分例3 计算:x+y+。
分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的分式,再通分。
解原式=(x+y)+=+= + =。
四、分解因式,约分后通分例4 计算-。
分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。
解原式=- =-==。
点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。
五、改变排序,一次通分例5 计算++。
分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。
解原式=++=++==0。
点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。
六、常量代换,自然通分例6 设abc=1,试求++的值。
分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量代换的方法,本题可获巧解。
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通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的
通分问题。
通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后
再加减。
可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。
现介绍几
种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。
一、分组通分
例1 计算-+-。
分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。
解原式=-+-=+=。
点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。
二、逐步通分
例2 计算:+++。
分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能
劳而无功。
若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次
类推,逐步通分,可使问题得到解决。
解原式=++=++
=+=。
三、整体通分
例3 计算:x+y+。
分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的
分式,再通分。
解原式=(x+y)+=+
= + =。
四、分解因式,约分后通分
例4 计算-。
分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。
解原式=- =-==。
点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。
五、改变排序,一次通分
例5 计算++。
分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。
解原式=++
=++
==0。
点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。
六、常量代换,自然通分
例6 设abc=1,试求++的值。
分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量
代换的方法,本题可获巧解。
解原式=++
=++==1。
点评本题的解法很巧妙,它是在认真分析题目特点的基础上,利用分式的基本性质和常量代换,使其由“山重水复”变为“柳暗花明”的。
七、裂项相消,拆项通分
例7 化简:+++…+。
分析当分式比较复杂,而且按常规方法通分十分艰难时,就要看看题中是否隐含着某些规律。
当每一个分式的分母是两个因数之积,而分子又是一个定值时,可将每一个分式先拆成两项之差,前后相消后再通分。
解原式=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-=。
点评合理、灵活地运用各种变形技巧,能使枯燥乏味、繁杂冗长的分式运算变得简单明了。
而要做到这一点,就必须细心观察和认真分析题目中各分式的特点。